Bipolaridad y ritmos: oscilación no equivale a periodicidad simple

443.1. Qué se repite en una trayectoria afectiva

Una trayectoria afectiva puede contener episodios recurrentes sin que se repita un periodo constante, una forma idéntica o una secuencia fija de estados. En el lenguaje clínico la palabra ciclo nombra con frecuencia esa recurrencia de manera informal, mientras que en dinámica tiene un significado bastante más exigente. Quien proponga un modelo oscilatorio debe declarar en cuál de esos sentidos usa el término y qué observaciones lo respaldan.

El sueño y la actividad tienen una organización temporal propia, cuyas escalas no coinciden necesariamente con la duración de los episodios afectivos. Un ritmo aproximadamente circadiano, un cambio semanal de horario y una recurrencia clínica que se extiende por meses son objetos distintos. Observar uno de ellos no basta para concluir que los otros expresan el mismo oscilador.

La descripción clínica tiene que conservar también la diversidad de los componentes afectivos. Reducir la experiencia a un eje que va de lo negativo a lo positivo puede ocultar activación, irritabilidad, disfrute, fatiga y cambios de conducta que no se ordenan de manera simple sobre esa línea. Los estados mixtos son la dificultad más visible para cualquier representación que imponga exclusión total entre dos polos. En una cohorte de 178 personas con trastorno bipolar, seguidas durante al menos cuatro años con autorreportes bimestrales de síntomas maníacos y depresivos, la correlación intraindividual entre ambos tipos de síntomas fue en promedio débil y negativa, con amplia variación entre personas e incluso valores positivos en algunas de ellas (Cochran et al., 2018). Los autores concluyeron que una representación unidimensional, con síntomas mutuamente excluyentes, no describía la situación típica.

La pregunta del capítulo es qué mecanismos pueden producir recurrencia y cómo distinguirlos entre sí. Se compararán una oscilación sostenida por la dinámica interna y una respuesta oscilatoria a una entrada externa. Durante una ventana limitada las dos curvas pueden parecerse tanto que su forma no revela su origen. La diferencia aparece al examinar las condiciones de entrada, la respuesta a perturbaciones y la evolución del sistema cuando esas condiciones cambian.

443.2. Modelos publicados y alcance de sus supuestos

Goldbeter (2011) propuso un modelo cualitativo basado en la inhibición mutua de dos circuitos neurales putativos, uno que favorece la manía y otro que favorece la depresión. En ese esquema el sistema puede ser biestable, de modo que manía y depresión corresponden a dos estados estacionarios estables y una perturbación suficiente provoca el paso brusco de uno a otro (Goldbeter, 2018). Al incorporar mecanismos de regulación adicionales, el mismo esquema produce oscilaciones sostenidas, algunas de forma compleja (Goldbeter, 2011). El trabajo explora condiciones matemáticas capaces de generar comportamientos pertinentes para discutir la recurrencia, sin establecer que sus variables correspondan a circuitos medidos en cada persona.

La inhibición mutua entre propensiones simplifica la representación y su utilidad formal debe distinguirse de una descripción completa de la fenomenología. Los datos de Cochran et al. (2018) citados más arriba muestran por qué conviene examinar si la reducción elegida conserva las dimensiones que la pregunta necesita. Un modelo puede servir para estudiar un mecanismo y quedar corto para clasificar todas las presentaciones clínicas.

La literatura de modelos dinámicos del trastorno bipolar ha sido sometida a una revisión crítica que evaluó veintiséis estudios con una pauta inspirada en la validación de modelos animales, distinguiendo validez aparente, predictiva y de constructo (Nunes et al., 2022). Los autores identificaron un grupo de modelos teóricos que daban por sentado que las oscilaciones del ánimo definen el trastorno y cuyos componentes, aunque llevaran nombres de estructuras cerebrales, carecían de una homología justificada con sistemas biológicos o psicológicos. Los modelos de Goldbeter figuraron entre las pocas excepciones que formulaban una predicción contrastable. La revisión recomienda operacionalizar primero los rasgos clínicos con datos empíricos y construir después modelos generativos cuyos componentes correspondan a sistemas pertinentes.

Harvey (2008) revisó la relación entre sueño, ritmos circadianos y trastorno bipolar. Propuso un modelo de influencia bidireccional en el que la desregulación afectiva diurna altera el sueño nocturno y la privación de sueño dificulta a su vez la regulación afectiva del día siguiente. Esa literatura justifica investigar la organización temporal del sueño y su relación con el curso de la enfermedad. No autoriza a tratar cualquier variación del sueño como causa única de un episodio ni a deducir un ciclo límite a partir de la recurrencia clínica.

El ejercicio siguiente usa ecuaciones propias, no las de Goldbeter. Sus variables de actividad, estado afectivo y sueño están en unidades abstractas y sirven para comparar dos generadores bajo reglas conocidas. Sus parámetros no se interpretan como biomarcadores, duraciones esperadas de episodios ni características diagnósticas.

443.3. Tres variables acopladas

Definamos $a$ como la desviación de la actividad respecto de una referencia, $m$ como una coordenada afectiva abstracta y $s$ como la desviación de una variable relacionada con el sueño. Los signos indican posición respecto de esa referencia. Un valor positivo de $m$ no significa manía, uno negativo no significa depresión y $s$ no se mide en horas dormidas.

El sistema es

Los términos con frecuencia angular acoplan la actividad con la coordenada afectiva y producen rotación en el plano $(a,m)$. El término cúbico limita las amplitudes grandes. La variable de sueño aumenta cuando aumenta la actividad, recibe una entrada externa $u(t)$ y, cuando es positiva, frena la actividad a través del término $-0.1s$. Se forma así un lazo de retroalimentación negativa con un retardo de primer orden, cuyos signos y magnitudes son decisiones del generador que necesitarían justificación empírica en cualquier aplicación.

El parámetro $\mu$ regula el crecimiento o la amortiguación local de las dos primeras variables. Sin acoplamiento con el sueño ni entrada, esas dos ecuaciones tienen la forma normal de una bifurcación de Hopf supercrítica, con un ciclo de radio $\sqrt{\mu}$ cuando $\mu>0$. La tercera variable modifica la estabilidad local y obliga a analizar el sistema completo. El nombre de la forma normal no reemplaza ese análisis.

Se usa una frecuencia angular $\omega=2\pi/20$ por unidad temporal, es decir, un periodo nominal de veinte unidades que pertenece al ejercicio. Con los parámetros elegidos, la oscilación interna que resulta tiene un periodo cercano a 19,5 unidades, porque el lazo con el sueño desplaza la frecuencia efectiva. Ninguna unidad se asigna a un día y no se propone una periodicidad clínica. Una calibración temporal exigiría relacionar cada variable y cada tasa con un procedimiento de observación concreto.

443.4. Oscilación interna y respuesta forzada

La primera condición usa un parámetro de crecimiento positivo, $\mu=0.1$, y entrada nula. La dinámica interna amplifica las desviaciones pequeñas y la no linealidad acota su amplitud, de modo que la integración numérica muestra una oscilación persistente. La segunda condición usa amortiguación, $\mu=-0.1$, y una entrada sinusoidal de amplitud 2 que actúa sobre la variable de sueño durante las primeras doscientas unidades del seguimiento.

Mientras la entrada periódica está presente, el sistema amortiguado muestra una trayectoria oscilatoria sostenida, de periodo igual al de la entrada. Esa periodicidad procede de la combinación entre la entrada y la respuesta del sistema. Retirar la entrada permite contrastar una predicción concreta: si no existe un mecanismo autónomo que mantenga la oscilación, esta debería extinguirse.

En la condición interna no hay entrada que retirar y la persistencia no depende de ninguna condición externa. Durante la primera ventana ambas curvas comparten una frecuencia aproximada porque la frecuencia de forzamiento se eligió cerca de la dinámica característica del sistema. El parecido fue construido deliberadamente para mostrar una ambigüedad de interpretación.

La entrada sinusoidal no se denomina estrés ni ritmo circadiano. Representa una condición periódica abstracta, y en una investigación real atribuir una oscilación a una entrada exigiría medirla y examinar su relación temporal con las variables de respuesta.

Un oscilador interno y un forzamiento también pueden coexistir, en cuyo caso la entrada puede sincronizar el oscilador, desplazar su fase o modificar su amplitud. Las trayectorias individuales no tienen por qué pertenecer a uno de los dos extremos que el ejercicio contrapone.

443.5. Una comprobación de estabilidad cuando cesa la entrada

Para la condición amortiguada puede construirse una función de Lyapunov,

Al derivarla a lo largo de las trayectorias se cancelan los términos de rotación y también el acoplamiento cruzado entre actividad y sueño, porque el coeficiente $\tfrac14$ se eligió para compensar $-0.1$ con $0.2$. Se obtiene

Cuando la entrada es nula y $\mu<0$, la derivada es estrictamente negativa fuera del origen. Como $V$ crece sin límite al alejarse del origen, el equilibrio es globalmente asintóticamente estable para esa condición. La desigualdad permite además acotar la velocidad del retorno. Si se descarta el término $-r^4$, que no es positivo, queda

de modo que $V$ decrece al menos como $e^{-\lambda t}$. Con $\mu=-0.1$ resulta $\lambda=0.2$ y la amplitud $r$ disminuye por lo menos como $e^{-0.1t}$. La tasa observada en la simulación, cercana a 0,116 por unidad temporal, coincide con la parte real de los autovalores de la linealización y respeta esa cota. La extinción de las oscilaciones tiene así un respaldo analítico que no depende de mirar una curva descendente.

La función $V$ no representa energía metabólica, esfuerzo ni sufrimiento. Es una herramienta de análisis de estabilidad cuyos coeficientes dependen de los acoplamientos de las ecuaciones. Leerla como una magnitud clínica introduciría una equivalencia que el ejercicio no establece.

Cuando $\mu$ es positivo, la misma desigualdad deja de garantizar el retorno al origen. La linealización en el origen tiene entonces, para $\mu=0.1$, un par de autovalores complejos $0.087\pm0.321i$ con parte real positiva y un autovalor real $-0.473$. Para $\mu=-0.1$ los autovalores son $-0.116\pm0.327i$ y $-0.469$. La función $V$ sigue siendo útil en el caso inestable, porque disminuye en toda la región donde $\mu r^2-r^4-s^2/4<0$, que excluye solo un conjunto acotado. Las trayectorias quedan por lo tanto acotadas. Que el régimen final sea una órbita periódica es un resultado numérico para los parámetros definidos. Demostrar propiedades de toda una familia de ciclos requeriría un análisis de bifurcaciones que este capítulo no realiza.

443.6. Integración reproducible

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
omega = 2*np.pi/20
times = np.arange(0, 400.0001, 0.1)
def simulate(mu, forcing):
    def rhs(t, z):
        a, m, s = z
        r2 = a*a+m*m
        drive = forcing*np.cos(omega*t) if t < 200 else 0.0
        return [(mu-r2)*a-omega*m-0.1*s,
                omega*a+(mu-r2)*m,
                -0.5*s+0.2*a+drive]
    solution = solve_ivp(rhs, (0,400), [0.1,0,0], t_eval=times,
                         rtol=1e-9, atol=1e-11, max_step=0.1)
    assert solution.success
    return solution.y
internal = simulate(0.1, 0)
forced = simulate(-0.1, 2)
before = (times >= 120) & (times < 200)
after = times >= 320
for name, values in [('Interna', internal), ('Forzada', forced)]:
    print(name, 'desviación previa:', np.std(values[1,before]),
          'desviación posterior:', np.std(values[1,after]))
assert np.std(internal[1,after]) > 0.15
assert np.std(forced[1,after]) < 1e-6
assert np.linalg.norm(forced[:,-1]) < 1e-8
for mu in [0.1,-0.1]:
    jacobian = np.array([[mu,-omega,-0.1],[omega,mu,0],[0.2,0,-0.5]])
    print('Mu:', mu, 'autovalores:', np.linalg.eigvals(jacobian))

Las ventanas comparadas excluyen los transitorios iniciales y dejan tiempo para la amortiguación después del cambio. La desviación estándar resume la amplitud de la variación, aunque no identifica por sí sola periodicidad. La estructura temporal debe examinarse junto con ese resumen.

La integración usa tolerancias pequeñas y un paso máximo limitado. El cambio de entrada ocurre en un instante definido. Una implementación con pasos excesivamente grandes podría describir mal esa discontinuidad y alterar la comparación. Integrar por separado los dos tramos, antes y después de la retirada, entrega los mismos valores con estas tolerancias. La cota analítica de la sección anterior ofrece un criterio independiente para interpretar la condición amortiguada.

443.7. Recurrencia, periodicidad y ciclo límite

La recurrencia describe que un estado o una configuración vuelve a aparecer. La periodicidad exige, en el sistema idealizado, repetición exacta después de un intervalo constante. Un ciclo límite es una órbita periódica aislada de un sistema autónomo, cuyas propiedades de estabilidad deben examinarse. Las tres afirmaciones tienen exigencias distintas y la semejanza visual no permite intercambiarlas.

Una serie clínica finita puede contener episodios separados por intervalos variables y mostrar organización temporal sin un periodo fijo. Los datos longitudinales disponibles apuntan en esa dirección. En la cohorte de Cochran et al. (2018), algunas frecuencias parecían destacar antes de corregir por la cantidad de frecuencias examinadas, pero el análisis corregido no respaldó la hipótesis de un proceso rítmico con periodo consistente. Bonsall et al. (2012) analizaron puntajes semanales de síntomas depresivos autorreportados durante periodos de hasta 220 semanas en 23 pacientes y describieron las series mediante modelos autorregresivos con umbral, distintos para pacientes clínicamente estables e inestables. Los autores no describieron un ciclo regular. Subrayaron, en cambio, la necesidad de considerar a la vez la parte determinista y el ruido. Un pico espectral, por su parte, puede reflejar una entrada externa, una tendencia segmentada o la forma en que se muestreó la señal.

En la condición forzada del ejercicio la trayectoria se repite mientras la entrada se repite. Esa periodicidad no constituye un ciclo límite del sistema sin entrada, como confirma el retorno al equilibrio estable cuando cesa el forzamiento.

En la condición interna se observa una oscilación sostenida bajo parámetros constantes. Para relacionarla con una trayectoria bipolar habría que justificar las variables, las escalas y las respuestas a perturbaciones. Que un modelo matemático produzca alternancia indica que el mecanismo propuesto es capaz de generarla; identificar el mecanismo de una alternancia clínica es otra tarea.

La irregularidad tampoco equivale a ausencia de estructura. Un sistema con ruido, cambios de parámetros o entradas no periódicas puede producir recurrencia de intervalos variables, y lo que interesa es qué regularidades se reproducen y qué modelo las anticipa mejor en condiciones nuevas.

443.8. El ritmo circadiano y la escala de los episodios

Un ritmo circadiano es una organización con periodo cercano a un día. La recurrencia de episodios afectivos puede involucrar periodos mucho mayores y variables. Relacionar ambas escalas exige un mecanismo de acoplamiento que explique cómo los cambios de fase, de amplitud o de oportunidad de sueño alteran procesos más lentos, y cómo el estado afectivo modifica a su vez los horarios y la actividad.

La duración del sueño no mide directamente la fase circadiana. Una persona puede dormir pocas horas por una obligación externa y conservar una fase semejante, o desplazar sus horarios sin reducir necesariamente el tiempo total dormido. Conviene distinguir tiempo disponible, tiempo dormido, distribución de los periodos de sueño y relación con las señales temporales del entorno.

Una variable diaria de sueño resume procesos circadianos y homeostáticos, además de decisiones y restricciones. El modelo de dos procesos, uno de los marcos conceptuales más usados en investigación del sueño, describe la interacción entre una presión homeostática que se acumula con la vigilia y se disipa con el sueño y un proceso controlado por el marcapasos circadiano (Borbély et al., 2016). Distinguir ambos componentes evita que cualquier cambio de horario se lea automáticamente como alteración de un mismo mecanismo.

El modelo del capítulo no incluye una representación fisiológica de esos procesos. Su variable de sueño es un estado acoplado abstracto. Para usarla como representación de una medida concreta habría que definir qué observación corresponde a sus valores y qué información se pierde al reducir el sueño a una sola coordenada.

Una formulación multiescala puede describir la organización diaria, los cambios sostenidos de rutina y el curso afectivo sin exigir desde el inicio una ecuación para cada nivel, siempre que declare qué relaciones propone entre ellos.

443.9. Muestreo y periodicidad aparente

La frecuencia de observación determina qué oscilaciones pueden reconocerse. Si una señal completa un ciclo entre dos registros, las observaciones pueden omitir por completo su variación. Una sinusoide de periodo diario registrada siempre a la misma hora produce valores constantes, aunque entre registros fluctúe de manera regular.

Considérese $c(t)=\cos(2\pi t+\phi)$ con el tiempo medido en días. Si solo se observa en tiempos enteros, todos los valores son iguales a $\cos(\phi)$. Un cambio de fase produce entonces un cambio de nivel en la serie diaria, aunque la amplitud del ritmo permanezca constante. Sin información adicional, la medición no distingue esas posibilidades.

El problema inverso también ocurre. Una oscilación rápida muestreada de manera insuficiente puede parecer una oscilación más lenta. Este aliasado depende de la relación entre la frecuencia del proceso y la frecuencia de muestreo, por lo que un pico en un análisis espectral no debe interpretarse sin conocer los horarios reales y la regularidad de los registros.

Los datos clínicos suelen incluir intervalos irregulares y omisiones. Llevarlos a una malla uniforme mediante interpolación agrega supuestos sobre lo ocurrido entre mediciones, que pueden suavizar cambios o introducir una apariencia rítmica. Conservar las marcas temporales originales permite revisar esas decisiones.

El diseño debe corresponder a la escala de la hipótesis. El registro útil para estudiar relaciones diarias entre sueño y estado afectivo difiere del que se necesita para caracterizar la fase circadiana. Una alta frecuencia de preguntas tampoco garantiza información adecuada si cada respuesta resume un periodo más amplio o si su significado cambia durante el seguimiento. Moore et al. (2014), con puntajes depresivos semanales de ocho pacientes, no lograron distinguir sus series de sustitutos lineales. Entre las explicaciones posibles que ellos mismos consideraron figura que el muestreo semanal no bastara para representar la dinámica.

443.10. Fase y amplitud responden a preguntas distintas

Dos señales pueden tener el mismo periodo y diferir en el momento en que alcanzan sus máximos. Esa diferencia de fase puede ser relevante para estudiar la coordinación entre sueño y actividad. También pueden conservar una fase parecida y variar en amplitud. Un único coeficiente de correlación mezcla ambos cambios y dificulta su interpretación.

En el sistema construido, la variable de sueño responde con retraso a la actividad y a la entrada, por efecto de su tasa de relajación. La fase resultante depende de la frecuencia del forzamiento y de los acoplamientos. Un desfase observado no puede atribuirse sin más a un retraso causal fijo entre dos variables, porque puede emerger de la dinámica de todo el circuito.

Estimar una fase requiere una señal con organización suficiente para que el concepto tenga sentido. En trayectorias con episodios irregulares, interrupciones o amplitudes muy pequeñas, asignar una fase instantánea puede producir valores matemáticamente bien definidos y de interpretación incierta. El método tiene que corresponder a la forma de la señal y a la pregunta.

Un seguimiento puede examinar si los cambios de fase preceden a otros cambios, si se mantienen entre periodos y si aportan capacidad predictiva más allá de los horarios y del contexto. Esa asociación temporal debe compararse con explicaciones en que ambos registros responden a una señal común.

La coordinación puede importar clínicamente tanto como el nivel medio de una variable, aunque sostenerlo exige relacionar la organización temporal con el funcionamiento o la experiencia. Un índice de sincronización alto, por sí solo, no equivale a una evaluación favorable de salud.

443.11. Entradas periódicas y resonancia

Un sistema amortiguado puede responder con mayor amplitud a ciertas frecuencias de entrada sin poseer una oscilación autosostenida. Esa resonancia depende de sus tasas de relajación y de la forma en que se acoplan las variables.

El ejercicio permite verificarlo. En la linealización con $\mu=-0.1$, la ganancia desde la entrada hasta la coordenada afectiva alcanza su máximo cerca de $0.92\,\omega$ y supera en alrededor de un tercio la ganancia ante entradas muy lentas. El pico es moderado porque la entrada llega a la coordenada afectiva a través de la variable de sueño, que filtra las frecuencias altas. Con la amplitud de forzamiento usada en la sección 443.6 la saturación cúbica aplana ese pico. La amplitud de la respuesta disminuye entonces de manera monótona al aumentar la frecuencia. La frecuencia de entrada se eligió cerca de la dinámica característica para que la curva forzada se pareciera a la interna. No se eligió para maximizar la respuesta.

La amplitud y la fase de la respuesta cambian, por lo tanto, con la frecuencia de una entrada de intensidad constante, y en un sistema no lineal esa dependencia varía además con la intensidad. Comparar dos periodos solo por la magnitud de una condición externa puede ser insuficiente. Una exposición breve y repetida no tiene necesariamente el mismo efecto que una continua con igual promedio.

Un sistema no lineal puede además generar componentes que no estaban presentes en la entrada, de modo que detectar una frecuencia nueva en la salida no prueba la existencia de un oscilador independiente que la produzca.

En una trayectoria afectiva, las entradas pueden incluir rutinas sociales, cambios de trabajo y variaciones en las oportunidades disponibles. Sus efectos no se infieren solo porque compartan una frecuencia aproximada con la serie, ya que la coincidencia puede ser accidental o reflejar un tercer proceso que organiza ambas.

Un contraste informativo requiere observar cambios de frecuencia, fase o intensidad que permitan comparar predicciones. Sin esas variaciones, la explicación por forzamiento puede seguir siendo plausible sin quedar identificada. Lo mismo vale para la explicación por oscilación interna.

443.12. Retirar una entrada no es una operación clínica aislada

La simulación anula exactamente una función externa y conserva todos los demás parámetros. En una situación real, modificar una rutina puede cambiar a la vez el sueño, la actividad, las relaciones y las oportunidades, de modo que la respuesta observada corresponde a ese conjunto de cambios.

Una observación natural sigue siendo útil si se documenta qué cambió. Un periodo de horario más regular permite estudiar si ciertas variaciones se atenúan, aunque puede coincidir con menor carga laboral o con más apoyo, condiciones que la formulación debe tratar como explicaciones alternativas o como componentes del mecanismo.

La desaparición de una oscilación después de un cambio favorece algunas explicaciones y limita otras sin identificar una causa única. Un oscilador interno puede cambiar de régimen si la intervención modifica sus parámetros. A la inversa, la persistencia posterior no prueba autonomía si siguen actuando entradas no observadas.

El contraste necesita una hipótesis completa que especifique qué se supone constante, qué cambia y qué respuesta se espera y durante cuánto tiempo. Sin esa especificación cualquier resultado puede acomodarse a posteriori mediante una explicación añadida. Registrar las predicciones de manera prospectiva aumenta lo que el seguimiento puede enseñar.

Comprobar un modelo no exige provocar desestabilización. Basta aprovechar la variación ordinaria, la información histórica bien documentada y medidas de baja carga, y juzgar cada diseño por la información que agrega y por sus consecuencias para la persona.

443.13. Una coordenada afectiva no equivale a un diagnóstico

La variable afectiva del modelo oscila alrededor de cero. Sus valores positivos y negativos son posiciones matemáticas respecto de una referencia. Convertirlos en categorías clínicas requeriría una regla que incorporara contenido, duración, intensidad y funcionamiento, dimensiones que el signo de una variable no contiene.

La simplificación puede ocultar también la coexistencia de manifestaciones. Una persona puede presentar activación junto con experiencias de valencia negativa, o cambios de sueño sin un patrón afectivo equivalente. Un eje único puede representar mal esas combinaciones aunque produzca una curva regular. Añadir dimensiones obliga a decidir qué experiencias deben conservarse y cómo se observan.

La comparación entre modelos debe reconocer esa limitación de representación. Reproducir bien el número de transiciones entre valores altos y bajos no basta para afirmar que el modelo reproduce episodios clínicos, porque puede acertar en un resumen temporal y omitir los contenidos que dan sentido a la clasificación.

El diagnóstico tampoco fija por sí mismo una forma de trayectoria. Personas que comparten una categoría difieren en recurrencia, duración, contextos y recuperación funcional. Un modelo oscilatorio tiene que evaluarse frente a esa heterogeneidad, en lugar de tomar la categoría como prueba de que su mecanismo está presente.

Una formulación individual puede proponer una hipótesis sobre ritmos sin redefinir toda la experiencia a partir de ella. El modelo ayuda a investigar relaciones entre variables concretas, mientras la descripción clínica conserva los fenómenos que quedan fuera.

443.14. Ruido, transitorios y cambios de parámetros

Una trayectoria irregular puede proceder de ruido sobre un régimen estable, de entradas cambiantes o de modificaciones de parámetros. En una serie corta esas posibilidades generan patrones semejantes que una clasificación visual entre regular y caótico no alcanza a separar.

La literatura empírica ilustra la dificultad. Con autorregistros dos veces al día durante tres meses, Ortiz et al. (2021) interpretaron exponentes de Lyapunov positivos como compatibles con caos determinista, tanto en personas con trastorno bipolar como en familiares no afectados y controles. Con puntajes semanales, Moore et al. (2014) no encontraron ventaja de los métodos no lineales sobre los lineales. Ambos trabajos difieren en población, frecuencia de muestreo, variables y métodos, de modo que no es posible atribuir la discrepancia a un solo factor. La comparación muestra que la caracterización dinámica de series afectivas cortas y ruidosas depende fuertemente de esas decisiones.

Un transitorio prolongado puede parecer una oscilación sostenida si la ventana termina antes de que se amortigüe. Por eso en la condición forzada del ejemplo se deja un periodo amplio después de retirar la entrada. Acortar la ventana posterior podría dar la impresión equivocada de una persistencia autónoma.

El ruido puede desplazar el momento de los máximos y modificar amplitudes sin eliminar la organización del sistema. También puede inducir transiciones entre regiones del espacio de estados. Su interpretación depende de dónde entra. El ruido de proceso altera la trayectoria misma, mientras que el error de medición altera solo el registro. Un mismo nivel de variabilidad observada puede combinar ambos en proporciones diferentes.

Los parámetros pueden cambiar por aprendizaje, contexto o intervención. En ese caso, ajustar una única dinámica a todo el seguimiento puede promediar regímenes distintos. Una frecuencia estimada globalmente quizá no represente ninguno de los periodos locales. Revisar la estabilidad de los parámetros debe preceder a cualquier inferencia fuerte sobre un mecanismo recurrente.

El análisis puede comparar modelos con parámetros constantes y modelos que permiten cambios definidos de antemano. La mayor flexibilidad de estos últimos debe evaluarse con datos nuevos o con penalizaciones apropiadas. Explicar retrospectivamente cada episodio con un cambio de parámetro libre no somete la teoría a una prueba exigente.

443.15. Un seguimiento hipotético de sueño, actividad y afecto

El caso siguiente es simulado y se construyó con fines didácticos. No corresponde a ninguna persona real y no se ofrece como guía de manejo.

Considérese una persona con antecedentes de episodios afectivos que informa variaciones del sueño y de la actividad durante varios meses. La evaluación dispone de registros diarios y de los cambios de su horario laboral. Una primera explicación propone un proceso recurrente interno. Otra señala que parte de la regularidad coincide con turnos rotativos de trabajo.

El seguimiento distingue oportunidad de sueño, duración estimada, actividad y experiencias afectivas definidas, y conserva las fechas de los cambios de rutina y de otras intervenciones relevantes. La selección de variables responde a las diferencias entre las hipótesis, sin suponer que todos los componentes comparten una escala o un retraso fijo.

Durante un periodo con horario estable la variación disminuye. El resultado sería compatible con una contribución de las entradas externas, aunque también con cambios concomitantes o con una fase de menor actividad del proceso interno. Para interpretar la diferencia se necesita saber cuánto duró el periodo, qué condiciones se mantuvieron comparables y qué predicciones se habían formulado antes de observarlo.

Si la recurrencia continuara con una organización semejante pese a cambios bien documentados de la entrada, ganaría interés la explicación interna. Aun así habría que examinar condiciones no medidas y propiedades del registro. El resultado orienta la comparación, sin que una serie individual demuestre por sí misma un ciclo límite.

La formulación puede conservar a la vez una descripción de la recurrencia y varias explicaciones de su mecanismo, sin presentar como identificada una dinámica que los datos todavía no distinguen. Las decisiones clínicas dependen además de contenidos y consecuencias que el modelo temporal representa solo en parte.

443.16. Perturbaciones de fase como contraste adicional

La referencia temporal de la fase ofrece otra diferencia entre una oscilación autónoma y una respuesta forzada. En un oscilador autónomo estable, una perturbación puede desplazar la posición sobre la órbita sin que exista una señal externa que obligue a recuperar una fase absoluta. La amplitud vuelve a su régimen y el desplazamiento temporal respecto de la trayectoria no perturbada persiste.

En un sistema sincronizado por una entrada, tras una perturbación pequeña la fase tiende a recuperar una relación estable con esa señal, en un tiempo que depende de la intensidad del forzamiento y de la dinámica interna.

La simulación permite examinarlo. El código siguiente lleva cada sistema hasta $t=300$ con la entrada mantenida, gira el estado $(a,m)$ en un radián sin cambiar su radio y compara los máximos posteriores de la coordenada afectiva con los de la trayectoria sin perturbar.

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
from scipy.signal import find_peaks
omega = 2*np.pi/20
def rhs(mu, forcing):
    def f(t, z):
        a, m, s = z
        r2 = a*a+m*m
        return [(mu-r2)*a-omega*m-0.1*s,
                omega*a+(mu-r2)*m,
                -0.5*s+0.2*a+forcing*np.cos(omega*t)]
    return f
def phase_shift(mu, forcing, kick=1.0):
    opts = dict(rtol=1e-10, atol=1e-12, max_step=0.05)
    z = solve_ivp(rhs(mu, forcing), (0,300), [0.1,0,0], **opts).y[:,-1]
    c, s_ = np.cos(kick), np.sin(kick)
    z_kick = z.copy()
    z_kick[:2] = [c*z[0]-s_*z[1], s_*z[0]+c*z[1]]
    grid = np.arange(300, 700.0001, 0.01)
    ref = solve_ivp(rhs(mu, forcing), (300,700), z, t_eval=grid, **opts).y[1]
    per = solve_ivp(rhs(mu, forcing), (300,700), z_kick, t_eval=grid, **opts).y[1]
    p_ref = grid[find_peaks(ref)[0]]
    p_per = grid[find_peaks(per)[0]]
    shifts = {}
    for T in [320, 650]:
        t_ref = p_ref[np.argmin(abs(p_ref-T))]
        shifts[T] = round(float(p_per[np.argmin(abs(p_per-t_ref))]-t_ref), 2)
    return shifts
for label, mu, forcing in [('Interna sin entrada', 0.1, 0),
                           ('Amortiguada forzada', -0.1, 2),
                           ('Interna con entrada débil', 0.1, 0.3)]:
    print(label, phase_shift(mu, forcing))

En el oscilador interno sin entrada, los máximos perturbados se adelantan unas 3,1 unidades y el adelanto se mantiene 350 unidades después, lo que corresponde a un radián de un ciclo de 19,5 unidades. En el sistema amortiguado y forzado el desplazamiento ya es despreciable veinte unidades después de la perturbación. Cuando el oscilador interno recibe una entrada débil de amplitud 0,3, queda sincronizado con ella. El adelanto inicial, de 1,2 unidades, desaparece antes del final del seguimiento. Este tercer caso ilustra la coexistencia de dinámica interna y forzamiento mencionada en la sección 443.4. El giro conserva el radio para que el contraste recaiga sobre la fase. En un análisis real, una perturbación que también modifica la amplitud complica la lectura, porque un máximo más pequeño se localiza con menor precisión y puede aparentar un cambio temporal.

En datos clínicos no suele existir una trayectoria contrafactual simultánea de la misma persona. Las perturbaciones naturales pueden coincidir con cambios de rutina y de medición. Interpretar un reajuste de fase exige reconstruir esos acontecimientos y considerar otras explicaciones de los máximos observados.

El contraste sirve como criterio para diseñar modelos aun cuando no pueda ejecutarse de forma controlada, porque obliga a especificar si la hipótesis atribuye la regularidad a una referencia externa o a la dinámica del sistema. Dos modelos que ajustan un periodo parecido pueden anticipar respuestas distintas ante un desplazamiento de horario o una interrupción ordinaria de la rutina. La ausencia de información sobre esas respuestas no invalida una explicación oscilatoria, aunque deja abierta una parte importante de la comparación entre mecanismos.

443.17. Evaluar predicciones y no solo semejanza de curvas

Un modelo puede ajustarse a una trayectoria pasada eligiendo frecuencia, fase y amplitud. La calidad de ese ajuste no garantiza que anticipe el periodo siguiente. Una prueba más exigente reserva observaciones y compara las predicciones con alternativas simples, como la persistencia del último valor o la respuesta a un calendario conocido. Esa comparación tiene consecuencias. En el estudio de Moore et al. (2014), para la mitad de los pacientes ningún método, lineal o no lineal, superó con significación a la simple persistencia al pronosticar la serie semanal fuera de la muestra.

La tarea predictiva tiene que definirse. Anticipar el siguiente registro con información actualizada difiere de predecir una secuencia larga sin observaciones nuevas, y un oscilador puede funcionar bien en la primera tarea y acumular errores de fase en la segunda.

También importa qué resultado se predice. Un error pequeño en una coordenada continua puede coexistir con errores relevantes al anticipar cambios de funcionamiento. Las métricas deben conservar esa relación con el objetivo, sin suponer que una medida matemática de ajuste representa por sí sola un beneficio clínico.

En el ejemplo, la diferencia decisiva aparece después de retirar la entrada, cuando una condición mantiene su variación y la otra converge al equilibrio. Ese contraste combina una predicción formal, respaldada por la función de Lyapunov, con una comprobación numérica. Trasladarlo a una persona requiere justificar la correspondencia entre variables y condiciones y observar resultados comparables.

Los modelos oscilatorios pueden contribuir al estudio de la recurrencia afectiva cuando especifican mecanismos y predicciones contrastables. El alcance de sus conclusiones queda limitado a lo que efectivamente se haya contrastado, con atención a la medición, al contexto y a las escalas temporales.

Referencias

Bonsall, M. B., Wallace-Hadrill, S. M. A., Geddes, J. R., Goodwin, G. M., & Holmes, E. A. (2012). Nonlinear time-series approaches in characterizing mood stability and mood instability in bipolar disorder. Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences, 279(1730), 916–924. DOI.

Borbély, A. A., Daan, S., Wirz-Justice, A., & Deboer, T. (2016). The two-process model of sleep regulation: A reappraisal. Journal of Sleep Research, 25(2), 131–143. DOI.

Cochran, A. L., Schultz, A., McInnis, M. G., & Forger, D. B. (2018). Testing frameworks for personalizing bipolar disorder. Translational Psychiatry, 8, 36. DOI.

Goldbeter, A. (2011). A model for the dynamics of bipolar disorders. Progress in Biophysics and Molecular Biology, 105(1–2), 119–127. DOI.

Goldbeter, A. (2018). Dissipative structures in biological systems: Bistability, oscillations, spatial patterns and waves. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 376(2124), 20170376. DOI.

Harvey, A. G. (2008). Sleep and circadian rhythms in bipolar disorder: Seeking synchrony, harmony, and regulation. The American Journal of Psychiatry, 165(7), 820–829. DOI.

Moore, P. J., Little, M. A., McSharry, P. E., Goodwin, G. M., & Geddes, J. R. (2014). Mood dynamics in bipolar disorder. International Journal of Bipolar Disorders, 2, 11. DOI.

Nunes, A., Singh, S., Allman, J., Becker, S., Ortiz, A., Trappenberg, T., & Alda, M. (2022). A critical evaluation of dynamical systems models of bipolar disorder. Translational Psychiatry, 12, 416. DOI.

Ortiz, A., Brádler, K., Mowete, M., MacLean, S., Garnham, J., Slaney, C., Mulsant, B. H., & Alda, M. (2021). The futility of long-term predictions in bipolar disorder: Mood fluctuations are the result of deterministic chaotic processes. International Journal of Bipolar Disorders, 9, 30. DOI.