Intermitencia y crisis: otras formas de cambiar de régimen

Año 2 · Módulo 11 · Nivel F

108.1. Una dinámica casi regular interrumpida por ráfagas

Una serie temporal alterna largos tramos casi periódicos con ráfagas breves de movimiento irregular. Si se elige una ventana pequeña, la señal parece regular; otra ventana daría la impresión contraria. Clasificar cada fragmento por separado sirve de poco; hay que explicar por qué el sistema pasa tanto tiempo cerca de cierto movimiento y qué lo obliga, de manera intermitente, a alejarse de él.

En dinámica no lineal se llama intermitencia a varias formas de alternancia entre episodios laminares y excursiones. Una de ellas aparece cerca de una bifurcación tangente, cuando la trayectoria atraviesa lentamente una región donde antes existía un punto fijo marginal y regresa después por una ruta global. La duración de esos pasos lentos indica cuantitativamente la cercanía al umbral. La reinyección, a su vez, determina qué episodios se repiten y con qué variabilidad.

Las crisis de atractores caóticos son otra vía de cambio. Un atractor puede expandirse bruscamente, unirse con otra región accesible o desaparecer como atractor cuando varía un parámetro y se produce una colisión con una estructura inestable. Después de algunas crisis, las trayectorias muestran intermitencia o caos transitorio, aunque los equilibrios locales no hayan cambiado su estabilidad en el punto observado.

Ambos fenómenos son transiciones que el análisis local de equilibrios y ciclos no describe por completo, aunque sus mecanismos difieren. La bifurcación tangente permitirá obtener una ley de tiempos laminares; las crisis obligan, en cambio, a examinar cómo cambia la geometría accesible del atractor.

108.2. Qué significa «laminar» cuando no estudiamos un fluido

En un fluido, un tramo laminar evoca un movimiento ordenado. En una serie temporal de un mapa determinista, la expresión suele designar episodios donde la trayectoria permanece cerca de una órbita periódica desaparecida, de un subespacio invariante o de una región específica del atractor. La fase irregular corresponde a una excursión fuera de esa vecindad. La identificación depende del modelo y del observable; no existe un umbral numérico universal que separe ambas fases.

Si una serie contiene valores $x_n$, podemos definir un indicador $L_n$ que valga uno cuando la trayectoria satisface un criterio explícito de proximidad al patrón de referencia. La longitud de un episodio laminar es el número de pasos consecutivos con $L_n=1$. Esta definición transforma una impresión gráfica en un objeto medible. También revela una fuente de incertidumbre, porque al cambiar el umbral podemos fusionar episodios que antes estaban separados o partir uno largo en varios cortos.

La frecuencia de los episodios plantea además un problema causal, el de identificar el mecanismo que mantiene temporalmente la trayectoria cerca de una región de la que finalmente escapa. A veces existe un «cuello de botella» dinámico, una zona donde el campo de desplazamiento es muy pequeño y que la trayectoria tarda en atravesar. En otros casos, una crisis abre rutas que antes eran inaccesibles y la trayectoria las visita solo ocasionalmente.

108.3. El marco de Pomeau y Manneville

Yves Pomeau y Paul Manneville estudiaron en 1980 cómo ciertos sistemas disipativos pasan de comportamiento temporal regular a irregular por episodios. Propusieron una clasificación de rutas de intermitencia según el tipo de pérdida de estabilidad del movimiento periódico. Su aportación central fue mostrar cómo una dinámica determinista puede permanecer aparentemente regular durante mucho tiempo y producir ráfagas sin necesidad de un estímulo aleatorio en cada episodio.

La clasificación clásica distingue los tipos I, II y III. En términos generales, la tipo I corresponde a una bifurcación tangente o de nodo-silla de un mapa de retorno; la tipo II, a una pérdida de estabilidad por multiplicadores complejos; la tipo III, a una pérdida de estabilidad en que un multiplicador real cruza $-1$, emparentada con una bifurcación inversa de duplicación de período. La descripción precisa depende de la dimensión, las simetrías y el mapa de retorno empleado.

La clasificación describe mecanismos dinámicos. Con ella no se pueden etiquetar series temporales de forma automática, porque las distribuciones de períodos laminares dependen de la forma del retorno global y del criterio de observación, además de los términos de la forma normal. La intermitencia de tipo I es un buen punto de partida analítico porque su región lenta se describe con un cálculo local relativamente sencillo.

La intermitencia inducida por crisis, que aparecerá más adelante, es un mecanismo distinto. Puede producir un patrón visual semejante, pero no se explica por el cuello de botella de una órbita periódica que se aniquila en una bifurcación tangente.

108.4. Un mapa local próximo a una bifurcación tangente

Consideremos un mapa unidimensional en una pequeña vecindad de $x=0$

Es una forma normal local; no pretendemos que describa todo el espacio de estados. El parámetro $\delta$ controla la distancia respecto de la tangencia. Los puntos fijos satisfacen $\delta+x^2=0$. Si $\delta<0$, existen dos soluciones $x_\pm=\pm\sqrt{-\delta}$. El multiplicador local es $f'(x)=1+2x$; para valores negativos suficientemente próximos a cero, $x_-$ es estable, mientras que $x_+$ es inestable.

Cuando $\delta=0$, ambos puntos fijos confluyen en el origen y el multiplicador vale uno. Para $\delta>0$, ya no hay puntos fijos en esta vecindad, porque $\delta+x^2>0$. La trayectoria avanza hacia valores crecientes de $x$, pero cerca del origen cada incremento puede ser muy pequeño. Donde estaba el punto fijo queda una región de tránsito lento.

Si el sistema completo tiene un mecanismo que devuelve la trayectoria desde una región exterior hasta valores negativos cercanos al origen, podrá atravesar el cuello de botella muchas veces. Entre esos recorridos puede experimentar excursiones irregulares. Esa alternancia es el escenario típico de intermitencia tipo I. El mapa local explica la lentitud; la dinámica global determina cómo se repite la secuencia.

Sin un retorno, el modelo solo produce un paso lento seguido de una salida; la ecuación local aislada no garantiza intermitencia sostenida ni caos.

108.5. Calcular cuánto dura el cuello de botella

Para $\delta>0$ pequeño, el incremento discreto es $x_{n+1}-x_n=\delta+x_n^2$. Cuando el avance por paso es pequeño y la trayectoria permanece en una región adecuada, podemos aproximar el índice $n$ por una variable continua y escribir

El número de iteraciones necesarias para atravesar una ventana desde $-a$ hasta $+a$ se estima mediante

La primitiva es $\delta^{-1/2}\arctan(x/\sqrt\delta)$. Por tanto,

Si $a>0$ permanece fijo y $\delta\to0^+$, entonces $a/\sqrt\delta\to\infty$, con lo cual $\arctan(a/\sqrt\delta)\to\pi/2$. Resulta la ley asintótica

El tiempo laminar diverge cuando el parámetro se aproxima a la tangencia desde el lado donde desapareció el punto fijo. En esa circunstancia, un sistema puede parecer periódico durante períodos cada vez más largos antes de una ráfaga. El exponente $1/2$ vale para un cuello de botella cuadrático con las condiciones de entrada y salida indicadas; nada asegura que el promedio empírico de los episodios de una intermitencia tipo I observada lo reproduzca exactamente.

La duración real también depende de la posición de reinyección, del tamaño del dominio en que se aplica la forma normal y de los errores propios de sustituir un mapa discreto por la integral continua. La fórmula es una predicción asintótica y una herramienta para comprobar órdenes de magnitud.

108.6. Un ejemplo numérico que se puede verificar a mano

Tomemos el ancho $a=0,2$ y dos valores de distancia a la tangencia. Con $\delta=0,0004$, tenemos $\sqrt\delta=0,02$. La aproximación integral da

Si reducimos el parámetro a $\delta=0,0001$, resulta $\sqrt\delta=0,01$ y

La segunda permanencia es poco más del doble de la primera. La ley asintótica $\pi/\sqrt\delta$ predice 157,08 y 314,16 respectivamente. La discrepancia de unos diez pasos muestra el efecto de truncar la integral al intervalo finito $[-a,a]$. El conteo exacto de iteraciones del mapa, por su parte, es un entero y no tiene por qué coincidir al decimal con la aproximación continua.

Intermitencia tipo I. (A) Incremento de la forma normal local cerca de una tangencia. (B) Tiempos de paso del mapa $x_{n+1}=x_n+\delta+x_n^2$ comparados con la integral aproximada y su ley asintótica. (C) Comportamiento intermitente del mapa logístico cerca del inicio de una ventana de período tres. El panel C ilustra el retorno global de otro modelo; el mapa local aislado no garantiza ráfagas sostenidas.

108.7. Por qué la reinyección es parte del mecanismo

Imaginemos que una trayectoria entra en la ventana laminar por $x=-a$, la atraviesa y sale por $x=+a$. El mapa local predice aproximadamente el número de pasos de tránsito, aunque nada dice de lo que ocurre después, ya que la trayectoria abandona la región donde es válido su desarrollo. La repetición de ráfagas requiere una dinámica global que reinserte la trayectoria cerca del cuello de botella.

Ese retorno puede ser determinista e irregular. En un mapa global, distintas visitas a la región exterior producen diferentes valores de reinyección; unas trayectorias ingresan cerca del borde del cuello y otras mucho más próximas al centro. En consecuencia, aunque el desplazamiento local estuviera descrito exactamente por la misma función, las longitudes observadas variarían. La estadística de los episodios depende tanto de la dinámica próxima a la tangencia como de la distribución de reinyección.

Si imponemos una reinyección artificial que fija siempre $x=-a$ con absoluta precisión, podemos generar repeticiones perfectamente iguales, es decir, una alternancia temporal que no tiene por qué ser caótica. Con una reinyección aleatoria, las duraciones fluctuarían sin que exista caos determinista. Estos casos muestran que el cuello de botella, el retorno y la fuente de irregularidad son elementos conceptualmente separables.

108.8. Otros multiplicadores y otros retornos en los tipos II y III

La intermitencia tipo I tiene un mecanismo intuitivo porque el mapa de retorno conserva una dirección que avanza lentamente junto a un punto fijo desaparecido. Las otras clases clásicas requieren describir cómo cambia la estabilidad del movimiento periódico en un mapa de retorno de dimensión apropiada. En la tipo II, el fenómeno se debe a una pérdida de estabilidad por un par de multiplicadores complejos cuya magnitud cruza uno. En la tipo III, el elemento característico es un multiplicador real que atraviesa $-1$, en una transición relacionada con duplicación inversa de período.

En un flujo, los multiplicadores de Floquet caracterizan una órbita periódica; para un mapa de Poincaré se analizan los autovalores del mapa de retorno. Una alternancia de signos entre iteraciones puede indicar que interviene un multiplicador negativo, aunque también puede deberse a transformaciones del observable o a otros mecanismos.

Las leyes de escala de las longitudes laminares cambian al variar la forma normal y el proceso de reinyección. Memorizar una tabla de exponentes sin indicar la familia matemática, las hipótesis de regularidad y qué magnitud se promedia es, en consecuencia, arriesgado. En ciertos modelos aparecen exponentes característicos bien estudiados; en otros, la estadística puede apartarse sustancialmente.

La clasificación es útil para formular preguntas sobre el tipo de inestabilidad que se aproxima y sobre la estructura del retorno. Lo es mucho menos como etiqueta retrospectiva elegida a partir de una figura sin datos de parámetros, reconstrucción de órbitas ni contraste con modelos alternativos.

108.9. El mapa logístico y una ventana periódica

El mapa logístico $x_{n+1}=r x_n(1-x_n)$ mostró en capítulos anteriores duplicaciones de período, bandas caóticas y ventanas periódicas. Cerca del comienzo de una ventana de período tres, alrededor de $r=1+\sqrt8\approx3,828427$, el tercer iterado del mapa puede presentar una bifurcación tangente. Una órbita visita sucesivamente vecindades de tres puntos que, cerca del umbral, son regiones de paso lento.

Del lado paramétrico anterior a la aparición de la órbita estable de período tres, pueden observarse episodios que casi repiten ese ciclo, interrumpidos por excursiones más irregulares. La imagen temporal es distinta de la del mapa normal local porque el patrón laminar contiene tres fases. Para localizar la tangencia puede representarse $x_n$ frente a $x_{n+3}$ o estudiar directamente el tercer iterado; una gráfica de $x_n$ frente a $x_{n+1}$ puede disimular la cercanía a la tangencia relevante.

La referencia numérica del umbral corresponde a la familia logística ideal con la parametrización indicada. En una aplicación real, un cambio de coordenadas y otro mapa pueden desplazar cualquier valor crítico. También deben cuidarse los transitorios y los efectos de precisión finita, porque cerca de una ventana periódica una simulación breve puede clasificar erróneamente como periódico un régimen que presenta ráfagas muy separadas.

108.10. Medir intermitencia sin confundir descripción y explicación

Un análisis reproducible comienza por elegir un criterio de estado laminar. Puede basarse en la distancia a una órbita periódica de referencia, en el error de retorno tras $k$ pasos o en un dominio definido en el espacio reconstruido. El criterio debe establecerse antes de comparar parámetros y mantenerse fijo, salvo que haya una justificación explícita para modificarlo.

Conviene examinar la distribución completa de las duraciones laminares, porque un aumento del promedio puede deberse a un desplazamiento general de los episodios, a unos pocos valores extremos o a que parte de las trayectorias quede atrapada en otro régimen. La descripción debe incluir el número de episodios, la mediana, los cuantiles y la duración total de observación.

Las duraciones de una misma trayectoria pueden estar correlacionadas entre episodios sucesivos, de modo que no forman automáticamente una muestra de observaciones independientes. Los intervalos de confianza y los remuestreos deben conservar, cuando corresponda, la dependencia entre episodios. Hay que considerar también la censura, porque un episodio que comienza antes del registro o continúa después del final no tiene una duración completamente observada.

Por último, la mera presencia de una cola amplia en la distribución no identifica el mecanismo. La intermitencia de sincronización, los cambios de régimen inducidos por ruido y los procesos de renovación con tasas variables pueden producir estadísticas similares. El parámetro, la geometría del retorno y las propiedades de estabilidad dan información que una distribución marginal no contiene.

108.11. Qué es una crisis de un atractor caótico

Celso Grebogi, Edward Ott y James A. Yorke estudiaron a comienzos de la década de 1980 cambios repentinos de atractores caóticos debidos a colisiones con órbitas periódicas inestables y con las estructuras que organizan sus cuencas. Denominaron crisis a estas transiciones globales. El concepto es más específico que «cualquier cambio brusco», pues alude a una reorganización del conjunto que atrae las trayectorias o de la posibilidad de permanecer dentro de él.

Un atractor es un conjunto invariante que atrae los estados de un entorno adecuado. Un atractor caótico puede contener infinitas órbitas periódicas inestables, además de trayectorias aperiódicas. Las estructuras invariantes del flujo o del mapa delimitan tanto su región accesible como la cuenca de atracción.

Si al variar un parámetro el atractor entra en contacto con una de esas estructuras, puede abrirse una región antes inaccesible o destruirse la condición que mantenía atrapadas las trayectorias. Ese cambio global no exige que un equilibrio cambie el signo de sus autovalores; puede producirse lejos de los equilibrios y depender de una porción extensa del espacio de estados.

108.12. Crisis interior y apertura de una región antes inaccesible

En una crisis interior, el atractor caótico experimenta una expansión o reorganización abrupta al colisionar con una estructura inestable situada dentro de su cuenca. Antes de la crisis, las trayectorias permanecen en una región relativamente acotada del espacio de estados. Después, pueden recorrer también un sector adicional. El sistema sigue teniendo un atractor caótico, pero el conjunto visitado cambia de modo cualitativo.

Después de la crisis, una trayectoria puede continuar durante mucho tiempo cerca del atractor previo y salir solo ocasionalmente hacia la porción recién accesible. Esta alternancia se llama intermitencia inducida por crisis. La fase aparentemente laminar corresponde al movimiento dentro de la antigua región; la ráfaga corresponde a la exploración del sector abierto por la colisión.

Aunque esta alternancia se parezca a la intermitencia tipo I, su causa es otra. No hay necesariamente un cuello de botella dejado por un par de puntos fijos que desaparecen; las rutas disponibles cambian porque una colisión global reorganiza el atractor caótico. La frecuencia de las excursiones depende de la geometría cerca de la crisis y cambia mucho con el parámetro.

Para investigar una crisis interior conviene comparar retratos de fase, histogramas de visita y medidas de amplitud antes y después del umbral. Una gráfica de máximos puede mostrar una expansión inmediata de su rango, pero la frecuencia de ocupación de la nueva región es una evidencia adicional.

Fusión de bandas en el mapa logístico $x_{n+1}=rx_n(1-x_n)$, con transiciones entre dos bandas caóticas alrededor del punto de Misiurewicz $r_c\approx3{,}6785735104$. El panel C estima la separación entre los rangos de las subseries pares e impares a partir de un registro numérico; los rangos no constituyen una demostración analítica de crisis de frontera.

108.13. Crisis de frontera y caos transitorio

La crisis de frontera ocurre cuando un atractor caótico colisiona con la frontera de su cuenca de atracción y deja de ser atractor. Tras la pérdida de atracción pueden persistir conjuntos invariantes caóticos no atractores, a menudo denominados sillas caóticas, que retienen durante un tiempo a las trayectorias cercanas antes de que escapen.

Después de la crisis, una condición inicial situada en la región antes atractora puede producir un transitorio aparentemente caótico muy prolongado. Finalmente abandona esa vecindad y converge, si existe y es accesible, hacia otro atractor, que podría ser periódico o estacionario. La duración del transitorio depende de la condición inicial.

En una simulación corta, un transitorio caótico prolongado puede parecer un atractor persistente. Si el tiempo de escape típico supera el horizonte de observación, el cambio global pasa inadvertido. Por eso «la trayectoria parece caótica durante cien mil iteraciones» no equivale a «el sistema tiene un atractor caótico». La condición de atracción es asintótica y un registro finito no la establece directamente.

En modelos aplicados, una dinámica transitoria puede durar más que la ventana de interés del fenómeno físico y tener importancia práctica, aunque matemáticamente no corresponda a un atractor permanente.

108.14. Supervivencia, tasa de escape y tiempos de transitorio

Definamos una región $R$ que contiene el conjunto caótico anterior a la crisis. Para un conjunto de condiciones iniciales especificado, sea $T$ el primer tiempo en que la trayectoria abandona $R$ y cumple un criterio de escape previamente definido. La función de supervivencia es

En ciertos regímenes con una tasa de escape aproximadamente constante y suficiente mezcla dinámica, se obtiene una supervivencia de tipo exponencial

La vida media entonces satisface $\mathbb E[T]\approx1/\kappa$, en las unidades temporales empleadas. Esta ley no vale para cualquier sistema caótico; si existen regiones de atrapamiento, mezcla lenta o múltiples escalas de escape, la distribución puede apartarse de una exponencial simple.

El procedimiento empírico consiste en elegir muchas condiciones iniciales de acuerdo con una medida declarada, seguirlas hasta el escape y estimar la proporción superviviente en cada tiempo. Es indispensable consignar cómo se trataron los recorridos que aún no habían escapado al terminar la integración, porque asignarles una duración igual al horizonte disponible sesga la media.

La tasa depende también de la región de escape y de la distribución inicial, al menos durante los transitorios tempranos. Una tasa asintótica asociada con una medida condicionalmente invariante requiere hipótesis y verificaciones adicionales. La notación probabilística describe variación entre condiciones iniciales de un sistema determinista, sin postular necesariamente ruido físico.

108.15. La escala crítica cerca de una crisis

Las investigaciones de Grebogi y colaboradores mostraron que, cerca de algunas crisis, un tiempo característico crece conforme el parámetro se aproxima al umbral. Según el fenómeno, puede tratarse de la duración media de un transitorio caótico, del intervalo medio entre excursiones o del tiempo medio entre cambios de una región del atractor a otra. Una forma típica es

Aquí $p_c$ es el parámetro de crisis. El exponente negativo expresa que el tiempo característico puede hacerse muy grande al aproximarse al umbral desde el lado pertinente. El valor de $\gamma$ varía de una crisis a otra según la estructura dinámica y las condiciones que cumplen las órbitas que participan en la colisión.

En el cuello de botella cuadrático dedujimos el exponente $1/2$ a partir de la aproximación $dx/dn=\delta+x^2$. En una crisis, el cálculo de $\gamma$ requiere considerar la geometría de la colisión y el transporte a través de las nuevas rutas, de modo que la ley de potencia tiene un origen distinto.

La estimación estadística resulta difícil si el muestreo paramétrico es escaso. Cerca del umbral se necesitan integraciones largas para observar suficientes eventos, mientras que lejos de él pueden fallar las hipótesis asintóticas. Para sostener una ley crítica a partir de una recta ajustada en escala logarítmica, deben informarse el intervalo utilizado, la incertidumbre del umbral y la sensibilidad del exponente al método de ajuste.

108.16. Intermitencia, caos y exponentes de Lyapunov

El exponente máximo de Lyapunov mide, bajo condiciones apropiadas, la tasa asintótica de separación de trayectorias infinitesimalmente próximas. Puede aportar evidencia de sensibilidad a condiciones iniciales, pero no determina qué tipo de intermitencia o crisis organiza una señal. Dos sistemas con exponentes máximos positivos pueden tener estructuras globales muy diferentes; un exponente calculado en una ventana finita puede ser engañoso.

Durante un episodio laminar, la separación local de trayectorias puede ser pequeña o incluso contractiva. Una ráfaga puede producir una expansión intensa. El promedio temporal combina ambas contribuciones. De ahí que una serie dominada visualmente por largos tramos casi periódicos pueda, en ciertos modelos, pertenecer a un régimen caótico. A la inversa, fluctuaciones aparentes no garantizan un exponente positivo del sistema determinista subyacente.

La comparación apropiada integra retratos de fase, órbitas periódicas inestables, cuencas, tiempos de permanencia, supervivencia y variación con parámetros, información que ninguna medida escalar resume.

108.17. El problema de distinguir una crisis de otras transiciones

Una serie puede presentar excursiones abruptas por al menos cuatro mecanismos distintos. En una crisis interior se amplía el espacio accesible del atractor. En una crisis de frontera se pierde la atracción y aparece escape transitorio. En una bifurcación local pueden nacer o desaparecer equilibrios o ciclos. Con ruido, el sistema puede abandonar temporalmente una cuenca sin que haya cambiado su geometría determinista.

Puede haber además coexistencia de atractores, de modo que, para un mismo parámetro, condiciones iniciales diferentes lleven a oscilaciones pequeñas o grandes. Si el parámetro cambia o el ruido permite cruzar fronteras de cuenca, el registro puede mostrar saltos sin una crisis del atractor originalmente observado. La histéresis tampoco zanja la cuestión, porque puede aparecer por varios mecanismos de multiestabilidad y depender de cómo se hace el barrido.

Una estrategia útil consiste en reconstruir el diagrama de atractores por barridos bidireccionales, conservar diferentes condiciones iniciales, localizar cambios abruptos de soporte geométrico y estudiar los objetos inestables participantes. Con datos exclusivamente observacionales, el nivel de inferencia es más limitado; «compatible con intermitencia inducida por crisis» no significa «crisis demostrada».

Hay que distinguir, por último, una transición dinámica real de una modificación del sistema de medida, ya que cambios de ganancia del sensor, saturaciones y umbrales de detección pueden crear saltos aparentes de amplitud.

108.18. Una aplicación interpretada con cautela

Consideremos un sistema de atención con episodios de congestión. Durante gran parte del tiempo, la demanda parece fluctuar cerca de una operación regular. Ocasionalmente se producen picos prolongados, seguidos de recuperación. Resulta tentador hablar de «intermitencia crítica», pero una cola de tiempos de espera o una secuencia de sobrecargas es compatible con muchos mecanismos además de una bifurcación tangente o una crisis caótica.

Si construimos un modelo dinámico con capacidad, memoria, tasas de llegada y retroalimentación, sí podemos estudiar si un cambio de parámetro crea un cuello de botella, abre nuevas rutas de trayectoria o modifica una cuenca. Cada posibilidad da predicciones distintas. Un cuello de botella sugiere una ley de permanencia que depende de la distancia a una bifurcación local. Una crisis interior sugiere exploración intermitente de una región antes inaccesible. Un proceso estocástico de llegadas puede generar ráfagas aun sin bifurcaciones deterministas.

En neurociencia, las oscilaciones con ráfagas permiten plantear preguntas análogas, siempre que se evite inferir un mecanismo a partir de la semejanza visual. El mismo criterio vale para cambios clínicos a lo largo del tiempo. Una alternancia de estabilidad aparente y episodios intensos describe un patrón; la atribución de intermitencia de Pomeau–Manneville o de una crisis requiere un modelo con variables y parámetros identificables.

108.19. Protocolo de simulación y análisis de sensibilidad

Una investigación numérica puede comenzar con el mapa de cuello de botella $x_{n+1}=x_n+\delta+x_n^2$, integrándolo desde $x_0=-a$ hasta alcanzar $x\geq a$ para varios valores pequeños de $\delta>0$. Registramos el número exacto de iteraciones y lo comparamos con la integral asintótica. Este primer experimento solo contrasta una predicción local.

El segundo experimento exige un mapa global con reinyección definida, por ejemplo el mapa logístico cerca de una ventana periódica. Primero se descartan transitorios; después se registran los episodios cercanos al ciclo de referencia y se examina cómo cambia su duración al aproximarse al umbral. La repetición con varios horizontes y condiciones iniciales ayuda a detectar clasificaciones espurias causadas por registros demasiado cortos.

Para investigar crisis, el procedimiento debe contemplar una familia donde se conozca o pueda localizarse el cambio global. Se comparan diagramas de bifurcación y retratos de fase, se buscan órbitas inestables relevantes y se estiman tiempos de permanencia o escape. Las simulaciones largas requieren especificar precisión aritmética y comprobar que la distribución de duraciones no depende de un defecto del algoritmo o de errores acumulados.

La reproducibilidad pide conservar código, parámetros, semilla si existe aleatoriedad, reglas de clasificación de episodios y datos que permitan rehacer los gráficos. Un experimento tiene éxito cuando discrimina entre mecanismos capaces de producir figuras con ráfagas similares.

108.20. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1. Estabilidad cerca de la tangencia. Para $f(x)=x+\delta+x^2$, con $\delta=-0,0004$, los puntos fijos son $x_\pm=\pm0,02$. La derivada es $1+2x$. En $x_-=-0,02$ vale $0,96$; como su módulo es menor que uno, el punto es localmente estable. En $x_+=0,02$ vale $1,04$, de módulo mayor que uno, por lo que el punto es inestable. Al pasar a $\delta>0$, desaparecen ambos puntos fijos locales; la trayectoria puede atravesar la región lentamente.

Ejercicio 2. Derivar el exponente del cuello de botella. Partimos de $N\approx\int_{-a}^{a}(\delta+x^2)^{-1}dx$. Al introducir $u=x/\sqrt\delta$, obtenemos $dx=\sqrt\delta\,du$ y $N\approx\delta^{-1/2}\int_{-a/\sqrt\delta}^{a/\sqrt\delta}(1+u^2)^{-1}du$. Cuando $\delta\to0^+$, la integral tiende a $\pi$. Por eso $N\sim\pi\delta^{-1/2}$. La ley es local y asintótica y nada dice sobre la distribución de reinyección.

Ejercicio 3. Diferenciar dos supervivencias. Dos simulaciones comienzan con condiciones iniciales distribuidas en una región $R$. En la primera, la proporción no escapada es aproximadamente $S(t)=e^{-0,02t}$; la vida media del modelo exponencial es $1/0,02=50$ unidades. En la segunda, una fracción permanece durante todo el horizonte observado. Asignar a la segunda una vida media de 50, o tratar las trayectorias aún presentes como escapadas en el tiempo final, sería un error; hay que explicitar la censura y evaluar una posible distribución distinta.

Ejercicio 4. Clasificar una expansión del atractor. Al variar $p$, una trayectoria caótica comienza a visitar una región adicional. La dinámica conserva su carácter aparentemente caótico y los nuevos episodios son infrecuentes. El cuadro es compatible con crisis interior e intermitencia inducida por crisis, pero exige verificar una colisión global de estructuras invariantes y descartar cambios de sensor, multiestabilidad y transitorios prolongados.

Ejercicio 5. Interpretar un exponente crítico. Si $\tau\sim C|p-p_c|^{-\gamma}$, reducir la distancia $|p-p_c|$ a la mitad multiplica aproximadamente $\tau$ por $2^\gamma$, dentro del régimen asintótico. Si $\gamma=1$, se duplica; si $\gamma=1/2$, aumenta por un factor $\sqrt2$. Con una razón cercana a dos en dos mediciones es arriesgado concluir que $\gamma=1$, porque desconocemos $p_c$, el error de estimación y la posibilidad de correcciones fuera del régimen asintótico.

108.21. Qué revelan los tiempos de permanencia

En la intermitencia de tipo I, el paso lento cerca de una tangencia explica una parte cuantitativa del fenómeno, pues bajo hipótesis estándar la duración de los episodios laminares aumenta aproximadamente como la inversa de la raíz cuadrada de la distancia al umbral. La repetición de episodios exige además un mecanismo global de reinyección, cuya forma modifica la distribución de duraciones observada.

Las crisis afectan a un objeto diferente. Una crisis interior reorganiza el tamaño o la accesibilidad de un atractor caótico; una crisis de frontera puede destruirlo y dejar un conjunto inestable que produce transitorios prolongados. Para distinguir estos mecanismos en una serie temporal con ráfagas es preciso seguir atractores, conjuntos de escape o distribuciones de tiempos.

La duración de un registro y la resolución paramétrica limitan las conclusiones. Un transitorio caótico muy largo puede confundirse con un régimen permanente; la ausencia de una ráfaga durante un ensayo no prueba que sea imposible. Los observables deben elegirse según la estructura dinámica que se pretende identificar. Las conexiones entre variedades invariantes son otra vía de cambio global, que admite un cálculo perturbativo específico.

Referencias

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• Grebogi, C., Ott, E., & Yorke, J. A. (1982). Chaotic attractors in crisis. Physical Review Letters, 48(22), 1507–1510. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.48.1507
• Grebogi, C., Ott, E., & Yorke, J. A. (1983). Crises, sudden changes in chaotic attractors, and transient chaos. Physica D, 7(1–3), 181–200. https://doi.org/10.1016/0167-2789(83)90126-4
• Grebogi, C., Ott, E., & Yorke, J. A. (1986). Critical exponent of chaotic transients in nonlinear dynamical systems. Physical Review Letters, 57(11), 1284–1287. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.57.1284
• Grebogi, C., Ott, E., Romeiras, F., & Yorke, J. A. (1987). Critical exponents for crisis-induced intermittency. Physical Review A, 36(11), 5365–5380. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.36.5365