Canards y cambios abruptos de amplitud

Año 2 · Módulo 11 · Nivel C

107.1. Una oscilación que cambia de tamaño sin cambiar de mecanismo

Una variación mínima de un parámetro puede transformar oscilaciones pequeñas en excursiones que recorren gran parte del retrato de fase. En determinados osciladores lento-rápidos, el cambio se concentra en un intervalo paramétrico extremadamente estrecho. El resultado se conoce como explosión canard. Su mecanismo está en la geometría de las variedades lentas y en la posibilidad de seguir transitoriamente un tramo repulsor, algo que las aproximaciones más simples cerca de un pliegue no alcanzan a describir.

El término francés canard se incorporó a la literatura de sistemas dinámicos al estudiar trayectorias que pasan desde una rama lenta atractora a otra repulsora. En condiciones ordinarias, una órbita situada cerca de una rama repulsora se aleja. Las soluciones canard son configuraciones especiales en las que ese alejamiento se retrasa. La longitud del recorrido repulsor puede modificar considerablemente la amplitud total del ciclo.

El punto delicado está cerca de la pérdida de hiperbolicidad normal. Allí se encuentran continuaciones de variedades lentas cuya distancia puede ser demasiado pequeña para apreciarse en una gráfica ordinaria. En Van der Pol, la amplitud de los ciclos responde a ese encuentro con una sensibilidad paramétrica notable. En modelos de mayor dimensión aparecen fenómenos emparentados, como las oscilaciones de modo mixto. La comparación exige atender a las escalas del problema y al comportamiento de sus variedades invariantes.

107.2. Qué se conserva del problema lento-rápido

Usaremos un sistema con una variable rápida y otra lenta

La variable $\lambda$ es un parámetro de control. En el tiempo rápido $\tau=t/\varepsilon$, la ecuación de $y$ adquiere el factor $\varepsilon$, por lo que $y$ permanece aproximadamente congelada durante un ajuste rápido. Al fijar $\varepsilon=0$ en el problema reducido obtenemos la variedad crítica

Para una variable rápida escalar, el signo de $f_x=\partial f/\partial x$ determina la estabilidad transversal del equilibrio de capa. En un segmento con $f_x<0$, los pequeños desplazamientos de $x$ a $y$ fija decaen en el tiempo rápido y la rama es atractora; con $f_x>0$ crecen y la rama es repulsora. Cuando $f_x=0$, el criterio lineal no decide y la hiperbolicidad normal puede desaparecer.

El teorema de Fenichel garantiza, bajo condiciones regulares y en subconjuntos compactos normalmente hiperbólicos, variedades lentas próximas a $S_0$ para $\varepsilon$ suficientemente pequeño. La garantía no se extiende automáticamente a un pliegue. En consecuencia, no podemos continuar una fórmula de variedad lenta a través del punto degenerado y suponer que sigue siendo una solución real. La existencia de una conexión entre segmentos atractores y repulsores es una cuestión dinámica aparte.

La separación de escalas tampoco significa que todos los cambios ocurran lentamente. Fuera de la variedad crítica, $f$ puede ser de orden uno, de manera que $\dot x$ alcance magnitudes de orden $1/\varepsilon$. Por eso un sistema que se mueve despacio durante largos intervalos puede tener transiciones rápidas sin recibir impulsos externos.

107.3. La geometría de una curva plegada

Consideremos como ejemplo la curva crítica

Surge de la ecuación rápida $\varepsilon\dot x=y-F(x)$. Los puntos de pliegue satisfacen $F'(x)=x^2-1=0$, esto es, $x=-1$ y $x=1$. La estabilidad transversal se obtiene al derivar el campo rápido, $f_x=-F'(x)=1-x^2$. Las ramas exteriores, donde $|x|>1$, son atractoras; el segmento interior, donde $|x|<1$, es repulsor.

Una trayectoria que comienza cerca de una rama exterior suele avanzar lentamente mientras la geometría transversal atrae sus pequeñas desviaciones. Al acercarse a un pliegue, esa atracción se debilita. Si la dinámica lenta la conduce más allá del punto donde existe una rama atractora accesible, puede producirse un salto rápido hacia otra parte de la curva. Es el dibujo clásico de una oscilación de relajación, con segmentos lentos extensos conectados por desplazamientos rápidos.

El canard introduce una posibilidad distinta. En circunstancias especiales, al alcanzar la región donde desaparece la descripción atractora, la trayectoria continúa cerca de una rama transversalmente repulsora. Ese recorrido puede cambiar el lugar del salto posterior o evitarlo durante un intervalo. En una órbita periódica, el resultado altera mucho el tamaño del ciclo.

En el plano, una rama repulsora sigue siéndolo aunque la trayectoria la recorra. El canard depende de un ajuste muy preciso entre el estado que llega al pliegue y la dirección que permite la continuación. Su existencia puede ser estructuralmente muy sensible a la posición del parámetro y al mecanismo de retorno global.

107.4. La pérdida de hiperbolicidad no obliga a un salto instantáneo

La regla popular «cuando termina una rama estable, el sistema salta» es una aproximación útil, pero imprecisa en cuanto a la posición exacta del salto. Incluso cuando no hay un canard propiamente dicho, una trayectoria puede demorarse cerca de un pliegue después de que el equilibrio rápido haya dejado de existir en la aproximación estática. Es consecuencia de la velocidad finita con la que el sistema atraviesa la región singular.

Para estudiar ese retraso, podemos usar el modelo local

La variedad crítica es la parábola $y=x^2$. Para $y>0$, la rama $x=+\sqrt y$ es atractora y $x=-\sqrt y$ repulsora. Ambas se reúnen en $(0,0)$. Como $\dot y=-1$, el sistema cruza el valor $y=0$ sin detener su evolución lenta. El movimiento puede permanecer por un tiempo corto en una vecindad del pliegue, aun después de cruzar $y=0$.

La escala relevante se obtiene equilibrando términos, porque al hacer $\varepsilon=0$ desaparece. Si escribimos $x=\varepsilon^{1/3}X$, $y=\varepsilon^{2/3}Y$ y $t=\varepsilon^{2/3}s$, las ecuaciones adoptan, localmente, una forma de orden uno. Las potencias $1/3$ y $2/3$ muestran que el desplazamiento dinámico no tiene por qué localizarse exactamente en el pliegue estático. La aproximación habitual falla en una capa cuyo tamaño depende de $\varepsilon$.

Este retraso es distinto del seguimiento prolongado de una rama repulsora. Para hablar de trayectoria canard hay que demostrar o sustentar que la solución continúa próxima a una variedad lenta repulsora durante una extensión dinámica significativa.

107.5. Un ejemplo exactamente resoluble de seguimiento repulsor

Un sistema sencillo permite verificar analíticamente una trayectoria canard. Consideremos

La variedad crítica sigue siendo $y=x^2$, con rama atractora en $x>0$ y repulsora en $x<0$. En cambio, la evolución lenta ahora se anula en el pliegue. Ese detalle permite una continuación especial. Proponemos la curva

Para comprobar que es invariante derivamos su ecuación, $\dot y=2x\dot x$. Sobre la curva propuesta, la primera ecuación da $\varepsilon\dot x=-\varepsilon/2$, por lo que $\dot x=-1/2$. De ahí resulta $\dot y=-x$, exactamente la segunda ecuación del sistema. La curva es, pues, exactamente invariante para cualquier $\varepsilon>0$.

Las soluciones sobre ella se pueden escribir como

Si $x_0>0$, la trayectoria comienza cerca de la rama atractora $y=x^2$, pasa por $x=0$ en $t=2x_0$ y continúa hacia $x<0$ cerca de la rama repulsora. La distancia vertical respecto de la variedad crítica es exactamente $\varepsilon/2$. Hemos obtenido así una conexión explícita entre ambas regiones.

La regularidad de esta construcción depende de una elección precisa del campo lento; cambiar la ecuación de $y$ o desplazar el parámetro puede destruir la coincidencia exacta. El ejemplo muestra el mecanismo, pero de él no se sigue que todo sistema con una parábola crítica presente canards ni que el seguimiento repulsor resista perturbaciones arbitrarias.

Un canard exactamente resoluble. La solución especial del sistema $\varepsilon\dot x=y-x^2$, $\dot y=-x$ sigue una curva invariante situada a distancia $\varepsilon/2$ de la variedad crítica, pasa por el pliegue y continúa junto a la rama repulsora. La amplificación transversal representada es linealizada, no una órbita perturbada exacta.

107.6. Por qué una solución puede seguir algo que repele

Una rama normalmente repulsora significa que las desviaciones transversales crecen al evolucionar hacia adelante. Eso no impide que exista una trayectoria especial situada exactamente sobre la variedad invariante.

En el ejemplo anterior, la derivada del campo rápido respecto de $x$, a $y$ fija, es $-2x$. Cuando $x>0$, el valor es negativo; cuando $x<0$, positivo. Durante el tramo repulsor, un error numérico, una perturbación en el estado inicial o un pequeño cambio de parámetro pueden hacer que la trayectoria abandone la vecindad de la curva especial. Cuanto más largo sea el recorrido repulsor y más pequeña sea $\varepsilon$, mayor puede resultar la amplificación acumulada.

El mecanismo puede entenderse mediante una ecuación escalar transversal esquemática, $\varepsilon\dot\delta=a(t)\delta$, con $a(t)>0$. Su solución es

Esta ecuación no reemplaza a la variacional completa del ejemplo bidimensional, donde las perturbaciones de $x$ y $y$ están acopladas. Aun así, muestra por qué seguir una dirección repulsora puede exigir una precisión excepcional, ya que una discrepancia inicial minúscula se amplifica por un factor exponencial.

Se entiende así la diferencia entre dibujar una curva repulsora y seguirla de manera observable. La primera operación es geométrica; la segunda implica preparar datos iniciales y parámetros dentro de tolerancias específicas. Una simulación imprecisa que no encuentra el canard no refuta necesariamente su existencia. A la inversa, una trayectoria aparente cercana a la rama repulsora, obtenida con paso temporal demasiado grande, puede ser un artefacto del integrador.

107.7. Los ciclos canard y el retorno global

Hasta ahora hemos construido una trayectoria que atraviesa el entorno de un pliegue; falta obtener una órbita periódica. Para ello es necesario que el movimiento posterior regrese a la región de entrada. Este retorno puede producirse mediante saltos rápidos hacia otra rama atractora y desplazamientos lentos que cierran el recorrido. La geometría local del pliegue y la dinámica global de retorno cumplen funciones distintas.

En un ciclo de relajación ordinario, la trayectoria recorre segmentos atractores, salta en sus extremos y vuelve a comenzar. En un ciclo canard, parte del recorrido sigue un segmento repulsor antes del salto o antes de completar el ciclo. Cuanto mayor sea la extensión de ese segmento, mayor puede ser la excursión total. No existe una correspondencia universal entre longitud repulsora y amplitud máxima, porque depende de la geometría del sistema.

Al observar únicamente la serie temporal suele perderse de vista que dos órbitas periódicas con amplitudes muy diferentes pueden pertenecer a una misma familia continua de soluciones, conectada por cambios pequeños del parámetro. La transición ocurre sin fuerzas nuevas ni cambios en las ecuaciones originales, mediante una modificación de la posición relativa de las variedades lentas que organizan el recorrido.

La identificación de un ciclo canard exige seguir su trayectoria sobre el retrato de fase. Deben localizarse las ramas lentas atractora y repulsora, estimarse el tramo recorrido cerca de la segunda y comprobarse que persiste con un control numérico más estricto. La curva amplitud-parámetro solo localiza la transición.

107.8. La explosión canard y sus escalas paramétricas

En ciertas familias planas de osciladores lento-rápidos, el tamaño de un ciclo crece desde las oscilaciones pequeñas nacidas en la bifurcación de Hopf hasta las grandes oscilaciones de relajación en un intervalo paramétrico extremadamente estrecho. Este fenómeno recibe el nombre de explosión canard. La palabra «explosión» designa el rápido incremento de amplitud al variar el parámetro; no hay singularidad temporal ni divergencia física.

La teoría de Krupa y Szmolyan mostró cómo describir geométricamente esta transición en clases importantes de campos vectoriales planos. Bajo hipótesis de no degeneración y en el régimen singular pertinente, la familia de ciclos puede atravesar una franja de parámetro cuyo ancho es exponencialmente pequeño respecto de $\varepsilon$. Una notación orientativa es

entendiendo que la constante y la escala efectiva dependen de la normalización y las hipótesis del modelo. El desplazamiento del punto crítico puede ser algebraico en $\varepsilon$, mientras que el intervalo de cambios intensos de amplitud puede tener un ancho exponencialmente pequeño en el caso clásico.

Para $\varepsilon=0,05$, una cantidad como $e^{-1/\varepsilon}=e^{-20}$ es del orden de dos milmillonésimas. Este cálculo solo ilustra la rapidez de la disminución exponencial; no predice el ancho real de una explosión específica, porque no conocemos el coeficiente $K$. En la práctica, un barrido uniforme de parámetros puede omitir por completo el tramo relevante, incluso si contiene muchos puntos.

107.9. El oscilador de Van der Pol con parámetro de control

Una familia que permite estudiar estas ideas es

La variable $a$ controla la posición del equilibrio. La variedad crítica tiene la forma cúbica ya estudiada. El equilibrio satisface $x_*=a$ y $y_*=a^3/3-a$. Su matriz jacobiana es

La traza es $(1-a^2)/\varepsilon$, mientras que el determinante es $1/\varepsilon>0$. Por tanto, el cambio de signo de la traza ocurre en $a=\pm1$, los mismos valores que sitúan el equilibrio sobre los pliegues de la curva crítica. Los autovalores son imaginarios puros cuando la traza se anula y el determinante es positivo. Con la condición de transversalidad correspondiente, esos valores son puntos de Hopf de la familia.

La coincidencia entre el equilibrio de Hopf y un pliegue de la variedad crítica señala un problema singular, en el que el pequeño parámetro altera la relación entre las escalas temporales y la geometría de la bifurcación. Para $\varepsilon$ fijo, un análisis local próximo al equilibrio describe el nacimiento o cambio de estabilidad de oscilaciones pequeñas. Sin embargo, no dice adónde llegará una órbita que recorra regiones distantes del equilibrio.

La continuación de órbitas periódicas en $a$ permite reconstruir el aumento de amplitud y localizar el segmento repulsor que organiza la transición. Hay que especificar la orientación del barrido y la estabilidad de los ciclos; un diagrama que marque únicamente máximos de $x$ puede ocultar ramas inestables e histéresis, si las hubiera en otra familia relacionada.

Explosión canard numérica de la familia $\varepsilon\dot x=y-x^3/3+x$, $\dot y=a-x$, para $\varepsilon=0{,}1$. El cambio más pronunciado en la malla utilizada aparece cerca de $a=0{,}9863$. Se muestran ciclos obtenidos por integración y el efecto de refinar el barrido. El intervalo sombreado es orientativo, no una estimación asintótica del ancho de la explosión.

107.10. Diferenciar Hopf, explosión canard y relajación

La bifurcación de Hopf es un mecanismo local que se produce cuando un par de autovalores complejos cruza el eje imaginario. Describe cómo cambia la estabilidad de un equilibrio y, bajo hipótesis adicionales, cómo surge una familia de ciclos pequeños. La oscilación de relajación, en cambio, se reconoce por su geometría de movimientos lentos separados por transiciones rápidas. La explosión canard enlaza, en determinados modelos, ambos regímenes mediante un tramo paramétrico muy delicado.

Estas nociones no son equivalentes. Un sistema puede presentar Hopf sin separación de escalas clara. Puede producir oscilaciones de relajación sin que el estudio experimental haya resuelto una explosión canard. También puede mostrar un aumento brusco de amplitud por un pliegue de ciclos, una colisión global o un cambio de atractor, sin seguimiento de una variedad repulsora. En esos casos, aplicar la etiqueta canard solo porque el dibujo recuerda un salto es una inferencia insuficiente.

El diagnóstico correcto pregunta qué estructura se pierde o atraviesa. En Hopf importan los autovalores y los términos no lineales del equilibrio. En un pliegue lento-rápido importa la pérdida de hiperbolicidad normal. En una explosión canard importa además la correspondencia fina entre variedades lentas atractoras y repulsoras y el retorno que produce los ciclos.

La diferencia tiene consecuencias para la extrapolación. Dos sistemas con curvas de amplitud parecidas pueden responder de manera distinta al ruido, a la velocidad de cambio del parámetro o a una perturbación transversal, porque sus geometrías de fase no son iguales.

107.11. Dos capas de escala cerca de los pliegues

Las potencias que describen el entorno singular dependen del campo lento. En el pliegue genérico del apartado 107.4, donde $\dot y$ conserva un valor distinto de cero, se obtiene una capa típica con $x=O(\varepsilon^{1/3})$ y $y=O(\varepsilon^{2/3})$. La dinámica reducida cruza el pliegue sin detenerse y surge un retraso antes del desplazamiento rápido.

En el sistema exactamente resoluble del apartado 107.5, en cambio, $\dot y=-x$ se anula en el propio pliegue. Entonces la estructura local admite escalas distintas. Una sustitución útil es $x=\varepsilon^{1/2}X$, $y=\varepsilon Y$ y $t=\varepsilon^{1/2}s$. En estas variables, las ecuaciones se transforman en

No aparece un factor pequeño en el sistema reescalado. La curva invariante especial se expresa sencillamente como $Y=X^2-1/2$. La modificación de las potencias se debe a que la velocidad lenta también se hace pequeña en la región singular.

La escala apropiada se obtiene identificando qué términos sobreviven en el punto crítico, equilibrando sus órdenes mediante un cambio de variables y delimitando el dominio válido de la expansión asintótica.

107.12. Canards máximos, intersecciones y unicidad

En una formulación geométrica, un canard máximo corresponde a una conexión entre las prolongaciones apropiadas de variedades lentas atractoras y repulsoras para un valor especial de los parámetros. La intersección organiza familias de trayectorias cercanas que siguen la rama repulsora durante distancias diferentes antes de separarse. En sistemas planos genéricos, obtener una conexión así suele requerir ajustar un parámetro, aunque hay modelos especiales con coincidencias exactas.

Las variedades lentas se definen por invariancia bajo el flujo y por continuidad con segmentos normalmente hiperbólicos de la variedad crítica. Cerca del pliegue, su continuación requiere técnicas específicas. Un método puramente local puede identificar un punto canard, pero la existencia de una órbita periódica grande exige además comprender cómo se cierra el retorno global.

Una conexión canard es distinta de una órbita homoclínica. Una homoclínica vuelve a un mismo equilibrio a lo largo de sus variedades estable e inestable. El canard que analizamos conecta tramos lentos mediante el paso cerca de una degeneración de la dinámica rápida. Ambos pueden organizar transiciones bruscas, pero su clasificación geométrica y sus condiciones matemáticas son diferentes. De ahí que el método de Melnikov, propio de las conexiones homoclínicas, no sirva para cualquier trayectoria que parezca recorrer una zona inestable.

107.13. Canards y oscilaciones de modo mixto

La geometría se vuelve más compleja cuando hay una variable rápida y dos lentas. La variedad crítica suele ser entonces una superficie plegada. Cerca de ciertas singularidades plegadas, las variedades lentas atractoras y repulsoras pueden organizar rotaciones pequeñas antes de una excursión de amplitud grande. Las series temporales correspondientes alternan oscilaciones pequeñas y grandes y reciben el nombre de oscilaciones de modo mixto.

Con dos variables lentas puede aparecer un nodo plegado, definido mediante la dinámica lenta desingularizada cerca de una superficie crítica plegada. Las regiones determinadas por sus variedades invariantes admiten trayectorias con diferente número de oscilaciones pequeñas.

Para que el patrón de modo mixto se sostenga hace falta, además del nodo plegado, que las trayectorias regresen a la región apropiada después de la excursión grande. El retorno global determina qué sector se visita en cada ciclo y qué secuencias de amplitudes persisten.

Estos mecanismos se han estudiado en modelos de actividad neuronal, osciladores químicos y otros sistemas biofísicos. Al trasladarlos a datos reales es necesario estimar qué variables corresponden a los grados de libertad rápidos y lentos y cómo se medirían.

107.14. Qué aporta el ejemplo neuronal y qué no permite inferir

Los modelos simplificados de excitabilidad suelen separar la variable del voltaje de membrana de una o varias variables de recuperación. La diferencia entre sus constantes de tiempo puede producir geometrías críticas curvas, bifurcaciones locales y excursiones rápidas. Algunos modelos extendidos muestran oscilaciones pequeñas seguidas de descargas amplias mediante mecanismos relacionados con canards y singularidades plegadas.

El interés científico está en explicar la serie de voltaje a partir del estado dinámico que la genera. Un incremento pronunciado de la amplitud ante una variación ligera de la corriente aplicada puede deberse a la ruta que sigue la trayectoria por el espacio de estados, sin ninguna discontinuidad biofísica. Aun así, una célula real tiene ruido, heterogeneidad de canales, variación de parámetros y efectos espaciales que pueden modificar o incluso impedir la observación de la estructura idealizada.

Una analogía con transiciones clínicas requiere distinguir la descripción fenomenológica de la identificación dinámica. Los cambios abruptos de síntomas, conducta o estados afectivos pueden describirse metafóricamente como transiciones de régimen. Afirmar, en cambio, que un episodio psiquiátrico concreto es una explosión canard exigiría variables de estado, escalas temporales, un modelo de dinámica causal y evidencia sobre variedades atractoras y repulsoras.

La misma prudencia se aplica a fenómenos ecológicos y de ingeniería. Un registro abrupto es una observación; la explosión canard es una explicación matemática particular. Cuanto más específico es el mecanismo propuesto, más exigente debe ser la prueba.

107.15. La simulación numérica puede perder lo más interesante

Un integrador explícito con paso fijo puede funcionar razonablemente bien sobre ramas lentas atractoras y fallar durante los saltos rápidos. La rigidez obliga a resolver variaciones con escalas muy distintas. Para buscar trayectorias próximas a variedades repulsoras se añade un segundo problema, porque los errores pequeños crecen con rapidez y pueden ocultar la conexión.

Para integrar el sistema puede usarse un método adaptativo adecuado a la rigidez de sus ecuaciones, acompañado por pruebas de tolerancia y de tamaño de paso. La continuación numérica de ciclos permite seguir ramas estables e inestables que una integración desde condiciones iniciales genéricas puede omitir. Cerca de una explosión canard, el barrido paramétrico debe concentrar puntos donde la amplitud cambia con rapidez y conservar información sobre la estabilidad de cada órbita calculada.

Encontrar una órbita con un método de contorno, mostrar que un integrador temporal la reproduce durante un número limitado de ciclos y demostrar que es estable frente a perturbaciones son tres resultados distintos. En particular, una curva periódica calculada por continuación puede ser matemáticamente legítima aunque ninguna trayectoria genérica permanezca en ella a largo plazo.

El ruido merece un análisis propio. Una fluctuación pequeña puede desplazar la trayectoria fuera del segmento repulsor antes de que complete su recorrido. En consecuencia, un experimento ruidoso puede mostrar una transición de amplitud menos nítida que la familia determinista ideal. Esa diferencia delimita el régimen de aplicación de la teoría sin invalidarla necesariamente.

107.16. Cómo investigar una transición de amplitud en datos o modelos

Una investigación defendible comienza identificando si hay al menos dos escalas temporales y una representación del estado suficiente para reconstruirlas. Si se conoce el sistema, se calcula la variedad crítica y se estudia la estabilidad transversal de sus ramas. Con datos observacionales, una variedad repulsora solo puede proponerse después de justificar una reconstrucción del estado y un modelo dinámico.

La caracterización cuantitativa requiere medir la amplitud de los ciclos, la duración del movimiento rápido y la extensión del seguimiento próximo a la región repulsora. Para una explosión canard, es especialmente informativo representar la familia de ciclos frente al parámetro con resolución creciente. También debe examinarse si la ubicación de la transición se mantiene al modificar tolerancias y métodos de integración.

El tercer paso es comparar hipótesis competidoras. Una bifurcación global puede cambiar la amplitud sin recorrido repulsor prolongado. La coexistencia de atractores puede producir saltos al variar las condiciones iniciales. El ruido puede inducir escapadas entre regiones metaestables. La hipótesis de canard gana apoyo cuando el retrato de fase, la estructura de escalas y el análisis de bifurcación concuerdan con la geometría propuesta.

El carácter abrupto de la transición puede cuantificarse con la pendiente de la amplitud frente al parámetro. Toda comparación debe declarar la escala empleada, el parámetro adimensional, el rango examinado y la incertidumbre de la estimación, porque la escala de los ejes puede exagerar visualmente una variación que es gradual en unidades físicas.

107.17. Ejercicios resueltos e integración

Ejercicio 1. Localizar las ramas atractoras de una variedad cúbica. Sea $\varepsilon\dot x=y-x^3/3+x$, con $y$ congelada en la capa. Los equilibrios rápidos cumplen $y=x^3/3-x$. La derivada de la dinámica de capa respecto de $x$ es $1-x^2$. Si $|x|>1$, es negativa y la rama es atractora; si $|x|<1$, positiva y es repulsora. En $x=\pm1$ se anula y ya no se puede aplicar directamente el criterio de hiperbolicidad normal. El resultado trata de la estabilidad transversal; el sentido de avance del flujo lento es otra cuestión.

Ejercicio 2. Verificar una conexión exacta. Para $\varepsilon\dot x=y-x^2$ y $\dot y=-x$, proponemos $x(t)=1-t/2$ y $y(t)=(1-t/2)^2-\varepsilon/2$. Al derivar, $\dot x=-1/2$ y $\dot y=-(1-t/2)=-x$. Además, $y-x^2=-\varepsilon/2=\varepsilon\dot x$. Ambas ecuaciones se satisfacen. La solución cruza $x=0$ en $t=2$ y continúa hacia la rama repulsora. La demostración es exacta, aunque nada dice sobre la estabilidad transversal global.

Ejercicio 3. Comparar dos escalas singulares. En el pliegue $\varepsilon\dot x=y-x^2$, $\dot y=-1$, buscamos $x\sim\varepsilon^\alpha$, $y\sim\varepsilon^\beta$ y $t\sim\varepsilon^\gamma$. El equilibrio de $y$ y $x^2$ exige $\beta=2\alpha$; la ecuación lenta da $\beta-\gamma=0$; la rápida exige $1+\alpha-\gamma=2\alpha$. Se obtiene $\alpha=1/3$, $\beta=\gamma=2/3$. La escala no es la misma en un punto donde $g=0$, porque cambian los términos dominantes.

Ejercicio 4. Interpretar una aparente explosión. Un modelo muestra amplitudes 0,10, 0,12, 0,15 y 2,4 al aumentar un parámetro. No disponemos del retrato de fase. ¿Puede afirmarse que hay una explosión canard? No. Los datos describen una variación fuerte de amplitud, compatible con mecanismos distintos. Para sostener la hipótesis es necesario examinar la separación de escalas, la estructura crítica, el seguimiento de una rama repulsora y la familia de órbitas en el intervalo paramétrico correspondiente.

Ejercicio 5. Distinguir un intervalo estrecho de un desplazamiento crítico. Supongamos que el valor de parámetro de un punto singular cambia como $\lambda_c(\varepsilon)=\lambda_0+c\varepsilon+O(\varepsilon^2)$, mientras que el tramo de crecimiento de amplitud tiene ancho $\Delta\lambda\sim e^{-K/\varepsilon}$. La primera fórmula describe la posición del centro crítico respecto de su límite; la segunda, una ventana de transición. Para $\varepsilon$ pequeño, el desplazamiento puede ser visible y la ventana prácticamente irresoluble con un barrido uniforme. No es legítimo reemplazar una magnitud por la otra.

107.18. Alcance geométrico del mecanismo canard

El rasgo más característico de una trayectoria canard es la permanencia transitoria cerca de una rama lenta repulsora. Esa permanencia depende de la disposición relativa de variedades invariantes y puede requerir un ajuste de parámetros extremadamente preciso. En familias apropiadas de osciladores lento-rápidos, cambios muy pequeños del control modifican la porción repulsora recorrida por el ciclo y producen una explosión de amplitud.

El modelo exactamente resoluble muestra que esa conexión atractora-repulsora es una propiedad geométrica comprobable. Van der Pol permite estudiarla dentro de una familia de oscilaciones, donde intervienen la singularidad del problema y la sensibilidad de la amplitud. En sistemas con más dimensiones, los canards plegados pueden participar en oscilaciones de modo mixto. Son mecanismos emparentados, pero distintos.

Una transición brusca de amplitud admite mecanismos alternativos al seguimiento de una rama repulsora. Una identificación mecanística de un canard exige reconstruir la geometría lenta-rápida, localizar la pérdida de hiperbolicidad y mostrar el seguimiento de los segmentos relevantes. La resolución del barrido numérico pesa especialmente, porque la ventana paramétrica puede ser mucho más estrecha que la resolución de un barrido ordinario.

Referencias

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