Acumulación de evidencia y modelos de difusión de decisiones

426.1. La decisión incluye una duración

Dos participantes pueden acertar en la misma proporción de ensayos y tardar tiempos distintos en responder. También pueden coincidir en el tiempo medio y diferir en cómo se distribuyen sus errores. Una explicación de las decisiones rápidas debe dar cuenta de la elección y de su duración a la vez, porque cada medida examinada por separado admite interpretaciones que la otra descarta. Los modelos de acumulación de evidencia proponen que la respuesta se emite cuando una variable interna, que integra información a lo largo del tiempo, alcanza una condición de terminación.

La pregunta se vuelve entonces operacional: qué propiedades de la información, de la preparación de la respuesta y del criterio de terminación explican conjuntamente la exactitud y los tiempos observados. El modelo de difusión ofrece una respuesta concreta para tareas con dos alternativas. Su variable de decisión fluctúa de manera continua, recibe una tendencia media que depende de la evidencia y desencadena la respuesta al cruzar uno de dos límites.

Ratcliff y McKoon (2008) presentan el modelo como un procedimiento para traducir la exactitud, los tiempos medios y las distribuciones de tiempos en componentes del procesamiento. Ratcliff, Smith, Brown y McKoon (2016) revisan su historia, sus aplicaciones y sus problemas abiertos. Ambas fuentes justifican el análisis de la distribución conjunta de elección y tiempo, pero ninguna autoriza a leer un parámetro ajustado como la medida directa de un proceso neuronal único. La correspondencia entre parámetros y procesos depende de la tarea y de las restricciones del ajuste, y requiere hipótesis de enlace que se contrastan por separado.

El ejercicio central emplea un proceso deliberadamente simple, con deriva constante, límites fijos y sin variabilidad de los parámetros entre ensayos. Las fórmulas que se obtienen son deducciones válidas para ese modelo didáctico, y las simulaciones comprueban que el código las reproduce. Las afirmaciones sobre la conducta humana son hipótesis que requieren datos, y cuando se citan hallazgos empíricos se indica su fuente. Las extensiones se tratan como cambios de hipótesis, porque toda flexibilidad añadida modifica a la vez las predicciones y la posibilidad de identificar los parámetros.

426.2. Definir el proceso y sus unidades

Sea una variable de evidencia que parte de cero y evoluciona según una ecuación diferencial estocástica. La deriva expresa el cambio medio por unidad de tiempo y el coeficiente de difusión fija la magnitud de las fluctuaciones. Los dos límites se sitúan a igual distancia del origen; el primer cruce del límite superior produce una respuesta y el primer cruce del inferior, la alternativa.

dX_t=v\,dt+\sigma\,dW_t,\qquad X_0=0,\qquad \tau=\inf\{t\geq0:|X_t|\geq a\}.

El tiempo se mide en segundos. La evidencia carece de unidad física y se adopta una convencional, de modo que la deriva se expresa en evidencia por segundo y la difusión en evidencia por raíz de segundo. El movimiento browniano aporta incrementos independientes cuya varianza crece en proporción a la duración del intervalo. En una discretización, por tanto, el ruido de cada paso se multiplica por la raíz cuadrada del intervalo. Multiplicarlo por el intervalo completo es un error frecuente con una consecuencia visible: al reducir el paso, la varianza acumulada tiende a cero y el proceso simulado pierde su componente aleatorio.

El tiempo de respuesta observado incluye además una constante positiva, el tiempo no decisorio, que reúne los procesos no representados por la acumulación. Suele interpretarse como la suma de codificación del estímulo y ejecución motora, aunque el modelo no separa ambas contribuciones.

RT=\tau+t_0.

Llamar «correcta» a la respuesta superior presupone saber qué estímulo se presentó. En los ejemplos, una deriva positiva favorece la alternativa superior y esa alternativa se considera la correcta. Con estímulos de ambos tipos caben dos codificaciones: invertir el signo de la deriva según el estímulo y hablar de límites correcto e incorrecto, o asociar cada límite a una tecla y registrar aparte el estímulo presentado. Solo la segunda permite estudiar sesgos hacia una respuesta, y mezclar ambas convenciones en un mismo análisis produce ajustes engañosos.

426.3. Probabilidad de elección y primer paso

La probabilidad de alcanzar el límite superior antes que el inferior, considerada como función de la posición inicial, satisface una ecuación diferencial ordinaria llamada ecuación retrospectiva. Vale cero si el proceso comienza en el límite inferior y uno si comienza en el superior. Entre ambos puntos, el término de difusión, que tiende a igualar la probabilidad con la de las posiciones vecinas, se equilibra con el de deriva, que la desplaza en la dirección de la tendencia media.

v p'(x)+\frac{\sigma^2}{2}p''(x)=0, \qquad p(-a)=0,\quad p(a)=1.

Para una posición inicial cualquiera y deriva no nula, la solución es

p(x)=\frac{1-\exp\!\left[-2v(x+a)/\sigma^2\right]}{1-\exp\!\left(-4va/\sigma^2\right)}.

Con inicio central adopta forma logística. Si la deriva es nula, la simetría da probabilidades iguales, y al aumentar la deriva positiva o la distancia a los límites crece la probabilidad de alcanzar el superior. Ambos cambios mejoran la exactitud, aunque producen efectos opuestos sobre la duración.

P_+=\frac{1}{1+\exp(-2va/\sigma^2)}.

La fórmula muestra por qué la exactitud es insuficiente como medida aislada. La probabilidad depende de la deriva, del umbral y de la escala del ruido solo a través de la combinación $va/\sigma^2$ , de modo que una misma proporción de aciertos es compatible con infinitos pares de deriva y umbral. La duración aporta una segunda restricción que, con tiempo no decisorio conocido, basta para separar ambos parámetros (sección 426.14). Si ese tiempo es desconocido o el modelo incluye más componentes, las equivalencias no desaparecen automáticamente.

Un desplazamiento de la posición inicial favorece una respuesta antes de que llegue evidencia alguna, mientras que una deriva sesgada añade una tendencia que actúa durante toda la acumulación. Ambos mecanismos pueden producir el mismo sesgo de elección en una condición y separarse cuando cambian la calidad del estímulo o el umbral. En uno de los experimentos que analizan Ratcliff y McKoon (2008), la proporción relativa de los dos estímulos se reflejaba tanto en la posición inicial como en la deriva. El caso resuelto del último capítulo del módulo retoma esta distinción.

426.4. Duración media y compromiso entre rapidez y exactitud

La duración media del primer paso satisface otra ecuación retrospectiva. El término constante del lado derecho expresa que cada unidad de tiempo transcurrida dentro del intervalo añade una unidad a la duración pendiente, y las condiciones de contorno indican que, una vez alcanzado un límite, no queda tiempo de decisión por transcurrir.

v m'(x)+\frac{\sigma^2}{2}m''(x)=-1, \qquad m(-a)=m(a)=0.

Para inicio central y deriva no nula, la media de decisión es:

\mathbb E[\tau]=\frac{a}{v}\tanh\left(\frac{av}{\sigma^2}\right).

Cuando la deriva tiende a cero la expresión adopta una forma indeterminada cuyo límite es finito, $a^2/\sigma^2$ . La aparente división por cero es un artificio de la representación, y una implementación debe tratar ese caso mediante el límite o un desarrollo en serie estable.

Con difusión unitaria, semiumbral unitario y deriva de 0,6, la probabilidad de alcanzar el límite superior es 0,769 y la duración media de decisión, 0,895 s. Con un tiempo no decisorio de 0,3 s, la media observada es 1,195 s. Son valores de un ejemplo sintético que no describen a ninguna población.

Cada parámetro deja una firma distinta en el par formado por exactitud y duración. Elevar el umbral mejora la exactitud y alarga la respuesta. Una reducción de la deriva también alarga la respuesta, pero empeora la exactitud. El tiempo no decisorio desplaza la duración sin alterar la elección. Por eso las predicciones deben comprobarse de manera conjunta: la lentitud por sí sola no indica cuál de los mecanismos cambió.

426.5. Una simulación con condiciones comparables

Se comparan cuatro condiciones con la misma estructura. La de referencia usa los valores anteriores; la segunda reduce la deriva a la mitad, la tercera eleva el semiumbral a 1,4 y la cuarta prolonga únicamente el tiempo no decisorio. La difusión se mantiene fija en uno, lo que define la escala de la evidencia.

Condición sintética	Deriva	Semiumbral	Tiempo no decisorio	Probabilidad superior exacta	Tiempo medio exacto
Referencia	0,60	1,00	0,30 s	0,768525	1,195083 s
Deriva reducida	0,30	1,00	0,30 s	0,645656	1,271042 s
Umbral elevado	0,60	1,40	0,30 s	0,842905	1,900221 s
Retraso no decisorio	0,60	1,00	0,60 s	0,768525	1,495083 s

Los valores de la tabla son analíticos. La simulación aproxima el proceso continuo con incrementos de un milisegundo, actualiza en cada paso solo las trayectorias que aún no han cruzado un límite y conserva la identidad de cada ensayo para registrar su respuesta y su duración.

Una semilla fija hace reproducibles los números, pero no convierte una muestra finita en la distribución exacta. Al error de Monte Carlo, que cambia con la semilla y disminuye con el número de ensayos, se suma el de discretización, que es sistemático porque el cruce puede ocurrir entre dos instantes de la rejilla y detectarse después. La sección 426.12 separa ambos errores.

El horizonte máximo de la simulación es una protección computacional: si algún ensayo no termina dentro de él, el programa se detiene en lugar de descartarlo en silencio, por razones que la sección 426.10 desarrolla para los datos reales.

426.6. Código y comprobaciones numéricas

El código reproduce las cuatro condiciones y compara la proporción de respuestas superiores y la duración media con sus valores analíticos. Las tolerancias admiten la variación de Monte Carlo y el retraso en la detección del cruce; son comprobaciones de coherencia del ejemplo, no una validación de precisión general. El horizonte se expresa en segundos para que un cambio del paso temporal no altere el plazo de censura.

import numpy as np
from scipy.special import expit


def simular(v, a, t0, semilla, n=12000, dt=0.001, sigma=1.0,
            horizonte=30.0):
    rng = np.random.default_rng(semilla)
    x = np.zeros(n)
    rt = np.full(n, np.nan)
    superior = np.zeros(n, dtype=bool)
    activos = np.arange(n)
    for paso in range(1, int(round(horizonte / dt)) + 1):
        x[activos] += v * dt + sigma * np.sqrt(dt) * rng.normal(
            size=len(activos)
        )
        cruzan = np.abs(x[activos]) >= a
        terminados = activos[cruzan]
        rt[terminados] = paso * dt + t0
        superior[terminados] = x[terminados] > 0
        activos = activos[~cruzan]
        if len(activos) == 0:
            break
    assert len(activos) == 0, "Hay tiempos censurados"
    return superior, rt


condiciones = [
    ("referencia", 0.6, 1.0, 0.3),
    ("deriva", 0.3, 1.0, 0.3),
    ("umbral", 0.6, 1.4, 0.3),
    ("no decisorio", 0.6, 1.0, 0.6),
]
for nombre, v, a, t0 in condiciones:
    elecciones, rt = simular(v, a, t0, 426)
    p = expit(2 * v * a)
    media = a / v * np.tanh(a * v) + t0
    assert abs(elecciones.mean() - p) < 0.02
    assert abs(rt.mean() - media) < 0.06
    print(nombre, elecciones.mean(), rt.mean(),
          np.quantile(rt, [0.1, 0.5, 0.9]))

c1, r1 = simular(0.6, 1.0, 0.3, 426)
c2, r2 = simular(1.8, 3.0, 0.3, 426, sigma=3.0)
assert np.array_equal(c1, c2)
assert np.allclose(r1, r2)

En la condición de referencia, con la semilla indicada, la proporción simulada de respuestas superiores es 0,780 y la duración media, 1,218 s, frente a 0,769 y 1,195 s en la tabla. Los cuantiles 0,1, 0,5 y 0,9 son 0,56, 1,00 y 2,19 s. La distancia entre el percentil diez y la mediana es mucho menor que la que separa la mediana del percentil noventa, reflejo de la cola derecha característica de estas distribuciones que una descripción basada solo en la media perdería.

Al aumentar el tiempo no decisorio, todos los cuantiles se desplazan exactamente 0,3 s, porque la misma semilla genera las mismas trayectorias. El aumento del umbral modifica también la dispersión: el intervalo entre los percentiles diez y noventa pasa de 1,63 s a 2,80 s. Esta diferencia ofrece un criterio útil cuando dos explicaciones producen una lentitud media parecida. Las dos últimas aserciones comprueban la invariancia de escala de la sección 426.8: al multiplicar deriva, umbral y difusión por tres con los mismos números aleatorios, las elecciones coinciden y los tiempos difieren, como mucho, por redondeo.

426.7. Lo que enseñan las distribuciones completas

La distribución de los tiempos de primer paso presenta un ascenso inicial y una cola larga hacia la derecha. Las respuestas muy rápidas son raras porque la variable necesita recorrer cierta distancia antes de tocar un límite, y las tardías corresponden a trayectorias que fluctúan más tiempo dentro del intervalo.

En el modelo básico con inicio central y parámetros constantes, las distribuciones temporales condicionadas a cada límite son idénticas. Es una deducción: la razón entre las densidades de primer paso en uno y otro límite es $\exp(2va/\sigma^2)$ , una constante que no depende del tiempo. En la simulación de referencia las medias condicionadas fueron 1,216 s para las respuestas superiores y 1,226 s para las inferiores, una diferencia compatible con el error de muestreo que no debe leerse como propiedad teórica.

Los datos empíricos rara vez cumplen esa igualdad. Ratcliff y McKoon (2008) recuerdan que los primeros modelos de paseo aleatorio con límites equidistantes predecían tiempos iguales para aciertos y errores, algo que los datos contradecían casi siempre, y que suponer una deriva variable entre ensayos permitió predecir errores más lentos. El mecanismo es una mezcla: los ensayos con deriva alta son rápidos y rara vez terminan en error, mientras que los de deriva baja son lentos y aportan la mayor parte de los errores. La variabilidad de la posición inicial produce el efecto contrario, porque los procesos que parten cerca del límite incorrecto lo alcanzan con más probabilidad y antes. Ratcliff y colaboradores (2016) describen el patrón habitual, con errores más lentos cuando la tarea es difícil y se privilegia la exactitud y más rápidos cuando es fácil y se privilegia la rapidez. Mencionan también los límites que colapsan y las señales de urgencia como explicaciones alternativas de los errores lentos, menos contrastadas.

Esas extensiones tienen un costo. Lerche, Voss y Nagler (2017) encontraron en simulaciones que la variabilidad de la deriva y la de la posición inicial se recuperaban mal incluso en las condiciones más favorables que examinaron, de modo que conviene comprobar que los datos contienen información suficiente antes de interpretar esos parámetros.

La evaluación del ajuste compara cuantiles por tipo de respuesta y condición, además de la proporción de elecciones. Si un modelo reproduce los cuantiles centrales pero falla en las colas, conviene localizar la discrepancia antes de añadir flexibilidad. En condiciones de alta exactitud, los cuantiles de error se estiman con pocos datos y deben representarse con sus intervalos.

426.8. Invariancia de escala y parámetros identificables

La unidad de la evidencia es convencional. Si se multiplican deriva, difusión, umbral y posición inicial por una misma constante positiva, la trayectoria resultante es la original multiplicada por esa constante, cruza los límites en los mismos instantes y produce las mismas elecciones.

(v,a,\sigma,X_0)\longrightarrow(cv,ca,c\sigma,cX_0).

Por consiguiente, elecciones y tiempos no permiten estimar todas las escalas a la vez, y hay que fijar una convención, habitualmente el valor de la difusión. Las convenciones no son uniformes. Navarro y Fuss (2009) recuerdan que Ratcliff fijó la difusión en 0,1 desde su formulación de 1978, valor que el método EZ de Wagenmakers, van der Maas y Grasman (2007) adopta por omisión, mientras que Navarro y Fuss trabajan con difusión unitaria. Muchas formulaciones sitúan además los límites en cero y en una separación total; aquí son simétricos en torno a cero, y la separación total equivale al doble del semiumbral. Comparar estimaciones de programas distintos sin convertir ambas escalas genera diferencias artificiales.

Fijar la escala resuelve una indeterminación estructural, pero subsisten compensaciones prácticas. Un tiempo no decisorio mayor deja menos duración atribuible a la acumulación, y el ajuste puede compensarlo modificando el umbral o la deriva. La distribución completa restringe esas compensaciones más que la media, en una medida que depende del número de ensayos y del diseño.

Los estudios de recuperación deben incluir combinaciones cercanas a las esperadas, porque simular solo casos favorables oculta las dificultades de la alta exactitud o de la censura. Lerche y colaboradores (2017) observaron que la recuperación mejoraba con rendimientos decrecientes al aumentar los ensayos y que la separación de los límites requería más ensayos que la deriva o el tiempo no decisorio, conclusiones ligadas a los métodos que compararon.

Una correlación alta entre valores generadores y recuperados tampoco basta, porque puede coexistir con sesgo sistemático o con una escala equivocada; las comprobaciones deben incluir errores absolutos, cobertura de los intervalos y dependencias entre estimaciones.

426.9. Ajustar elecciones y tiempos conjuntamente

La contribución de cada ensayo a la verosimilitud depende de la respuesta y de su duración. Se expresa mediante la densidad conjunta de primer paso en el límite observado, cuya integral sobre el tiempo es la probabilidad de esa respuesta. Una densidad temporal condicionada a la elección debe multiplicarse por la probabilidad de la elección; omitir ese factor descarta la información sobre exactitud.

\log L(\theta)=\sum_i\log f_{c_i}(RT_i-t_0\mid\theta), \qquad RT_i>t_0.

La restricción del lado derecho tiene una consecuencia práctica. Una sola respuesta más breve que el tiempo no decisorio anula la verosimilitud, de modo que el ajuste empuja ese parámetro por debajo de la respuesta más rápida y queda expuesto a las respuestas anticipatorias.

La densidad de primer paso del proceso simple se expresa mediante series infinitas. Navarro y Fuss (2009) mostraron que existen dos desarrollos, uno de convergencia rápida para tiempos pequeños y otro para tiempos grandes, y derivaron cotas de error que indican cuál usar; en sus cálculos no se necesitaron más de ocho términos. Una probabilidad muy pequeña puede además redondearse a cero y producir una logverosimilitud infinita, por lo que conviene trabajar en escala logarítmica con implementaciones contrastadas. El simulador de este capítulo ilustra el proceso generador y no es un estimador de máxima verosimilitud.

Las predicciones deben evaluarse en ensayos o condiciones reservados. Si la estrategia cambia durante la sesión, una partición aleatoria mezcla estados próximos entre entrenamiento y prueba, y una división por bloques puede ser más adecuada.

Los parámetros compartidos entre condiciones son restricciones con contenido científico. Suponer que al variar la dificultad solo cambia la deriva produce una predicción más exigente que permitir variar todos los parámetros, pero esa restricción necesita justificación, porque la dificultad puede afectar también la preparación o la atención. Lo razonable es comparar alternativas plausibles y examinar dónde se concentran las discrepancias.

El mejor ajuste dentro de una familia no demuestra que la acumulación continua sea el mecanismo real, porque otros modelos de muestreo secuencial, como los que asignan un acumulador independiente a cada alternativa, reproducen patrones similares. Rae y colaboradores (2014) obtuvieron conclusiones concordantes con el modelo de difusión y con el acumulador balístico lineal, lo que refuerza su hallazgo sin decidir entre ambas arquitecturas. Esa decisión requiere predicciones divergentes y observaciones no usadas en el ajuste.

426.10. Plazos, contaminantes y selección de ensayos

Un plazo de respuesta produce datos censurados. Para un ensayo que no terminó, la contribución correcta a la verosimilitud es la probabilidad de que el proceso permanezca entre los límites hasta el plazo. Codificarlo como error confunde la ausencia de decisión con el cruce del límite equivocado, y eliminarlo sesga la distribución hacia las duraciones cortas.

Las respuestas anticipatorias requieren una definición explícita, porque pueden provenir de otro mecanismo, como una pulsación preparada o accidental. Ratcliff y Tuerlinckx (2002) propusieron examinar la exactitud de las respuestas más rápidas y tratarlas como adivinaciones solo si, por debajo de cierto tiempo, esa exactitud queda en el nivel del azar. Para los contaminantes que permanecen dentro de los cortes, representaron los datos como una mezcla del proceso de difusión con una distribución uniforme de proporción estimada. En sus simulaciones, la máxima verosimilitud fue el mejor método sin contaminantes y podía fallar de manera marcada cuando estos se ignoraban, mientras que la corrección explícita recuperaba razonablemente los demás parámetros, aunque no de forma exacta. Lerche y colaboradores (2017) añadieron que, con contaminantes rápidos, el criterio de Kolmogorov-Smirnov fue más robusto que la máxima verosimilitud.

Un componente de mezcla es útil siempre que sus parámetros puedan estimarse y que no absorba cualquier discrepancia inconveniente. Los criterios de exclusión deben fijarse antes de examinar los efectos principales, porque un umbral temporal ajustado después de ver las diferencias entre condiciones puede alterarlas. Conviene informar cuántos ensayos se excluyen y comprobar la sensibilidad de las conclusiones a criterios alternativos defendibles.

Las latencias del equipo de presentación y registro también entran en el tiempo medido. Un retraso constante se confunde con el tiempo no decisorio y una variabilidad instrumental ensancha la distribución observada. Algo parecido ocurre con la dependencia entre ensayos: si una respuesta previa modifica el punto de partida o el criterio del ensayo siguiente, un modelo que trata los ensayos como independientes la absorbe como variabilidad aparente. Cuando el efecto secuencial forma parte de la pregunta, debe modelarse o evaluarse con predicciones condicionadas a la historia.

426.11. Manipulaciones experimentales y ambigüedad causal

Las instrucciones que enfatizan la rapidez o la exactitud se usan con frecuencia para estudiar cambios del umbral, una interpretación plausible que no debe imponerse como identidad. En su experimento sobre instrucciones, Ratcliff y McKoon (2008) permitieron que el tiempo no decisorio difiriera entre condiciones, y los valores ajustados se separaron solo en unos 6 ms. Ratcliff y colaboradores (2016) resumen que estos efectos suelen explicarse por cambios del umbral con modificaciones mucho menores del tiempo no decisorio, y que una exigencia extrema de rapidez puede reducir la deriva. Rae y colaboradores (2014) pusieron a prueba el supuesto de influencia selectiva en tareas de discriminación de brillo, decisión léxica y reconocimiento, y con ambos modelos el énfasis en la rapidez redujo el umbral y también la deriva. Los autores advierten que la deriva confunde una acumulación de mejor calidad con una más veloz, de modo que leerla como pérdida de calidad de la evidencia es una interpretación.

Una manipulación de la dificultad sensorial ofrece otro contraste. La hipótesis restringida predice una deriva menor con los demás componentes constantes, y esa predicción abarca la exactitud y la forma de la distribución temporal. Ratcliff y McKoon (2008) informan que en sus datos la dificultad afectaba poco al borde inicial de la distribución y mucho a su cola, un patrón que el modelo reproducía. Una caída de exactitud sin ese patrón cuestionaría la explicación restringida o su adecuación a la tarea.

Los incentivos asimétricos pueden alterar la posición inicial, el criterio con que se interpreta la evidencia o los límites de respuesta. Para distinguir esas posibilidades conviene emplear varios niveles de evidencia y examinar cómo cambia el sesgo a lo largo de ellos, porque un único estímulo ambiguo deja demasiadas explicaciones equivalentes.

Los registros fisiológicos pueden añadir información si se dispone de una ecuación de observación que relacione la señal con la variable del modelo. Una actividad que crece antes de la respuesta puede reflejar preparación motora, urgencia u otro proceso correlacionado, y no identifica por sí misma la variable de difusión. Ratcliff y colaboradores (2016) presentan los vínculos entre tasas de disparo neuronal o señales electroencefalográficas y los procesos de difusión como relaciones cualitativas o hipótesis de enlace, y advierten que la correspondencia entre trayectorias de movimiento y acumulación de evidencia difícilmente es tan directa como suele suponerse.

En todos estos casos, los efectos esperados deben fijarse antes de observar los datos. Si después del experimento se admite cambiar cualquier parámetro en cualquier dirección, la explicación deja de ser refutable.

426.12. Precisión numérica y convergencia del simulador

El algoritmo detecta cruces solo en los puntos de la rejilla. Una trayectoria puede cruzar un límite y volver al interior entre dos puntos observados, de modo que la simulación discreta se comporta como si los límites estuvieran algo más lejos que en el proceso continuo. Para el movimiento browniano observado a intervalos regulares, Broadie, Glasserman y Kou (1997) derivaron una corrección de continuidad que desplaza la barrera hacia afuera en $\beta\sigma\sqrt{\Delta t}$ , con $\beta\approx0{,}5826$ . El resultado se obtuvo para una sola barrera; aplicarlo a los dos límites es una aproximación cuya calidad se comprueba aquí empíricamente.

El bloque siguiente, que se ejecuta después del anterior, promedia cinco semillas con dos pasos temporales y compara el resultado con las fórmulas exactas evaluadas en el semiumbral corregido.

beta = 0.5826
for dt in (0.001, 0.0001):
    ps, ms = [], []
    for semilla in range(1000, 1005):
        c, r = simular(0.6, 1.0, 0.3, semilla, dt=dt)
        ps.append(c.mean())
        ms.append(r.mean())
    a_ef = 1.0 + beta * np.sqrt(dt)
    print(dt, np.mean(ps), np.mean(ms), np.std(ms, ddof=1),
          expit(2 * 0.6 * a_ef), a_ef / 0.6 * np.tanh(0.6 * a_ef) + 0.3)

Con un paso de un milisegundo, la duración media simulada es 1,222 s y la proporción superior, 0,771; las fórmulas con el umbral corregido dan 1,225 s y 0,772, y las exactas sin corrección, 1,195 s y 0,769. Con un paso diez veces menor, la media baja a 1,205 s, frente a 1,204 s de la fórmula corregida. El exceso de unos 27 ms con el paso de un milisegundo es, por tanto, un sesgo sistemático, ya que la desviación típica de la media entre semillas fue de unos 7 ms. En la proporción, el sesgo previsto, de unas cuatro milésimas, es comparable al error de Monte Carlo de una muestra de 12.000 ensayos, y la diferencia de 0,011 observada con la semilla 426 se debe en su mayor parte a la variación de muestreo.

La rejilla de un milisegundo basta para el contraste pedagógico, cuyos efectos son de cientos de milisegundos. Distinguir diferencias del orden del sesgo exigiría un paso menor, la corrección de continuidad o métodos que no dependan de la rejilla; al comparar resoluciones, agregar los incrementos de una rejilla fina para construir la gruesa da comparaciones más precisas que usar muestras independientes.

La simulación debe registrar su horizonte máximo y la proporción de trayectorias no terminadas. Si el horizonte se fijara en número de pasos, reducir el paso a una décima de milisegundo lo acortaría de 30 s a 3 s y la comprobación de censura detendría el programa ya en la condición de referencia. Expresarlo en segundos mantiene constante la definición estadística de la censura.

Estas pruebas cubren medias, probabilidades y una invariancia de escala, pero no garantizan la precisión de todos los cuantiles. Validar una implementación destinada a la estimación exigiría contrastar también densidades, probabilidades acumuladas y casos extremos con métodos independientes.

426.13. Lectura responsable de diferencias individuales

El modelo de difusión se ha empleado como instrumento psicométrico en la investigación clínica para estudiar diferencias individuales (Ratcliff et al., 2016), una aplicación que exige cautela con cada parámetro. Una deriva menor describe cómo el modelo representa una ejecución menos informativa en una tarea concreta. Atribuirla a un déficit estable requiere evidencia sobre fiabilidad, especificidad y relación con otras medidas.

Un umbral mayor puede reflejar una estrategia adaptativa cuando los errores son costosos. Interpretarlo como alteración exige conocer los incentivos y las instrucciones, porque el mismo valor puede ser apropiado en una situación e ineficiente en otra. Ratcliff y McKoon (2008) ilustran el punto con el envejecimiento: en los estudios que revisan, los adultos mayores situaban sus criterios de decisión más lejos del punto de partida que los jóvenes, mientras que su deriva no era significativamente peor en la mayoría de las tareas.

El tiempo no decisorio agrupa componentes heterogéneos. Una diferencia en ese parámetro no localiza por sí sola una etapa perceptiva o motora, y separarlas requiere medidas adicionales o manipulaciones específicas. El modelo es, en suma, una herramienta para diseñar contrastes entre elección y duración, siempre que las conclusiones permanezcan ligadas a sus supuestos y a los datos disponibles.

426.14. Un problema inverso con solución explícita

Supongamos conocidos la difusión y el tiempo no decisorio, con inicio central y parámetros constantes entre ensayos. La proporción de respuestas superiores determina el producto de deriva y umbral en unidades de difusión, y la duración media de decisión aporta una segunda relación que permite reconstruir ambos, con incertidumbre si las medidas provienen de una muestra finita. Se define primero una cantidad auxiliar a partir de la probabilidad de elección; con ella y la duración media se despeja el umbral, y después la deriva:

k=\frac12\log\frac{P_+}{1-P_+}=\frac{va}{\sigma^2}, \qquad a^2=\frac{\sigma^2\,\mathbb E[\tau]\,k}{\tanh k}, \qquad v=\frac{k\sigma^2}{a}.

Con los valores exactos de la condición de referencia se recuperan el semiumbral unitario y la deriva de 0,6. El resultado no vuelve innecesario el análisis de distribuciones completas, porque descansa en supuestos fuertes que pueden fallar sin que las dos medidas resumidas lo revelen: un modelo con variabilidad entre ensayos puede generar los mismos resúmenes con distribuciones distintas.

Si el tiempo no decisorio es desconocido, la duración media puede repartirse de muchas maneras entre acumulación y procesos adicionales, y cada reparto produce otro par de deriva y umbral compatible con las dos medidas. El método EZ de Wagenmakers, van der Maas y Grasman (2007) resuelve esa indeterminación con una tercera medida, la varianza de los tiempos de las respuestas correctas, y obtiene en forma cerrada deriva, separación de límites y tiempo no decisorio. Sus supuestos son equivalentes a los de este ejercicio, con posición inicial centrada y sin variabilidad entre ensayos, aunque usa difusión igual a 0,1 y límites en cero y en la separación total.

Cerca de una probabilidad de elección igual a la mitad, la cantidad auxiliar tiende a cero y la expresión del umbral debe evaluarse mediante su límite. En el extremo opuesto, una muestra sin errores conduce a una probabilidad estimada igual a uno, cuyo logaritmo diverge. Wagenmakers y colaboradores (2007) advierten que su método no funciona cuando la proporción de aciertos vale 0, 0,5 o 1, y para la exactitud perfecta proponen sustituirla por $1-1/(2n)$ , lo que equivale a contabilizar medio error. Una estimación regularizada o una verosimilitud completa cumplen la misma función. La ausencia de errores en una muestra finita es una restricción probabilística sobre la deriva y no indica que esta sea infinita.

426.15. Cuánta información aporta una condición

Una condición muy fácil produce respuestas rápidas y casi siempre correctas. Informa sobre algunos componentes del modelo, pero ofrece pocas observaciones en el límite incorrecto. Una condición muy difícil equilibra más las elecciones, aunque puede requerir muchos ensayos para distinguir cambios pequeños de deriva.

La incertidumbre de la proporción se propaga de forma no lineal hacia los parámetros. La cantidad auxiliar de la sección anterior es la mitad del logit de la proporción, cuya derivada crece sin cota cuando la proporción se acerca a cero o a uno. Cerca de los extremos, un cambio pequeño en la proporción corresponde a un cambio grande en el producto de deriva y umbral, asimetría que el error estándar de la proporción no muestra.

Añadir condiciones de dificultad permite observar cómo se desplaza la distribución al cambiar la evidencia, y si el umbral se supone compartido, cada condición contribuye a restringirlo. La ganancia depende de que el supuesto sea razonable. Cuando el participante ajusta su criterio al anticipar la dificultad, un umbral común obliga a que las derivas estimadas compensen una estrategia omitida. Intercalar las condiciones reduce esos ajustes anticipados y presentarlas por bloques permite estudiarlos; cada organización plantea una pregunta distinta, y el modelo debe representar la información que el participante tenía antes del estímulo.

La simulación permite comparar diseños con el mismo número total de ensayos según la pregunta. Si esta concierne a un cambio de umbral, conviene optimizar esa comparación y comprobar que la incertidumbre de otros componentes no la vuelve ambigua.

426.16. Un contraste que puede fallar de manera informativa

Supongamos que una intervención aumenta el tiempo medio sin modificar la exactitud. Una primera hipótesis lo atribuye a un retraso no decisorio constante, que predice un desplazamiento uniforme de todos los cuantiles y deja intactas las distancias entre percentiles. No basta con que reproduzca el aumento de la media.

Una segunda hipótesis combina un aumento del umbral con una reducción de la deriva que mantiene constante su producto y, con él, la probabilidad de elección. Si el semiumbral se multiplica por un factor $c$ y la deriva se divide por el mismo factor, un cambio de escala temporal muestra que el tiempo de decisión queda multiplicado exactamente por $c^2$ en distribución, y con él todas las distancias entre cuantiles. En el ejemplo de referencia, un aumento de 0,2 s en la media se obtiene con $c^2\approx1{,}22$ , y la distancia entre los percentiles diez y noventa pasaría de unos 1,63 s a cerca de 2,0 s, mientras que bajo la primera hipótesis no cambiaría. Las dos explicaciones coinciden en exactitud y media y se separan en la dispersión.

La comparación debe formularse antes de examinar los cuantiles reservados. Un criterio sencillo es la diferencia entre los percentiles noventa y diez por condición; otro, la densidad conjunta completa, que aprovecha más información si su evaluación numérica es fiable. En ambos casos hay que cuantificar la incertidumbre de la diferencia observada.

Si los datos muestran un desplazamiento de los cuantiles centrales junto con un cambio limitado a la cola extrema, quizá ninguna hipótesis baste y exista una mezcla de retraso no decisorio y lapsos ocasionales. Ese fracaso es informativo, porque localiza la parte de la conducta que queda sin explicar.

La incertidumbre del contraste debe evaluarse respetando la unidad de muestreo. Reunir ensayos de muchos participantes como si procedieran de una sola persona genera una distribución ancha por heterogeneidad entre sujetos, aunque cada uno siga un proceso sencillo. Una comparación individual o un modelo jerárquico separa esa heterogeneidad de la variación entre ensayos, y la elección depende de si se pretende explicar a una persona, estimar un efecto poblacional o predecir una sesión futura.

Referencias

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