Control cerebral: objetivos, energía y restricciones del modelo

427.1. Qué significa controlar una red cerebral modelada

Controlar una red consiste en elegir entradas que lleven sus estados por una evolución deseada bajo una dinámica especificada. Aplicar esta definición a una representación del cerebro obliga a decidir qué representan los nodos, qué magnitudes forman el estado y por qué vía una entrada externa modifica esas magnitudes. Una matriz de conexiones no contesta por sí sola ninguna de esas preguntas.

La teoría de control permite estudiar si una transición es alcanzable, cuánto cuesta y cuán sensible es a los parámetros. Esas propiedades pertenecen al sistema matemático definido. Que el sistema pueda conducirse hacia un vector objetivo no demuestra que exista una intervención fisiológica capaz de lograrlo, ni que ese vector corresponda a una mejoría clínica. Cada correspondencia entre modelo, fisiología y clínica requiere validación propia.

Gu y colaboradores (2015) aplicaron estas herramientas a redes estructurales obtenidas por tractografía de difusión, con un modelo lineal en tiempo discreto, invariante y sin ruido, y propusieron que distintas regiones cumplen papeles de control diferentes según la topología de la red. El trabajo abrió una línea de investigación amplia y una controversia metodológica revisada en la sección 427.4. Tang y Bassett (2018) revisaron después el campo y señalaron como problema abierto el paso a dinámicas no lineales.

El capítulo trabaja con una red sintética de dos nodos: se calcula la entrada que alcanza exactamente un objetivo, se verifica su costo y después se impone un límite de amplitud. El contraste separa una solución matemática sin restricciones de una intervención admisible bajo un límite concreto. Ninguna cifra del ejemplo describe un cerebro: todas describen el sistema que el propio capítulo define.

427.2. Estado, conectividad y ecuación de movimiento

Considérese una aproximación lineal en tiempo continuo. La matriz dinámica describe cómo el estado actual contribuye a su propio cambio, y la matriz de entrada indica sobre qué nodos actúa el control y con qué ganancia. El estado puede representar una desviación respecto de un punto de operación, de modo que un valor negativo no tiene por qué corresponder a actividad física negativa.

En una aplicación cerebral, los elementos de una matriz obtenida mediante tractografía no son automáticamente coeficientes de esta ecuación. La conectividad anatómica restringe las interacciones posibles, pero las ganancias efectivas, los retardos y los términos locales exigen decisiones adicionales. La estabilización es un ejemplo. Gu y colaboradores (2015) dividieron la matriz por el peso medio de las aristas; Stiso y colaboradores (2019), con un modelo continuo, la dividieron por su mayor autovalor y le restaron la identidad. Karrer y colaboradores (2020) mostraron que la constante de normalización fija la rapidez con que el sistema se estabiliza y que valores muy distantes de esa constante dan resultados poco concordantes. La transformación forma parte de la dinámica supuesta y debe informarse.

Para el ejemplo se define directamente una matriz estable, sin atribuirla a ningún conectoma:

Sus autovalores son −0,6 y −1,2, reales y negativos, de modo que sin entrada las desviaciones se amortiguan. Los acoplamientos son asimétricos: el coeficiente que transmite la influencia del primer nodo al segundo vale 0,2, la mitad del que la transmite en sentido inverso. Esta elección explicará por qué actuar sobre uno u otro nodo produce costos distintos. Las matrices derivadas de tractografía, en cambio, suelen ser simétricas, porque la difusión no informa la dirección de las fibras.

Las unidades son convencionales. El tiempo del modelo no se convierte en segundos sin calibración, y las entradas no representan intensidad eléctrica. Stiso y colaboradores (2019) reconocen ambas limitaciones en su propio modelo, donde un parámetro libre escala la entrada a las unidades del estado, y advierten que la relación entre corriente y actividad depende, entre otros factores, de la orientación de las células y de su proximidad al electrodo.

427.3. Definir una transición y un costo

El sistema parte del origen y debe alcanzar un estado objetivo al final de un horizonte unitario. El segundo nodo debe subir una unidad mientras el primero termina en cero. La exigencia sobre ambas componentes importa, porque estimular el segundo nodo desplaza también el primero a través del acoplamiento.

Se penaliza la integral del cuadrado de la entrada, criterio que reparte el esfuerzo en el tiempo y que, bajo supuestos lineales, admite solución analítica. Aquí «energía» designa un costo cuadrático de control. No equivale a consumo metabólico ni a energía eléctrica medida en julios.

Una aplicación puede requerir una matriz que asigne costos distintos a canales distintos, o un costo que penalice el recorrido además del destino. Gu y colaboradores (2017) minimizaron, a lo largo de la trayectoria, la suma de la distancia al estado objetivo y del cuadrado de la entrada multiplicado por un parámetro de ponderación; la energía mínima aparece como caso límite cuando ese parámetro crece sin cota (Karrer et al., 2020). Llegar al objetivo atravesando estados peligrosos sería inadmisible aunque la energía cuadrática fuera pequeña, de modo que elegir el costo equivale a decidir qué se tolera durante la transición.

El objetivo tampoco representa la salud. Un patrón de actividad asociado a una condición favorable puede depender del contexto y no ser causa suficiente de ella. La utilidad de una transición requiere una relación validada entre estado modelado, funcionamiento y resultado relevante para la persona.

427.4. Alcanzabilidad y matriz de controlabilidad

En un sistema lineal de dimensión finita, la matriz formada por la matriz de entrada y sus transformaciones sucesivas por la dinámica permite evaluar la controlabilidad (criterio de Kalman). Si tiene rango completo, cualquier estado final puede alcanzarse desde cualquier estado inicial en cualquier horizonte positivo, mediante alguna entrada sin límites de amplitud y bajo los supuestos del modelo.

En la red de dos nodos, actuar solo sobre el primero corresponde a una columna de entrada con componente superior unitaria e inferior nula. La segunda columna de la matriz de controlabilidad, (−1; 0,2), contiene el efecto de la propagación por la red. Como el acoplamiento hacia el segundo nodo no es nulo, ambas columnas son linealmente independientes. Lo mismo ocurre al actuar sobre el segundo nodo.

El resultado es binario y nada dice sobre la magnitud de la entrada que exige una transición concreta. Si el acoplamiento se hace muy pequeño, el rango puede seguir completo mientras el costo crece considerablemente. Pasqualetti, Zampieri y Bullo (2014) formalizaron esta tensión: en redes estables y simétricas, con un número fijo de nodos de control, la energía necesaria crece exponencialmente con el tamaño de la red, mientras que controlar una fracción fija de los nodos puede mantenerla acotada en ciertas clases de redes.

La discusión sobre el trabajo de Gu y colaboradores muestra por qué la propiedad binaria no basta. Esos autores informaron que el menor autovalor del gramiano con un solo nodo de control era positivo, con media de 2,5 × 10⁻²³, frente a autovalores mayores iguales o superiores a uno. Concluyeron que la red era teóricamente controlable desde una sola región, aunque extremadamente difícil de controlar en la práctica, y que esos valores no se reproducían entre sesiones. Tu y colaboradores (2018) sostuvieron que tales autovalores no se distinguen estadísticamente de cero, de modo que la controlabilidad desde un único nodo no puede inferirse por esa vía numérica; no afirmaron que las redes fueran incontrolables con varios nodos. Siguieron una réplica de Pasqualetti, Gu y Bassett (2019) y una contrarréplica de Suweis y colaboradores (2019), según cuyo resumen la réplica admitió que la evaluación numérica de la controlabilidad suele conducir a problemas mal condicionados.

Con una tolerancia dada, una matriz casi singular puede clasificarse como de rango completo o deficiente según la escala y la precisión del cálculo, y un autovalor de 10⁻²³ no admite la misma lectura que uno de 10⁻². Por eso conviene informar junto con la propiedad algebraica los valores que describen su condicionamiento, la energía y la sensibilidad.

427.5. El gramiano como descripción de direcciones accesibles

La solución de la ecuación de estado separa la evolución libre del efecto acumulado de la entrada. El gramiano de controlabilidad resume cómo se propagan los canales de entrada por la dinámica a lo largo del horizonte. Es simétrico y semidefinido positivo; en un sistema lineal invariante es definido positivo para todo horizonte positivo si, y solo si, el sistema es controlable.

Sus autovectores definen direcciones del espacio de estados. Con energía unitaria, el desplazamiento alcanzable en cada dirección es proporcional a la raíz cuadrada del autovalor correspondiente, de modo que una dirección asociada a un autovalor pequeño exige más esfuerzo. La orientación del objetivo respecto de esas direcciones importa tanto como su magnitud.

La traza del gramiano es la suma de sus autovalores. Gu y colaboradores (2015) la adoptaron como medida de «controlabilidad promedio», aunque señalaron que la energía media para alcanzar objetivos distribuidos uniformemente es proporcional a la traza de la inversa. Prefirieron la traza directa porque, según argumentaron, ambas guardan una relación inversa y porque el gramiano estaba tan mal condicionado que su inversa no podía calcularse con exactitud. Las dos cantidades no son intercambiables: la traza está dominada por los autovalores grandes y la traza de la inversa por los pequeños, que gobiernan las transiciones difíciles. Ninguna equivale al costo de una transición específica, y dos nodos pueden recibir puntuaciones similares y requerir energías muy distintas para un objetivo particular.

Tu y colaboradores (2018) reprodujeron en redes aleatorias, sin semejanza biológica con el cerebro, la misma relación entre grado ponderado y controlabilidad promedio o modal descrita en conectomas, lo que impide tomarla como evidencia de una organización específicamente cerebral. Karrer y colaboradores (2020) mostraron que el horizonte, la normalización, la formulación en tiempo discreto o continuo y la ponderación de las aristas modifican las métricas; la energía mínima fue la menos concordante entre ambas formulaciones temporales con horizontes cortos. La distribución de objetivos que interesa al estudio decide qué resumen es pertinente.

427.6. Entrada de energía mínima

Sea la diferencia entre el objetivo y el estado al que llevaría la evolución libre. Si el gramiano es invertible, la entrada de menor costo cuadrático tiene una expresión cerrada, que propaga hacia atrás en el tiempo el objetivo ponderado por la inversa del gramiano.

Entre todas las entradas que llevan el efecto acumulado exactamente a la discrepancia final, la fórmula elige la de menor norma cuadrática. Las direcciones difíciles de alcanzar reciben un peso grande al aplicar la inversa del gramiano, lo que explica la sensibilidad de la solución cuando algún autovalor es muy pequeño.

En cálculo numérico conviene resolver un sistema lineal en lugar de formar la inversa. Ambas operaciones coinciden en aritmética exacta, pero la resolución directa suele acumular menos error de redondeo. La sensibilidad de un sistema mal condicionado pertenece al problema, y ninguna técnica de resolución la elimina.

La entrada así obtenida es de lazo abierto: se calcula de antemano con el modelo y se aplica sin consultar el estado real. Si ese estado se desvía por ruido o cambios de parámetros, la entrada no corrige la desviación. La retroalimentación plantea un problema adicional, que se desarrolla en el capítulo siguiente.

La fórmula tampoco incluye saturación, límites a la velocidad de cambio ni restricciones sobre estados intermedios. Comprobar por integración numérica que la solución alcanza el objetivo demuestra coherencia con las ecuaciones, no que un dispositivo pueda generar esa entrada ni que resulte aceptable hacerlo.

427.7. Comparación de lugares de entrada

Se comparan tres configuraciones: una entrada en el primer nodo, una en el segundo y entradas independientes en ambos. La dinámica y el objetivo no cambian, de modo que la comparación aísla el efecto de la matriz de entrada.

Actuar sobre el primer nodo es costoso porque la influencia sobre el segundo debe atravesar el acoplamiento más débil, mientras el primer nodo, que recibe directamente la entrada, debe terminar exactamente en cero. La entrada combina fases que generan desplazamiento con otras que lo compensan, y su pico se acerca a 52 unidades.

Actuar sobre el segundo nodo reduce el costo unas 117 veces, aunque sigue siendo necesario contrarrestar su efecto sobre el primero. Con dos canales independientes cada componente se ajusta con mayor libertad y la energía baja a poco más de dos unidades. Esa ventaja pertenece al modelo y no implica que dos sitios de intervención sean preferibles en la práctica, donde pesan costos de implantación, riesgos e interacciones no representadas.

El número de condición compara las direcciones mejor y peor accesibles del gramiano. Un valor elevado indica sensibilidad potencial, pero no determina por sí solo el error de una transición particular: el canal del segundo nodo tiene un número de condición superior a cien y, sin embargo, una energía moderada para este objetivo.

Las cifras dependen de las unidades y del horizonte elegidos, y no son predicciones de energía cerebral ni de parámetros de estimulación.

427.8. Código de verificación de la transición

El código integra el gramiano, calcula la entrada óptima y resuelve la ecuación diferencial para comprobar el estado final. Además integra el cuadrado de la entrada y lo compara con la expresión analítica del costo. La primera comprobación verifica que la entrada cumple el objetivo; la segunda, que la energía informada corresponde a esa entrada.

import numpy as np
from scipy.linalg import expm
from scipy.integrate import quad_vec, solve_ivp

A = np.array([[-1.0, 0.4], [0.2, -0.8]])
objetivo = np.array([0.0, 1.0])


def evaluar(A, B, T=1.0):
    W = quad_vec(
        lambda s: expm(A*s) @ B @ B.T @ expm(A.T*s),
        0, T, epsabs=1e-11
    )[0]
    q = np.linalg.solve(W, objetivo)

    def entrada(t):
        return B.T @ expm(A.T * (T-t)) @ q

    sin_cota = solve_ivp(
        lambda t, x: A @ x + B @ entrada(t), (0, T), np.zeros(2),
        rtol=1e-10, atol=1e-12
    )
    limitada = solve_ivp(
        lambda t, x: A @ x + B @ np.clip(entrada(t), -2, 2),
        (0, T), np.zeros(2), rtol=1e-9, atol=1e-11
    )
    energia = quad_vec(lambda t: np.sum(entrada(t)**2), 0, T)[0]
    pico = max(np.max(np.abs(entrada(t)))
               for t in np.linspace(0, T, 1001))
    assert np.allclose(sin_cota.y[:, -1], objetivo, atol=1e-8)
    assert np.isclose(energia, objetivo @ q)
    return energia, np.linalg.cond(W), pico, limitada.y[:, -1]


for nombre, B in [
    ("primero", np.array([[1.0], [0.0]])),
    ("segundo", np.array([[0.0], [1.0]])),
    ("ambos", np.eye(2)),
]:
    assert np.linalg.matrix_rank(np.column_stack([B, A @ B])) == 2
    print(nombre, evaluar(A, B))

B = np.array([[1.0], [0.0]])
print("Horizonte doble", evaluar(A, B, T=2.0))
A_debil = A.copy()
A_debil[1, 0] = 0.02
print("Acoplamiento reducido", evaluar(A_debil, B))

Las tolerancias de integración son más estrictas que la precisión con que se informan los resultados. El pico se estima sobre una rejilla temporal y se presenta como aproximación; si una restricción dependiera del máximo continuo, habría que resolver también ese problema. La ejecución reproduce las cifras de la tabla y las que se citan después, y todas las aserciones se cumplen.

Estas comprobaciones son posibles porque el ejemplo define todos sus componentes. En una aplicación empírica, el error de identificación del modelo puede superar con holgura el del integrador, y la precisión numérica no compensa una ecuación de movimiento mal especificada.

427.9. Imponer una cota cambia el problema

Se limita ahora cada componente de la entrada al intervalo comprendido entre menos dos y dos. Para observar el efecto, se recorta la entrada ya calculada: se conserva donde su amplitud es admisible y se satura donde excede la cota.

La entrada sobre el primer nodo pierde casi toda su capacidad de producir el desplazamiento solicitado, y la del segundo alcanza menos de la mitad del objetivo en su componente principal. Con dos canales el recorte afecta poco, porque el pico original apenas supera la cota.

Recortar la entrada óptima sin restricciones no produce, en general, la mejor entrada bajo restricciones. Para comprobarlo se resolvió un problema de programación lineal: entre las entradas constantes por tramos, con cuatrocientos tramos, que respetan la cota, se buscó la que minimiza el mayor error absoluto entre estado final y objetivo. Con el segundo nodo, el error mínimo es de 0,078, frente al de 0,54 que deja el perfil recortado. Con dos canales, una entrada admisible alcanza el objetivo exactamente, dentro de la precisión del cálculo. Con el primer nodo, el error mínimo es de 0,89. Como la discretización restringe el conjunto de entradas consideradas, estos valores son cotas superiores del error alcanzable con entradas acotadas cualesquiera.

El fracaso del perfil recortado, por lo tanto, no demuestra imposibilidad; demuestra que la solución sin restricciones depende de amplitudes prohibidas. La alcanzabilidad con entradas acotadas exige un análisis del conjunto de estados accesibles, como el de la sección 427.17, o una optimización que incorpore la cota desde el principio y penalice el error terminal cuando el destino exacto no sea alcanzable.

En una aplicación física existen otras restricciones, como la duración, la frecuencia, la densidad de carga o el calentamiento del tejido, que Tang y Bassett (2018) mencionan como límite de la estimulación. Representarlas requiere un modelo de la intervención, y una cota abstracta sobre la entrada no equivale a comprobar la seguridad de un procedimiento de neuromodulación.

427.10. Horizonte temporal y mantenimiento del objetivo

Al duplicar el horizonte, la energía mínima desde el primer nodo baja de 707 a unas 216 unidades y el pico desciende de 51,6 a 22,3, todavía muy por encima de la cota. Con más tiempo, la influencia alcanza a propagarse hacia el segundo nodo y los desplazamientos del primero se compensan con menos brusquedad.

Sería un error concluir que esperar más reduce la energía de manera arbitraria. En un sistema estable, la influencia de las entradas antiguas se amortigua y el gramiano converge, al crecer el horizonte, a la solución de una ecuación de Lyapunov. La energía para un estado final no nulo converge entonces a un valor positivo, que en el ejemplo es de 122,4 unidades para el primer canal. Con horizonte cinco la energía ya es de 124,9, y con horizonte diez difiere del límite en menos de una centésima. Karrer y colaboradores (2020) observaron en conectomas que la energía mínima disminuye con el horizonte, mientras la energía óptima disminuye primero y luego aumenta levemente.

Alcanzar el objetivo y mantenerlo son problemas distintos. Cuando la entrada termina, la dinámica estable devuelve el estado hacia el origen. Para que el objetivo sea un equilibrio, una entrada constante debe anular la deriva que la dinámica produce en ese punto, cuyas componentes son 0,4 y −0,8. Con un solo canal esto es imposible, porque cada canal actúa sobre una única componente; con ambos basta una entrada constante de −0,4 en el primero y 0,8 en el segundo. Una transición exitosa no demuestra persistencia, y el lugar de entrada más económico para alcanzar un estado puede no servir para sostenerlo.

Un objetivo puede referirse además a una respuesta transitoria o a la permanencia en una región del espacio de estados, y cada formulación define un problema de control distinto. El horizonte de planificación tampoco debe confundirse con la resolución temporal de las mediciones: alargarlo dentro de un modelo estimado con datos lentos no recupera los procesos rápidos que nunca se observaron.

427.11. Sensibilidad al acoplamiento y robustez

El ejemplo reduce diez veces el acoplamiento del primer nodo hacia el segundo, de 0,2 a 0,02, y conserva los demás coeficientes. La matriz de controlabilidad mantiene el rango completo. La energía requerida desde el primer nodo, en cambio, sube de 707 a unas 70.350 unidades, el pico supera las 510 y el número de condición del gramiano pasa de unas 314 a unas 30.500. Que una reducción de diez veces multiplique la energía por cerca de cien concuerda con un razonamiento aproximado: el desplazamiento del segundo nodo depende casi linealmente de ese acoplamiento, y la energía depende del cuadrado de la entrada.

El ejemplo reproduce en dos dimensiones, a escala modesta, el fenómeno que en redes de decenas o cientos de nodos produjo los autovalores del orden de 10⁻²³ discutidos en la sección 427.4. Un número de condición tan alto indica que una dirección se ha vuelto mucho menos accesible que la otra y que perturbaciones pequeñas pueden tener consecuencias grandes.

Los coeficientes de una red cerebral dependen de la resolución, del umbral para incluir conexiones, del esquema de ponderación y de la normalización. Gu y colaboradores (2017) advierten que la tractografía puede informar tractos espurios u omitir tractos existentes. Una conexión débil puede ser incierta justamente cuando sostiene el rango o fija el costo de una transición, y esa incertidumbre debe propagarse a la conclusión.

Un análisis de sensibilidad puede muestrear matrices compatibles con los datos y recalcular los costos. Si el lugar de entrada preferido cambia con perturbaciones plausibles, el resultado debe presentarse como inestable. Lo mismo vale para la entrada aplicada: evaluar sobre modelos alternativos una señal diseñada para el modelo nominal identifica las transiciones frágiles, siempre que los rangos de perturbación estén justificados por la medición y no sean arbitrarios.

427.12. Coordenadas, unidades y el significado de energía

Un cambio de coordenadas puede alterar las cifras del costo si las matrices y las ponderaciones no se transforman de manera coherente. Cuando una variable de estado se expresa en otra unidad, la dinámica y la matriz de entrada deben transformarse para seguir describiendo el mismo sistema. Cambiar solo la escala del estado objetivo equivale a plantear otro problema.

Para una transformación invertible del estado, la nueva matriz dinámica se obtiene por conjugación y la matriz de entrada se transforma por la misma operación. Si la entrada física se conserva y el costo sigue referido a ella, la energía mínima no cambia, porque el gramiano se transforma por congruencia con la matriz de cambio y la expresión cuadrática de la energía queda invariante. La propiedad sirve para comprobar una implementación: con una transformación triangular de prueba aplicada al primer canal del ejemplo, la energía calculada vuelve a ser 707,08.

Si también se reescala la entrada, el costo debe incorporar esa transformación. Una entrada expresada en otras unidades puede tener un valor numérico menor sin requerir menos energía física.

El punto pesa al comparar redes normalizadas de maneras diferentes, porque la normalización cambia escalas de tiempo y ganancias. A falta de restricciones neurobiológicas específicas, Karrer y colaboradores (2020) sugieren escalar la constante de normalización al mayor autovalor de cada matriz para hacer comparables las redes. Aun así, las conclusiones quedan referidas a la convención elegida.

La palabra «energía» es una abreviatura útil cuando se define, y se vuelve equívoca si se usa para inferir fatiga, gasto metabólico o seguridad. Tang y Bassett (2018) la definen como la norma cuadrática acumulada de la entrada, sin conversión hacia energía física de estimulación ni costo metabólico; esa conversión requeriría evidencia adicional.

427.13. Observabilidad y conocimiento del estado

Planificar una transición presupone conocer el estado inicial con suficiente precisión. Las mediciones suelen ser una proyección parcial y ruidosa del estado, relación que expresa una ecuación de observación.

La observabilidad, que pregunta si el estado puede reconstruirse a partir de los registros, es una propiedad distinta de la controlabilidad. Un sistema puede permitir influir sobre una dirección que las mediciones apenas distinguen, o medir bien una dirección sobre la que las entradas influyen poco. Elegir sensores y actuadores obliga a considerar ambas propiedades.

Si el estado inicial se estima con error, la discrepancia que la entrada debe compensar también es incierta. Una solución nominal puede alcanzar el objetivo desde el estado estimado y fallar desde el verdadero, por lo que el desempeño debería evaluarse sobre una distribución de condiciones iniciales.

La medición cerebral añade transformaciones entre actividad, señal y reconstrucción espacial, y un nodo de una parcelación no es necesariamente una variable accesible de manera directa. El modelo de observación no debe atribuir al registro una precisión que no tiene.

La retroalimentación usa observaciones nuevas para corregir desviaciones. Sin embargo, la estimulación puede alterar directamente la señal registrada, y el controlador necesita distinguir un cambio del estado de un artefacto de medición. Tang y Bassett (2018) presentan el control en lazo cerrado de la estimulación cerebral profunda como una meta todavía pendiente, y citan en epilepsia un estudio en ratas en que la detección de descargas desencadenaba estimulación transcraneal y acortaba las crisis.

427.14. Qué cambia fuera de la aproximación lineal

Una aproximación lineal es útil cerca de un punto de operación, donde desviaciones pequeñas producen respuestas aproximadamente proporcionales. Si la transición calculada sale de esa región, los coeficientes locales dejan de describir la trayectoria y una solución exacta del modelo lineal puede resultar inexacta para el sistema original. Gu y colaboradores (2015) invocan un resultado clásico: si el sistema linealizado es controlable, el sistema no lineal es localmente controlable en torno al punto de operación. La garantía es local y no se extiende a transiciones amplias.

Las no linealidades introducen saturaciones, cambios de régimen y estados estables múltiples, y hacen que el efecto de una entrada dependa del estado actual. Un mismo perfil temporal puede producir resultados distintos desde condiciones iniciales próximas a regiones dinámicas diferentes. Tang y Bassett (2018) subrayan que los modelos lineales no pueden describir transiciones entre regímenes dinámicos y consideran necesario desarrollar métodos de control no lineal.

Una estrategia consiste en comprobar la trayectoria lineal en un modelo no lineal respaldado por datos, cuando existe; otra, en actualizar la aproximación local a medida que cambia el estado. Ambas requieren información adicional y ninguna garantiza por sí sola que la trayectoria permanezca en una región fisiológicamente admisible.

Los retardos también modifican el problema. Una conexión estructural puede transmitir efectos con latencia y la intervención puede tardar en modificar el estado observado, de modo que un modelo instantáneo tiende a sobreestimar la rapidez con que una entrada coordina varios nodos.

Sustituir una red compleja por una ecuación lineal puede ser productivo si se evalúa dónde conserva y dónde pierde las propiedades relevantes.

427.15. Diseñar una comprobación empírica

Una comprobación del modelo debería especificar antes de la intervención qué respuesta temporal se espera. Predecir solo que una región cambiará admite demasiadas explicaciones. Una predicción exigente incluye dirección, latencia, magnitud relativa y dependencia del estado inicial, con la incertidumbre de cada cantidad.

El experimento debe separar el efecto de la entrada de la evolución espontánea y de los cambios en la medición, mediante condiciones de comparación, asignación apropiada y registro de artefactos. La necesidad de ese contraste no desaparece porque el modelo produzca trayectorias precisas.

El estudio de Stiso y colaboradores (2019) ilustra lo que puede aportar una prueba de este tipo. En once pacientes con epilepsia combinaron tractografía de difusión con electrocorticografía registrada en torno a estimulaciones eléctricas directas. A partir del estado previo a cada estímulo simularon la trayectoria del modelo lineal y la compararon con el estado observado después. La correlación máxima media entre estado predicho y observado fue de 0,036, con desviación estándar de 0,019: significativamente mayor que cero y que la obtenida con redes nulas topológicas y espaciales, aunque pequeña en términos absolutos. El resultado respalda que la sustancia blanca condiciona la propagación de la estimulación y muestra, a la vez, que el modelo explica una fracción muy limitada del estado observado. Sus hipótesis sobre la codificación de memoria, derivadas del control óptimo, quedaron por contrastar.

Una prueba inicial razonable examina transiciones pequeñas, donde la aproximación lineal es defendible; si el modelo falla allí, extrapolar a desplazamientos mayores carece de apoyo.

La selección del nodo de entrada debe validarse prospectivamente cuando sea posible. Elegir el nodo que mejor explica resultados ya observados y presentar esa concordancia como predicción sobreestima la evidencia. Un conjunto reservado de transiciones permite comprobar si la métrica aporta información más allá de reglas sencillas, como la distancia al objetivo o la intensidad de la conexión directa, y los modelos nulos del tipo empleado por Tu y colaboradores (2018) indican si una relación depende de la organización cerebral o de propiedades comunes a muchas redes.

La evaluación clínica exige además resultados funcionales y registro de efectos adversos. Una transición de actividad puede cumplir la predicción matemática sin mejorar el resultado que motivó la intervención, y ese desacoplamiento indicaría que el objetivo de control o su relación con la función necesitan revisión, aunque la ecuación dinámica estuviera bien identificada.

427.16. Cómo informar un resultado de control cerebral

Un informe interpretable identifica la procedencia y la ponderación de la red, la normalización, la ecuación dinámica con su formulación temporal, las unidades, el horizonte, los canales de entrada, el estado inicial y el objetivo; sin esos elementos, una cifra de energía no puede reproducirse. Karrer y colaboradores (2020) recomiendan comprobar los hallazgos en ambas formulaciones temporales y en varios horizontes, y usar conjuntos de control amplios para que las estimaciones de energía sean numéricamente estables.

La presentación debe separar clases de afirmaciones que suelen mezclarse. El rango completo de una matriz es una deducción algebraica. La energía calculada es un resultado numérico que depende de coeficientes y procedimientos. Una relación entre métricas y funciones cognitivas, mientras no se haya contrastado con datos de intervención, es una hipótesis. Una respuesta cerebral observada tras una intervención aporta evidencia empírica sobre el vínculo entre modelo y sistema. Estas afirmaciones pueden apoyarse mutuamente, pero ninguna sustituye a las demás.

Si variaciones pequeñas de los parámetros cambian qué nodo parece preferible, esa variabilidad debe mostrarse. Si la entrada óptima excede límites admisibles, el problema debe reformularse antes de interpretar la solución como propuesta de intervención.

En el ejemplo, cada paso queda localizado. La red es controlable desde cualquiera de sus nodos, pero el costo depende mucho del canal; el recorte de una solución puede impedir alcanzar el destino aunque otras entradas admisibles se acerquen mucho más; un acoplamiento débil encarece la transición sin cambiar el rango. Trasladar estas conclusiones a una red cerebral exige identificar y validar las correspondencias que el ejemplo dejó abiertas a propósito.

427.17. Una cota que sí demuestra imposibilidad en el ejemplo

El fracaso del perfil recortado puede complementarse, para el primer canal, con una demostración de imposibilidad. Desde el estado inicial nulo, la segunda componente final es la integral del efecto propagado de la entrada. Si la amplitud está acotada por dos, su valor absoluto no puede superar el doble de la integral del valor absoluto del núcleo correspondiente.

Para la matriz del ejemplo, el primer canal y el horizonte unitario, la cota vale aproximadamente 0,113, mientras el objetivo exige una unidad. Ninguna entrada que respete la amplitud permitida puede alcanzar el objetivo desde ese canal en ese horizonte, aunque se admita cualquier valor terminal del primer nodo. La conclusión concuerda con el error mínimo de 0,89 obtenido por programación lineal en la sección 427.9, puesto que la cota impide que ese error baje de 0,887.

El argumento se extiende a cualquier horizonte. Los elementos situados fuera de la diagonal de la matriz dinámica son no negativos, de modo que la exponencial matricial tiene todos sus elementos no negativos y el valor absoluto del núcleo coincide con el núcleo. Al integrar hasta infinito, la cota pasa a ser el doble del elemento correspondiente de la inversa de la matriz dinámica cambiada de signo, es decir, dos veces 0,2/0,72, aproximadamente 0,556. Con amplitud máxima de dos, el segundo nodo nunca supera ese valor por la vía del primer canal, cualquiera sea el horizonte. Alargar el plazo, que en la sección 427.10 abarataba la transición sin cota, no resuelve el problema acotado.

El código siguiente calcula ambas cotas, verifica la no negatividad del núcleo sobre una rejilla temporal y resuelve la programación lineal citada en la sección 427.9. La distancia entre las cotas y la unidad es mucho mayor que el error de integración, de modo que la conclusión no depende de redondeos cercanos al límite.

import numpy as np
from scipy.linalg import expm
from scipy.integrate import quad_vec
from scipy.optimize import linprog

A = np.array([[-1.0, 0.4], [0.2, -0.8]])
objetivo = np.array([0.0, 1.0])
B1 = np.array([[1.0], [0.0]])

# Cota de |x2(T)| con |u| <= 2 desde el primer canal
cota_T1 = 2 * quad_vec(lambda s: abs((expm(A*s) @ B1)[1, 0]),
                       0, 1.0, epsabs=1e-12)[0]
assert all((expm(A*s) >= 0).all() for s in np.linspace(0, 20, 201))
cota_inf = 2 * (-np.linalg.inv(A))[1, 0]
print("Cota con T=1:", cota_T1, "Cota con horizonte infinito:", cota_inf)
assert cota_T1 < cota_inf < 1


def error_minimo_acotado(B, T=1.0, N=400, cota=2.0):
    """Menor error terminal (norma del máximo) entre entradas
    constantes por tramos que respetan |u| <= cota."""
    dt = T / N
    G = np.hstack([
        quad_vec(lambda s: expm(A*(T-s)) @ B, k*dt, (k+1)*dt)[0]
        for k in range(N)
    ])
    n = G.shape[1]
    c = np.r_[np.zeros(n), 1.0]
    A_ub = np.vstack([np.c_[G, -np.ones(2)], np.c_[-G, -np.ones(2)]])
    b_ub = np.r_[objetivo, -objetivo]
    limites = [(-cota, cota)] * n + [(0, None)]
    return linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=limites,
                   method="highs").fun


errores = {}
for nombre, B in [("primero", B1),
                  ("segundo", np.array([[0.0], [1.0]])),
                  ("ambos", np.eye(2))]:
    errores[nombre] = error_minimo_acotado(B)
    print(nombre, errores[nombre])
assert errores["primero"] >= 1 - cota_T1 - 1e-9

El sistema es controlable sin límites de amplitud, pero desde el primer canal el conjunto accesible con amplitud acotada no contiene el objetivo. Añadir canales o reducir el desplazamiento requerido podría cambiar la situación, y cada alternativa constituye un problema nuevo con sus propios costos y restricciones.

La demostración pertenece al sistema sintético y muestra qué evidencia matemática respalda una afirmación de imposibilidad. Una afirmación equivalente sobre tejido cerebral exigiría justificar primero la dinámica y la relación entre la entrada física y la variable de control.

Referencias

• Gu, S. et al. (2015). Controllability of structural brain networks. Nature Communications, 6, 8414. DOI.
• Gu, S. et al. (2017). Optimal trajectories of brain state transitions. NeuroImage, 148, 305–317. DOI.
• Karrer, T. M. et al. (2020). A practical guide to methodological considerations in the controllability of structural brain networks. Journal of Neural Engineering, 17(2), 026031. DOI.
• Pasqualetti, F., Gu, S. y Bassett, D. S. (2019). RE: Warnings and caveats in brain controllability. NeuroImage, 197, 586–588. DOI.
• Pasqualetti, F., Zampieri, S. y Bullo, F. (2014). Controllability Metrics, Limitations and Algorithms for Complex Networks. IEEE Transactions on Control of Network Systems, 1, 40–52. DOI.
• Stiso, J. et al. (2019). White matter network architecture guides direct electrical stimulation through optimal state transitions. Cell Reports, 28(10), 2554–2566.e7. DOI.
• Suweis, S. et al. (2019). Brain controllability: Not a slam dunk yet. NeuroImage, 200, 552–555. DOI.
• Tang, E. y Bassett, D. S. (2018). Colloquium: Control of dynamics in brain networks. Reviews of Modern Physics, 90, 031003. DOI.
• Tu, C. et al. (2018). Warnings and caveats in brain controllability. NeuroImage, 176, 83–91. DOI.