Capacidad, colas y continuidad de atención

462.1 La espera como resultado de un proceso

Una agenda ocupada no informa por sí sola si un servicio funciona bien. Puede reflejar utilización eficiente, falta persistente de capacidad o una programación que concentra la demanda en ciertas horas y deja otras disponibles. Tampoco basta conocer el número diario de personas atendidas. Dos servicios con igual producción pueden ofrecer esperas muy distintas. En uno de ellos, además, la rapidez del primer contacto puede coexistir con interrupciones posteriores del seguimiento. El análisis de colas estudia cómo la llegada de solicitudes, la duración de las atenciones y los recursos disponibles producen esas diferencias temporales.

La demanda tiene varias expresiones que conviene separar. Hay personas que necesitan atención, personas que la solicitan, solicitudes aceptadas y llegadas efectivas. Una lista de espera pequeña puede indicar buen acceso o criterios de admisión que excluyen muchas solicitudes. Si el modelo comienza en las llegadas aceptadas, describe el funcionamiento interno bajo ese filtro. Para evaluar accesibilidad debe registrar también rechazos, desistimientos y solicitudes que nunca se transforman en una cita. Cualquier tiempo de espera publicado se interpreta en relación con el conjunto de personas que entra en su cálculo.

La capacidad se define como el trabajo que puede realizarse durante un intervalo con competencias y condiciones específicas. Cuatro profesionales disponibles no equivalen necesariamente a cuatro servidores intercambiables. Algunos procedimientos requieren una combinación de roles, una sala adecuada o supervisión, mientras que ausencias y tareas administrativas reducen el tiempo efectivo. Un modelo puede empezar con servidores idénticos para comprender un mecanismo. Después necesita contrastar si esa simplificación captura la restricción que realmente domina el flujo.

El trabajo formal de este capítulo construye una simulación de eventos discretos con llegadas variables y duraciones heterogéneas. Compara la incorporación de capacidad con una reducción de la variabilidad organizacional que mantiene la duración media esperada. Se calcularán tiempos medios, percentiles y una medida sintética de continuidad. Esta última permite mostrar cómo una demora puede propagarse hacia otro resultado sin presentar una función inventada como evidencia clínica sobre la conducta de los pacientes.

Una intervención sobre el flujo necesita una hipótesis operacional. «Reorganizar» puede significar repartir citas, preparar antecedentes antes del encuentro, separar tareas que requieren competencias diferentes o reducir interrupciones evitables. Algunas de estas acciones disminuyen la duración media, otras su variabilidad y otras modifican el momento de llegada. Representarlas con un único parámetro impediría identificar por qué aparece una mejora. En la simulación, cada alternativa tendrá una modificación precisa y conservará las demás reglas para facilitar la comparación.

462.2 Carga media y estabilidad

Si llegan en promedio nueve personas por hora y cada atención requiere en promedio un cuarto de hora, la demanda media de trabajo es de 2,25 horas profesionales por hora de calendario. Con tres servidores disponibles, la utilización nominal es de tres cuartas partes. La fracción restante permite absorber variación, aunque no garantiza esperas pequeñas. Las llegadas pueden agruparse y algunas atenciones durar mucho más que el promedio. La capacidad que queda libre en otro momento no compensa una demora que alguien ya experimentó.

En esta expresión la tasa de llegada $\lambda$ se mide en personas por hora, la duración de servicio $S$ en horas por persona y el número de servidores $c$ es adimensional, de modo que $\rho$ también lo es. El numerador mide el trabajo requerido por unidad de tiempo de calendario. Cuando la utilización supera uno durante un período sostenido y no existen rechazos, abandonos ni ampliación de capacidad, la carga pendiente tiende a crecer. Una simulación finita igualmente termina y entrega una media, aunque esa media describe el horizonte elegido y carece de un régimen estable al cual referirse.

La condición de utilización menor que uno tampoco resume la estabilidad de una red de servicios. Un primer servicio puede tener capacidad suficiente y derivar hacia un segundo que está saturado. Una parte de los episodios puede además retornar y elevar la tasa efectiva de llegada. Calcular la carga solo con solicitudes nuevas omite ese trabajo. Antes de añadir recursos conviene distinguir la demanda externa de la repetición inducida por el propio proceso, porque reducir repeticiones evitables puede liberar capacidad sin restringir el acceso.

Little (1961) demostró una relación entre el número medio de unidades en el sistema, la tasa de entrada y el tiempo medio de permanencia. Sus hipótesis son que las tres medias sean finitas, que los procesos correspondientes sean estrictamente estacionarios y que el proceso de llegadas sea métricamente transitivo con media no nula. Stidham (1974) dio después una demostración sobre trayectorias que solo exige la existencia y finitud de los promedios límite de la tasa de llegada y del tiempo de permanencia. La relación no requiere que todas las atenciones duren lo mismo ni garantiza una demora baja. En las aplicaciones conviene comprobar que las tres cantidades se refieren a la misma frontera del sistema y al mismo tipo de unidades, sin mezclar personas en cola con tiempos que incluyen la atención.

La igualdad orienta también controles de conservación sobre trayectorias observadas, con términos de frontera cuando el período de observación se corta. Si todas las personas de una cohorte han salido, la suma de sus permanencias coincide con el área bajo la curva del número de personas presentes. En una ventana que deja casos pendientes, ignorar el tiempo anterior o posterior al corte altera el balance y puede dar la falsa impresión de que la relación no se cumple. Para sistemas cuya demanda se repite en ciclos, como el que se simula más adelante, Whitt y Zhang (2019) establecieron una versión periódica de la relación, motivada por el análisis de datos de ocupación de un servicio de urgencia.

462.3 Variabilidad y distribución de la espera

Para apreciar el papel de la variabilidad conviene un caso con solución exacta, la cola M/G/1. Tiene un solo servidor y llegadas que forman un proceso de Poisson de tasa $\lambda$. Las duraciones de servicio son independientes e idénticamente distribuidas, no dependen del proceso de llegadas y tienen segundo momento finito. La disciplina es de orden de llegada (FIFO o FCFS), una atención iniciada no se interrumpe y el servidor no queda ocioso mientras alguien espera. Si además $\rho=\lambda\,\mathbb E[S]<1$, la espera media en cola $W_q$, medida desde la llegada hasta el comienzo de la atención, está dada por la fórmula de Pollaczek–Khinchine.

donde $CV$ es el coeficiente de variación de la duración. Bajo las demás condiciones anteriores, incluido que el servidor no quede ocioso con cola, el valor medio se mantiene para cualquier disciplina sin interrupción que elija a la siguiente persona sin usar información sobre la duración de su atención, lo que se denomina servicio no anticipativo respecto de la duración. La distribución completa de la espera, en cambio, depende de la disciplina; Scholl y Kleinrock (1983) comparan sus segundos momentos bajo orden de llegada, orden aleatorio y último en llegar atendido primero sin interrupción. Una regla que seleccionara a las personas según la duración prevista de su consulta usa esa información y queda fuera del alcance de la fórmula. El resultado no se aplicará directamente al modelo posterior, que tiene varios servidores y demanda periódica. Interesa porque muestra por qué la duración media no basta.

Con una llegada por hora y duración media de media hora, la utilización es de un medio. Si las duraciones son constantes, el segundo momento vale un cuarto de hora al cuadrado y la espera media resulta de un cuarto de hora. Si son exponenciales con la misma media, el coeficiente de variación es uno, el segundo momento vale media hora al cuadrado y la espera se duplica. Con duraciones de coeficiente de variación 1,2 y la misma media, la espera media en este sistema sería de unas 0,61 horas. La necesidad media de atención es idéntica en los tres casos. La diferencia proviene del tiempo residual de servicio que encuentra quien llega y de la acumulación de trabajo pendiente que ese residuo produce.

El resultado no justifica recortar consultas complejas para homogeneizar duraciones. Parte de la variabilidad expresa necesidades legítimas. Otra parte proviene de antecedentes ausentes, interrupciones o equipamiento no disponible. Eliminar esta segunda fuente puede mejorar el flujo manteniendo la calidad, mientras que comprimir la primera puede desplazar trabajo hacia nuevas consultas o generar omisiones. Una simulación de servicio más uniforme debe leerse como una hipótesis sobre procesos evitables que requiere comprobación antes de convertirse en recomendación.

Los percentiles describen aspectos de la distribución que la media comprime. El percentil noventa es un umbral superado por aproximadamente una décima parte de las observaciones y no corresponde a la espera de una persona «promedio». El percentil noventa y nueve depende de una fracción pequeña de casos y necesita más datos para estabilizarse. Ambos deben acompañarse del tamaño de muestra y del método de cálculo, ya que las convenciones de interpolación difieren entre programas. En series pequeñas, informar varios decimales puede ocultar una incertidumbre considerable.

También importa la distribución entre grupos. Una política que prioriza determinadas solicitudes puede disminuir la media global y alargar sistemáticamente la espera de otras. Valorar esa consecuencia requiere criterios clínicos o asistenciales definidos de antemano, además de indicadores estadísticos. La simulación básica utiliza orden de llegada porque facilita comprobar el mecanismo. Esa neutralidad aritmética no la convierte en la regla más apropiada para todas las necesidades ni sustituye un sistema real de evaluación de prioridad.

462.4 Construcción de la simulación

El reloj del modelo se expresa en horas y abarca ochocientas. Durante ocho horas consecutivas la tasa de llegada es de siete personas por hora y en las ocho siguientes sube a once. El patrón se repite con un ciclo de dieciséis horas. Dentro de cada hora, el número de llegadas sigue una distribución de Poisson y sus instantes se distribuyen uniformemente, construcción que genera un proceso de Poisson con intensidad constante por tramos. La tasa media es de nueve personas por hora, la misma del ejemplo de la sección 462.2. Con tres servidores, la utilización nominal es cercana a 0,58 en los tramos tranquilos y a 0,92 en los exigentes. La demanda es sintética.

Cada persona recibe una duración lognormal con media esperada de un cuarto de hora. Esta distribución admite solo valores positivos y tiene cola derecha. En cirugía, Strum, May y Vargas (2000) recomendaron el modelo lognormal para predecir tiempos de procedimientos quirúrgicos, aunque ese hallazgo no se extiende por sí mismo a consultas ambulatorias ni a la atención en salud mental. Aquí la elección es didáctica y no afirma que represente las consultas reales. El coeficiente de variación inicial es 1,2, de modo que la desviación estándar supera en un quinto a la media. La parametrización transforma una variable normal estándar para preservar la media esperada cuando cambia la dispersión. Ese detalle evita confundir una reducción de variabilidad con una reducción accidental de la duración media.

Cada servidor atiende a una sola persona a la vez y el siguiente caso se asigna al servidor que queda disponible primero. La atención comienza en el máximo entre el instante de llegada y esa próxima disponibilidad. La diferencia entre comienzo y llegada es la espera. Al terminar la atención se actualiza la disponibilidad del servidor. Esta regla reproduce una cola común con orden de llegada, sin interrupciones de atención, sin abandonos y sin reserva de un profesional específico.

Se comparan tres diseños. El primero dispone de tres servidores y conserva la dispersión inicial. El segundo añade un cuarto servidor. El tercero mantiene tres servidores y reduce el coeficiente de variación a 0,4 con igual media esperada de duración. Para disminuir el ruido de la comparación se reutilizan las mismas llegadas y las mismas variables normales en los tres diseños, técnica conocida como números aleatorios comunes. Ese acoplamiento no vuelve idénticas las medias muestrales de servicio entre dispersiones distintas, aunque garantiza que las alternativas enfrentan un conjunto comparable de realizaciones aleatorias.

Las primeras cien horas se reservan como calentamiento y la evaluación incluye las llegadas desde la hora cien hasta antes de la setecientas. Esa ventana contiene trescientas horas tranquilas y trescientas exigentes, de modo que su tasa media coincide con la nominal. Las últimas cien horas mantienen la demanda después de la ventana, mientras el calentamiento evita interpretar el arranque vacío como funcionamiento habitual. El algoritmo calcula el término de todos los casos aunque exceda el horizonte de llegadas. La ventana no prueba estacionariedad, menos aún con demanda cíclica, aunque define una comparación reproducible con menor influencia del estado inicial.

462.5 Resultados del experimento sintético

Con la semilla especificada, la ventana evaluada contiene 5.478 personas. El diseño inicial produce una espera media de aproximadamente 0,424 horas y un percentil noventa y nueve de 2,531 horas. Añadir un servidor reduce ambos valores. Reducir la variabilidad con tres servidores también mejora la distribución, aunque menos que la ampliación de capacidad. La tabla conserva las horas como unidad para evitar conversiones inadvertidas al comparar columnas. Los percentiles se calcularon con la interpolación lineal que NumPy usa por defecto.

En el diseño inicial, la fracción de 0,0387 corresponde a 212 personas que esperaron más de dos horas. Los ceros de los otros dos diseños indican ausencia de esos eventos en la muestra simulada y no prueban que su probabilidad sea nula bajo el proceso generador. La distribución lognormal permite duraciones muy largas y las llegadas de Poisson pueden agruparse de forma inusual. Otra semilla o un horizonte mayor podrían producir esperas superiores a dos horas. Expresar el resultado como «ningún caso observado» preserva la diferencia entre un resultado finito y una propiedad matemática del sistema.

El acoplamiento de las realizaciones tiene un efecto que conviene conocer. En la ventana evaluada, la duración media realizada fue de 0,2558 horas con coeficiente de variación 1,2 y de 0,2519 horas con coeficiente 0,4, es decir, un 2,3 % y un 0,8 % por encima del valor esperado de 0,25. Son excesos pequeños, aunque no irrelevantes en tramos con utilización nominal cercana a 0,92, donde un pequeño aumento de la carga produce un aumento desproporcionado de la espera. La sección 462.7 examina cuán representativa es esta realización.

El cuarto servidor aporta un tercio de capacidad adicional respecto del diseño inicial. La comparación no incluye costos, disponibilidad de personal ni espacio físico. La reducción de variabilidad tampoco carece de costo, ya que podría requerir preparación previa, apoyo administrativo o cambios de coordinación. Para decidir entre alternativas se necesita asociar recursos a mecanismos concretos. Comparar solo las esperas ordena las alternativas según ese resultado sin determinar cuál es factible o preferible con un presupuesto dado.

La espera media del diseño inicial equivale a unos veinticinco minutos y medio, mientras que su percentil noventa y nueve supera las dos horas y media. Una cifra media aparentemente moderada puede coexistir con esperas prolongadas para algunas personas. Si la continuidad depende de que la espera no exceda cierta ventana, el extremo de la distribución adquiere una relevancia que la media no refleja. El umbral elegido debe justificarse por la función asistencial o por las restricciones de quienes usan el servicio.

Analizar la espera según la hora de llegada puede revelar que las demoras persisten después de que la demanda ha disminuido. La cola almacena trabajo pendiente y conecta cada momento con las horas anteriores. Por eso, ajustar la dotación a la tasa instantánea de llegada suele llegar tarde. La planificación debe considerar la carga acumulada. Un diseño de turnos que anticipa el período exigente puede comportarse de manera distinta a otro que reacciona al máximo observado, aun cuando ambos sumen las mismas horas profesionales en el día.

462.6 Un vínculo explícito con continuidad

Para ilustrar cómo una demora puede afectar a otra etapa se define una probabilidad hipotética de completar el siguiente contacto que disminuye exponencialmente con la espera actual. La escala de cuatro horas se eligió únicamente para el ejercicio. No procede de una cohorte ni debe utilizarse para predecir abandono real. Su propósito es obligar a expresar una hipótesis y mostrar qué resultados se deducen de ella, en lugar de afirmar de manera vaga que toda reducción de la espera mejora la continuidad.

El promedio de esa probabilidad es aproximadamente 0,9090 en el diseño inicial, 0,9827 con cuatro servidores y 0,9516 con variabilidad reducida. Son valores esperados bajo una regla sintética y no proporciones observadas de seguimiento. El programa no genera abandonos efectivos ni retira personas de la cola. Se limita a evaluar la función sobre las esperas que produce el modelo. Incorporar abandono durante la espera modificaría la carga posterior y requeriría otro algoritmo.

Promediar la función sobre las esperas no equivale a evaluarla en la espera media, porque la no linealidad conserva información de la distribución. La función exponencial decreciente es convexa y, por la desigualdad de Jensen, su promedio es al menos tan grande como su valor en la media. En el diseño inicial, el promedio es 0,9090 y el valor en la espera media es 0,8994. Esta desigualdad no implica que una mayor dispersión de las esperas sea deseable. Solo describe una propiedad de esta función particular y muestra que la forma del vínculo con la continuidad necesita justificación propia.

Una evaluación real podría estimar la relación entre espera y seguimiento con datos longitudinales, aunque la asociación estaría expuesta a confusión. Las personas con mayor complejidad pueden recibir prioridad y tener simultáneamente más dificultades de continuidad. En ese caso, una espera corta podría asociarse con peor seguimiento sin causarlo. La estimación debería considerar las reglas de acceso, las variables que influyen en ambas etapas y la posibilidad de que el servicio modifique su conducta según información que no queda registrada.

También debe definirse la continuidad en términos pertinentes. Asistir al siguiente encuentro no garantiza que se mantenga el equipo responsable ni que se ejecute un plan coherente. Una persona puede decidir razonablemente cambiar de servicio. El indicador del ejemplo representa una transición específica y deja fuera otras dimensiones. Su utilidad está en vincular dos etapas mediante una hipótesis explícita y contrastable, manteniendo separado lo calculado de lo que requeriría evidencia clínica y organizacional adicional.

462.7 Código reproducible y verificaciones

El programa utiliza NumPy para generar las variables aleatorias y una cola de prioridad para registrar la disponibilidad de los servidores. La semilla fija permite repetir la realización. El código comprueba que ninguna espera sea negativa y que la suma de las permanencias coincida con la suma de esperas y atenciones. También verifica que añadir un servidor, conservando exactamente las mismas llegadas y duraciones, no aumente la espera de ninguna persona bajo las reglas de esta cola común. La propiedad se apoya en el orden de llegada y en la asignación al primer servidor disponible. Puede dejar de cumplirse si cambian las prioridades o la regla de asignación.

import heapq
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(462)
arrivals = []
for hour in range(800):
    rate = 7 if hour % 16 < 8 else 11
    arrivals.extend(hour + rng.random(rng.poisson(rate)))
arrivals = np.sort(arrivals)
z = rng.normal(size=len(arrivals))
window = (arrivals >= 100) & (arrivals < 700)

def simulate(servers, cv):
    sigma = np.sqrt(np.log1p(cv**2))
    service = .25*np.exp(sigma*z-sigma**2/2)
    available = [0.]*servers
    waiting, ending = [], []
    for arrival, duration in zip(arrivals, service):
        free = heapq.heappop(available)
        start = max(arrival, free)
        waiting.append(start-arrival)
        ending.append(start+duration)
        heapq.heappush(available, start+duration)
    waiting, ending = np.array(waiting), np.array(ending)
    assert np.all(waiting >= 0)
    assert np.isclose(np.sum(ending-arrivals),
                      np.sum(waiting)+np.sum(service))
    w = waiting[window]
    result = [w.mean(), np.quantile(w, .9), np.quantile(w, .99),
              np.mean(w > 2), np.mean(np.exp(-w/4))]
    return waiting, result

w3, base = simulate(3, 1.2)
w4, capacity = simulate(4, 1.2)
wv, organization = simulate(3, .4)
assert np.all(w4 <= w3+1e-12)
assert int(window.sum()) == 5478
assert np.isclose(base[0], .4241671213644354)
assert np.isclose(capacity[0], .07350281901145866)
assert np.isclose(organization[0], .20819770505400165)
assert np.isclose(1*.25/(2*(1-.5)), .25)
assert np.isclose(1*.50/(2*(1-.5)), .50)
print("n", int(window.sum()))
for label, result in [("base", base), ("capacidad", capacity),
                      ("variabilidad", organization)]:
    print(label, np.round(result, 6))

La comparación emparejada reduce el ruido, aunque una sola semilla no permite estimar la incertidumbre del resultado medio del proceso. Para ello se necesitan réplicas independientes con semillas propias. La diferencia de desempeño se calcula dentro de cada réplica emparejada y luego se resume entre réplicas. Tratar miles de esperas correlacionadas de una única ejecución como observaciones independientes produciría intervalos demasiado estrechos y ocultaría la variación entre ciclos de demanda. El segundo programa repite el experimento con doscientas semillas distintas y conserva la misma ventana de evaluación.

import heapq
import numpy as np

def generar(semilla):
    rng = np.random.default_rng(semilla)
    llegadas = []
    for hora in range(800):
        tasa = 7 if hora % 16 < 8 else 11
        llegadas.extend(hora + rng.random(rng.poisson(tasa)))
    llegadas = np.sort(llegadas)
    return llegadas, rng.normal(size=len(llegadas))

def esperas(llegadas, z, servidores, cv):
    sigma = np.sqrt(np.log1p(cv**2))
    servicio = .25*np.exp(sigma*z - sigma**2/2)
    libres, w = [0.]*servidores, np.empty(len(llegadas))
    for i, (a, s) in enumerate(zip(llegadas, servicio)):
        inicio = max(a, heapq.heappop(libres))
        w[i] = inicio - a
        heapq.heappush(libres, inicio + s)
    return w

media_base, dif_cap, dif_var, p99 = [], [], [], {3: [], 4: [], "v": []}
for r in range(200):
    llegadas, z = generar(10_000 + r)
    ventana = (llegadas >= 100) & (llegadas < 700)
    b = esperas(llegadas, z, 3, 1.2)[ventana]
    c = esperas(llegadas, z, 4, 1.2)[ventana]
    v = esperas(llegadas, z, 3, .4)[ventana]
    media_base.append(b.mean())
    dif_cap.append(b.mean() - c.mean())
    dif_var.append(b.mean() - v.mean())
    for k, x in [(3, b), (4, c), ("v", v)]:
        p99[k].append(np.quantile(x, .99))

def resumen(x):
    x = np.asarray(x)
    ee = x.std(ddof=1)/np.sqrt(len(x))
    return np.round([x.mean(), x.mean()-1.96*ee, x.mean()+1.96*ee,
                     np.quantile(x, .05), np.quantile(x, .95)], 3)

print("media base", resumen(media_base))
print("base - cuatro servidores", resumen(dif_cap))
print("base - CV 0,4", resumen(dif_var))
print("réplicas con CV 0,4 mejor que cuatro servidores",
      np.mean(np.array(dif_var) > np.array(dif_cap)))
for k in p99:
    print("p99", k, resumen(p99[k]))

Las réplicas matizan la lectura de la tabla de la sección 462.5. La realización con semilla 462 resultó más congestionada que lo habitual, ya que solo ocho de las doscientas réplicas alcanzaron una espera media igual o superior a 0,424 horas en el diseño inicial. Bajo los parámetros del modelo, la espera media esperada en ese diseño se acerca a 0,31 horas, unos dieciocho minutos y medio. El orden entre alternativas, en cambio, se mantuvo en todas las réplicas, porque la reducción obtenida con el cuarto servidor superó siempre a la obtenida al disminuir la variabilidad. El intervalo de confianza describe la precisión con que se estima el promedio del modelo. Los percentiles 5 y 95 describen cuánto puede variar el resultado de una ventana concreta de seiscientas horas, que es la cantidad pertinente cuando se compara con un período observado.

Las pruebas del programa se refieren a la consistencia de la implementación. No evalúan si la distribución lognormal representa los tiempos reales, si la tasa periódica reproduce la demanda ni si los servidores son intercambiables. Esa validación requiere contrastar el modelo con registros y con conocimiento del proceso asistencial. Separar la verificación informática de la validación empírica permite asignar a cada resultado la confianza que merece, dado que un algoritmo puede ejecutar correctamente un modelo todavía inadecuado para una decisión institucional.

462.8 Acceso, prioridades y continuidad de profesional

Una cola común aprovecha la capacidad compartida, aunque puede dificultar la continuidad con un profesional específico. Si cada persona acepta solo a su profesional habitual, las colas se fragmentan y algunos recursos pueden quedar libres mientras otros acumulan espera. La comparación requiere medir tanto la demora como la continuidad relacional, porque un diseño con continuidad más estricta tiene un costo temporal y uno más rápido puede desatender necesidades de seguimiento.

Puede construirse una regla intermedia que mantenga al profesional habitual cuando la espera prevista queda dentro de una ventana y ofrezca a otro miembro del equipo cuando la supera. La amplitud de esa ventana debe acordarse y evaluarse, ya que no surge de la teoría de colas. El estado del sistema incluiría disponibilidades individuales, competencias y preferencias. La intervención podría mejorar el acceso sin eliminar toda continuidad, aunque su efecto dependería de cómo se comparte la información clínica y de la aceptación de las alternativas ofrecidas.

Las prioridades clínicas también modifican la distribución de la espera. Una regla que atiende primero los casos de mayor urgencia puede aumentar la espera de los menos urgentes aun con igual carga total. El objetivo adecuado incorpora el riesgo asociado a esperar y las garantías mínimas para quienes no tienen la prioridad más alta. Sin un mecanismo que aumente la prioridad con el tiempo transcurrido, algunas solicitudes podrían postergarse repetidamente. Una evaluación que mire solo la media global no detectaría necesariamente esa concentración de demora.

Los criterios de aceptación introducen otra forma de selección. Un servicio puede mejorar sus tiempos rechazando casos que necesitan atención prolongada. Desde la perspectiva interna, la duración media baja y la cola se acorta. Desde el recorrido de las personas, quienes fueron excluidas buscan otro punto de acceso o quedan sin respuesta. Para evaluar la intervención deben seguirse las solicitudes rechazadas y la carga transferida a otros servicios. En ese escenario la capacidad aparente aumenta porque cambió la población atendida, explicación distinta de una mejora del proceso.

En los datos de agenda, las inasistencias producen intervalos libres que no siempre se reutilizan. Sobreagendar puede aumentar la utilización, aunque también genera esperas excesivas los días en que asisten todas las personas citadas. El modelo debe representar la incertidumbre de la asistencia y el tiempo que el servicio tarda en ofrecer los huecos liberados. La inasistencia puede depender además de la espera previa para obtener la cita. Ese vínculo crea una retroalimentación que limita la interpretación de una tasa fija de inasistencia como característica estable de la población.

462.9 Diseñar una evaluación del cambio organizacional

Una comparación válida comienza por describir el funcionamiento actual con datos que conserven su variación. Deben observarse las llegadas por intervalo, la duración de las atenciones, las interrupciones, los servidores realmente disponibles y los recorridos posteriores. Promediar un mes completo antes de modelar elimina agrupamientos que pueden explicar la cola, mientras que una resolución excesiva capta ruido y encarece el registro. La escala adecuada depende de las decisiones de dotación o programación que se quieren evaluar.

La calibración puede usar un período y la validación otro. Un modelo que reproduce la espera del mismo período empleado para ajustar todos sus parámetros ofrece una comprobación limitada. Resulta más informativo examinar si anticipa los patrones de horas punta, la variación entre días y la proporción de demoras prolongadas en un período separado. Las discrepancias deben vincularse con mecanismos. Una subestimación sistemática después de los cambios de turno, por ejemplo, puede indicar que el modelo omite el tiempo de relevo, en vez de exigir una distribución de duraciones más flexible.

La incertidumbre paramétrica es distinta del azar de simulación. Repetir semillas explora qué ocurre en diferentes realizaciones con parámetros fijos, como se hizo en la sección 462.7. Cambiar tasas, distribuciones o dotación efectiva explora la incertidumbre sobre el propio sistema. Una decisión puede ser estable frente al primer tipo de incertidumbre y frágil frente al segundo. Informar ambos evita que un gran número de réplicas transmita una precisión engañosa cuando la duración media o el porcentaje de tiempo disponible están mal estimados.

El análisis económico debe incorporar el trabajo desplazado. Preparar los antecedentes antes de la consulta puede acortar el tiempo profesional a costa de requerir más personal de apoyo. Esa transferencia puede ser apropiada, aunque necesita contabilizarse y exige comprobar las competencias de quien asume la tarea. También puede ahorrar repeticiones posteriores, beneficio que un modelo de una sola cola no registra. La evaluación del recorrido debe extenderse hasta donde las alternativas difieran de manera relevante, con una frontera explícita y manejable.

La implementación agrega otra fuente de variación. Un nuevo procedimiento puede cumplirse solo en ciertos turnos, mientras la simulación supone adopción completa. Registrar el cumplimiento permite distinguir una hipótesis equivocada de una ejecución parcial, aunque comparar directamente a quienes cumplen con quienes no lo hacen no identifica por sí solo efectos causales. Los equipos que logran cumplir pueden partir de mejores condiciones. La evaluación debe combinar la comparación de resultados con la observación de los procesos y una estrategia de atribución coherente.

462.10 Decidir con restricciones explícitas

El ejercicio muestra que añadir capacidad y reducir la variabilidad pueden mejorar las esperas mediante mecanismos diferentes. La magnitud de cada efecto depende del nivel de carga y de la dispersión inicial. Cerca de la saturación, perturbaciones pequeñas pueden producir aumentos grandes de la demora, mientras que con capacidad holgada una ampliación puede aportar poco. Por eso carece de fundamento trasladar una cifra de mejora de un servicio a otro sin considerar su régimen de utilización y sus reglas de flujo.

Una decisión con presupuesto limitado puede formularse como la elección del diseño de menor costo que cumpla límites asistenciales definidos. Por ejemplo, se podría exigir que una proporción determinada de personas reciba atención dentro de cierta ventana y que ningún grupo empeore más allá de un margen acordado. Esos límites incorporan juicios institucionales y clínicos. El modelo ayuda a evaluar si son factibles. Si ninguna alternativa los satisface, corresponde informar la incompatibilidad en lugar de escoger el indicador que permita declarar éxito.

Las decisiones reversibles pueden implementarse de manera gradual, midiendo sus efectos sobre otros servicios. Modificar la distribución de citas durante un período permite observar si la demanda se desplaza o si aparecen nuevas barreras de acceso. Aumentar la dotación estructural exige además evaluar su sostenibilidad. En ambos casos conviene fijar de antemano criterios de revisión, es decir, las señales que mostrarían que el mecanismo supuesto no opera o que el beneficio local se obtiene trasladando una carga excesiva a otra etapa.

La cola está formada por personas para quienes un mismo tiempo tiene consecuencias diferentes. Un intervalo tolerable para alguien puede hacer imposible la atención para quien depende de transporte, del cuidado de terceros o de permisos laborales. Incorporar esas restricciones no exige asignar un valor monetario único al tiempo de todos. Puede hacerse mediante resultados por grupos y medidas de acceso efectivo que describan concretamente quién se beneficia y quién soporta las demoras restantes.

El producto del trabajo formal es una comparación reproducible acompañada de sus supuestos, controles y límites. Las diferencias numéricas del ejemplo provienen de una simulación sintética y no constituyen evidencia sobre servicios reales. Muestran cómo se generan esas diferencias y qué mediciones permitirían contrastarlas. Una propuesta institucional tendría que traducir cada cambio de parámetro en una acción realizable y mantener el seguimiento del recorrido una vez que esa acción se ponga en práctica.

462.11 Comprobar qué significa capacidad ociosa

Una comprobación manual ayuda a interpretar la simulación. Supónganse dos servidores inicialmente libres y cuatro llegadas en los instantes cero, cero, un cuarto de hora y media hora. Sus duraciones son, respectivamente, una hora, media hora, un cuarto de hora y un cuarto de hora. Las dos primeras personas comienzan de inmediato. La tercera espera hasta que el segundo servidor termina, a la media hora. La cuarta espera hasta que ese mismo servidor concluye la tercera atención, a los tres cuartos de hora. Las esperas son de cero, cero, un cuarto y un cuarto de hora, con una media de un octavo de hora.

Durante la primera media hora ambos servidores están ocupados. Después, el primero continúa con su atención prolongada mientras el segundo procesa la cola. El caso muestra que una duración larga afecta a otras personas aunque la duración media del conjunto sea moderada. También permite revisar el algoritmo con una secuencia cuya solución se obtiene sin computador. Una implementación que, al encontrar ocupados ambos servidores, asignara la llegada a una posición fija de la lista en lugar del servidor que se libera antes, enviaría a la tercera persona al primer servidor y la haría esperar tres cuartos de hora.

Si se añade un tercer servidor, ninguna de las cuatro personas espera. La tercera usa el servidor adicional y termina justo cuando llega la cuarta. La capacidad suplementaria permanece libre durante parte del intervalo, aunque elimina la demora. Calificar ese tiempo libre como desperdicio exigiría decidir cuánto vale evitar la espera y qué tareas compatibles podrían realizarse sin perder disponibilidad.

La reserva de capacidad también puede absorber interrupciones que el modelo básico excluye. Un equipo necesita tiempo para consultar antecedentes, apoyar una decisión difícil o responder a una incidencia. Si esas actividades se registran como inactividad porque no corresponden a una atención individual facturable, la estimación de la capacidad efectiva será errónea. Conviene describirlas como trabajo con reglas propias y estudiar cuándo compiten con la atención programada.

En una ampliación del modelo, esas tareas podrían representarse como períodos de indisponibilidad o como solicitudes de servicio adicionales. La elección depende de si su aparición está programada, responde a las llegadas o aumenta con la congestión. En este último caso, una reducción de la espera podría liberar más capacidad de la que sugiere el cálculo inicial. Esa posible ganancia requiere evidencia del mecanismo y no debería incorporarse como beneficio automático de cualquier reorganización.

Referencias

Little, J. D. C. (1961). A proof for the queuing formula: L = λW. Operations Research, 9(3), 383–387. https://doi.org/10.1287/opre.9.3.383

Scholl, M., & Kleinrock, L. (1983). On the M/G/1 queue with rest periods and certain service-independent queueing disciplines. Operations Research, 31(4), 705–719. https://doi.org/10.1287/opre.31.4.705

Stidham, S. (1974). Technical note—A last word on L = λW. Operations Research, 22(2), 417–421. https://doi.org/10.1287/opre.22.2.417

Strum, D. P., May, J. H., & Vargas, L. G. (2000). Modeling the uncertainty of surgical procedure times: Comparison of log-normal and normal models. Anesthesiology, 92(4), 1160–1167. https://doi.org/10.1097/00000542-200004000-00035

Whitt, W., & Zhang, X. (2019). Periodic Little's law. Operations Research, 67(1), 267–280. https://doi.org/10.1287/opre.2018.1766