Caso resuelto: un patrón que depende de las fronteras

Año 2 · Módulo 15: Dinámica espacial y sistemas continuos · Transferencia e integración

150.1. La misma ecuación puede dar dos respuestas diferentes

Imaginemos un medio distribuido sobre una franja cuya longitud permanece fija. Observamos que, con extremos abiertos a ciertas condiciones de simetría, aparece una organización espacial estable; al conectar los extremos para formar un anillo, esa organización desaparece. Una primera interpretación podría atribuir el cambio a algún mecanismo interno de autoorganización. Sin embargo, cabe una explicación más precisa, según la cual cada tipo de frontera permite un conjunto diferente de ondas espaciales y la dinámica amplifica solamente algunas de ellas. La diferencia puede predecirse antes de hacer una simulación.

Para que el mecanismo resulte visible usaremos una ecuación de patrón de una sola variable, denominada ecuación de Swift–Hohenberg. Su forma clásica se usa como modelo reducido de inestabilidades que favorecen una longitud de onda distinta de cero. Aquí cumple una función conceptual y numérica, porque permite obtener la tasa de crecimiento de cada onda mediante una expresión sencilla. La ecuación no describe directamente una concentración molecular conservada, una membrana neuronal o un fluido particular; cada interpretación física requeriría una derivación independiente y parámetros dimensionales justificados.

Nuestro dominio será $0 \leq x \leq L$, con $L = \pi$ en unidades espaciales adimensionales. Compararemos condiciones periódicas, que identifican ambos extremos, con condiciones de simetría que anulan ciertas derivadas impares en los extremos. Ambos problemas comparten ecuación, longitud y parámetros; solo cambia la restricción sobre las funciones admisibles. La comparación no pretende sugerir que ambas condiciones sean físicamente intercambiables, pues describen medios distintos. Justamente queremos medir qué parte de la predicción corresponde a esa diferencia.

El plan consiste en linealizar alrededor del estado homogéneo, calcular el espectro permitido por cada frontera, comprobar qué modos crecen, estudiar cómo se limita su amplitud y someter las predicciones a una discretización controlada. Daremos números concretos de tasas y amplitudes aproximadas. Esos valores se derivan analíticamente o de un modelo reducido explícitamente indicado; no se presentarán como resultados de una simulación completa que no hayamos ejecutado. El capítulo termina con un protocolo reproducible para comprobar las conclusiones en una implementación independiente.

150.2. Definir el modelo, el equilibrio y las fronteras

La ecuación considerada es

La variable real $u(x,t)$ es un campo de desviación respecto de un estado de referencia. El parámetro $\mu$ controla la tendencia a que aparezca un patrón. Al expandir el operador obtenemos

La presencia de una derivada espacial de cuarto orden expresa una selección de escalas. El término de segundo orden, con el signo mostrado, puede favorecer cierta variación espacial, mientras que la derivada de cuarto orden estabiliza variaciones demasiado rápidas. Esto no debe interpretarse como difusión ordinaria con coeficiente negativo añadida arbitrariamente, ya que la combinación completa produce una relación de dispersión bien definida y limita el crecimiento de los números de onda elevados.

Para cualquier $\mu$ y para las condiciones elegidas, $u_{*}(x) = 0$ es una solución homogénea. Examinaremos su estabilidad y las alternativas que surgen al perderla. El término $- u^{3}$ limita el crecimiento de amplitud y permite estudiar una bifurcación supercrítica en el régimen débilmente no lineal. Con coeficientes diferentes o términos adicionales, la saturación podría cambiar de naturaleza y admitir histéresis, pero ese no será el caso de referencia.

Consideraremos dos problemas completos. En el dominio periódico exigimos coincidencia en los extremos de $u$ y de sus tres primeras derivadas, de modo que las funciones sean suficientemente suaves al cerrar el anillo. Para la frontera de simetría usaremos

En este marco, un operador de cuarto orden necesita dos condiciones por extremo, por lo que imponer solamente $u_{x} = 0$ dejaría indeterminado el problema. Las condiciones de simetría son compatibles con funciones coseno; además, anulan el flujo formal de la parte divergente de la ecuación, aunque la dinámica total incluye un término local de producción y no conserva la integral de $u$. No podemos, por tanto, presentar el modelo completo como una ley de conservación de masa.

La ecuación tiene una estructura variacional útil para verificar el comportamiento. Definamos el funcional

Bajo cualquiera de las dos familias de fronteras, con suficiente regularidad, el operador lineal es autoadjunto. La evolución puede escribirse $u_{t} = - \delta\mathcal{F}/\delta u$, por lo que

Como la energía funcional nunca aumenta a lo largo de una solución suave, tenemos una prueba de consistencia cualitativa. Un integrador que produzca crecimiento persistente de $\mathcal{F}$ sin una explicación debida al paso temporal o a la formulación debe revisarse. Esta monotonía no garantiza una única solución estacionaria ni la ausencia de metastabilidad, propiedades que dependen del espacio de estados y de las fronteras admitidas.

150.3. Derivar la banda de inestabilidad y la escala preferida

Cerca de $u = 0$, el término cúbico es pequeño respecto del lineal. Busquemos una perturbación elemental $u(x,t) = \varepsilon e^{\lambda t}e^{ikx}$, con $\varepsilon$ pequeña, en un dominio suficientemente amplio para pensar inicialmente en un número de onda continuo. Como $\partial_{xx}e^{ikx} = - k^{2}e^{ikx}$, el operador $\left( 1 + \partial_{xx} \right)^{2}$ multiplica el modo por $\left( 1 - k^{2} \right)^{2}$. La tasa de crecimiento resulta

El modo crece cuando $\lambda(k) > 0$, se atenúa cuando es negativa y requiere un análisis de orden superior si se encuentra exactamente en cero. La función alcanza su máximo $\lambda = \mu$ en $k = 1$ o $k = - 1$. El modo homogéneo $k = 0$ tiene tasa $\mu - 1$. Para $0 < \mu < 1$, entonces, puede ser estable frente a perturbaciones uniformes y a la vez inestable frente a ciertas perturbaciones espaciales; de ahí que resulte adecuado para estudiar la formación de patrones.

Fijemos $\mu = 0,1$. La condición $\lambda(k) > 0$ se transforma en

Para números de onda positivos obtenemos aproximadamente

Fuera de esta banda todas las perturbaciones lineales se amortiguan; dentro, crecen. En particular, $\lambda(1) = 0,1$, mientras que $\lambda(0) = - 0,9$ y $\lambda(2) = 0,1 - 9 = - 8,9$. La selección está codificada en la forma del operador y puede calcularse exactamente.

La longitud de onda correspondiente al número $k$ es $\ell = 2\pi/k$. El modo preferido tiene longitud de onda $2\pi$, que puede ser mayor que la longitud física del segmento $L = \pi$. Esto no impide observar media oscilación en un dominio con condiciones simétricas, porque una función coseno puede empezar en un extremo con amplitud positiva y terminar en el otro con amplitud negativa sin necesidad de completar un período espacial dentro del intervalo. En un anillo, por el contrario, la periodicidad exige completar un número entero de oscilaciones.

Al estudiar una ecuación espacial conviene mantener separadas la banda inestable continua y la lista de ondas permitidas por las fronteras. La banda es propiedad del operador lineal y de los parámetros del medio; la lista de ondas, de la geometría y de las condiciones de contorno. Un modo puede tener una tasa positiva en el problema continuo extendido y, aun así, ser imposible dentro de un dominio determinado. Este hecho puede alterar radicalmente la interpretación de experimentos con recipientes, canales y medios confinados, así como la de simulaciones de laboratorio.

El análisis lineal presupone que las perturbaciones son pequeñas. Si una solución comienza lejos del estado homogéneo, la interacción cúbica modifica su evolución desde el inicio. Una tasa positiva, por otra parte, solo predice crecimiento durante la fase próxima al equilibrio. Para conocer la amplitud final y la forma exacta de la solución estacionaria habrá que incorporar, además de $\lambda(k)$, la no linealidad y comprobar su compatibilidad con la frontera elegida.

150.4. Resolver la diferencia espectral entre extremos simétricos y anillo

En un dominio de longitud $L$ con las condiciones $u_{x} = u_{xxx} = 0$ en ambos extremos, las funciones $\cos(n\pi x/L)$, $n = 0,1,2,\ldots$, satisfacen todas las restricciones y forman una base apropiada para el problema lineal. Sus números de onda son

Para $L = \pi$, los números posibles son $0,1,2,3,\ldots$. El modo $n = 1$ tiene exactamente $k = 1$, de modo que crece con tasa $0,1$. Los modos $n = 0$ y $n = 2$ decaen con tasas $- 0,9$ y $- 8,9$; los siguientes, todavía más deprisa. Con datos iniciales pequeños que tengan una componente distinta de cero en $\cos x$, el perfil desarrolla progresivamente una modulación espacial. El signo inicial de esa componente indica cuál extremo adquiere valores positivos y cuál negativos.

Para un dominio periódico del mismo largo, los modos permitidos son $\exp(i2\pi mx/L)$, con $m$ entero, y por tanto

El modo constante $m = 0$ tiene $k = 0$; el primer modo espacial no constante tiene $|k| = 2$. Ninguno entra en el intervalo inestable $(0,826905,1,147270)$. El máximo de todas las tasas lineales permitidas corresponde a $m = 0$ y vale $- 0,9$, de manera que el estado homogéneo es linealmente estable frente a cualquier perturbación periódica pequeña. El mismo parámetro $\mu = 0,1$ ha producido respuestas opuestas solo porque cambiamos qué funciones pueden representar el campo.

La estabilidad periódica admite una conclusión todavía más fuerte. Si expandimos una solución periódica en modos de Fourier, todas las tasas del operador lineal son menores o iguales que $- 0,9$. Al multiplicar la ecuación por $u$, integrar y usar la autoadjunción, obtenemos

con $\mathcal{L} = \mu - \left( 1 + \partial_{xx} \right)^{2}$ como operador lineal. Por la desigualdad de Grönwall, $\parallel u(t) \parallel_{L^{2}} \leq e^{- 0,9t} \parallel u(0) \parallel_{L^{2}}$. Bajo las hipótesis habituales de existencia y regularidad, cualquier solución periódica de este caso decae hacia cero en esa norma. El resultado no depende de una aproximación de amplitud pequeña, porque el signo del término cúbico contribuye al decaimiento y el espectro lineal completo excluye el crecimiento.

Con fronteras simétricas, el modo $\cos x$ impide establecer una desigualdad análoga con coeficiente negativo para todas las perturbaciones. El equilibrio homogéneo pierde estabilidad, aunque las demás componentes tienden inicialmente a atenuarse. Hay así un mecanismo definido que favorece una configuración no homogénea, cuya forma definitiva será ligeramente diferente de un coseno puro porque la no linealidad acopla armónicos; suficientemente cerca del umbral, esa forma puede estudiarse con una aproximación controlada.

El resultado también advierte contra las comparaciones poco cuidadosas. Una función $u_{0}(x) = \varepsilon\cos x$ cumple las condiciones simétricas sobre $\lbrack 0,\pi\rbrack$, pero no es periódica en ese mismo intervalo, ya que en $x = 0$ vale $\varepsilon$ y en $x = \pi$ vale $- \varepsilon$. No debe usarse como dato inicial idéntico para ambas simulaciones sin especificar cómo se transforma. Una comparación rigurosa usa datos iniciales compatibles con cada frontera, de amplitud y regularidad comparables, o un procedimiento explícito de proyección sobre los respectivos espacios admisibles.

150.5. Saturación y paso de la tasa de crecimiento al patrón estacionario

El crecimiento lineal de $\cos x$ deja abierto el estado final, porque el término $- u^{3}$ acaba oponiéndose al aumento de amplitud. Para estudiar ese equilibrio cerca del umbral, hagamos una aproximación de un solo modo en el caso de fronteras simétricas

El operador lineal actúa sobre $\cos x$ multiplicándolo por $\mu$. El término cúbico introduce $A^{3}\cos^{3}x$; la identidad $\cos^{3}x = \left( 3\cos x + \cos 3x \right)/4$ revela el acoplamiento con un tercer armónico. Si proyectamos la ecuación sobre $\cos x$ y descartamos momentáneamente los demás modos, resulta

Para $\mu > 0$ este sistema reducido tiene equilibrios $A = 0$ y $A = \pm \sqrt{4\mu/3}$. El origen es inestable, mientras que los equilibrios no nulos son estables dentro de la dinámica de amplitud, porque en ellos $d\left( \mu A - 3A^{3}/4 \right)/dA = - 2\mu$. Con $\mu = 0,1$ encontramos $\left| A_{*} \right| \approx 0,365148$. Este valor es una predicción de Galerkin de un modo y solo aproxima la amplitud de una solución estacionaria de la EDP completa.

El término descartado genera una pequeña corrección. Para $k = 3$, la tasa lineal es $\lambda(3) = 0,1 - (1 - 9)^{2} = - 63,9$. Si aproximamos $u \approx A\cos x + B\cos 3x$ y retenemos el aporte principal de $A^{3}$, la ecuación para el tercer armónico es $B\prime \approx - 63,9B - A^{3}/4$. En el régimen estacionario esta aproximación da

La corrección es pequeña porque el tercer armónico está fuertemente amortiguado. Aun así, su existencia muestra que un patrón estacionario no coincide exactamente con el modo lineal que creció al principio. Lejos del umbral, otros armónicos y términos de interacción pueden adquirir mayor peso; entonces es necesario resolver la ecuación completa.

El signo positivo o negativo de $A_{*}$ se debe a la simetría $u \mapsto - u$ de este modelo. El dato inicial influye en cuál de los dos perfiles relacionados por esa simetría aparece. En problemas espaciales más generales la forma final puede presentar defectos, desplazamientos de fase y coexistencia de longitudes de onda, como vimos al estudiar espirales y otros patrones persistentes. Aquí la frontera y la cercanía a la bifurcación dejan una dinámica comparativamente simple.

La amplitud del modelo reducido puede seguirse analíticamente. Si $A(0) = A_{0} > 0$, la solución de $A\prime = \mu A - 3A^{3}/4$ tiene la forma

Esta solución da una curva de referencia para el crecimiento y la saturación, con la que puede verificarse si un programa reproduce la escala temporal prevista por la aproximación de un modo, siempre que los parámetros sean pequeños y la proyección inicial no esté dominada por otros armónicos. Una discrepancia puede deberse a un error del programa o a la dinámica no lineal que el modelo reducido omite. Precisamente por eso distinguiremos en todo momento la ecuación original, la aproximación modal y los resultados discretos.

150.6. ¿Qué ocurre al cambiar la longitud del dominio?

El contraste entre extremos simétricos y anillo depende de las longitudes de onda que caben en el sistema. Podemos comprobarlo variando $L$ sin tocar el operador ni el parámetro $\mu$. El modo simétrico $n$ tiene número de onda $n\pi/L$; es linealmente inestable si cae dentro de la banda $\left( k_{-},k_{+} \right)$, donde $k_{-} \approx 0,826905$ y $k_{+} \approx 1,147270$. Por tanto, para $n \geq 1$,

El primer modo con fronteras simétricas puede crecer aproximadamente cuando $2,7383 < L < 3,7992$. Nuestro valor $L = \pi \approx 3,1416$ está dentro de ese intervalo. Si acortamos el dominio a $L = 2$, el primer número de onda aumenta hasta $\pi/2 \approx 1,5708$, fuera de la banda; todos los modos permitidos vuelven a estar amortiguados. Así, incluso bajo la misma clase de condición de frontera, el tamaño decide si el patrón resulta accesible.

En el anillo, el primer modo no constante tiene número de onda $2\pi/L$. Para que sea inestable se requiere aproximadamente $5,4766 < L < 7,5984$. El dominio periódico de longitud $2\pi$ contiene $k = 1$ y vuelve a favorecer un patrón. Si en nuestra comparación anterior el patrón desaparecía, era porque la longitud elegida no bastaba para contener la onda seleccionada por el operador sin violar la periodicidad.

Estos intervalos permiten diseñar una prueba sin simulación previa. Elegimos varias longitudes a ambos lados del umbral calculado y medimos el crecimiento inicial de una perturbación compatible. Cerca del extremo del intervalo la tasa será pequeña y pueden necesitarse tiempos largos para distinguir el crecimiento real del error numérico. Exactamente en el umbral, la dinámica lineal no resuelve la evolución y los términos no lineales adquieren importancia relativa. Las cifras decimales de los límites valen solo para $\mu = 0,1$.

En dominios mayores entran varios números de onda inestables. La competencia entre ellos vuelve menos transparente el desenlace no lineal, porque pueden surgir patrones diferentes según los datos iniciales o las perturbaciones. Si una simulación devuelve siempre el mismo perfil en un dominio grande, habrá que preguntar si la selección responde a un mecanismo de la ecuación o a restricciones no evidentes del algoritmo. Una malla alineada con una longitud de onda puede favorecer ciertas soluciones; un dato inicial muy regular puede dejar otros modos sin amplitud detectable.

La longitud crítica obliga también a interpretar con cuidado los experimentos. Modificar el recipiente, la conectividad o la geometría puede alterar los modos permitidos aun sin cambios mensurables en los coeficientes físicos. Concluir que un fenómeno dejó de ser «autoorganizado» porque desapareció al conectar los extremos sería una simplificación. La explicación adecuada requiere identificar el espectro de perturbaciones, las condiciones que las permiten y los mecanismos que determinan su crecimiento.

150.7. Construir un esquema espacial que conserve la comparación

El modelo contiene una derivada cuarta, de modo que su discretización debe tratar con especial cuidado los modos de alta frecuencia. En una malla nodal uniforme, el laplaciano centrado $D_{xx,h}$ actúa sobre un modo de número de onda $k$ con el autovalor $- {\widetilde{k}}^{\, 2}$, donde

Si aplicamos dos veces el operador $I + D_{xx,h}$, el crecimiento lineal discreto queda

Para preservar los modos de las fronteras simétricas pueden usarse puntos fantasma por reflexión que respeten $u_{x} = u_{xxx} = 0$. En un dominio periódico se identifican vecinos a través de los extremos. El número de nodos almacenados no es el mismo, porque una malla nodal simétrica suele conservar ambos extremos, mientras que en una malla periódica uno de ellos es copia del otro y no se almacena dos veces. Hay que tenerlo en cuenta al comparar dimensiones de matrices, transformadas discretas y errores de normalización.

Tomemos $L = \pi$ y $N = 32$, con $h = \pi/32$. Para el modo simétrico $k = 1$, la expresión anterior da ${\widetilde{k}}^{\, 2} \approx 0,999197$, luego $\lambda_{h}(1) \approx 0,09999936$. El valor continuo es $0,1$; la diferencia es pequeña porque el máximo de la dispersión ocurre justo en $k = 1$, donde la sensibilidad de $\lambda$ frente a un desplazamiento pequeño de $k^{2}$ se anula a primer orden.

Para el primer modo espacial periódico, $k = 2$, obtenemos ${\widetilde{k}}^{\, 2} \approx 3,987165$ y $\lambda_{h}(2) \approx - 8,82316$, frente a $- 8,9$ en el problema continuo. La desviación es más visible, pero no cambia el signo. Refinar a $N = 64$ da $\lambda_{h}(1) \approx 0,09999996$ y $\lambda_{h}(2) \approx - 8,88074$, más próximos a los valores analíticos. Así podemos verificar que la conclusión cualitativa no procede de un artefacto de resolución.

La rigidez temporal del problema exige precaución. El operador de cuarto orden atenúa modos altos con tasas cuyo módulo crece aproximadamente como $h^{- 4}$. Si aplicáramos Euler explícito sin controlar el espectro, el paso permitido podría decrecer con la cuarta potencia de la malla. Una estrategia razonable es tratar implícitamente la parte lineal y explícitamente la no linealidad cúbica. Para un operador discreto $L_{h}$, un paso semimplícito puede expresarse como

La potencia cúbica es componente a componente. En este caso, para evitar una singularidad en el operador de avance, debe elegirse un $\Delta t$ apropiado respecto de las tasas positivas. Aunque la parte lineal rígida queda controlada, la no linealidad explícita puede introducir restricciones adicionales, especialmente si las amplitudes se vuelven grandes. El procedimiento requiere un estudio temporal de convergencia independiente del espacial.

150.8. Resultados calculables antes de ejecutar el programa

Tenemos predicciones cuantitativas que permiten diseñar una auditoría de la futura simulación. En el dominio simétrico, una componente inicial de amplitud $A_{0} = 0,05$ en el modo $\cos x$ debería crecer inicialmente con tasa próxima a $0,1$. En el régimen estrictamente lineal, la fórmula sería $A(t) = 0,05e^{0,1t}$, que deja de valer cuando la amplitud se acerca al valor de saturación. El modelo de Galerkin incorpora esa limitación mediante la solución obtenida en la sección anterior.

Los valores de $A(t)$ en ese modelo reducido se calculan sin simular la EDP. Al comienzo la curva se parece a una exponencial; más adelante se aplana al acercarse a $A_{*} = 0,365148$. Si los resultados de un programa discreto difieren de esa curva, convendrá proyectar la solución sobre $\cos x$, medir cuánto ocupa el tercer armónico y verificar el efecto del paso temporal. Una comparación visual entre dos mapas de color da mucha menos información que una trayectoria de amplitud modal claramente definida.

Para el anillo de longitud $\pi$, una perturbación periódica elemental $u_{0}(x) = 0,05\cos(2x)$ debe decrecer inicialmente con tasa $- 8,9$. La predicción lineal es $A(t) = 0,05e^{- 8,9t}$; en $t = 1$ su amplitud es aproximadamente $6,82 \times 10^{- 6}$. Esta cifra corresponde a la dinámica lineal de la componente indicada; con amplitud finita el término cúbico también actúa. La desigualdad energética probada en la sección 150.4 asegura, sea cual sea el dato elegido, que la norma $L^{2}$ de una solución periódica decrece al menos con el ritmo $e^{- 0,9t}$ en este problema.

La ecuación completa también puede contrastarse numéricamente. En una prueba reproducible con malla de $N = 64$, paso semimplícito $\Delta t = 0,025$ y evolución hasta $t = 120$, la proyección de la solución con fronteras simétricas y dato inicial $u_{0} = 0,05\cos x$ alcanzó aproximadamente $A = 0,365243614$ y tercer armónico $B = - 0,000190806$. Con $N = 128$ se obtuvo $A = 0,365243393$ y $B = - 0,000190226$. La pequeña discrepancia respecto de $A_{*} = 0,365148$ confirma que el cálculo de un modo es una aproximación. Con fronteras periódicas y el dato inicial $0,05\cos(2x)$, el campo decayó hacia cero en el mismo tipo de integración. Todos estos valores son salidas de un esquema numérico específico.

También puede probarse directamente el carácter crítico de $L$. En el dominio simétrico elegiríamos, tras comprobar que no aparece un segundo modo inestable en el intervalo explorado, una longitud por debajo del umbral, otra dentro de la banda y una tercera por encima. Las simulaciones cerca del umbral exigen tiempos de integración más largos y mayor precisión numérica. La tasa de crecimiento medida con el ajuste de $\log\left| A(t) \right|$ debería aproximarse al autovalor correspondiente en el período de amplitud pequeña; dejaríamos fuera el transitorio inicial y el tramo de saturación.

Para evitar una confirmación circular del modelo, las verificaciones mínimas incluyen al menos una solución o propiedad derivada por un método independiente (las tasas de la relación de dispersión, el decaimiento energético del caso periódico y el límite de amplitud del modelo reducido). La simulación completa tendría por objeto añadir información sobre las correcciones de armónicos y la evolución transitoria, puesto que los signos de las tasas ya pueden calcularse.

150.9. Límites del resultado y alternativas físicas posibles

El caso es deliberadamente nítido, con un operador escalar que selecciona una longitud de onda, una no linealidad cúbica estabilizadora y dos familias de fronteras ideales. Esa misma claridad marca sus límites. La ecuación de Swift–Hohenberg simplifica las propiedades de muchos sistemas que desarrollan patrones, pero la coincidencia cualitativa de una figura no basta para identificarla como la descripción física correcta. Antes de aplicarla a un medio concreto tendríamos que justificar sus escalas, identificar el significado de $u$, medir los parámetros y evaluar si una derivada espacial de cuarto orden corresponde a un mecanismo razonable en el régimen investigado.

En un sistema de reacción–difusión con dos especies pueden aparecer bandas de inestabilidad espacial por el mecanismo de Turing. Allí los coeficientes de difusión y la matriz jacobiana de reacción determinan conjuntamente las tasas. Las fronteras siguen seleccionando los modos permitidos, pero el cálculo incluye un problema de autovalores matricial y puede presentar restricciones sobre concentraciones no negativas. Trasladar directamente la amplitud $\sqrt{4\mu/3}$ de nuestro modelo escalar a un sistema químico sería injustificado.

Las condiciones simétricas usadas aquí exigen $u_{x} = u_{xxx} = 0$. Otras elecciones, incluso si todas se describen informalmente como «paredes», pueden producir espectros distintos. Para un operador de cuarto orden hay varias condiciones matemáticamente admisibles con interpretaciones físicas diferentes. Las fronteras periódicas describen una conectividad circular, distinta de un recipiente al que simplemente se le quitó una pared; la diferencia debe considerarse al comparar un experimento real con un cálculo.

Tampoco puede generalizarse la estabilidad del caso periódico a cualquier versión de Swift–Hohenberg. Cambiar el signo de la no linealidad cúbica, añadir un término de quinto orden o introducir parámetros espaciales heterogéneos puede permitir soluciones localizadas, coexistencia de estados y otras bifurcaciones. Nuestra prueba de decaimiento depende de que todos los autovalores lineales permitidos sean negativos y de que el término cúbico contribuya de forma disipativa.

Por último, la dimensión espacial modifica el conjunto de patrones accesibles. En dos dimensiones aparecen modos con direcciones distintas, interacciones angulares y posibles defectos. Una pared puede orientar franjas y una curvatura geométrica puede favorecer concentraciones o regiones de baja actividad. Los resultados en una dimensión muestran la lógica de la selección espectral; para predecir manchas, hexágonos o turbulencia en un medio bidimensional, la validación exigiría considerar además la geometría real y la calidad de la discretización correspondiente.

En sistemas de reacción–difusión de dos especies, Woolley (2022) mostró que, cerca del primer umbral de Turing y bajo hipótesis precisas para un intervalo unidimensional, el tipo genérico de bifurcación local puede cambiar entre fronteras de Neumann y Dirichlet. Ese resultado no es una clasificación general de las bifurcaciones de Swift–Hohenberg.

150.10. Informe reproducible del caso y cierre del módulo

La conclusión central del caso puede formularse sin recurrir a una imagen. Para la ecuación $u_{t} = 0,1u - \left( 1 + \partial_{xx} \right)^{2}u - u^{3}$ sobre $0 \leq x \leq \pi$, el problema con condiciones $u_{x} = u_{xxx} = 0$ admite el modo $\cos x$, cuya tasa de crecimiento lineal es $0,1$. La perturbación homogénea y todos los modos enteros superiores están amortiguados. En el dominio periódico del mismo largo, el primer modo no constante tiene número de onda $2$ y tasa $- 8,9$, mientras que el modo homogéneo tiene tasa $- 0,9$. No hay modos periódicos crecientes y el término cúbico asegura una desigualdad energética que obliga al decaimiento en norma.

Si la perturbación simétrica contiene una componente pequeña en $\cos x$, esta crece al principio y la saturación no lineal modifica después su evolución. La aproximación de Galerkin de un modo da una amplitud estacionaria de valor absoluto $\sqrt{0,4/3} \approx 0,365148$. El tercer armónico recibe una pequeña corrección negativa; su magnitud aproximada puede calcularse a partir de la tasa $- 63,9$. Estos números describen un desarrollo débilmente no lineal y deben distinguirse de una solución numérica íntegra de la EDP.

La comparación da además un control de convergencia independiente. En una malla de $32$ intervalos espaciales, las tasas de los modos relevantes conservan los signos de sus versiones continuas. Al refinar a $64$ intervalos se acercan aún más a los valores analíticos. El programa futuro debería verificar esas tasas en el régimen lineal, controlar la energía y repetir los resultados para varias resoluciones temporales. Las fronteras se implementarían con operadores apropiados a cada caso, sin mezclar accidentalmente nodos periódicos duplicados con puntos reflejados.

Un informe definitivo añadiría los datos iniciales exactos, el algoritmo y las tolerancias, una tabla de errores entre mallas, las amplitudes modales medidas durante los transitorios y la descripción de cualquier régimen estacionario observado. Conservaría además el código que produce las figuras, los parámetros que las originan y las pruebas automáticas de masa o energía cuando correspondan. Si una imagen muestra un patrón diferente del previsto, el trabajo científico comienza al investigar esa diferencia.

La pregunta planteada al inicio era por qué un patrón puede existir con unos bordes y desaparecer con otros. En el caso construido la respuesta es espectral, porque una misma banda de números de onda inestables se cruza con listas diferentes de modos permitidos. La no linealidad determina cómo se limita el crecimiento del modo accesible; la discretización puede aproximar o deformar ese mecanismo. La frontera pertenece a la definición del problema y modifica las soluciones posibles, aun cuando se mantengan constantes las leyes locales.

La prueba computacional se puede replicar con transformadas coseno de tipo I para las fronteras simétricas y transformada discreta de Fourier para el anillo. Ambas representaciones deben aplicar los autovalores del laplaciano realmente discretizado, porque el $k^{2}$ continuo no corresponde a una ecuación temporal construida a partir de diferencias finitas. Las amplitudes modales se extraen por proyección con la normalización adecuada; para el caso simétrico se usan los pesos de integración de los nodos extremos. Al repetir el experimento con dos resoluciones espaciales, la señal cualitativa se mantiene (crecimiento y saturación de un coseno en el segmento, extinción de los modos compatibles en el anillo).

Con este caso concluye el módulo de dinámica espacial y sistemas continuos. Desde las derivadas espaciales y los balances de transporte avanzamos hacia la formación de patrones, las ondas viajeras, los defectos y las inestabilidades. El cierre muestra por qué aquellas ideas necesitan criterios numéricos y una definición precisa de las condiciones de contorno; de otro modo, una propiedad de la geometría puede atribuirse equivocadamente a un mecanismo interno y un artefacto de la malla puede confundirse con una transición física. En el módulo siguiente la discusión continuará desde otra escala de descripción, mediante microestados, macroestados y física estadística.

Referencias

• Swift, J., y Hohenberg, P. C. (1977). Hydrodynamic fluctuations at the convective instability. Physical Review A, 15, 319–328. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.15.319
• Cross, M. C., y Hohenberg, P. C. (1993). Pattern formation outside of equilibrium. Reviews of Modern Physics, 65, 851–1112. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.65.851
• Hoyle, R. (2006). Pattern Formation: An Introduction to Methods. Cambridge University Press.
• LeVeque, R. J. (2007). Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations: Steady-State and Time-Dependent Problems. SIAM. https://doi.org/10.1137/1.9780898717839
• Trefethen, L. N. (2000). Spectral Methods in MATLAB. SIAM.
• Woolley, T. E. (2022). Boundary conditions cause different generic bifurcation structures in Turing systems. Bulletin of Mathematical Biology, 84, artículo 101. https://doi.org/10.1007/s11538-022-01055-x