Microestados, macroestados y multiplicidad

Año 2 · Módulo 16: Física estadística: microestados, equilibrio y transiciones · Comprensión formal

151.1. Por qué una descripción macroscópica puede ser estable cuando nada permanece quieto

Un recipiente contiene un gas en equilibrio térmico. La presión medida contra sus paredes fluctúa alrededor de un valor estable y el termómetro mantiene una lectura prácticamente constante. Bajo esa apariencia tranquila, las moléculas chocan y cambian constantemente de velocidad. Si pudiéramos seguir una de ellas, encontraríamos una trayectoria complicada. Si registráramos miles de millones, tendríamos una cantidad inmanejable de información. Las propiedades macroscópicas son mucho más sencillas que las trayectorias microscópicas que las sostienen. La física estadística investiga cómo es posible esa diferencia.

Conviene abandonar desde el comienzo la idea de que el equilibrio macroscópico supone que el sistema ha dejado de cambiar. En un sistema físico común, el equilibrio significa que determinadas observaciones agregadas permanecen estadísticamente estables dentro de la precisión y de las escalas de tiempo relevantes. Una pared puede recibir choques con intensidades distintas en cada instante y, aun así, experimentar una presión media que apenas varía. Comprender esta estabilidad exige investigar cuántas configuraciones microscópicas son compatibles con una misma observación macroscópica.

La distinción aparece también fuera de los gases. Una pieza de material magnético puede mantener una magnetización promedio mientras sus componentes térmicos fluctúan. En una red con miles de unidades binarias, el número de unidades activas puede conservarse cerca de un valor típico aunque cambie constantemente cuáles lo están. Una colonia celular presenta una distribución relativamente estable de ciertos estados sin que cada célula conserve indefinidamente su estado individual. Las analogías son útiles para formular preguntas, pero las leyes estadísticas de un gas ideal no se trasladan automáticamente a sistemas vivos que consumen energía y mantienen flujos permanentes.

El problema central requiere dos escalas de descripción. Una especifica el estado microscópico con la resolución que admite la teoría; la otra conserva unas pocas magnitudes seleccionadas. Al pasar de la primera a la segunda, muchas configuraciones diferentes dejan de distinguirse. Si una misma descripción macroscópica admite una enorme cantidad de microestados, esa descripción puede ser muy probable bajo una medida estadística adecuada. La cantidad de configuraciones compatibles se denomina multiplicidad. Su valor establece la estructura combinatoria sobre la que puede construirse una explicación estadística, pero deja abierto cómo se mueve el sistema y con qué probabilidades explora sus estados.

En los capítulos anteriores estudiamos cómo las ecuaciones locales pueden producir patrones espaciales y cómo las fronteras seleccionan modos. La física estadística introduce otra forma de conectar escalas, basada en contar configuraciones y caracterizar dónde se concentra su peso estadístico. Ese razonamiento permitirá comprender la entropía, la temperatura y la aparición de leyes macroscópicas con un número reducido de variables. En esta primera clase construiremos el vocabulario a partir de ejemplos donde el conteo puede verificarse exactamente.

151.2. Qué cuenta como microestado según la precisión, la dinámica y las restricciones

Para un sistema clásico de $N$ partículas puntuales en tres dimensiones, un estado microscópico completo requiere las posiciones y los momentos de todas ellas. Puede representarse como un punto del espacio de fases,

Si las partículas evolucionan bajo un Hamiltoniano $H(\Gamma)$, las ecuaciones de Hamilton determinan una trayectoria en ese espacio. En ausencia de un mecanismo aleatorio explícito, conocer exactamente las condiciones iniciales y el Hamiltoniano idealmente determina la evolución. Nada en esta formulación exige que cada punto del espacio de fases tenga idéntica probabilidad. Las probabilidades se introducen al especificar un conjunto de preparación, una distribución de estados y las restricciones físicas que delimitan qué regiones son accesibles.

Contar microestados continuos exige cuidado, porque en una descripción clásica hay infinitos puntos dentro de cualquier región de volumen no nulo y decir simplemente que existen infinitos estados no da una multiplicidad utilizable. Se recurre al volumen de una región admisible del espacio de fases, con la normalización apropiada. En sistemas de partículas idénticas se introduce, bajo las condiciones pertinentes, el factor $1/N!$; la constante de Planck fija una escala de celdas de fase al relacionar la aproximación clásica con el conteo cuántico. Las cantidades obtenidas mediante diferentes convenciones de normalización pueden diferir en términos aditivos de entropía, aunque las predicciones termodinámicas físicas exigen una convención coherente.

La mecánica cuántica plantea el problema de otra manera. Un microestado puro puede representarse mediante un vector de estado o un proyector sobre un espacio de Hilbert. Cuando se cuentan estados energéticos ortogonales compatibles con un intervalo de energía, la dimensión del subespacio correspondiente da una multiplicidad finita en modelos con espacio de Hilbert finito. En sistemas con degeneraciones, varios estados distintos pueden compartir la misma energía. Para describir un sistema cuántico abierto o con preparación estadística puede ser necesaria una matriz densidad, que no equivale a enumerar un único estado puro desconocido.

Las restricciones cambian el espacio que contamos. Si fijamos el número de partículas y la energía, no corresponde sumar configuraciones que violan esos valores. Si una barrera hace imposible el paso de moléculas entre dos cámaras durante el experimento, las poblaciones de cada cámara pueden comportarse como cantidades conservadas adicionales. Si la barrera se retira, cambia el conjunto de microestados dinámicamente accesibles. Una comparación entre el antes y el después debe reflejar esa modificación sin atribuir toda la diferencia a una misteriosa tendencia interna al desorden.

Un ejemplo elemental permite separar estas ideas. Consideremos $N$ sitios numerados, cada uno ocupado por una variable $s_{i} \in \{ - 1, + 1\}$. Un microestado es una secuencia concreta de $N$ signos. Hay $2^{N}$ secuencias posibles antes de imponer restricciones adicionales. Si las variables interactúan mediante una energía $H = - J\sum_{\langle i,j\rangle}^{}s_{i}s_{j}$, las secuencias ya no son energéticamente equivalentes, aunque el número total de secuencias siga siendo $2^{N}$.

151.3. Un macroestado es una pregunta formulada sobre el sistema

Un macroestado es una clasificación de muchos microestados basada en ciertas magnitudes que podemos medir o que consideramos relevantes. Para el sistema de signos anterior, una variable macroscópica natural es la magnetización media,

Si $N$ es par y observamos $m = 0$, sabemos que hay igual cantidad de signos positivos y negativos. No sabemos qué sitios tienen cada signo ni conocemos las correlaciones entre vecinos. La información microscópica que no conserva la magnetización puede ser decisiva para la energía si hay interacción entre sitios. En particular, dos secuencias con $m = 0$ pueden tener números muy diferentes de pares alineados y, por tanto, energías distintas. La selección de variables macroscópicas determina qué diferencias consideramos invisibles.

Esta dependencia obliga a declarar los criterios de clasificación. Los macroestados no son por ello ficciones arbitrarias, ya que temperatura, volumen, energía, presión o magnetización pueden corresponder a procedimientos experimentales bien definidos. Si dividimos un gas en diez celdas y registramos la cantidad de partículas en cada una, construimos un macroestado más detallado que si solo registramos la cantidad total. Al refinar así la partición distinguimos configuraciones antes equivalentes y modificamos tanto los tamaños de las clases macroscópicas como la precisión con la que podremos asignarles entropías de Boltzmann.

Llamemos $\mathcal{M}$ al conjunto de microestados compatibles con un valor o intervalo de observables. Para un sistema discreto, su multiplicidad es

si la cardinalidad es finita. La notación $W$ recuerda que estamos contando configuraciones diferentes según una definición operativa. En el caso continuo usaremos un volumen de fase normalizado. Las probabilidades de dos macroestados con multiplicidades $W_{1}$ y $W_{2}$ serán proporcionales a esos números únicamente si sus microestados reciben el mismo peso en la medida estadística que hemos elegido.

El equilibrio puede comprenderse entonces como una región de macroestados donde se concentra casi todo el peso disponible. Esa concentración se vuelve especialmente marcada al aumentar el número de componentes bajo condiciones adecuadas. Una medición macroscópica revela una fracción de la información microscópica, pero esa pérdida de resolución permite obtener predicciones más simples y robustas. La robustez vale para observables agregados concretos; no hay razón para suponer que cualquier indicador definido a posteriori se comportará de manera estable.

Lo anterior es pertinente cuando se usan analogías en ciencias sociales o biológicas. Un estado agregado puede parecer estable por razones combinatorias, por regulación activa, por selección de trayectorias o por la forma en que se obtienen los datos. Contar configuraciones aclara una de esas posibilidades; saber cuál de los mecanismos opera en un sistema particular requiere información adicional.

151.4. Resolución exacta de la multiplicidad con cien variables binarias

Tomemos cien sitios distinguibles sin interacciones energéticas y supongamos, por el momento, que cada configuración binaria tiene el mismo peso. Definamos $n$ como la cantidad de sitios con signo positivo. El macroestado queda especificado por ese número y su magnetización es $m = (2n - 100)/100$. Para construir una configuración con $n$ positivos debemos elegir qué $n$ posiciones entre cien reciben ese signo. La multiplicidad exacta es

El macroestado extremo $n = 100$ contiene una sola configuración, aquella en que todos los sitios son positivos. Lo mismo ocurre con $n = 0$. En cambio, $n = 50$ admite $100$ sobre $50$ posibilidades, aproximadamente $1,009 \times 10^{29}$. El número total de microestados es $2^{100}$, aproximadamente $1,268 \times 10^{30}$. De ahí resulta una probabilidad de alrededor del $7,96\%$ para el valor exacto $n = 50$, bajo la medida uniforme. Esa probabilidad parece modesta porque muchos valores cercanos a cincuenta también concentran un peso considerable.

La distribución exacta de $n$ es binomial,

La desviación estándar es cinco sitios. Observar cincuenta y cinco positivos supone alejarse una desviación estándar del valor medio, algo compatible con la concentración en torno al equilibrio. Observar noventa positivos, en cambio, requiere una fluctuación mucho más excepcional. Que un macroestado tenga el máximo de multiplicidad no implica que una medición produzca exactamente ese valor cada vez, porque el equilibrio estadístico incluye fluctuaciones.

¿Qué sucede si aumentamos a diez mil sitios independientes? El valor esperado de $n$ crece a cinco mil y la desviación estándar a cincuenta, pero la fluctuación relativa se reduce mucho, hasta $50/5000 = 1\%$. En general, para $N$ sitios, la desviación estándar de la fracción positiva $p = n/N$ es $1/\left( 2\sqrt{N} \right)$. Su reducción con el tamaño explica por qué una fracción macroscópica puede permanecer cerca de un valor típico mientras los signos individuales cambian constantemente.

Un cálculo numérico debe evitar la evaluación directa de factoriales enormes. Para $N$ grande se trabaja con logaritmos, por ejemplo $\ln W = \ln\Gamma(N + 1) - \ln\Gamma(n + 1) - \ln\Gamma(N - n + 1)$, donde $\Gamma$ es la función gamma. Si solo interesa comparar multiplicidades relativas puede usarse la recurrencia $W(n + 1)/W(n) = (N - n)/(n + 1)$. Esta relación muestra de inmediato que $W$ aumenta hasta el centro y disminuye después. Da además una verificación sencilla que no depende de números que excedan el rango de precisión de una computadora.

El ejemplo descansa en una hipótesis que conviene hacer explícita, la medida uniforme sobre todas las configuraciones. En un campo magnético externo, con interacciones o con restricciones de energía, los pesos cambian. La fórmula combinatoria para $W(n)$ sigue contando las configuraciones de magnetización dada, pero la probabilidad del macroestado necesitará incorporar su energía. En capítulos posteriores, el modelo de Ising permitirá estudiar precisamente esa competencia entre multiplicidad y coste energético.

151.5. Por qué aparece la entropía al pasar del factorial al logaritmo

En sistemas macroscópicos la multiplicidad crece con tanta rapidez que suele ser más informativo estudiar su logaritmo. Ludwig Boltzmann relacionó el conteo de configuraciones con la entropía macroscópica; para un macroestado con estados elementales equiprobables se escribe

donde $k_{B}$ es la constante de Boltzmann. Esta expresión define la entropía de Boltzmann. Para sistemas continuos debe interpretarse mediante volúmenes de fase adecuadamente normalizados. El logaritmo transforma productos enormes en sumas; si dos sistemas independientes tienen multiplicidades $W_{A}$ y $W_{B}$, entonces $W_{AB} = W_{A}W_{B}$ y $S_{AB} = S_{A} + S_{B}$. La aditividad es útil porque muchas cantidades termodinámicas son extensivas en sistemas de interacciones suficientemente locales.

Podemos aproximar el modelo binario con la fórmula de Stirling, $\ln N! \simeq N\ln N - N$, válida como término dominante para $N$ grande. Si $p = n/N$, resulta

La función $h(p)$ alcanza su máximo en $p = 1/2$. Su derivada es $h\prime(p) = \ln\left\lbrack (1 - p)/p \right\rbrack$ y la segunda derivada es $h''(p) = - 1/\left\lbrack p(1 - p) \right\rbrack < 0$ para $0 < p < 1$. La concavidad explica el máximo central sin necesidad de enumerar configuraciones. La aproximación dominante omite una corrección logarítmica que puede importar para $N$ moderado, sobre todo cuando se buscan probabilidades precisas más que densidades de entropía.

La función $h(p)$ también aparece en la teoría de la información como entropía binaria expresada en nats. La coincidencia matemática indica una estructura común al conteo de secuencias y a la cuantificación de incertidumbre; de ella no se sigue que una distribución subjetiva de creencias y un gas en equilibrio sean físicamente idénticos. Si la probabilidad de un signo positivo es $p$, una secuencia típica de longitud grande contiene aproximadamente una fracción $p$ de positivos y el número de secuencias compatibles crece como $\exp\left\lbrack Nh(p) \right\rbrack$, a precisión exponencial dominante.

Cerca de $p = 1/2$, el desarrollo de Taylor da $h(p) \simeq \ln 2 - 2(p - 1/2)^{2}$. De ahí surge la forma gaussiana de las fluctuaciones alrededor del valor más probable. A distancias grandes del centro, esa aproximación cuadrática deja de ser suficiente y la función completa describe mejor el decaimiento exponencial de las probabilidades. En el estudio de eventos raros, un error pequeño en el exponente puede multiplicar o dividir enormemente la probabilidad estimada.

La relación entre multiplicidad y entropía tiene un alcance preciso. Con la misma convención de conteo, un macroestado que admite más microestados tiene mayor entropía de Boltzmann. Sin embargo, concluir que un sistema particular necesariamente se moverá hacia él requiere hipótesis sobre su evolución microscópica y su preparación inicial. El conteo revela la asimetría estadística entre regiones del espacio de estados; todavía debemos explicar cómo una trayectoria puede pasar de unas regiones a otras.

151.6. Dos sistemas que intercambian energía y el equilibrio que surge de un conteo condicionado

Consideremos dos cuerpos, $A$ y $B$, encerrados juntos dentro de una pared exterior que impide el intercambio de energía con el entorno. Una pared interior sí permite que intercambien calor. La energía total $E$ permanece fija, pero las energías parciales pueden variar, con $E_{B} = E - E_{A}$. Supongamos que las interacciones entre los cuerpos son despreciables frente a sus energías internas y que conocemos sus multiplicidades $W_{A}\left( E_{A} \right)$ y $W_{B}\left( E_{B} \right)$, definidas para intervalos energéticos compatibles. Para cada reparto de energía, la multiplicidad del conjunto es aproximadamente

Si todas las configuraciones accesibles dentro de la capa de energía total tienen el mismo peso, el reparto más probable es el que maximiza este producto. Para no multiplicar números enormes, derivamos su logaritmo respecto de $E_{A}$

Cuando las energías pueden tratarse como variables prácticamente continuas, esta condición conduce a $\partial S_{A}/\partial E_{A} = \partial S_{B}/\partial E_{B}$. La termodinámica define $1/T = (\partial S/\partial E)_{V,N}$, de modo que el máximo interior satisface $T_{A} = T_{B}$ cuando las temperaturas son positivas y no hay otras restricciones que modifiquen el equilibrio. Así, una igualdad macroscópica se desprende de contar microestados bajo una restricción global. La energía no se reparte necesariamente por mitades; cuerpos con capacidades y densidades de estados distintas suelen quedar con energías diferentes a la misma temperatura.

Para visualizar el mecanismo sin invocar fórmulas del gas ideal podemos imaginar dos conjuntos de osciladores de Einstein que se reparten $q$ cuantos indistinguibles de excitación entre sitios distinguibles. Si un sólido contiene $N$ osciladores y $q$ cuantos, el número de distribuciones de ocupación es

El resultado procede de contar soluciones enteras no negativas de $n_{1} + \cdots + n_{N} = q$. Con dos sólidos, cada reparto $q_{A} + q_{B} = q_{total}$ tiene una multiplicidad producto. Se puede enumerar explícitamente para tamaños pequeños y comprobar que el reparto más probable coincide con el máximo calculado. A escala grande, la distribución del intercambio se concentra cerca de ese máximo, siempre que las entropías de los sólidos tengan la concavidad apropiada.

La segunda derivada informa sobre la estabilidad del reparto. Un máximo pronunciado supone fluctuaciones energéticas relativamente estrechas; uno poco curvado admite variaciones mayores. En sistemas suficientemente grandes, esta relación conecta la curvatura de la entropía con capacidades caloríficas y susceptibilidades. En ocasiones, especialmente con interacciones de largo alcance y conjuntos no equivalentes, la situación es más delicada, porque pueden aparecer regiones de entropía no cóncava, equilibrios locales y respuestas térmicas imposibles dentro de la representación canónica usual.

El ejemplo tiene límites físicos claros. Hemos supuesto que el contacto permite explorar el reparto energético relevante y que el tiempo de observación basta para acercarse a un régimen estable. Si entre los cuerpos hay una barrera cinética enorme, el máximo global de multiplicidad puede ser inaccesible durante el experimento. La dinámica de aproximación, la conductividad del contacto y los tiempos de relajación se calculan con otras herramientas. El conteo nos dice dónde puede concentrarse la probabilidad de equilibrio; la velocidad de llegada exige conocer el mecanismo de transporte.

151.7. Entropía de Boltzmann, entropía de Gibbs y la flecha del tiempo

Cuando se habla de entropía como medida del «desorden», se suele ocultar la diferencia entre dos objetos matemáticos. La entropía de Boltzmann asigna a un microestado la entropía del macroestado al que pertenece, $S_{B}(\Gamma) = k_{B}\ln W\left\lbrack \mathcal{M}(\Gamma) \right\rbrack$. La entropía de Gibbs, en cambio, se construye a partir de una distribución de probabilidad $p_{i}$ sobre microestados discretos,

Si la distribución es uniforme sobre $W$ estados y nula fuera, ambas fórmulas dan $k_{B}\ln W$. Para una distribución no uniforme, la entropía de Gibbs incorpora explícitamente los pesos. Una extensión continua requiere integrar una densidad de probabilidad con una medida de fase apropiada. En mecánica cuántica, la expresión correspondiente es la entropía de von Neumann, $S = - k_{B}Tr\left( \rho\ln\rho \right)$, donde $\rho$ es la matriz densidad.

La diferencia se vuelve esencial al estudiar el tiempo. La evolución Hamiltoniana clásica conserva el volumen de fase por el teorema de Liouville. Como consecuencia, la entropía de Gibbs de una distribución fina transportada exactamente por una dinámica Hamiltoniana cerrada permanece constante. También se conserva la entropía de von Neumann bajo evolución cuántica estrictamente unitaria. Este hecho convive con la observación de que muchos sistemas macroscópicos evolucionan desde estados especiales hacia otros con entropía termodinámica mayor. La aparente paradoja desaparece cuando especificamos qué entropía medimos y qué información descartamos.

Imaginemos un gas inicialmente confinado a la mitad de un recipiente. Al retirar una barrera, las partículas se expanden por todo el volumen accesible. Una descripción por densidad espacial gruesa pierde gradualmente la señal de la concentración inicial. La distribución fina en el espacio de fases puede, en principio, desarrollar filamentos cada vez más delicados y conservar su entropía de Gibbs. Una observación con resolución limitada no distingue esos filamentos. Al agrupar microestados en macroceldas, el gas ocupa con altísima probabilidad un macroestado de mayor volumen de fase. La entropía de Boltzmann del macroestado típico aumenta durante esa relajación.

Lo anterior no demuestra un incremento estricto en cada instante ni para cualquier preparación. Hay fluctuaciones que llevan a macroestados menos probables, trayectorias invertidas y, en sistemas finitos apropiados, recurrencias. La irreversibilidad observada surge de la enorme desigualdad entre volúmenes de macroestados y de condiciones iniciales preparadas lejos del equilibrio. Las formulaciones de Boltzmann y la discusión posterior de Lebowitz permiten tratar el contraste entre dinámica reversible y comportamiento macroscópico irreversible sin recurrir a una fuerza misteriosa que empuje las partículas hacia el desorden.

También conviene precisar el papel de la ergodicidad. Que un sistema sea ergódico bajo una medida invariante significa, aproximadamente, que promedios temporales de observables integrables coinciden con promedios sobre esa medida para casi todas las condiciones iniciales. Es una propiedad matemática fuerte, que depende de la dinámica y de la medida. Del equilibrio macroscópico observado no se deduce que el sistema sea ergódico; por otra parte, muchos resultados estadísticos pueden ser útiles sin haber establecido rigurosamente esa propiedad. Saber que un sistema es ergódico tampoco fija sus escalas de relajación y mezcla.

151.8. Partículas idénticas, paradoja de Gibbs y contenido físico del conteo

Una aproximación ingenua al gas clásico considera distinguible a cada partícula, incluso si todas son físicamente idénticas, y cuenta por separado configuraciones que solo difieren por intercambiar etiquetas. En un proceso de mezcla esto puede producir una ganancia de entropía ficticia. Supongamos dos recipientes con el mismo gas, a igual temperatura y presión, separados inicialmente por una membrana. Si retiramos la membrana sin cambiar las condiciones físicas que distinguían ambos lados, la termodinámica no atribuye al simple intercambio de moléculas idénticas una entropía de mezcla comparable a la que aparece cuando mezclamos dos especies verdaderamente diferentes.

En el límite clásico diluido, la función de partición de un gas ideal incorpora una división por $N!$,

donde $\lambda_{T}$ es la longitud de onda térmica de de Broglie y $h$ la constante de Planck. Esta fórmula se justificará más adelante desde el conjunto canónico; aquí interesa el factor combinatorio. Para partículas idénticas en el régimen clásico no degenerado, permutar etiquetas carece de significado físico observable y el factor $1/N!$ evita contar las permutaciones como posibilidades independientes, un conteo inconsistente con la extensividad de la entropía.

La llamada paradoja de Gibbs revela que el significado físico de los estados importa tanto como las operaciones combinatorias. Dividir por factoriales no es una regla automática; antes hay que evaluar qué especies se distinguen y qué aproximación se usa. Mezclar oxígeno con nitrógeno, por ejemplo, puede cambiar genuinamente el número de configuraciones accesibles de los dos componentes. Mezclar dos muestras del mismo gas, bajo las condiciones ideales descritas, no introduce una nueva identidad de especie. En el límite de gases cuánticos degenerados, la estadística de Bose–Einstein o Fermi–Dirac reemplaza las hipótesis de conteo de Maxwell–Boltzmann que sustentan la expresión anterior.

El tema muestra también una limitación de ciertas metáforas informacionales. Etiquetar objetos de manera distinta en una base de datos puede aumentar el número de descripciones formales sin añadir microestados físicamente diferentes. En problemas computacionales ocurre algo parecido cuando se cuentan repetidamente estados equivalentes bajo simetrías. La eliminación de duplicados puede requerir un tratamiento cuidadoso de las órbitas de esas simetrías, especialmente si unas configuraciones tienen más simetría que otras.

La igualdad entre multiplicidad y «número de posibilidades» solo es útil cuando hemos definido qué posibilidades son diferentes. Las restricciones experimentales, la identidad de las partículas y la precisión de medición influyen sobre esa definición. Una teoría que ignore estos detalles puede producir expresiones matemáticamente elegantes y predicciones termodinámicas incorrectas. La consistencia del conteo tiene, por tanto, consecuencias observables.

151.9. Un anillo de cuatro espines con igual valor agregado y estructuras microscópicas distintas

El modelo de cien variables binarias mostró cómo calcular multiplicidades a magnetización fija. Una misma magnetización puede, sin embargo, ocultar organizaciones locales muy distintas. Consideremos cuatro espines $s_{i} \in \{ - 1, + 1\}$, ubicados en los vértices de un anillo, con interacción ferromagnética de primer vecino y condiciones periódicas. Su energía es

Fijemos la magnetización total en cero. Debe haber exactamente dos espines positivos y dos negativos. Hay $\binom{4}{2} = 6$ microestados compatibles. Cuatro de ellos tienen los dos positivos vecinos entre sí y los dos negativos también vecinos, como $( + , + , - , - )$ y sus rotaciones. En cada una de esas configuraciones, dos enlaces unen signos iguales y dos unen signos contrarios. La suma de los cuatro productos es cero y la energía resulta $H = 0$.

Las otras dos configuraciones alternan los signos, $( + , - , + , - )$ y $( - , + , - , + )$. Cada uno de sus cuatro enlaces conecta espines opuestos, de modo que la suma de productos vale $- 4$ y $H = 4J$. Los seis microestados comparten magnetización cero, pero se distribuyen entre dos niveles energéticos con degeneraciones distintas, cuatro en $E = 0$ y dos en $E = 4J$. Si el sistema está aislado con energía exactamente cero, solo debemos contar las cuatro configuraciones del primer grupo. Si se pone en contacto con un baño térmico, ambos grupos pueden contribuir, con pesos dependientes de la temperatura.

El ejemplo es deliberadamente pequeño. Permite enumerar todas las configuraciones sin una simulación y muestra por qué una sola variable agregada no basta para describir el equilibrio. En un material magnético real importa el patrón de correlaciones espaciales. Dos configuraciones con idéntica magnetización pueden diferir en energía, longitud de dominios y comportamiento frente a perturbaciones. En redes complejas, reemplazar el patrón de conexiones por un único grado medio puede ocultar diferencias de naturaleza similar. La analogía es útil siempre que se respete el modelo específico que da significado a los estados y a sus pesos.

Si ampliamos el anillo a miles de sitios, enumerar explícitamente las $2^{N}$ configuraciones deja de ser viable. Las técnicas analíticas explotan simetrías, matrices de transferencia o aproximaciones. Las técnicas numéricas pueden recurrir a muestreo Monte Carlo, con comprobaciones de convergencia y autocorrelación. En ambos casos, el propósito sigue siendo calcular correctamente qué proporción del espacio de estados corresponde a un observable o régimen dado. La necesidad de aproximar no elimina la obligación de distinguir una degeneración exacta de una probabilidad estimada.

En un modelo ferromagnético, los límites entre regiones de signos diferentes son paredes de dominio con un coste energético. La configuración alternante tiene más paredes de dominio que la configuración en bloques. Ese coste influye en qué patrones serán frecuentes a temperatura baja. Frente a los patrones continuos del módulo anterior, la física estadística incorpora el peso de las configuraciones térmicas además de las tasas dinámicas de crecimiento o propagación. Un mismo patrón puede requerir herramientas distintas según se estudie su formación temporal o su distribución de equilibrio.

151.10. Alcance de la descripción estadística y criterios para un modelo defendible

Para comenzar un modelo de física estadística hay que declarar el objeto microscópico, el conjunto de estados permitidos y las restricciones que se conservan durante la preparación y la observación. También hay que indicar qué magnitudes definen el macroestado. Esa selección es una decisión física contrastable; de ella depende qué variaciones son visibles y cuáles desaparecen dentro de las clases macroscópicas. En un sistema de partículas idénticas, además, debe evitarse el conteo de etiquetas sin significado físico.

Conviene separar cuatro operaciones. Primero se enumeran o miden los estados compatibles con cada macroestado. Luego se asignan probabilidades a los estados microscópicos, mediante una preparación física o un principio estadístico cuidadosamente delimitado. A partir de esa medida se calculan las probabilidades macroscópicas. Solo después se interpreta el papel de la dinámica (qué trayectorias son posibles, cómo se alcanza o aproxima el régimen típico y cuándo las barreras o los tiempos de observación pueden mantener al sistema fuera de equilibrio). Contar microestados no sustituye a estudiar los flujos de energía, las interacciones o las tasas de transición.

El modelo binario permitió una comprobación exacta. Si los cien sitios son independientes y equiprobables, la multiplicidad de un macroestado con $n$ positivos es $\binom{100}{n}$. La distribución resultante tiene media cincuenta y desviación estándar cinco. Para $N$ grande, el logaritmo de la multiplicidad crece de acuerdo con la función de entropía binaria y las fluctuaciones relativas disminuyen como $N^{- 1/2}$. Estas afirmaciones son consecuencias matemáticas de las hipótesis del modelo, independientes de cualquier simulación. Introducir interacciones, restricciones energéticas o pesos no uniformes exige recalcular las probabilidades, aunque se conserve la misma variable de magnetización.

Otra comprobación consiste en ver qué sucede si cambiamos la resolución macroscópica. Si clasificamos el anillo de espines solo por magnetización, seis configuraciones forman una misma clase. Si añadimos la energía, esa clase se divide en subclases de cuatro y dos configuraciones. El refinamiento añade información pertinente para predecir las probabilidades térmicas. En un modelo más complejo, un refinamiento semejante puede hacerse con correlaciones entre vecinos, energía local o tamaño de dominios. El coste es un espacio de macroestados más extenso, que requiere más datos o cálculos para caracterizarse con precisión.

Finalmente, una alta multiplicidad no siempre equivale a una realización inmediata. Los estados metaestables, la separación de escalas y las barreras dinámicas pueden impedir que un sistema visite las regiones más numerosas durante períodos prolongados. Tampoco todo sistema estacionario está en equilibrio termodinámico; uno mantenido mediante suministro de energía puede sostener corrientes persistentes y producir entropía. El significado de equilibrio y la pertinencia de un conjunto estadístico deben decidirse a partir de las condiciones físicas del problema. En la siguiente clase veremos cómo las diferentes restricciones llevan a los conjuntos microcanónico, canónico y gran canónico.

Referencias

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• Huang, K. (1987). Statistical Mechanics (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-81518-1.
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• Lebowitz, J. L. (1993). Boltzmann’s entropy and time’s arrow. Physics Today, 46(9), 32–38. https://doi.org/10.1063/1.881363
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