El modelo de Ising: interacción local y organización colectiva

Año 2 · Módulo 16: Física estadística: microestados, equilibrio y transiciones · Manejo formal guiado

155.1. La organización colectiva no está escrita en cada componente

Una lámina de material ferromagnético puede conservar una magnetización macroscópica incluso cuando se retira el campo que inicialmente ordenó sus momentos magnéticos. Si observáramos uno de esos momentos de manera aislada, encontraríamos una orientación posible, sometida a fluctuaciones térmicas. La persistencia colectiva es consecuencia de interacciones locales, de la temperatura y de las configuraciones que el sistema puede recorrer. El modelo de Ising permite estudiar esa explicación con muy pocos ingredientes, pues cada sitio de una red solo admite dos estados; aun así, el conjunto puede exhibir dominios, correlaciones a gran distancia y, en ciertas geometrías, una transición de fase.

Ernst Ising publicó en 1925 un análisis de la cadena unidimensional de espines, desarrollada a partir de un modelo propuesto por Wilhelm Lenz. Al principio pudo parecer decepcionante que, con interacciones de corto alcance, la cadena infinita no presentara magnetización espontánea a temperatura positiva; esa ausencia, sin embargo, resultó instructiva. Décadas después, la solución de Onsager para una red cuadrada bidimensional sin campo mostró que el mismo tipo de interacción sí puede producir una transición a temperatura finita. El contraste muestra que el número de estados disponibles para cada elemento dice muy poco sobre el comportamiento colectivo si no se consideran la dimensión y las relaciones entre componentes.

El elemento básico es un espín clásico binario $s_{i} \in \{ - 1, + 1\}$ situado en un vértice $i$. Llamamos $\langle i,j\rangle$ a un par de sitios vecinos conectados por una arista de la red. El Hamiltoniano ferromagnético más sencillo es

El primer término favorece pares alineados, pues su contribución es $- J$ cuando tienen el mismo signo y $+ J$ cuando difieren. El segundo acopla un campo externo uniforme $h$ con la orientación de cada espín. El parámetro $J$ y el campo $h$ tienen unidades de energía en esta convención. Cada arista se suma una sola vez; sumar todos los vecinos de todos los sitios sin dividir por dos duplicaría indebidamente la interacción.

La magnetización total es $M\left( \mathbf{s} \right) = \sum_{i}^{}s_{i}$ y la magnetización por sitio es $m = M/N$. Para un conjunto de $N$ espines, $m$ está entre $- 1$ y $+ 1$. Es una variable colectiva que omite parte de la descripción microscópica. Dos configuraciones con igual $m$ pueden contener números muy distintos de enlaces frustrados o paredes entre dominios y, por tanto, energías diferentes. Una teoría que use únicamente la magnetización necesita justificar qué información descarta sobre la organización espacial.

El modelo pertenece a la mecánica estadística de equilibrio cuando asignamos a cada configuración el peso canónico $e^{- \beta H}$, con $\beta = \left( k_{B}T \right)^{- 1}$. Esa distribución no prescribe cómo gira un espín en el tiempo. Para estudiar trayectorias necesitamos añadir una regla dinámica, como intercambiar orientaciones, proponer inversiones aleatorias o acoplar el sistema con un baño térmico. Conviene recordar esta separación entre energía, probabilidad y evolución al comparar resultados exactos con simulaciones.

155.2. La energía de un enlace y el nacimiento de los dominios

Examinemos una red cuadrada de cuatro vecinos por sitio, suficientemente extensa para que podamos ignorar momentáneamente sus bordes. Si todos los espines están alineados y $h = 0$, cada enlace aporta $- J$. Una red cuadrada periódica de $N = L^{2}$ sitios tiene $2N$ enlaces distintos, porque cada vértice posee cuatro vecinos y cada enlace toca dos vértices. Su energía completamente ordenada es entonces $- 2JN$. Invertir un único espín en esa configuración convierte cuatro enlaces favorables en desfavorables. El aumento de energía es $8J$, siempre que la geometría tenga cuatro vecinos distintos para ese sitio.

Esta cuenta local no da directamente la temperatura crítica. Un espín invertido puede ser parte de una isla; una isla puede expandirse hasta formar un dominio extenso. En una configuración con dominios de signos opuestos, el sobrecoste energético se concentra en las aristas cuyos extremos tienen signos distintos. Si una pared cruza $\ell$ enlaces, su coste respecto de una configuración homogénea es aproximadamente $2J\ell$ cuando el campo es nulo. Esa contribución depende de la longitud de la pared y no solo del número de espines invertidos. En una superficie finita, las paredes pueden adherirse a las fronteras o atravesar el sistema si los bordes son periódicos.

A la vez, la temperatura favorece la exploración de configuraciones numerosas. Una pared larga cuesta energía, pero puede dibujarse mediante muchos recorridos diferentes. El equilibrio resulta de la competencia entre el coste de esas paredes y su multiplicidad. El argumento de Peierls usa precisamente el conteo de contornos para establecer orden a baja temperatura en la red cuadrada. Sin reconstruir toda la demostración, la idea es que las perturbaciones locales aisladas no destruyen el orden si los contornos macroscópicos resultan estadísticamente demasiado costosos.

La misma intuición fracasa en una cadena. En una dimensión, una pared entre dos dominios es un punto donde dos espines vecinos tienen signos opuestos. Crear un par de paredes en una cadena periódica tiene un coste finito independiente de la longitud del dominio encerrado, mientras que el número de posiciones posibles crece con el tamaño del sistema. A cualquier temperatura positiva aparecen paredes en una cadena suficientemente larga; el orden espontáneo de largo alcance desaparece en el límite termodinámico.

Conviene distinguir una configuración instantánea de una conclusión sobre el equilibrio. Podemos iniciar una cadena a temperatura alta con todos los espines orientados hacia arriba y observar que tarda un tiempo en perder esa magnetización. Ese retardo es un fenómeno dinámico y no demuestra que exista una fase ordenada. En sentido inverso, una simulación de una red bidimensional por debajo de su temperatura crítica puede invertir ocasionalmente la magnetización global si la red es finita y la trayectoria se prolonga lo suficiente. Tampoco esa inversión niega la existencia de fases ordenadas en el límite macroscópico.

El campo $h$ rompe la simetría entre los signos. Para $h > 0$, la orientación $+ 1$ recibe una ventaja energética; para $h < 0$ ocurre lo contrario. En una muestra experimental el campo puede corresponder a una interacción magnética real. En otras aplicaciones, como preferencias binarias o variables abstractas, es una fuerza de sesgo definida por el modelo. Su significado depende de la correspondencia empírica que se establezca; no cabe interpretar cualquier parámetro de interacción como una causa física universal.

155.3. De las configuraciones a la distribución de equilibrio

Para $N$ espines existen $2^{N}$ configuraciones. Incluso una red de cincuenta sitios tiene más de mil billones de posibilidades. La función de partición, que reúne todos sus pesos térmicos, es

La suma es finita para cualquier red finita. Sus derivadas dan promedios sin necesidad de elegir de antemano una configuración representativa. Por ejemplo, si definimos $B = \beta h$, obtenemos

La susceptibilidad magnética respecto del campo energético, por sitio, puede escribirse como $\chi = \partial\langle m\rangle/\partial h = \beta Var(M)/N$. El factor $\beta$ y la normalización son imprescindibles para que la identidad mantenga sus dimensiones y no confunda fluctuaciones de la muestra con fluctuaciones por sitio. Asimismo, $\langle H\rangle = - \partial\ln Z_{N}/\partial\beta$ cuando el Hamiltoniano no depende de la temperatura. La capacidad calorífica a parámetros externos constantes es $C = Var(H)/\left( k_{B}T^{2} \right)$. Estas relaciones permiten obtener cantidades medibles a partir de la estadística de las configuraciones.

Un sistema muy pequeño permite verificar todos los pasos. Tomemos cuatro espines en las esquinas de un cuadrado abierto, unidos solo por sus cuatro lados. No añadiremos diagonales ni contaremos una arista dos veces. Con campo nulo, dos configuraciones tienen todos los enlaces alineados y energía $- 4J$. Otras dos alternan signos alrededor del cuadrado y tienen energía $+ 4J$. Las doce restantes presentan energía cero. En ocho de ellas hay tres espines de un signo y uno del otro; en las cuatro restantes, dos signos positivos adyacentes a dos negativos. La comprobación suma $2 + 2 + 12 = 16$ configuraciones.

Por tanto, con $K = \beta J$, la función de partición exacta de ese cuadrado es

El promedio de $M$ es cero si el campo es exactamente nulo. La inversión simultánea $s_{i} \mapsto - s_{i}$ deja inalterada cada energía y empareja configuraciones de magnetización opuesta. Sin embargo, la fluctuación no es cero. Las dos configuraciones uniformes tienen $M^{2} = 16$, las ocho configuraciones de tres contra uno tienen $M^{2} = 4$ y las restantes tienen $M^{2} = 0$. Resulta

A temperatura muy alta, $K \rightarrow 0$, obtenemos $\langle M^{2}\rangle = 4$, la varianza de cuatro signos independientes. A temperatura muy baja, $K \rightarrow \infty$, el sistema se concentra en las dos configuraciones totalmente alineadas y $\langle M^{2}\rangle \rightarrow 16$, aunque $\langle M\rangle = 0$ siga siendo exacto. Las dos configuraciones ordenadas compiten con igual peso. El cuadrado finito muestra por qué la magnetización media, tomada sin controlar la simetría, puede esconder el orden que buscamos caracterizar.

Para esta geometría sin campo, un observador puede usar $\langle|m|\rangle$, $\langle m^{2}\rangle$ o correlaciones entre sitios. Estos indicadores no son intercambiables, porque el valor absoluto introduce un sesgo positivo incluso en un sistema sin interacción y $\langle m^{2}\rangle$ depende del tamaño finito. Por eso los análisis de transición deben especificar el observable, su normalización y su dependencia de $N$. El siguiente capítulo sobre campo medio hará explícito el precio de reemplazar esas correlaciones por una sola variable.

155.4. La cadena unidimensional puede resolverse sin aproximaciones de campo medio

Una cadena periódica de $N$ espines es una primera prueba rigurosa de los razonamientos sobre orden. El Hamiltoniano toma la forma $H = - J\sum_{i = 1}^{N}s_{i}s_{i + 1} - h\sum_{i}^{}s_{i}$, con $s_{N + 1} = s_{1}$. Podemos repartir la contribución del campo entre los extremos de cada enlace y definir una matriz de transferencia de tamaño dos

Con $K = \beta J$ y $B = \beta h$, la matriz explícita es

La operación de traza suma los recorridos cerrados de la cadena. Los autovalores son

El resultado es exacto para la cadena finita con las fronteras descritas. En el límite termodinámico y a temperatura positiva, el autovalor dominante determina la energía libre por sitio, $f = - k_{B}T\ln\lambda_{+}$. Para $B = 0$, $\lambda_{+} = 2\cosh K$ y $\lambda_{-} = 2\sinh K$. Como $\lambda_{+}$ es una función regular de la temperatura a $T > 0$, no aparece una singularidad termodinámica allí. El límite $T \rightarrow 0$ es distinto y no debe confundirse con una transición a temperatura positiva.

En ausencia de campo y en la cadena infinita, la correlación entre espines separados $r$ enlaces vale

La longitud $\xi$, expresada en unidades de separación entre sitios, mide la distancia característica de decaimiento de las correlaciones. Para todo $K$ finito y positivo, $0 < \tanh K < 1$ y la longitud es finita. Al enfriar el sistema, $K$ aumenta y $\xi$ crece, pero solo diverge al acercarse a temperatura cero. En una cadena de longitud inferior a esa escala podemos observar tramos casi uniformes y confundirlos con una fase ordenada si no hacemos la extrapolación apropiada.

La matriz de transferencia enseña algo más general que la solución de un modelo particular. El problema macroscópico de sumar $2^{N}$ configuraciones puede reorganizarse usando la estructura local de interacción sin tratar los sitios como independientes, porque la matriz conserva las dependencias entre vecinos. Si intentáramos aplicar un razonamiento análogo a una red bidimensional, los estados transferidos corresponderían a filas completas y el tamaño de la matriz crecería exponencialmente con la anchura de la red.

Una generalización a interacciones de largo alcance, distribuciones desordenadas de enlaces o campos aleatorios altera las conclusiones sobre la dimensión. El resultado de ausencia de transición a $T > 0$ vale para esta cadena unidimensional de interacción vecinal ferromagnética y condiciones habituales; no se extiende a cualquier sistema que pueda dibujarse como una línea. Antes de trasladar una solución hay que especificar el Hamiltoniano y el límite que se estudia.

155.5. El salto cualitativo de una dimensión a dos

En una red cuadrada infinita, sin campo, la situación cambia. Onsager obtuvo la función de partición en el límite termodinámico y localizó una temperatura crítica para la red isotrópica de vecinos próximos, determinada por

La solución no significa que en una red finita de tamaño moderado exista una temperatura a la cual las probabilidades se vuelvan discontinuas. Toda función de partición finita es una suma de términos exponenciales regulares. La singularidad termodinámica se forma al tomar el límite de tamaño infinito en condiciones bien definidas. Cerca de ese límite, las redes finitas muestran picos redondeados y dependencias del tamaño que permiten aproximar las propiedades críticas.

La magnetización espontánea del modelo bidimensional fue calculada exactamente por C. N. Yang. Para $T < T_{c}$, si primero se toma el límite de tamaño infinito y después se retira un campo positivo infinitesimal, la magnetización resultante es

El exponente $1/8$ describe cómo se aproxima a cero el parámetro de orden desde temperaturas inferiores a la crítica. Una aproximación simple de campo medio predice otro exponente. Con este resultado exacto podemos distinguir un cálculo numérico correcto de una aproximación que altera cuantitativamente el comportamiento crítico.

En una muestra grande por debajo de $T_{c}$, pueden aparecer regiones extendidas de signos opuestos y una magnetización que depende de cómo se prepara y observa el sistema. En una red finita sin campo, el promedio canónico exacto de $M$ es cero por simetría. La magnetización espontánea exige precisar el orden de los límites (primero tamaño infinito y luego campo tendiendo a cero desde un signo determinado). Invertir ese orden elimina la selección de fase.

La transición tiene otras firmas. La susceptibilidad crece intensamente al aproximarse a la temperatura crítica, las correlaciones se extienden a grandes distancias y las fluctuaciones dejan de ser comparables a las de sitios independientes. En la solución cuadrada isotrópica, el calor específico diverge logarítmicamente en el límite termodinámico. Es incorrecto afirmar que todas las magnitudes divergen del mismo modo o que cualquier sistema crítico pertenece a la misma clase de universalidad. La dimensionalidad, la simetría del parámetro de orden y el alcance de las interacciones son variables esenciales.

Este caso muestra una razón para estudiar modelos ideales. Una red de espines estrictamente binarios es una simplificación severa de un material real; aun así, da resultados exactos y conceptos transferibles sobre el orden colectivo. Su utilidad para otra disciplina depende de que se comprueben las correspondencias entre estados binarios, interacciones y observables. Una semejanza visual entre un patrón social y un ferromagneto no establece que ambos compartan mecanismos o exponentes críticos.

155.6. La aproximación de campo medio y su límite preciso

Resolver exactamente una red bidimensional con campo externo no es, en general, tan sencillo como el caso sin campo. En muchos sistemas interesan redes tridimensionales, geometrías desordenadas o interacciones heterogéneas. Una aproximación frecuente reemplaza los vecinos de un espín por una magnetización media. Si cada sitio tiene $z$ vecinos, la energía efectiva que experimenta el espín $i$ se aproxima por $- s_{i}(zJm + h)$. El promedio térmico de ese espín aislado conduce a

Esta ecuación de autoconsistencia tiene soluciones cuyo número y estabilidad dependen de $T$ y $h$. Sin campo, $m = 0$ siempre es solución. Al linealizar cerca de cero, $\tanh(\beta zJm) \simeq \beta zJm$, aparece la temperatura crítica de campo medio $k_{B}T_{c}^{MF} = zJ$. Para la red cuadrada, $z = 4$, de modo que la aproximación estima $k_{B}T_{c}^{MF}/J = 4$; el valor exacto, 2.269185, es considerablemente menor. La aproximación sobreestima la tendencia al orden porque reduce el papel de las fluctuaciones espaciales.

Es útil obtener la ecuación desde un potencial variacional. Si suponemos que todos los sitios son independientes, cada uno es positivo con probabilidad $(1 + m)/2$ y negativo con probabilidad $(1 - m)/2$. La energía media por sitio sería $- zJm^{2}/2 - hm$ y la contribución entrópica se calcula con una distribución binaria. La energía libre aproximada por sitio es

Al imponer $\partial f_{MF}/\partial m = 0$, obtenemos $k_{B}Tartanh(m) = zJm + h$, equivalente a la ecuación de autoconsistencia. La curvatura de este potencial permite estudiar cuáles de las soluciones estacionarias corresponden a mínimos locales. Cerca de $m = 0$, la expansión produce un término cuadrático $\left( k_{B}T - zJ \right)m^{2}/2$ y uno cuártico $k_{B}Tm^{4}/12$. Ese desarrollo conecta el modelo microscópico con una descripción de Landau, pero solo dentro de las hipótesis de campo medio.

La prueba más clara de sus limitaciones procede de la cadena unidimensional. Allí $z = 2$, por lo que la misma ecuación predice erróneamente una transición a $k_{B}T = 2J$. Sabemos por la matriz de transferencia que no existe esa transición a temperatura positiva. Aun así, la aproximación permite construir una primera descripción y puede resultar cuantitativamente mejor cuando aumentan la conectividad o el alcance de las interacciones. Obliga, eso sí, a indicar si una conclusión es exacta, aproximada o respaldada por una simulación independiente.

155.7. Las correlaciones recogen lo que la magnetización no puede resumir

La magnetización media mide la orientación agregada, pero omite cómo están distribuidos los signos en el espacio. Para estudiar la estructura introducimos la correlación conectada $C_{ij} = \langle s_{i}s_{j}\rangle - \langle s_{i}\rangle\langle s_{j}\rangle$. Si los sitios fueran independientes, la correlación conectada entre dos sitios distintos sería cero. En una red interactuante suele ser distinta de cero, especialmente cerca de una transición. Dos muestras pueden presentar $m = 0$, una porque los signos están mezclados casi al azar y otra porque contiene dos grandes dominios de magnetización opuesta.

La identidad de fluctuación-respuesta expresa la susceptibilidad en función de las correlaciones como

La suma incluye las contribuciones diagonales (la varianza de cada espín) y las no diagonales, que miden dependencias entre sitios. Cuando un sistema desarrolla correlaciones a gran distancia, la respuesta de la magnetización a un pequeño campo puede aumentar aunque el comportamiento local de cada espín siga restringido a dos valores.

Un observable relacionado es la correlación según distancia $G(r)$. En un medio homogéneo e isotrópico se promedian los pares separados por una distancia $r$. Lejos de una transición y bajo condiciones apropiadas, $G(r)$ puede decaer aproximadamente como una exponencial con una longitud de correlación. Cerca del punto crítico, el decaimiento presenta formas de ley de potencia, con factores de tamaño finito. Definir una única longitud característica se vuelve entonces delicado. Dos espines pueden estar correlacionados aunque ninguno actúe directamente sobre el otro, porque ambos pueden estar influidos por una misma estructura o por interacciones intermedias.

En el espacio de Fourier, las correlaciones contribuyen al factor de estructura, que describe cuánto peso tienen patrones espaciales de diferentes escalas. Es útil cuando dos configuraciones comparten la misma magnetización pero una forma bandas o dominios persistentes y la otra muestra parches de tamaño pequeño, porque las frecuencias espaciales detectan esa diferencia. Como todo resumen estadístico, el factor de estructura pierde parte de la información de fase y puede ser igual para configuraciones geométricamente distintas.

El orden colectivo puede además ser sensible a condiciones de frontera y geometría. Una red periódica no tiene bordes físicos; una red abierta sí. En tamaños grandes y lejos de puntos críticos, ciertos observables interiores pueden hacerse insensibles al borde. Cerca de una transición o en muestras pequeñas, esa insensibilidad no está garantizada. Para comparar simulaciones es indispensable conservar el tipo de frontera, el tamaño, la forma de la red y la manera de normalizar las distancias. Un cambio no declarado en alguno de estos elementos puede simular una modificación del parámetro de interacción.

En los modelos de variables binarias que no describen magnetismo, una matriz de correlación también puede ser informativa. Sin embargo, la dependencia estadística observada no hace del Hamiltoniano de Ising una descripción causal de decisiones, contagios o síntomas. Si el modelo se ajusta a datos transversales, sus parámetros describen una estructura de asociación en ese marco. La interpretación dinámica exige reglas de transición y evidencias adicionales. Esta cautela anticipa el problema del cierre de momentos desarrollado en el capítulo siguiente.

155.8. Simular el modelo sin confundir equilibrio con dinámica

Cuando la suma exacta de configuraciones resulta impracticable, podemos estimar promedios mediante métodos de Monte Carlo. En el algoritmo de Metropolis con propuestas de inversión de un espín, elegimos un sitio, calculamos el cambio de energía $\Delta H$ que produciría invertirlo y aceptamos la propuesta con probabilidad $\min\left( 1,e^{- \beta\Delta H} \right)$. Para el Hamiltoniano definido, ese cambio es

Si la propuesta es simétrica y la cadena puede acceder a todas las configuraciones pertinentes, la regla satisface balance detallado respecto de la distribución de Boltzmann. El algoritmo genera una cadena de Markov cuyas observaciones, después de un período de equilibrio y con suficiente muestreo, pueden estimar cantidades canónicas. Su objetivo inmediato no es reproducir la cinética microscópica exacta de un material; por defecto, un paso de Monte Carlo no equivale a una duración determinada de tiempo físico.

Un procedimiento reproducible comienza fijando el tamaño de la red, las condiciones de frontera, los valores de $J$, $h$, $T$, el generador aleatorio y la regla de selección del sitio. Una barrida suele definirse como $N$ propuestas de inversión, aunque distintas implementaciones pueden usar actualizaciones sin reemplazo o con reemplazo. Debe registrarse cuál de ellas se empleó. Partir de un estado ordenado o aleatorio puede ser útil para evaluar la sensibilidad al estado inicial; cerca de $T_{c}$, las trayectorias pueden tardar mucho en perder su memoria inicial.

Las medidas consecutivas están autocorrelacionadas. Si calculamos una desviación estándar como si cada barrida diera una muestra independiente, subestimaremos la incertidumbre. Una forma de diagnosticar el problema es estimar la autocorrelación temporal del observable y su tiempo integrado. Después puede elegirse un procedimiento de bloques, replicaciones independientes o estimadores de error compatibles con esa dependencia. Descartar observaciones intermedias no garantiza estimaciones eficientes; a menudo es preferible conservarlas y estimar bien la autocorrelación.

Hay que controlar el equilibrio de manera explícita. Comparar inicializaciones opuestas y observar la estabilidad temporal de energía y otros observables aporta evidencia, aunque nunca una demostración absoluta. Las redes grandes a baja temperatura pueden quedar atrapadas durante largos intervalos en una orientación; cerca de una transición crítica, el tiempo de relajación aumenta. Métodos como las actualizaciones de clúster reducen ciertas dificultades para el modelo ferromagnético sin campo, pero cambian la noción de paso computacional y, en principio, no son una dinámica física de relajación.

Antes de simular redes extensas debemos probar el código sobre un caso enumerado exactamente. El cuadrado de cuatro espines da la función de partición y $\langle M^{2}\rangle$; la cadena de transferencia, una familia completa de controles. Una concordancia dentro del error estadístico entre resultados de Monte Carlo y expresiones exactas comprueba varias partes del algoritmo (energía, conteo de enlaces, aceptación y acumulación de promedios). Una coincidencia de magnetizaciones medias en campo cero sería una prueba débil, porque la simetría impone ese resultado incluso a implementaciones equivocadas.

155.9. Tamaño finito, transición y lectura de los datos

Un resultado frecuente en simulaciones es una curva suave de $\langle|m|\rangle$ que disminuye al aumentar la temperatura. Para una red finita no hay por qué esperar un salto abrupto en esa curva. En ausencia de campo, $\langle m\rangle$ será cero si el muestreo explora suficientemente ambas orientaciones, mientras que $\langle|m|\rangle$ conservará un valor positivo residual por fluctuaciones. Por eso se comparan varios tamaños. Si el sistema tiene una transición macroscópica, la forma en que cambian sus observables con $L$ permite estimar una temperatura crítica y ciertos exponentes.

El cumulante de Binder es un instrumento habitual para ese análisis. Para magnetización escalar y con la convención más utilizada, se define como

En un conjunto aproximadamente gaussiano centrado, $\langle m^{4}\rangle \approx 3\langle m^{2}\rangle^{2}$ y $U_{L}$ se aproxima a cero. Si la distribución está muy concentrada en dos valores opuestos de magnitud semejante, el cumulante se acerca a $2/3$. Las curvas para diferentes tamaños pueden cruzarse cerca de un punto crítico, pero los cruces se desplazan por correcciones de tamaño finito.

Una auditoría numérica útil combina el cumulante con la susceptibilidad y el calor específico. Se necesitan suficientes muestras efectivamente independientes para evaluar momentos cuartos, que suelen converger con mayor lentitud. Una estimación de $T_{c}$ basada en el máximo de una curva para un tamaño fijo no equivale al valor termodinámico. En el modelo cuadrado isotrópico se dispone del valor exacto, de modo que podemos verificar si una extrapolación converge hacia él. Al usar otros modelos, la ausencia de referencia exacta obliga a controles cruzados más cuidadosos.

El procedimiento debe distinguir los límites de tamaño y tiempo. Una red finita puede parecer magnetizada durante toda una simulación porque no se ha observado una inversión global. También puede alternar entre signos y producir una magnetización media nula aun estando por debajo de la temperatura crítica. El análisis de $|m|$, de distribuciones completas y de autocorrelaciones ayuda a diferenciar ambas situaciones. Elegir la medición que produce la curva visualmente más convincente no es suficiente.

En este modelo, una regla de energía local basta para generar diferentes regímenes macroscópicos, pero las conclusiones dependen del modo de agregación, de la geometría y del límite de observación. La palabra emergencia no sustituye el cálculo de una función de partición ni el estudio de una longitud de correlación. Debe indicar qué propiedades del conjunto no se deducen de observar un componente aislado y mediante qué mecanismo colectivo se obtienen.

155.10. Qué permite afirmar el modelo y qué exige un paso adicional

La lección central del modelo de Ising ferromagnético es comprobable con distintos grados de exactitud. Una configuración se evalúa mediante su Hamiltoniano; sus probabilidades de equilibrio dependen de la función de partición; el comportamiento colectivo se caracteriza mediante observables y correlaciones. Las soluciones de la cadena y del modelo cuadrado sin campo demuestran que la dimensión puede determinar si existe una transición a temperatura positiva. Un campo medio construido con los mismos espines puede predecir una transición inexistente en una dimensión o sobreestimar su temperatura en dos dimensiones.

De aquí se desprende una disciplina de modelización. Antes de hablar de orden, hay que especificar qué variable lo mide; antes de llamar crítico a un punto de una simulación, conviene estudiar varios tamaños; antes de atribuir significado temporal a una actualización de Monte Carlo, necesitamos una regla cinética físicamente interpretada. Incluso en este modelo elemental, la misma magnetización media puede proceder de configuraciones con paredes, dominios o fluctuaciones muy diferentes. La relación entre descripción agregada y microestructura debe mantenerse visible.

También hay un límite de interpretación. El modelo binario de Ising puede usarse como descripción efectiva de materiales, como referencia matemática para inferir dependencias estadísticas o como inspiración para dinámicas de decisiones. Ninguna de esas aplicaciones autoriza trasladar sin comprobación la temperatura crítica, la interpretación de los enlaces o la naturaleza de los estados. En una red clínica, una correlación entre variables dicotómicas no prueba una interacción que reproduzca el Hamiltoniano magnético. En una población, la dinámica individual puede ser irreversible o depender de la historia, mientras que el modelo canónico presupone un tipo definido de equilibrio.

Los ejemplos tratados permiten comparar tres escalas de descripción. La microescala contiene los signos y sus enlaces; los observables agregados contienen magnetización, energía y correlaciones; el límite macroscópico hace posible una transición singular que no existe en un sistema de tamaño finito. El paso de una escala a otra conserva cierta información y elimina otra. Reconocer esa pérdida es indispensable para construir aproximaciones válidas, tema al que dedicaremos el próximo capítulo.

En C156 estudiaremos por qué una ecuación para el promedio de individuos puede necesitar conocer su varianza, por qué la ecuación de la varianza puede depender de un tercer momento y cómo se construyen cierres aproximados. El modelo de Ising es un buen punto de referencia, porque reemplazar vecinos correlacionados por un valor medio produce una ecuación simple, aunque puede cambiar el comportamiento cualitativo. El objetivo de una reducción será preservar los observables relevantes para la pregunta y declarar qué hipótesis hacen posible esa reducción.

Referencias

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