Transiciones de fase y parámetros de orden

Año 2 · Módulo 16: Física estadística: microestados, equilibrio y transiciones · Manejo formal guiado

157.1. Qué cambia cuando cambia una fase

Una sustancia puede modificar bruscamente su densidad al variar la presión, perder una magnetización al calentarse o desarrollar una estructura ordenada que antes solo existía como fluctuación. En los tres casos interesa comprender cómo un sistema compuesto por muchas unidades adquiere propiedades colectivas que dependen de sus interacciones. La palabra fase designa una región del espacio de parámetros en la que las propiedades macroscópicas se comportan de una manera determinada. La frontera entre regiones puede manifestarse como un salto de alguna magnitud, una divergencia de respuesta o un cambio de simetría. Identificarla requiere especificar el sistema, qué parámetros se controlan y qué límite físico se está estudiando.

El ejemplo familiar del agua líquida y el vapor es instructivo, aunque puede inducir el prejuicio de que toda transición implica un calor latente o un cambio discontinuo de densidad. Cerca del punto crítico líquido-vapor desaparece la distinción macroscópica entre ambas fases; las fluctuaciones de densidad, por el contrario, se extienden sobre distancias cada vez mayores. En un material magnético, la pérdida de orden puede ocurrir de manera continua. La presencia de una transición se determina por las propiedades de equilibrio y su dependencia de los parámetros; la dinámica de aproximación al equilibrio se trata por separado.

La teoría termodinámica usa potenciales como la energía libre de Helmholtz, $F(T,V,N)$, o la de Gibbs, $G(T,p,N)$. Sus derivadas expresan entropía, presión, volumen y otras respuestas. Para estudiar magnetismo es cómodo introducir un campo $h$ que se acopla a la magnetización total $M$. En una convención donde $h$ tiene unidades de energía, el Hamiltoniano contiene $- hM$ y

La existencia de una transición auténtica no equivale a que un gráfico obtenido en una muestra pequeña presente un cambio rápido. Para una red finita de espines, la función de partición es una suma finita de exponenciales positivas y suele ser analítica a temperatura positiva. La singularidad termodinámica puede aparecer únicamente al hacer crecer el sistema sin límite, manteniendo constantes las variables intensivas relevantes. Un conjunto finito todavía puede reproducir señales muy visibles del fenómeno, pero esas señales están redondeadas y dependen del tamaño y de las condiciones de frontera.

El vocabulario de las transiciones también se emplea fuera de la física, para epidemias, redes y ecología. La analogía puede ser fructífera si se define una variable colectiva y se demuestra qué cambia en ella. La sola presencia de un umbral numérico no convierte un proceso en una transición de fase en sentido termodinámico. Esta distinción permite usar la teoría sin atribuir a todo cambio abrupto una universalidad que aún no se ha establecido.

157.2. Parámetros de orden y elección de una variable que informe sobre la organización

Un parámetro de orden es una magnitud macroscópica que distingue regímenes de organización. En un ferromagneto de Ising, la elección natural es la magnetización por sitio, $m = M/N$, porque la fase desordenada es simétrica bajo la transformación simultánea de todos los espines $s_{i} \mapsto - s_{i}$, mientras que una fase ferromagnética puede seleccionar una orientación preferida. El parámetro suele ser una variable del estado cuya distribución cambia al atravesar la transición y no tiene por qué ser una temperatura, una energía o una concentración.

Hay que distinguir el parámetro de orden microscópico instantáneo de su valor de equilibrio. Para $N$ espines con campo exactamente nulo, una inversión global de signos transforma cada configuración en otra de idéntica energía. Por ello, en cualquier sistema finito cuyo equilibrio se haya muestreado completamente, $\langle m\rangle = 0$, incluso a temperaturas a las que se observan dominios muy ordenados. El valor absoluto $\langle|m|\rangle$ es entonces un indicador numérico útil, aunque no coincide exactamente con la magnetización espontánea definida para el sistema infinito.

La definición cuidadosa de magnetización espontánea introduce un orden de límites

El campo positivo selecciona una de las orientaciones posibles antes de retirarse. Intercambiar el orden de límites hace desaparecer esa selección en un sistema finito. Esto tiene consecuencias experimentales, porque una muestra pequeña puede invertir su magnetización por fluctuaciones aunque la fase de equilibrio macroscópica esté ordenada; la duración de la observación influye entonces en lo que se registra.

Otros sistemas requieren otros parámetros de orden. En una mezcla binaria podría emplearse la diferencia local de concentraciones entre componentes; en un cristal, amplitudes de densidad asociadas a vectores de red recíproca; en un superfluido, una amplitud compleja relacionada con la coherencia de fase. En ciertos estados topológicos, la clasificación exige observables menos locales que una magnetización media. Tampoco hay garantía de que un único número describa completamente una transformación entre fases. La elección debe respetar las simetrías, las escalas y las restricciones de conservación.

La simetría orienta la clasificación, aunque hacen falta otros criterios para completarla. Dos estados pueden compartir todas las simetrías evidentes y distinguirse por propiedades topológicas o de correlación. A la inversa, un parámetro de orden puede ser pequeño debido a fluctuaciones temporales, coexistencia de dominios o promediado espacial, sin que ello pruebe ausencia de estructura. Conviene examinar su distribución $P_{N}(m)$, la función de correlación y, cuando sea necesario, las condiciones en que se hizo el promedio.

En una red cuadrada de Ising, el parámetro de orden tiene además una interpretación geométrica. Una magnetización positiva indica predominio de espines $+ 1$, pero dice poco acerca de cómo están agrupados. Dos configuraciones con el mismo valor pueden tener paredes de dominio de longitudes diferentes. La energía y las correlaciones permitirán distinguirlas. Por este límite descriptivo de un observable agregado, cerca de una transición es necesario conservar información espacial.

157.3. La singularidad termodinámica y el límite de muchos componentes

Consideremos la densidad de energía libre $f_{N}(T,h) = F_{N}(T,h)/N$. Cuando existe un límite termodinámico bien definido, escribimos $f(T,h) = \lim_{N \rightarrow \infty}f_{N}(T,h)$. La función límite puede contener puntos en los que deja de ser analítica aunque cada $f_{N}$ sea suave. No hay paradoja, porque el límite de una sucesión de funciones analíticas no tiene por qué conservar la analiticidad sin condiciones adicionales de convergencia. En física estadística, esa pérdida de regularidad es el lenguaje matemático de las transiciones de fase de equilibrio.

Para relacionarla con cantidades observables definimos $m = - \partial f/\partial h$ cuando existe esa derivada. Si el parámetro de orden salta al cruzar un valor de $h$ o $T$, la correspondiente derivada de la energía libre es discontinua. Si la magnetización cambia continuamente y diverge su derivada respecto del campo, encontramos una respuesta singular de orden superior. La clasificación tradicional por órdenes de derivadas, debida a Ehrenfest, es limitada, porque hay singularidades logarítmicas, comportamientos esenciales y situaciones en las que no basta enumerar derivadas divergentes.

La susceptibilidad magnética por sitio, para un acoplamiento $- hM$, es

Esta identidad, válida en el ensemble canónico con la convención indicada, conecta una respuesta inducida con fluctuaciones de equilibrio. Será central en C158. Una susceptibilidad creciente puede anticipar un punto crítico, pero una muestra finita admite picos redondeados y máximos desplazados; observar uno de esos picos es compatible también con que no haya divergencia en el límite infinito.

El modelo de Ising ilustra el papel de la dimensionalidad. La cadena unidimensional con interacciones ferromagnéticas de primeros vecinos no tiene transición térmica a temperatura positiva en campo nulo. En la red cuadrada infinita sí hay una temperatura crítica, dada por

La solución de Onsager describe la energía libre; Yang obtuvo posteriormente la magnetización espontánea exacta. Dos sistemas compuestos por los mismos espines binarios presentan así comportamientos termodinámicos distintos por su geometría y conectividad. Ni el tamaño del espacio de estados de un solo elemento ni el signo ferromagnético de la interacción determinan por separado la transición.

El paso a $N \rightarrow \infty$ también obliga a fijar qué se mantiene constante. En una familia de redes de dimensión $d$, normalmente aumentamos la longitud $L$ con $N \propto L^{d}$, conservando el espaciado microscópico y las constantes intensivas. Cambiar simultáneamente el alcance de las interacciones o introducir una conectividad creciente modifica el problema físico y puede conducir a otra teoría efectiva. Una extrapolación de tamaño es fiable cuando se conoce esa secuencia de modelos y se puede separar su comportamiento de los efectos de borde.

157.4. La expansión de Landau como teoría local de la transición

Cuando no se conoce la función de partición exacta, podemos construir una aproximación para la energía libre en función de un parámetro de orden. Landau propuso explotar las simetrías del problema; si el sistema sin campo es invariante bajo $m \mapsto - m$, la energía libre a campo nulo puede expandirse en potencias pares. Para estudiar una transición continua adoptamos la forma mínima

En este capítulo, $T_{c}$ es el valor crítico de la aproximación de Landau, que puede diferir del que tiene el sistema microscópico estudiado. La variable $m$ se interpreta como parámetro macroscópico uniforme y los coeficientes suponen regularidad cerca del punto de interés. En este esquema, la energía libre de equilibrio se obtiene minimizando respecto de $m$, cuyo valor queda así determinado.

Si $h = 0$, la condición estacionaria es

Por encima de $T_{c}$, el mínimo estable está en $m = 0$. Por debajo, ese estado pierde estabilidad y aparecen dos mínimos equivalentes, $m_{\pm} = \pm \sqrt{a\left( T_{c} - T \right)/b}$. La segunda derivada permite comprobar cuáles son mínimos. La magnitud del parámetro de orden crece continuamente al descender la temperatura, según una ley de potencia con exponente $1/2$. Esa predicción es independiente de los valores numéricos de $a$ y $b$, aunque depende de las hipótesis que hicieron legítima la expansión y el tratamiento uniforme.

La misma energía libre anticipa la respuesta al campo. En la rama desordenada, una perturbación pequeña cumple aproximadamente $a\left( T - T_{c} \right)m = h$; por tanto $\chi \simeq \left\lbrack a\left( T - T_{c} \right) \right\rbrack^{- 1}$. Por debajo de la temperatura crítica, la curvatura en el mínimo vale $2a\left( T_{c} - T \right)$, por lo que la susceptibilidad longitudinal de una rama es $\left\lbrack 2a\left( T_{c} - T \right) \right\rbrack^{- 1}$. En el punto crítico, la ecuación de estado es $h = bm^{3}$, de modo que la respuesta deja de ser lineal y $m \propto h^{1/3}$.

Este cálculo da los exponentes clásicos $\beta_{crit} = 1/2$, $\gamma = 1$ y $\delta = 3$. Usamos $\beta_{crit}$ para no confundir el exponente de magnetización con $\beta_{T} = 1/\left( k_{B}T \right)$, inversa de temperatura. El modelo de campo medio reproduce rasgos importantes de la bifurcación de equilibrio, pero las fluctuaciones espaciales que se vuelven relevantes cerca de un punto crítico pueden cambiar los exponentes. En la red cuadrada de Ising, por ejemplo, el exponente exacto de magnetización es $1/8$, frente al $1/2$ de Landau.

La expansión de Landau permite además identificar con claridad sus propias condiciones de fracaso. Si el coeficiente del término cuadrático nunca cambia de signo, si la simetría admite términos impares o si las interacciones generan un potencial no analítico, la misma estructura de mínimos puede dejar de ser válida. Incluso cuando una expansión local describe correctamente la topología del diagrama, no garantiza que sus coeficientes estimados lejos de $T_{c}$ permanezcan constantes.

157.5. Coexistencia, calor latente y transiciones discontinuas

Para describir una transición discontinua necesitamos un paisaje de energía libre capaz de sostener mínimos separados que intercambien estabilidad global. Un ejemplo útil conserva la simetría $m \mapsto - m$, pero permite que el término de cuarto orden sea negativo. Para mantener acotada la energía añadimos entonces un término positivo de sexto orden y escribimos

La ecuación estacionaria es $m\left( r + um^{2} + vm^{4} \right) = 0$. Además del estado $m = 0$, pueden existir extremos con $x = m^{2} > 0$ que satisfacen $r + ux + vx^{2} = 0$. La coexistencia ocurre cuando uno de esos extremos tiene la misma energía libre que el mínimo central. Resolver simultáneamente la condición estacionaria y $f(m) - f(0) = 0$ da

El valor distinto de cero del parámetro de orden aparece mediante un salto finito. Entre el punto de coexistencia y los límites de estabilidad local pueden persistir estados metaestables. Uno de los límites está en $r = 0$, donde el mínimo central deja de ser estable; el otro, en $r = u^{2}/(4v)$, donde desaparece un par de extremos no nulos. Estas fronteras de estabilidad local son espinodales del modelo de Landau; no deben confundirse con la línea de coexistencia de equilibrio.

En una transición de primer orden típica, la entropía puede presentar un salto $\Delta s$, al que corresponde un calor latente $L = T\Delta s$ por unidad adecuada. Sin embargo, su magnitud no puede deducirse solo del salto de $m$; hay que conocer cómo depende la energía libre de la temperatura y mantener coherentes las variables conjugadas. El ejemplo polinómico deja claro el mecanismo de competencia entre mínimos, pero una aplicación cuantitativa requiere relacionar $r,u,v$ con parámetros físicos y verificar que el equilibrio puede alcanzarse.

La barrera que separa mínimos tiene consecuencias dinámicas. Un sistema enfriado puede permanecer temporalmente en una fase metaestable; la aparición de un núcleo de la fase nueva necesita vencer un coste interfacial. En una descripción simplificada de una gota esférica en tres dimensiones, la variación de energía libre es $\Delta F(R) = 4\pi R^{2}\sigma - (4\pi/3)R^{3}\Delta f$, donde $\sigma$ es la tensión interfacial positiva y $\Delta f$ la ventaja de energía libre volumétrica de la fase estable. Para $\Delta f > 0$, la barrera tiene un máximo en $R_{c} = 2\sigma/\Delta f$. Los núcleos más pequeños tienden a desaparecer; los mayores pueden crecer.

En simulaciones o experimentos, la histéresis puede provenir de esa demora de nucleación. Su amplitud depende de la velocidad de barrido, el volumen, los defectos y el ruido. Un lazo de histéresis no prueba la existencia de una transición de equilibrio de primer orden, porque también lo producen sistemas con memoria, disipación o restricciones cinéticas. Para establecer coexistencia es preferible combinar medidas del potencial, distribuciones de probabilidad, controles de tamaño y análisis de los tiempos de relajación.

157.6. Exponentes críticos y comportamiento cercano al umbral

Una transición continua se caracteriza por la aproximación a un punto donde ciertas longitudes y respuestas pueden crecer sin que el parámetro de orden salte. Para describir ese comportamiento definimos la temperatura reducida $t = \left( T - T_{c} \right)/T_{c}$. Esta variable carece de unidades y su signo distingue los lados de la transición. Cuando $|t| \ll 1$, muchos sistemas muestran leyes de potencia. La magnetización espontánea puede variar como $|t|^{\beta_{crit}}$ para $t < 0$, mientras la susceptibilidad sigue aproximadamente $|t|^{- \gamma}$ y una longitud de correlación $\xi$ escala como $|t|^{- \nu}$.

La forma general de las leyes es más importante que la apariencia de una recta en un gráfico logarítmico. Debemos conocer el intervalo donde la aproximación asintótica es válida, separar las contribuciones regulares de las singulares y tener en cuenta el tamaño de la muestra. Un ajuste lineal sobre tres puntos próximos a un máximo redondeado puede producir cualquier pendiente plausible. La estimación de exponentes exige mostrar cómo dependen del intervalo de ajuste y comprobar que los resultados sean compatibles con otros observables.

En la red cuadrada de Ising con acoplamiento isotrópico, interacciones de primeros vecinos y campo nulo, la magnetización espontánea exacta para $T < T_{c}$ es

Por encima de $T_{c}$, la magnetización espontánea se anula. Al aproximarnos por debajo al valor crítico, la expresión reproduce $\beta_{crit} = 1/8$. Otros exponentes exactos de ese modelo son $\gamma = 7/4$, $\nu = 1$ y $\eta = 1/4$. La capacidad calorífica tiene una divergencia logarítmica, que suele describirse mediante $\alpha = 0$ acompañada explícitamente de esa corrección. Estos números son propios de una clase concreta de universalidad, con simetría discreta y corto alcance en dos dimensiones.

Los exponentes interesan porque describen cómo se aproximan al punto crítico cantidades muy distintas. La susceptibilidad mide una respuesta; la longitud de correlación caracteriza una escala espacial; la magnetización cuantifica un orden medio. Su relación no implica que las tres mediciones sean intercambiables. Un experimento puede registrar una susceptibilidad grande por heterogeneidad de parámetros o mezcla de poblaciones sin que se haya identificado una transición crítica. La teoría exige establecer cuál es la variable conjugada al campo, cómo se definen las fluctuaciones y por qué el comportamiento persiste con muestras crecientes.

Hay relaciones entre exponentes, como $\gamma = \nu(2 - \eta)$, que se obtienen bajo supuestos de escalamiento adecuados y a partir de la estructura de las correlaciones. En la práctica sirven para contrastar mediciones independientes. Si una estimación de $\gamma$, $\nu$ y $\eta$ viola ampliamente la relación, conviene revisar la ventana crítica, el muestreo y la definición de observables antes de postular que se ha descubierto una nueva universalidad. Las excepciones y modificaciones posibles dependen del alcance de las interacciones, de la dimensionalidad y de otros ingredientes que deben declararse.

157.7. Por qué las fluctuaciones corrigen al campo medio

La aproximación de Landau uniforme supone que basta conocer un valor medio de $m$ para obtener el comportamiento de equilibrio. Cerca de una transición continua, las fluctuaciones pueden correlacionarse a distancias mucho mayores que la separación entre componentes. En ese régimen, el promedio local deja de representar bien a las regiones del sistema y la aproximación pierde parte de la física relevante. Una extensión espacial de Landau introduce un campo $\phi\left( \mathbf{x} \right)$ que varía con la posición y penaliza sus gradientes en el funcional

El funcional distingue estados con igual promedio y diferente distribución espacial. A temperaturas donde $r > 0$, una aproximación gaussiana descarta temporalmente el término de cuarto orden y permite estimar cómo se propagan las fluctuaciones. La contribución de un modo de Fourier con vector de onda $\mathbf{k}$ queda ponderada por $r + \kappa k^{2}$. De ahí surge una escala $\xi \sim \sqrt{\kappa/r}$ dentro del régimen gaussiano. Cuando $r$ se aproxima a cero, los modos de longitud de onda grande se vuelven cada vez menos costosos.

Precisamente esa proliferación de modos cuestiona el cálculo que la produjo. El término $u\phi^{4}$, antes despreciado, puede modificar los resultados dominantes. El criterio de Ginzburg compara el tamaño de las fluctuaciones en una región correlacionada con el cuadrado del parámetro de orden medio. Para modelos escalares ordinarios de corto alcance, el papel especial de la dimensión cuatro indica que el campo medio falla asintóticamente para $d < 4$ y suele describir los exponentes principales para $d > 4$, con sutilezas y correcciones logarítmicas en la dimensión crítica superior. En redes de dimensión nominal alta, la validez de los exponentes clásicos depende además del alcance de los enlaces y de la estructura de interacción.

El grupo de renormalización da un lenguaje más general. Consiste, conceptualmente, en describir el sistema tras integrar fluctuaciones de escalas pequeñas y reajustar sus parámetros. Algunos detalles microscópicos pierden relevancia para el comportamiento a larga distancia; otros, como la simetría y la dimensión, permanecen decisivos. Así se explica físicamente que sustancias diferentes tengan exponentes similares. La universalidad es la coincidencia de ciertas propiedades de escalamiento tras usar las variables y límites apropiados; las temperaturas críticas, las energías o las velocidades de relajación pueden ser distintas.

En el cálculo numérico, las fluctuaciones plantean una dificultad práctica, porque cerca del punto crítico el sistema puede relajarse lentamente y las observaciones sucesivas quedar muy correlacionadas. Una serie de miles de pasos de Monte Carlo puede equivaler a muchas menos observaciones estadísticamente independientes. El algoritmo, las condiciones iniciales y la longitud de las trayectorias deben registrarse para distinguir una propiedad de equilibrio de una aparente inmovilidad causada por el procedimiento de simulación.

157.8. Tamaño finito, distribuciones de magnetización y cumulante de Binder

Una simulación solo dispone de redes finitas, pero esa misma limitación permite estudiar cómo cambian los observables al aumentar la longitud $L$. Cerca de una transición continua ordinaria, si se cumplen las condiciones de escalamiento de tamaño finito, la magnetización y la susceptibilidad admiten formas como

Las funciones $\mathcal{M}$ y $\mathcal{X}$ no se conocen siempre de manera analítica. Las expresiones son útiles porque predicen cómo se desplazan y crecen las curvas cuando variamos el tamaño. En $T_{c}$, por ejemplo, la susceptibilidad suele aumentar aproximadamente como $L^{\gamma/\nu}$, mientras la magnetización absoluta disminuye como $L^{- \beta_{crit}/\nu}$. Para el Ising cuadrado, estas potencias son $L^{7/4}$ y $L^{- 1/8}$, respectivamente, en el régimen pertinente.

El cumulante de Binder usa la forma de la distribución de magnetización. Una convención frecuente para un parámetro escalar es

Si la distribución centrada de $m$ es aproximadamente gaussiana, el cociente de momentos vale tres y $U_{L}$ se acerca a cero. Una distribución estrecha concentrada alrededor de dos valores opuestos de igual magnitud tiende a $U_{L} = 2/3$. Estos valores son orientativos; sus aproximaciones reales dependen del tamaño, de la forma de la distribución y de las restricciones del sistema. En transiciones continuas, las curvas $U_{L}(T)$ de distintos tamaños pueden cruzarse cerca de $T_{c}$. Por las correcciones de escala, el punto de cruce puede variar de un par de tamaños a otro.

Imaginemos tres redes cuadradas de lados $L = 16,32,64$. Para un primer diagnóstico podemos registrar, después de alcanzar el equilibrio, histogramas de $m$, susceptibilidad y cumulante. Por encima de $T_{c}$, la distribución de magnetización suele concentrarse cerca de cero; por debajo puede mostrar dos regiones preferidas correspondientes a magnetizaciones opuestas. Al aproximarnos al punto crítico, su forma deja de ser simplemente gaussiana. Repetir el cálculo para varios tamaños permite analizar si las características observadas se estabilizan en variables reescaladas o si corresponden a artefactos de red pequeña.

En una transición de primer orden, las distribuciones pueden mostrar coexistencia de picos correspondientes a fases diferentes, separados por barreras de energía libre que crecen de manera característica con el tamaño. Sin embargo, una distribución multimodal también puede surgir de muestreo insuficiente, poblaciones heterogéneas o dinámica con múltiples atractores. Para usarla como evidencia termodinámica hay que comprobar el equilibrio y distinguir el resultado de la regla de actualización. Ningún valor del cumulante sustituye esa evaluación.

157.9. Un protocolo de análisis para el modelo de Ising

El estudio de una transición requiere una secuencia verificable de decisiones. Consideremos el Ising ferromagnético en una red cuadrada periódica de $L \times L$, con $J > 0$, $h = 0$ y $k_{B} = 1$. La referencia analítica exacta fija $T_{c}/J = 2/\ln\left( 1 + \sqrt{2} \right)$. Aquí el objetivo de la simulación es mostrar que el procedimiento reproduce un caso ya resuelto. Ese contraste permite detectar errores antes de aplicar el método a un modelo sin solución cerrada.

Comenzaríamos calculando la energía mediante una lista de enlaces sin duplicados y comprobando configuraciones extremas. Con bordes periódicos y $L$ suficientemente grande para tener cuatro vecinos distintos por sitio, el estado completamente alineado tiene energía $- 2JN$, porque hay $2N$ enlaces. Una configuración que alterna signos como un tablero, posible cuando $L$ es par, tiene energía $+ 2JN$. Ambas son pruebas unitarias del Hamiltoniano. A continuación verificaríamos que el algoritmo de actualización satisface la distribución de equilibrio deseada; el esquema de Metropolis se tratará en C159.

En varias temperaturas a cada lado de $T_{c}$, mediríamos series de energía, magnetización y magnetización cuadrática. Antes de promediar, compararíamos cadenas iniciadas desde estados ordenados y desordenados, estimaríamos tiempos de autocorrelación y comprobaríamos si los promedios convergen al prolongar la simulación. Cerca del punto crítico, la lentitud crítica hace particularmente peligroso sumar observaciones consecutivas como si fueran independientes. Es preferible estimar la incertidumbre mediante lotes u otros métodos adecuados para datos correlacionados y repetir algunas simulaciones con semillas distintas.

Repetiríamos las medidas para varios tamaños $L$, sin concluir a partir de uno solo. La ubicación del máximo de susceptibilidad da una primera estimación de temperatura pseudocrítica. Los cruces del cumulante de Binder y las relaciones de tamaño finito permiten contrastar esa estimación con un criterio de naturaleza distinta. Finalmente, si los datos tienen precisión suficiente, intentaríamos un colapso de curvas al representar $\langle|m|\rangle L^{\beta_{crit}/\nu}$ y $\chi L^{- \gamma/\nu}$ contra $tL^{1/\nu}$. Usaríamos primero exponentes exactos conocidos; ajustarlos libremente solo estaría justificado si se documenta la incertidumbre.

La prueba puede fallar por motivos ajenos a la teoría, como una energía mal contada, fronteras implementadas de manera diferente en distintas observaciones, un calentamiento insuficiente, un generador seudoaleatorio mal administrado o estimadores de incertidumbre inapropiados. También puede fallar por razones físicas, si una interacción adicional modifica el modelo o una perturbación de simetría elimina la transición esperada en una región de parámetros. El informe de auditoría debe distinguir ambos tipos de discrepancia. Un resultado que no coincide con el valor de Onsager exige un diagnóstico antes de invocar una nueva ley física.

157.10. Interpretar transiciones sin confundir modelos y fenómenos

La teoría de transiciones de fase es un marco para comprender la aparición de propiedades colectivas. Su precisión depende de formular por separado qué variable describe el estado organizado, cuál es el potencial de equilibrio, qué sucede al aumentar el sistema y cómo responden las fluctuaciones a una perturbación externa. La energía libre local de Landau permite localizar mínimos y predecir, dentro de sus hipótesis, si un orden emerge continuamente o por un salto. El modelo microscópico puede imponer correcciones sustanciales a esa predicción cuando las fluctuaciones espaciales adquieren importancia.

Las expresiones exactas del Ising bidimensional muestran la diferencia. Su temperatura crítica y su exponente de magnetización son propiedades del modelo con reglas específicas. Un cálculo de campo medio puede acertar en la existencia de orden por debajo de un umbral y equivocarse en cómo desaparece ese orden al aproximarse a él. La dimensionalidad es igual de decisiva; la cadena unidimensional con interacciones locales no tiene una transición térmica de magnetización espontánea a temperatura positiva. La teoría obliga a mirar qué se ha conservado y qué se ha perdido en la reducción.

En sistemas con varios estados posibles conviene separar tres conceptos. La coexistencia de fases es una afirmación de equilibrio acerca de mínimos de igual energía libre. La metaestabilidad describe la persistencia de un estado que no tiene la energía libre global más baja, pero está separado del estable por una barrera. La histéresis registra dependencia de la trayectoria o del protocolo experimental. Estos conceptos pueden coexistir, pero ninguno equivale automáticamente a los otros. Para comprobarlos hacen falta mediciones y controles específicos.

La interpretación de fenómenos sociales o biológicos mediante parámetros de orden requiere una cautela adicional. Las poblaciones pueden cambiar durante la medición, las interacciones pueden aprender o adaptarse y los estados microscópicos quizá no obedezcan un equilibrio estacionario. En esas condiciones, los umbrales de propagación y las bifurcaciones siguen siendo objetos matemáticos legítimos, aunque los potenciales termodinámicos y los exponentes universales no se trasladan automáticamente. La decisión de llamar transición de fase a un cambio observado debe respaldarse con una definición explícita del límite, del orden y de la dinámica.

El capítulo siguiente desarrollará las correlaciones espaciales, la susceptibilidad y la longitud de correlación. Allí podremos precisar por qué una fluctuación de una región informa sobre otra distante y en qué condiciones la suma de esas dependencias determina la respuesta macroscópica. La relación entre estructura espacial y observables agregados permitirá evaluar con mayor exigencia las aparentes señales críticas obtenidas de redes finitas, experimentos e imágenes.

Referencias

• Onsager, L. (1944). Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition. Physical Review, 65, 117–149. https://doi.org/10.1103/PhysRev.65.117
• Yang, C. N. (1952). The spontaneous magnetization of a two-dimensional Ising model. Physical Review, 85, 808–816. https://doi.org/10.1103/PhysRev.85.808
• Fisher, M. E. (1967). The theory of equilibrium critical phenomena. Reports on Progress in Physics, 30, 615–730. https://doi.org/10.1088/0034-4885/30/2/306
• Kadanoff, L. P., Götze, W., Hamblen, D., Hecht, R., Lewis, E. A. S., Palciauskas, V. V., Rayl, M., Swift, J., Aspnes, D., y Kane, J. (1967). Static phenomena near critical points: Theory and experiment. Reviews of Modern Physics, 39, 395–431. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.39.395
• Wilson, K. G. (1971). Renormalization group and critical phenomena. I. Renormalization group and the Kadanoff scaling picture. Physical Review B, 4, 3174–3183. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.4.3174
• Binder, K. (1981). Finite size scaling analysis of Ising model block distribution functions. Zeitschrift für Physik B, 43, 119–140. https://doi.org/10.1007/BF01293604
• Goldenfeld, N. (1992). Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group. Addison-Wesley.
• Cardy, J. (1996). Scaling and Renormalization in Statistical Physics. Cambridge University Press.
• Chaikin, P. M., y Lubensky, T. C. (1995). Principles of Condensed Matter Physics. Cambridge University Press.