Caso resuelto: coexistencia, histéresis y tamaño finito

Año 2 · Módulo 16: Física estadística: microestados, equilibrio y transiciones · Transferencia e integración

160.1. Tres fenómenos que pueden parecer iguales en una gráfica

Supongamos que medimos la magnetización de un material mientras aumentamos y disminuimos lentamente un campo externo. La curva tiene dos ramas, una para el barrido ascendente y otra para el descendente. Cerca del campo nulo la magnetización puede seguir siendo positiva aunque ya hayamos aplicado un campo negativo. Si solo miramos ese gráfico, es tentador afirmar que el sistema presenta dos fases coexistentes, que tiene memoria y que hemos localizado una transición. Las tres afirmaciones necesitan pruebas distintas.

La coexistencia de equilibrio es la presencia de estados macroscópicos distintos que tienen el mismo potencial termodinámico bajo condiciones especificadas. La histéresis es la dependencia del estado observado respecto del camino temporal por el que se modificaron las condiciones. El tamaño finito determina cuánto se redondean las transiciones y qué barreras deben atravesarse para que el sistema explore otras regiones del espacio de configuraciones. Los tres fenómenos pueden concurrir, pero son distintos. Un modelo de equilibrio puede presentar coexistencia sin ciclo de histéresis si se muestrea perfectamente; un sistema con retardo dinámico puede producir un ciclo sin que exista una transición de equilibrio.

Para separar sus contribuciones usaremos el Ising ferromagnético bidimensional, que tiene una temperatura crítica conocida y una simetría sencilla. Elegiremos una temperatura inferior a $T_{c}$, estudiaremos redes pequeñas por enumeración exacta y preguntaremos qué cambia al aplicar un campo o aumentar el número de sitios. Después definiremos un experimento de barrido de campo con actualizaciones locales de Metropolis.

En el cálculo exacto se suman todas las configuraciones con su peso de Boltzmann, sin esperar a que ocurra ninguna transición. En una cadena de Markov, en cambio, solo observamos los estados visitados en un tiempo computacional finito. Si una barrera separa dos regiones, la segunda puede quedar fuera de la muestra aunque su peso exacto sea grande. La curva resultante contiene entonces información tanto del sistema como del procedimiento elegido para explorarlo.

El modelo también permite ver el alcance limitado de una imagen instantánea. Una configuración casi completamente positiva y otra casi completamente negativa tienen, a campo nulo, igual energía. Una sola instantánea puede hacer creer que el sistema ha seleccionado definitivamente una fase. Solo la definición de los promedios, el orden de límites y la escala de observación permiten decidir qué significa esa selección. El caso resuelto comienza, por tanto, con el equilibrio finito, que será nuestra referencia para evaluar cualquier histéresis aparente posterior.

160.2. Definir el sistema antes de interpretar su respuesta

Sea una red cuadrada periódica de lado $L$, con $N = L^{2}$ espines $s_{x,y} \in \{ - 1, + 1\}$. Elegimos $L \geq 3$, de modo que cada sitio tenga cuatro vecinos geométricamente distintos. Contamos una vez cada enlace hacia la derecha y una vez cada enlace hacia abajo. Con acoplamiento ferromagnético $J > 0$ y campo externo $h$, el Hamiltoniano es

con índices interpretados módulo $L$. La convención contiene $2N$ enlaces y evita que la energía de interacción dependa artificialmente de la posición de un espín. Fijaremos $J = k_{B} = 1$ y trabajaremos a $T = 1.8$. La temperatura crítica exacta de la red cuadrada infinita a campo nulo es

Estamos por debajo de la temperatura crítica del sistema infinito. De ello no se sigue que una red de nueve o dieciséis sitios tenga una singularidad propia. Para $N$ finito, la función de partición es una suma finita de exponenciales positivas

A cualquier temperatura estrictamente positiva, esa suma es una función analítica de $T$ y $h$, igual que la energía libre $F_{N} = - T\ln Z_{N}$. En consecuencia, una red finita en equilibrio exacto no puede presentar una discontinuidad termodinámica auténtica cuando el campo varía suavemente. Sí puede tener una respuesta pronunciada, que se hace más abrupta a medida que aumenta $N$. La singularidad, cuando existe, corresponde a un límite termodinámico apropiado.

La magnetización por espín es $m = N^{- 1}\sum_{i}^{}s_{i}$ y $P_{N}(m)$ es la probabilidad canónica de observar un valor dado de magnetización. Su soporte es discreto, porque la magnetización total solo toma los valores $M = - N, - N + 2,\ldots,N$, con $m = M/N$; si $N$ es impar, ninguna configuración tiene magnetización exactamente cero. Para comparar redes conviene registrar la magnetización firmada, su valor absoluto y sus momentos pares.

La transformación simultánea $s_{i} \mapsto - s_{i}$ deja invariante la interacción y convierte el término de campo $- hM$ en $+ hM$. De esa simetría se deduce

Estas son igualdades exactas para todo $L$ finito con campo nulo. Si un muestreador reporta una magnetización media no nula en una ejecución muy larga, hay que explicar si se debe a una fluctuación de muestreo, al confinamiento en un sector o a una definición distinta del promedio. La simetría es el primer control de calidad del caso.

160.3. Dos redes que podemos enumerar completamente

Empecemos con $L = 3$. Sus nueve espines admiten $512$ configuraciones, que un computador recorre sin necesidad de Monte Carlo. Para $L = 4$ hay $65\, 536$, todavía manejables. Calculamos la energía, la magnetización y el peso canónico de cada estado; después normalizamos y sumamos. En ambos casos usamos la misma convención de enlaces y los mismos parámetros, sin ajustar el campo ni la temperatura para obtener un resultado deseado.

A $T = 1.8$ y $h = 0$ se obtienen los valores siguientes.

| Red | $\langle m\rangle$ | $\langle|m|\rangle$ | $\langle m^{2}\rangle$ | Probabilidad de alineación completa | |--------------|--------------------|---------------------|------------------------|-------------------------------------| | $3 \times 3$ | 0 | 0.956912 | 0.932471 | 0.868774 | | $4 \times 4$ | 0 | 0.956331 | 0.926218 | 0.782724 |

La primera columna de promedios no indica que las redes estén desordenadas. La magnetización firmada vale cero porque las configuraciones positivas y negativas tienen pesos exactamente iguales. Al mismo tiempo, $\langle|m|\rangle$ está cerca de uno, ya que las configuraciones con predominio de una orientación concentran gran parte de la probabilidad. Así, una red puede ser muy ordenada en cada instantánea y simétrica al sumar correctamente todos los estados. Por la misma razón, que una trayectoria de Metropolis quede atrapada en una orientación no prueba que la magnetización de equilibrio finita sea positiva.

En la última columna, las dos configuraciones perfectamente alineadas reúnen alrededor del 86.88 % del peso canónico para nueve espines y alrededor del 78.27 % para dieciséis. Esa disminución no implica pérdida de orden al aumentar la red. Lo que crece es el número de configuraciones con uno o varios defectos, aunque su magnetización absoluta siga próxima a uno. Limitarse a la fracción de configuraciones completamente uniformes daría una medida demasiado estricta de orden colectivo.

Otra comprobación es la susceptibilidad a campo nulo,

La enumeración da $\chi_{9} = 4.662356$ y $\chi_{16} = 8.233051$, ambas finitas. El aumento se debe en buena medida a que una perturbación pequeña del campo inclina el peso relativo de dos sectores de magnetización cuya separación macroscópica crece con $N$. Sería un error leer directamente estos números como una divergencia crítica respecto de la temperatura, porque aquí variamos el tamaño a $T = 1.8 < T_{c}$ y el sistema infinito presenta una discontinuidad de magnetización cuando el campo cambia de signo.

El cálculo exacto es pequeño, pero da seis cifras reproducibles para varios observables y confirma relaciones de simetría que no dependen de ningún algoritmo de muestreo. Incluye todos los estados, aun aquellos cuya probabilidad es diminuta. Por eso es la referencia con la que juzgaremos cuánto depende una simulación del tiempo que permanece en cada fase.

160.4. Aplicar un campo pequeño y observar una selección gradual

Introduzcamos ahora un campo $h = 0.1$, sin cambiar $T = 1.8$. La contribución energética $- hM$ favorece las configuraciones positivas. Cada estado conserva una probabilidad estrictamente positiva; el campo solo redistribuye los pesos. Como el sistema es finito, la magnetización media responde de manera continua al campo. El resultado exacto para $L = 3$ es $\langle m\rangle = 0.433730$; para $L = 4$, $\langle m\rangle = 0.669936$. Un mismo campo produce una respuesta más intensa en la red mayor, sin que ninguna de las dos tenga un salto matemático.

La explicación se ve al comparar las dos configuraciones totalmente alineadas. Ambas tienen la misma energía de interacción. Sus magnetizaciones totales son $+ N$ y $- N$, de modo que la diferencia de energía debida al campo es $2hN$. La razón entre sus probabilidades es exactamente

Con $h = 0.1$, $T = 1.8$ y $N = 9$, esta razón es $e^{1} \simeq 2.7183$; con $N = 16$ es $e^{16/9} \simeq 5.9167$. Un campo aparentemente pequeño por espín adquiere un efecto colectivo cuando actúa sobre muchos espines alineados. El argumento no supone que solo existan esos dos estados, pero explica por qué la magnetización media aumenta tan rápidamente con el tamaño de la red.

Podemos simplificar el razonamiento mediante una aproximación de dos sectores dominantes con magnetizaciones $\pm m_{0}$. Si ignoramos las fluctuaciones internas y asignamos a cada sector un peso proporcional a $e^{\pm \beta Nhm_{0}}$, obtenemos

La expresión es continua para todo $N$ finito. Su zona de transición alrededor de $h = 0$ se estrecha con una escala de campo proporcional a $1/N$, siempre que $m_{0}$ permanezca distinto de cero. En el límite de tamaño infinito el paso puede hacerse discontinuo. Este modelo reducido ayuda a interpretar el mecanismo, pero no sustituye la suma exacta de todos los microestados, que incluye fluctuaciones y dominios con magnetizaciones intermedias.

La transición térmica del Ising cuadrado a $h = 0$ y $T = T_{c}$ es continua. El salto de magnetización al cambiar el signo del campo, para $T < T_{c}$ en el límite termodinámico, es en cambio una discontinuidad de primer orden respecto del campo. Se trata de cortes distintos del diagrama de fases, de modo que no es correcto clasificar todo el modelo como de «primer orden» o de «segundo orden» sin indicar qué parámetros cambian y qué línea o punto se estudia.

El ejemplo muestra la selección estadística de una orientación, pero todavía no hay histéresis. Para cada valor fijo de $h$, la enumeración da una única media canónica. Si recorremos los campos en un sentido o en el otro y recalculamos exactamente la suma, obtenemos la misma curva. Las dos ramas solo aparecen si el protocolo incorpora memoria dinámica, limitaciones de mezclado u otros mecanismos que impidan alcanzar el equilibrio en cada etapa.

160.5. Histogramas de magnetización y barreras de energía libre

La coexistencia es más visible en una distribución que en su primer momento. A campo nulo y temperatura inferior a la crítica, la distribución $P_{N}(m)$ suele concentrarse en torno a dos regiones, una de magnetización positiva y otra de magnetización negativa. La simetría impone $P_{N}(m) = P_{N}( - m)$. Entre ambas puede haber un valle, correspondiente a configuraciones con dominios enfrentados. Para atravesarlo, la red necesita formar paredes que separen orientaciones opuestas y que cuestan energía de interacción. El término barrera designa aquí una dificultad estadística cuantificable, sin referencia a una pared física que la configuración deba cruzar en el espacio real.

Es útil definir una energía libre efectiva discreta para la magnetización,

con una constante arbitraria $C$. Si un valor de magnetización tiene probabilidad baja, su energía libre efectiva es elevada. La expresión combina la energía y la multiplicidad de las configuraciones que comparten una misma magnetización, de modo que no es el Hamiltoniano de ningún microestado. Dos valores pueden tener la misma energía mínima y distinta probabilidad total porque uno admite muchas más configuraciones.

En la red de $3 \times 3$, la magnetización total es impar y no puede valer cero. Por ello sería incorrecto dibujar una «barrera en $m = 0$» a partir de un dato inexistente; hay que trabajar con los valores permitidos más próximos a cero o con una interpolación declarada. En $4 \times 4$ sí existen configuraciones de magnetización total nula. La posición y la profundidad del valle dependen del tamaño, de la forma de la red y de las condiciones de frontera. Incluso la posibilidad de construir una interfaz sencilla puede variar considerablemente entre geometrías.

Para sistemas grandes en dos dimensiones y por debajo de la crítica, una configuración con dos dominios extensos suele tener interfaces de longitud proporcional a $L$, siempre que las condiciones de frontera permitan esa disposición. El coste en energía libre de una interfaz es aproximadamente una tensión superficial multiplicada por su longitud. De ahí surge una escala de barrera $\Delta\mathcal{F} \sim \sigma L$, con correcciones geométricas y entrópicas. En sistemas tridimensionales el área interfacial suele crecer como $L^{2}$. Como una transición rara ocurre con una probabilidad que escala aproximadamente como $e^{- \beta\Delta\mathcal{F}}$, el tiempo de espera de un muestreador local puede aumentar muy rápidamente con el tamaño.

Estas consideraciones resuelven una aparente paradoja. La distribución exacta puede asignar un peso significativo a los dos sectores aunque una simulación corta solo descubra uno, porque la probabilidad estacionaria y la facilidad de desplazarse por el espacio de estados son propiedades diferentes. Para estimar $P_{N}(m)$ con fidelidad hay que registrar suficientes visitas a las dos regiones y a su valle, o usar métodos de muestreo extendido con una reponderación cuidadosamente verificada.

160.6. Cómo aparece un ciclo de histéresis sin cambiar el equilibrio

Definamos un experimento numérico con el mismo Hamiltoniano y la misma temperatura $T = 1.8$, en el que el campo cambia por etapas. Podemos comenzar con un campo positivo suficientemente intenso para orientar la red, disminuirlo hasta un valor negativo y luego regresar al punto de partida. En cada valor del campo ejecutamos una cantidad fija $b$ de barridos de Metropolis y registramos la magnetización del último tramo. El número $b$ controla cuánto tiempo de muestreo concedemos al sistema para responder. Si es pequeño respecto de los tiempos de escape de los dominios metastables, la magnetización conservará memoria del estado previo.

La rama descendente puede mantener magnetización positiva después de que el campo se vuelva negativo. En ese momento el estado positivo ya no es el sector de mayor peso canónico; persiste porque salir de él exige una reorganización colectiva poco probable en el intervalo disponible. Al invertir el sentido del barrido, el sistema puede permanecer negativo incluso cuando el campo vuelva a favorecer estados positivos. Si representamos ambas ramas, aparece un ciclo. El área encerrada entre ellas describe el protocolo dinámico y carece de contrapartida en la energía libre de equilibrio de una red finita.

En un sistema ferromagnético con dinámica local pueden existir tiempos de escape muy largos y dependencia de la historia. La forma exacta del ciclo depende de los incrementos de campo, del número de barridos por etapa, del tamaño y de la temperatura. No corresponde asignar al ciclo una anchura o una coercitividad concretas sin ejecutar y auditar la simulación descrita. Con un único ciclo de campo tampoco se puede distinguir un retardo genuino de un transitorio inicial que todavía no ha desaparecido.

Podemos comparar el barrido dinámico con una referencia completamente independiente. Para cada campo de una red pequeña recalculamos $Z_{N}(T,h)$ y obtenemos de ella la magnetización de equilibrio

Esa curva de equilibrio es la misma en ambos sentidos del barrido. Si aumentamos progresivamente $b$ en una cadena finita irreducible, deberíamos aproximarnos a ella dentro de la incertidumbre de muestreo. El ciclo cinético tenderá a desaparecer en el límite de equilibración completa a cada campo, aunque el coste requerido puede crecer tanto con $N$ que ese límite resulte inalcanzable en la práctica. Esa lentitud no cambia la respuesta termodinámica.

Podemos resolver analíticamente una versión reducida de este retardo sin atribuir todavía una cinética microscópica al Ising. Conservemos solo dos sectores con magnetizaciones $\pm m_{0}$ y supongamos una tasa total de intercambio $\nu$ constante. En cada campo fijo, la relajación de la media hacia $m_{eq}(h) = m_{0}\tanh\left( Nm_{0}h/T \right)$ cumple $dm/dt = - \nu\left\lbrack m - m_{eq}(h) \right\rbrack$. Durante una etapa de duración $\Delta t$, la solución exacta es

Esta ecuación conserva la media de equilibrio del modelo de dos sectores y permite calcular un ciclo cinético sin incertidumbre de Monte Carlo. Tomemos $N = 16$, $T = 1.8$, $m_{0} = 0.956857$, $\nu = 1$ y el ciclo de campos $- 0.30, - 0.15,0,0.15,0.30,0.15,0, - 0.15, - 0.30$. Tras repetir el ciclo hasta alcanzar una respuesta periódica, con $\Delta t = 0.5$ obtenemos en $h = 0$ aproximadamente $m = - 0.43035$ durante la subida y $m = 0.34577$ durante la bajada. Si cada etapa dura $\Delta t = 5$, esos valores se reducen a $- 0.00552$ y $0.00552$. Las áreas geométricas discretizadas del ciclo son aproximadamente $0.2973$ y $0.00364$, respectivamente. Son resultados del modelo cinético reducido, que no simula la dinámica microscópica del Ising, y muestran de manera controlada cómo se forma y casi desaparece una histéresis al variar solo el tiempo de relajación disponible.

Una dinámica de Metropolis local está construida para preservar el ensemble de Ising; de ella sola no se deduce una ley física universal de inversión magnética. Los materiales reales pueden presentar anisotropías, impurezas, procesos de nucleación, conservación parcial de variables o acoplamientos con campos electromagnéticos. Para interpretar una curva experimental habría que justificar cómo se relacionan las tasas microscópicas del material con la regla empleada. En el experimento de este capítulo, el ciclo muestra sobre todo cómo el tiempo de exploración puede modificar la apariencia de una distribución de equilibrio conocida.

160.7. La dirección del límite termodinámico cambia la conclusión

La igualdad $\langle m\rangle_{N,h = 0} = 0$ es exacta para cualquier $N$ finito. Sin embargo, por debajo de $T_{c}$ el sistema infinito puede sostener una magnetización espontánea distinta de cero. La expresión convencional que selecciona la fase positiva es

Primero dejamos crecer el sistema mientras el campo mantiene una preferencia, aunque sea pequeña; después retiramos el campo. Si invertimos el orden y fijamos $h = 0$ para cada tamaño finito, obtenemos siempre cero por simetría. La selección espontánea de fase es, así, una propiedad de un límite, compatible con las reglas de probabilidad.

En dos dimensiones, la magnetización espontánea exacta del Ising cuadrado a campo nulo y $T < T_{c}$ es

Con los parámetros usados, $T = 1.8$ y $J = k_{B} = 1$, esta expresión da aproximadamente $0.956857$. El valor se parece mucho a $\langle|m|\rangle$ de nuestras dos redes pequeñas, pero el acuerdo numérico en este punto del diagrama de fases no elimina las correcciones de tamaño ni convierte la magnetización absoluta de una red finita en la definición de magnetización espontánea. Cerca de la crítica, donde las fluctuaciones crecen y aparecen correcciones importantes, se necesitaría una secuencia más amplia de tamaños.

El orden de límites afecta también a la interpretación del tiempo. Para una red finita a temperatura positiva, una cadena ergódica puede acabar visitando ambas orientaciones si la ejecutamos durante un intervalo suficientemente largo. El tiempo necesario para una inversión macroscópica, en cambio, puede aumentar sin límite cuando crece $N$. Si observamos una muestra grande durante un período finito y luego intentamos inferir su equilibrio ideal, la respuesta puede depender del orden en que se tomen los límites en el tamaño del sistema, la duración de la observación y el campo aplicado. Es una fuente legítima de memoria aparente, aunque cuantificarla requiera argumentos cinéticos específicos.

El límite termodinámico es una idealización; los sistemas que se observan son finitos. Una nanopartícula magnética, un conjunto de agentes o una red simulada pueden tener desde decenas hasta millones de componentes; sus respuestas deben interpretarse a la escala real del experimento. El sistema infinito da una estructura teórica para clasificar transiciones y describir singularidades, mientras que las observaciones se hacen con tamaños, tiempos y resoluciones determinados. Una buena extrapolación hace visible esa distancia y evita suponer que toda señal abrupta sea ya una transición ideal.

160.8. El escalamiento de tamaño finito plantea otra pregunta y exige otro protocolo

La dependencia del tamaño puede estudiarse cerca de $T_{c}$ mediante leyes de escalamiento. Para el Ising bidimensional de vecinos próximos a campo nulo se conocen los exponentes exactos $\beta_{mag} = 1/8$, $\nu = 1$ y $\gamma = 7/4$. El exponente crítico $\beta_{mag}$ no debe confundirse con la temperatura inversa $\beta = 1/\left( k_{B}T \right)$. En la región crítica y bajo las condiciones de escalamiento correspondientes, las tendencias asintóticas incluyen

Estas relaciones no afirman que cualquier par de redes pequeñas deba reproducir exactamente los factores esperados. Al duplicar $L$, la susceptibilidad crítica se multiplicaría aproximadamente por $2^{7/4} \simeq 3.364$ y la magnetización absoluta, por $2^{- 1/8} \simeq 0.917$. Las correcciones analíticas, las condiciones de frontera y la resolución del muestreo pueden producir desviaciones importantes. La red de $3 \times 3$ del caso resuelto no es una base suficiente para estimar exponentes mediante una regresión fiable.

Otra herramienta es el cumulante de Binder,

Con nuestros datos exactos a $T = 1.8$ obtenemos $U_{4}(3) = 0.653204$ y $U_{4}(4) = 0.656287$, valores próximos al límite $2/3$ de una distribución ideal formada por dos masas simétricas en magnetizaciones opuestas de igual módulo. Esa cercanía no localiza la temperatura crítica, porque a $T = 1.8$ estamos en la región ordenada. Para usar el método hay que calcular curvas $U_{4}(T,L)$ en varias temperaturas y tamaños, buscar sus intersecciones y examinar su desplazamiento debido a las correcciones de escala.

La distribución de magnetización permite también distinguir una transición continua de otra de primer orden. En torno a un punto crítico continuo, la forma de la distribución cambia con el tamaño y puede alcanzar un régimen de escalamiento universal tras normalizaciones apropiadas. En una transición de primer orden, la coexistencia suele manifestarse en picos de fases distintas y en barreras interfaciales cuya altura crece con el tamaño. No obstante, con un histograma bimodal de una muestra aislada no se puede decidir cuál de esos mecanismos está presente; hacen falta observables adicionales y un control del parámetro que recorre la transición.

Los estudios de tamaño finito deben conservar la geometría y las condiciones de frontera mientras aumentan $L$. Una secuencia de redes abiertas y periódicas mezcladas en el mismo ajuste puede producir desplazamientos espurios, porque esas condiciones alteran tanto el espectro como la energía interfacial. Del mismo modo, un algoritmo de muestreo que se vuelve menos eficiente al crecer el tamaño puede simular un cambio de exponente. La extrapolación exige separar el error estadístico, el sesgo algorítmico y las correcciones físicas de tamaño.

Cerca de una transición de primer orden hacen falta precauciones adicionales. Binder y Landau (1984) estudiaron su escalamiento en volúmenes finitos, donde los desplazamientos del punto de coexistencia aparente y los pesos de las fases dependen del tamaño y de las condiciones consideradas. Las curvas de una sola red no permiten inferir propiedades termodinámicas asintóticas.

160.9. Protocolo reproducible y comprobaciones que no dependen de la apariencia

Para repetir la enumeración exacta basta representar cada configuración mediante $N$ bits y convertirlos en espines $s_{i} = 2b_{i} - 1$. El Hamiltoniano se obtiene recorriendo los $2N$ enlaces orientados hacia la derecha y hacia abajo, sin repetirlos. Calculamos $H(s;h)$, $M(s)$ y los pesos relativos $e^{- \left\lbrack H(s;h) - H_{\min} \right\rbrack/T}$. Restar $H_{\min}$ evita desbordamientos numéricos en la exponencial y no cambia ninguna probabilidad normalizada. Para $L = 3$ y $L = 4$, el código adjunto hace esa enumeración y prueba por separado la actualización local del Hamiltoniano que usa Metropolis.

Los controles básicos del experimento son exactos. A campo nulo deben cumplirse $P_{N}(M) = P_{N}( - M)$ y $\langle m\rangle = 0$. Al cambiar el signo del campo, la media debe cambiar de signo, de modo que $\langle m\rangle_{- h} = - \langle m\rangle_{h}$. Por último, la derivada de la magnetización respecto del campo debe ser positiva y coincidir con la varianza canónica multiplicada por $N/T$. En nuestras dos redes, la susceptibilidad positiva y las respuestas obtenidas al introducir $h = 0.1$ son coherentes con esas identidades. Si una implementación las contradice, hay que revisar primero el signo del campo, el conteo de enlaces y la normalización de la función de partición.

Con Metropolis pueden hacerse, para cada tamaño, dos experimentos distintos. En el primero se fija el campo y se ejecutan varias cadenas desde estados iniciales opuestos, con burn-in, bloques de medición y estimación de autocorrelación; la media resultante debe concordar con la enumeración exacta dentro de los errores. En el segundo se varía el campo en pasos iguales siguiendo un ciclo y se cambia deliberadamente el número de barridos por valor. Su objetivo es medir cuánto se aparta una trayectoria finita de las medias de equilibrio ya conocidas, sin estimar ninguna función termodinámica nueva.

Conviene preparar cuatro paneles, aunque todavía no sean figuras listas para publicación. El primero mostraría $P_{N}(m)$ a campo nulo; el segundo, la curva exacta $\langle m\rangle(h)$ para los dos tamaños; el tercero, las ramas dinámicas del barrido a distintas velocidades; el cuarto, la diferencia entre la magnetización medida y la referencia exacta. La figura de histéresis sin el segundo panel facilitaría una interpretación equivocada, porque la comparación visual pertinente es la de la trayectoria simulada con una respuesta de equilibrio que conocemos por construcción.

Más allá de $L = 4$, donde la enumeración completa deja de ser viable, se puede usar Monte Carlo local con controles de autocorrelación, algoritmos de clúster para mejorar la mezcla en regiones críticas o esquemas de muestreo extendido cuando interesan las barreras entre fases. Cada modificación requiere una justificación y una auditoría independiente. Conservar las redes enumerables como pruebas de regresión ayuda a detectar alteraciones inadvertidas cuando se optimiza el código para redes mayores.

160.10. Cierre del módulo con la distinción entre fenómeno y procedimiento de observación

A temperatura inferior a la crítica y campo nulo, el Ising cuadrado finito tiene una distribución con fuerte peso en magnetizaciones positivas y negativas. Su media firmada es cero por simetría, mientras que el valor absoluto revela el orden de las configuraciones individuales. Al aplicar un campo pequeño, la selección de una orientación aumenta con el tamaño de la red, pero todas las respuestas de los sistemas enumerados permanecen continuas. La discontinuidad verdadera aparece al tomar el límite termodinámico en el orden apropiado.

La histéresis exige agregar una historia temporal y puede aparecer cuando el campo se recorre más rápido de lo que la dinámica de muestreo permite reorganizar los dominios. Un ciclo obtenido así informa sobre las barreras y los tiempos de escape del algoritmo empleado. Para una red finita, el equilibrio canónico a cada campo tiene una única curva de magnetización y no recuerda desde qué valor se llegó. Con tiempo de mezclado suficiente, las ramas cinéticas se aproximan a esa referencia, aunque la observación práctica puede seguir mostrando memoria si los tiempos relevantes exceden el período disponible.

La comparación entre dos tamaños pequeños sirve para validar fórmulas y detectar tendencias, pero no autoriza una extrapolación crítica precisa. Los exponentes del Ising bidimensional describen un régimen asintótico que debe comprobarse con una secuencia amplia de redes y con control del muestreo. El cumulante de Binder y los histogramas son útiles porque conservan información de la distribución que una media pierde. Sus resultados, como cualquier medida, dependen de la geometría, la temperatura, la definición del observable y la calidad de la exploración.

El ejercicio deja también un criterio general para el estudio de sistemas complejos. Una variable colectiva puede mostrar dos regímenes, una transición súbita o una dependencia de la historia. Antes de atribuirles un mecanismo, conviene preguntar qué distribución ideal describe el modelo, qué limitaciones introduce su tamaño y cuánto puede explorar el procedimiento de observación. Que haya memoria no demuestra multistabilidad termodinámica, del mismo modo que una distribución multimodal no permite inferir una fuerza causal que conecte sus picos.

El Módulo 16 ha ido desde la multiplicidad microscópica hasta las transiciones y sus manifestaciones finitas. La función de partición asigna probabilidades a los estados; la energía libre organiza las respuestas a los parámetros; las correlaciones describen cómo se relacionan las fluctuaciones; Metropolis permite aproximar promedios cuando la suma exacta es inabordable. El ejemplo final muestra por qué esos componentes deben mantenerse distinguibles incluso dentro de una misma investigación. Un cálculo puede ser matemáticamente correcto, una simulación puede estar bien implementada y, aun así, la interpretación de una curva puede fallar si no se identifica qué condiciones hicieron posible observarla.

Referencias

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