Correlaciones, susceptibilidad y longitud de correlación

Año 2 · Módulo 16: Física estadística: microestados, equilibrio y transiciones · Manejo formal guiado

158.1. La estructura que no aparece en el promedio

Imaginemos tres redes de espines en las que la mitad de los sitios apunta hacia arriba y la otra mitad hacia abajo. Las tres tienen magnetización total nula, pero pueden representar estados físicos muy diferentes. En una, los espines alternan con regularidad; en otra, forman dominios extensos; en la tercera, sus orientaciones parecen distribuidas al azar. La magnetización media no permite distinguir esas organizaciones. Para reconocerlas necesitamos estudiar qué ocurre en un sitio cuando conocemos el estado de otro y cómo se modifica esa dependencia al separarlos.

La correlación cumple esa función. En la física estadística, describe relaciones entre fluctuaciones de observables en distintos lugares o momentos. Su interpretación no requiere postular una influencia directa entre cada par de sitios correlacionados. Dos variables pueden compartir una interacción indirecta, estar sometidas a un campo común o depender de las mismas condiciones de frontera. La correlación cuantifica una asociación en una distribución de estados; la causalidad requiere información adicional sobre las reglas dinámicas, las intervenciones o el mecanismo que genera esa distribución.

El modelo de Ising es una referencia concreta. Cada sitio $i$ de una red contiene un espín $s_{i} = \pm 1$ . A temperatura $T$ y campo $h$ , las configuraciones tienen probabilidades canónicas determinadas por el Hamiltoniano y la función de partición. Con $\langle \cdot \rangle$ indicamos promedio bajo esa distribución de equilibrio. La correlación de dos espines se define por $\langle s_{i}s_{j}\rangle$ . Es positiva si las orientaciones coinciden con mayor frecuencia de la que correspondería a un producto medio adecuado; puede ser negativa en sistemas con organización alternante, o acercarse a cero cuando la relación es débil.

Sin embargo, el producto bruto contiene un componente trivial; si casi todos los espines apuntan hacia arriba debido a un campo fuerte, $\langle s_{i}s_{j}\rangle$ será grande incluso cuando sus fluctuaciones residuales sean prácticamente independientes. Por eso se usa la correlación conectada, que resta los valores medios. Esta elección permitirá calcular la respuesta a campos externos y definir escalas espaciales sin confundir orden medio con dependencia fluctuante.

El estudio de correlaciones completa la descripción del capítulo anterior. Allí aparecieron parámetros de orden y puntos críticos; ahora podremos precisar por qué aumentan las fluctuaciones de observables colectivos y cómo una correlación espacial persistente contribuye a ese crecimiento. La idea se aplica también a imágenes de materiales, modelos de redes, dinámica de poblaciones y registros espaciales. En todas esas aplicaciones, la distancia, el procedimiento de muestreo y el tipo de observable forman parte de la definición del resultado.

158.2. Correlación conectada y dependencia de la distancia

Sea $A_{i}$ un observable definido en el sitio $i$ , como un espín, una ocupación o una densidad local. Su correlación conectada con $A_{j}$ es

C_{ij} = \langle A_{i}A_{j}\rangle - \langle A_{i}\rangle\langle A_{j}\rangle.

En una red de Ising, $A_{i} = s_{i}$ . Si la distribución es homogénea e invariante bajo traslaciones, el valor puede depender solo del desplazamiento $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{j} - \mathbf{r}_{i}$ y escribimos $C\left( \mathbf{r} \right)$ . Si además existe isotropía, bastará la distancia escalar $r = \left| \mathbf{r} \right|$ . Esas simplificaciones son propiedades que deben comprobarse; una red con fronteras abiertas, un campo espacial o interacciones anisótropas puede conservar dependencias de la posición y de la dirección.

Para un mismo sitio obtenemos $C_{ii} = \langle A_{i}^{2}\rangle - \langle A_{i}\rangle^{2} = Var\left( A_{i} \right)$ . En un espín binario, como $s_{i}^{2} = 1$ , resulta $C_{ii} = 1 - \langle s_{i}\rangle^{2}$ . Esta varianza local no indica cuánto se extienden las fluctuaciones. Una distribución puede tener espines muy variables con correlaciones casi nulas entre sitios distintos; otra, una variabilidad local comparable pero dependencias espaciales de largo alcance. La segunda situación es la que nos interesará cerca de un punto crítico.

El producto de promedios que se resta debe proceder de la misma distribución que el producto conjunto. Si calculamos el primer término durante una etapa de calentamiento y los valores medios durante otra etapa estacionaria, podríamos fabricar artificialmente correlaciones. Tampoco conviene restar un promedio global único en una muestra con gradientes espaciales reales. Eliminar las tendencias modifica el observable, mientras que no eliminarlas puede confundir heterogeneidad espacial con dependencia local; el procedimiento debe ajustarse a la pregunta física y hacerse explícito.

Los signos contienen información. Una correlación conectada positiva indica fluctuaciones que tienden a compartir signo; una negativa indica fluctuaciones opuestas. En un antiferromagneto de red bipartita, las correlaciones de espines pueden alternar según la paridad de la separación. En un sistema con franjas espaciales, $C(r)$ puede oscilar y decaer. En un fluido estructurado pueden aparecer máximos producidos por capas de partículas. Una sola longitud ajustada a un decaimiento positivo no basta para describir tales patrones.

Conviene también distinguir correlación de covarianza normalizada. El coeficiente de Pearson divide la covarianza por el producto de desviaciones estándar y está acotado entre $- 1$ y $+ 1$ . Esa normalización facilita comparar variables en unidades distintas, pero la teoría de respuesta termodinámica suele usar la covarianza sin normalizar, cuya amplitud conserva las unidades y el tamaño de las fluctuaciones. Cambiar de definición sin modificar las ecuaciones de respuesta conduce a errores cuantitativos.

La conexión entre correlaciones y orden depende del límite termodinámico. En una fase ferromagnética seleccionada mediante un campo infinitesimal, $\langle s_{i}s_{j}\rangle$ puede tender a $m_{esp}^{2}$ a separaciones enormes, mientras la correlación conectada tiende a cero si existe agrupamiento. En un ensemble simétrico que mezcla por igual las dos fases, el promedio de espín puede ser cero y el producto bruto conservar una contribución macroscópica. Antes de comparar resultados hay que indicar si se estudia una fase pura, una mezcla o una muestra finita que alterna entre ellas.

158.3. La susceptibilidad como suma de covarianzas

Supongamos que un campo uniforme $h$ se acopla al observable total $M = \sum_{i}^{}s_{i}$ mediante el término energético $- hM$ . La función de partición es $Z\left( \beta_{T},h \right) = \sum_{\mathbf{s}}^{}\exp\left\lbrack - \beta_{T}H_{0}\left( \mathbf{s} \right) + \beta_{T}hM\left( \mathbf{s} \right) \right\rbrack$ , donde $\beta_{T} = \left( k_{B}T \right)^{- 1}$ . Derivar el logaritmo respecto del campo da $\partial_{h}\ln Z = \beta_{T}\langle M\rangle$ . Una segunda derivada conduce a la identidad exacta

\frac{\partial\langle M\rangle}{\partial h} = \beta_{T}\left( \langle M^{2}\rangle - \langle M\rangle^{2} \right).

Si definimos la susceptibilidad por sitio, $\chi = (1/N)\partial_{h}\langle M\rangle$ , obtenemos $\chi = \beta_{T}Var(M)/N$ . Si $h$ se mide como campo magnético físico en vez de energía por espín, pueden aparecer factores del momento magnético o de permeabilidad, de modo que no deben transferirse fórmulas entre convenciones sin ajustar el acoplamiento.

Expandiendo la varianza de la suma encontramos

Var(M) = \sum_{i,j}^{}\left( \langle s_{i}s_{j}\rangle - \langle s_{i}\rangle\langle s_{j}\rangle \right) = \sum_{i,j}^{}C_{ij}.

En una red homogénea y periódica, cada desplazamiento aparece el mismo número de veces, de modo que

\boxed{\chi = \beta_{T}\sum_{\mathbf{r}}^{}C\left( \mathbf{r} \right).}

La susceptibilidad uniforme reúne correlaciones de todas las distancias, incluida la de $\mathbf{r} = 0$ . Por eso no basta medir cuán variables son los espines individuales. Un colectivo puede responder intensamente a un campo débil cuando las fluctuaciones de regiones separadas se suman de manera coherente. La contribución espacial explica parte de la amplificación de la respuesta cerca de ciertas transiciones continuas.

Esta relación no implica que toda correlación positiva produzca una susceptibilidad divergente. Lo que cuenta es cuántos sitios están correlacionados, cómo decrece la correlación y qué cancelaciones producen los posibles signos alternantes. Hay, además, distintas susceptibilidades. La uniforme suma todos los desplazamientos sin factor oscilatorio, mientras que la correspondiente a un orden antiferromagnético o a una modulación espacial se obtiene con un campo de la misma estructura espacial y puede ser grande aunque la respuesta uniforme permanezca modesta.

La identidad supone una medida de equilibrio canónico a temperatura fija, con perturbación infinitesimal y operadores definidos de manera consistente. En una dinámica no estacionaria, una varianza muestral elevada no tiene por qué coincidir con la respuesta ante una intervención. Las relaciones fluctuación-respuesta de equilibrio contienen hipótesis de reversibilidad y distribución estacionaria que deben verificarse o reemplazarse por una formulación apropiada fuera del equilibrio.

La magnitud $\langle|M|\rangle$ es útil para medir orden en sistemas finitos, pero sustituir $\langle M\rangle$ por $\langle|M|\rangle$ dentro de la identidad de la susceptibilidad cambia el estimador. Algunas simulaciones emplean $\beta_{T}\left( \langle M^{2}\rangle - \langle|M|\rangle^{2} \right)/N$ para reducir artefactos debidos a cambios globales de signo. Ese estimador puede servir en la práctica, pero en general no coincide con la derivada termodinámica exacta del promedio de $M$ , por lo que debe declararse su definición en cada gráfico o tabla.

158.4. La cadena de Ising como laboratorio exactamente resoluble

Una cadena unidimensional de Ising con interacciones ferromagnéticas entre vecinos inmediatos permite comprobar todas estas ideas sin simulación. Consideremos $N$ espines en el límite termodinámico, sin campo externo, con Hamiltoniano $H = - J\sum_{i}^{}s_{i}s_{i + 1}$ y $J > 0$ . A cualquier temperatura positiva la magnetización espontánea se anula. Sin embargo, los espines vecinos no son independientes. El cálculo mediante matriz de transferencia da, para una separación entera $r \geq 0$ ,

\langle s_{i}s_{i + r}\rangle = \left( \tanh K \right)^{r},\quad\quad K = \frac{J}{k_{B}T} > 0.

Como el promedio de espín es cero en ese estado, la correlación conectada coincide con el producto bruto, que decrece exponencialmente con la distancia. Con un espaciado de red $a$ , escribimos $C(r) = \exp( - ra/\xi)$ , con

\boxed{\xi = - \frac{a}{\ln\left( \tanh K \right)}.}

Para cualquier $T > 0$ , el argumento del logaritmo está entre cero y uno y $\xi$ es finita. A medida que $T \rightarrow 0^{+}$ , $\tanh K \rightarrow 1$ y la longitud aumenta sin límite. La cadena desarrolla correlaciones cada vez mayores cuando se enfría, pero su temperatura crítica de orden ferromagnético es $T = 0$ , a diferencia de la red bidimensional.

La susceptibilidad se calcula sumando la correlación sobre todos los desplazamientos, con los dos sentidos de la cadena. Si llamamos $q = \tanh K$ , entonces

\frac{\chi}{\beta_{T}} = 1 + 2\sum_{r = 1}^{\infty}q^{r} = \frac{1 + q}{1 - q} = e^{2K}.

La última igualdad se verifica sustituyendo la definición de la tangente hiperbólica. Al reducir la temperatura, las correlaciones cubren más sitios y la susceptibilidad aumenta; no aparece ninguna singularidad a temperatura positiva. En el límite de temperatura muy alta, $K \rightarrow 0$ , la correlación entre sitios diferentes desaparece y $\chi \rightarrow \beta_{T}$ , la respuesta esperable de espines casi independientes.

Para una comprobación numérica elemental, fijemos $a = 1$ . Si $K = 0.5$ , $q \simeq 0.4621$ , la longitud de correlación es aproximadamente $1.30$ sitios y $\chi/\beta_{T} = e \simeq 2.718$ . Para $K = 1$ , $q \simeq 0.7616$ , la longitud asciende a aproximadamente $3.67$ sitios y $\chi/\beta_{T} = e^{2} \simeq 7.389$ . Son resultados analíticos sin error de muestreo que pueden usarse como pruebas unitarias para un programa que calcule correlaciones.

El ejemplo muestra también que una longitud grande no implica orden macroscópico estable a temperatura positiva. Un sistema con $\xi$ diez veces mayor que el espaciado todavía puede perder memoria de una orientación cuando la separación se hace enorme. Para establecer orden de largo alcance importan el límite de la correlación, las condiciones de selección de fase y la forma en que crece el sistema.

Las correlaciones decaen más lentamente para K = 1 que para K = 0,5. Sus sumas parciales se acercan a las susceptibilidades exactas exp(2K). — Figura 158.1. En la cadena infinita, ξ = −1/ln[tanh(K)] y χ/β = 1 + 2Σ C(r) = exp(2K). Aumentar K extiende las correlaciones y eleva su suma. El factor 2 cuenta las dos direcciones de la cadena y no debe aplicarse sin corregir a un anillo pequeño. Ampliar figura ↗

158.5. De una longitud finita a la escala crítica

En muchos sistemas homogéneos lejos del punto crítico, las correlaciones conectadas decrecen de manera aproximadamente exponencial a grandes distancias. La expresión $C(r) \propto e^{- r/\xi}$ es una descripción sencilla cuando no hay oscilaciones ni factores geométricos importantes. En más dimensiones suele aparecer también una potencia de $r$ , por lo que una aproximación más general adopta la forma $C(r) \sim r^{- p}e^{- r/\xi}$ , con el exponente y la amplitud dependientes del régimen. La longitud $\xi$ mide entonces la escala del decaimiento exponencial asintótico; las correlaciones no desaparecen de golpe a esa distancia.

Cerca de una transición crítica continua ordinaria, $\xi$ puede crecer como $|t|^{- \nu}$ , con $t = \left( T - T_{c} \right)/T_{c}$ . Si el sistema infinito alcanza el punto crítico y se cumplen las hipótesis de escalamiento, la parte exponencial deja de cortar las correlaciones a una distancia finita. En su lugar aparece la estructura algebraica

C(r) \sim \frac{1}{r^{\, d - 2 + \eta}},\quad\quad a \ll r \ll L.

Aquí $d$ es la dimensión y $\eta$ el exponente anómalo. Para el Ising bidimensional, $\eta = 1/4$ y, en el punto crítico, la correlación de espines decrece como $r^{- 1/4}$ . Esa dependencia es mucho más persistente que una exponencial con longitud finita; la escala del sistema se vuelve relevante incluso cuando se observan regiones muy alejadas del borde.

La relación entre susceptibilidad y exponente crítico se obtiene aproximadamente integrando la correlación en $d$ dimensiones. Si $C(r) \sim r^{- (d - 2 + \eta)}$ hasta distancias del orden de $\xi$ , la contribución radial a su suma se comporta como $\int_{}^{\xi}r^{d - 1}r^{- (d - 2 + \eta)}dr$ , es decir, como $\xi^{2 - \eta}$ cuando se cumplen las condiciones de convergencia pertinentes. Al combinarlo con $\xi \sim |t|^{- \nu}$ , llegamos a

\chi \sim |t|^{- \nu(2 - \eta)},\quad\quad\gamma = \nu(2 - \eta).

Es una relación de escalamiento que descansa en hipótesis y puede necesitar modificaciones en presencia de interacciones de largo alcance, anisotropías especiales o variables peligrosamente irrelevantes por encima de cierta dimensión crítica. En un análisis empírico es indispensable identificar las clases de sistemas para las que se invoca.

La divergencia de $\xi$ explica por qué el comportamiento crítico es sensible a la dimensión, la geometría y las fronteras. Si $\xi$ se acerca al tamaño de una muestra, el sistema no puede desarrollar dentro de ella un régimen asintótico idéntico al del sistema infinito. El crecimiento se redondea, los máximos de respuesta se desplazan y las observaciones espaciales se vuelven dependientes de $L$ . El escalamiento de tamaño finito usa precisamente esa limitación como fuente de información.

158.6. El factor de estructura y la información en el espacio de Fourier

Las correlaciones pueden estudiarse en coordenadas espaciales o mediante su transformada de Fourier. Para una red periódica, definimos el factor de estructura conectado

S\left( \mathbf{k} \right) = \sum_{\mathbf{r}}^{}C\left( \mathbf{r} \right)e^{- i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}.

Con la convención de normalización elegida aquí, $S\left( \mathbf{k} \right)$ es la transformada de la covarianza entre espines y es no negativo cuando se calcula como promedio de una intensidad cuadrática para los modos permitidos. En una muestra de $N$ sitios, una forma equivalente es $S\left( \mathbf{k} \right) = N^{- 1}\langle\left| \delta\widehat{s}\left( \mathbf{k} \right) \right|^{2}\rangle$ , donde $\delta\widehat{s}$ es la transformada de $s_{i} - \langle s_{i}\rangle$ . Esta igualdad presupone homogeneidad y una elección coherente de factores de normalización; otras convenciones introducen $N$ , el volumen o potencias de $2\pi$ .

La información de gran escala se concentra cerca de $\mathbf{k} = 0$ . En particular,

S\left( \mathbf{0} \right) = \sum_{\mathbf{r}}^{}C\left( \mathbf{r} \right) = \frac{Var(M)}{N},\quad\quad\chi = \beta_{T}S\left( \mathbf{0} \right).

Esta relación une de forma directa la covarianza entre lugares, la fluctuación de la magnetización total y su respuesta a un campo uniforme. Si las correlaciones se organizan alrededor de una longitud de onda finita, el pico dominante puede aparecer en $\mathbf{k}_{*} \neq 0$ . En ese caso será más informativo estudiar el factor de estructura en la longitud de onda del patrón que fijarse solo en su valor en cero.

Cerca de un punto crítico gaussiano, un modelo continuo sencillo conduce a una forma de tipo Ornstein–Zernike

S\left( \mathbf{k} \right) \simeq \frac{A}{k^{2} + \xi^{- 2}} = \frac{S\left( \mathbf{0} \right)}{1 + k^{2}\xi^{2}}.

La aproximación describe una región de números de onda pequeños cuando la teoría cuadrática o su forma efectiva es apropiada. La amplitud $A$ y la longitud $\xi$ dependen de la normalización y los parámetros físicos. Muy cerca de un punto crítico no gaussiano pueden surgir exponentes anómalos; entonces extrapolar mecánicamente esta forma lorentziana sobre todo el espectro puede producir una longitud sesgada.

El factor de estructura puede obtenerse de mediciones de dispersión de rayos X, neutrones y luz, según el observable físico y el mecanismo de interacción de la radiación con la muestra. Los picos revelan periodicidades o correlaciones preferidas; su ancho contiene información sobre la extensión de esas estructuras. Sin embargo, una medida experimental incluye resolución instrumental, ruido, geometría de detección y posibles contribuciones de fondo. Para traducir el ancho observado de un pico en una longitud de correlación hace falta un modelo de esas contribuciones.

En simulaciones, el paso por Fourier es especialmente útil en redes grandes. Puede calcularse la transformada espacial de cada configuración, promediar intensidades y restar correctamente la contribución del modo medio. Si se promedian primero las configuraciones y después se transforma el resultado, las fluctuaciones pueden cancelarse y desaparecer precisamente la señal que se quería medir. Las dos operaciones responden a preguntas diferentes, por lo que conviene especificarlas incluso en informes breves.

158.7. Cómo estimar una longitud de correlación en datos finitos

La longitud de correlación parece una cantidad sencilla hasta que intentamos medirla en una red pequeña. Una posibilidad es representar $\log C(r)$ contra $r$ y ajustar una recta cuando el decaimiento exponencial domina. Ese procedimiento falla si la correlación cambia de signo, se acerca al nivel de ruido o incluye una contribución algebraica importante. Las distancias grandes contienen pocos pares efectivos en una muestra abierta, mientras que las pequeñas pueden estar dominadas por detalles microscópicos que no pertenecen al régimen asintótico.

En una red periódica de lado $L$ y espaciado unitario, puede usarse una estimación de segundo momento a partir del factor de estructura. Para un sistema isotrópico con máximo en $\mathbf{k} = 0$ y números de onda discretos, una expresión habitual es

\xi_{2m} = \frac{1}{2\sin(\pi/L)}\sqrt{\frac{S\left( \mathbf{0} \right)}{S\left( \mathbf{k}_{\min} \right)} - 1},\quad\quad\mathbf{k}_{\min} = (2\pi/L,0).

Cuando la red es anisótropa conviene calcular las direcciones por separado; para mejorar la precisión pueden promediarse modos equivalentes bajo las simetrías disponibles. La fórmula estima, a partir de la curvatura espectral de baja frecuencia, una escala efectiva que en general no es idéntica a la verdadera longitud de decaimiento exponencial. Procedimientos operacionales diferentes pueden acercarse al mismo comportamiento de escala con amplitudes distintas.

La raíz exige que el cociente espectral sea mayor que uno. Si los datos producen un valor menor, eso puede indicar ruido de estimación, una elección inapropiada del modo mínimo o un pico estructural fuera de cero. Forzar a cero el radicando negativo sin explicación ocultaría un problema. Tampoco es legítimo aplicar la misma fórmula a un antiferromagneto y concluir que la longitud es diminuta cuando la señal principal está en $(\pi,\pi)$ ; allí se necesitan las fluctuaciones alrededor del vector de orden correspondiente.

Otra fuente de confusión aparece cuando se mide a través de fronteras. Si la condición es periódica, dos sitios cercanos a extremos opuestos de la imagen pueden ser vecinos físicos. Una distancia euclídea que no respete la periodicidad asigna a ese par una separación artificialmente enorme. Con fronteras abiertas, por el contrario, imponer periodicidad en el análisis puede inventar correlaciones entre bordes que nunca estuvieron conectados. La distancia debe corresponder a la geometría efectiva del modelo.

Para comprobar la estimación conviene combinar el ajuste de la cola de $C(r)$ , la longitud de segundo momento y el colapso de $\xi_{L}/L$ al comparar tamaños. Un valor de $\xi_{L}$ cercano a $L$ o mayor indica que el tamaño finito limita la estimación del decaimiento, sin que se haya observado una estructura más extensa que la muestra. En ese caso, el cociente adimensional y su variación con $L$ son más interpretables que una extrapolación ingenua de $\xi$ .

158.8. Correlaciones temporales, relajación y lentitud crítica

Una distribución espacial de equilibrio no especifica cuán rápido recorre un sistema sus configuraciones. Para estudiar la evolución añadimos una dinámica concreta, por ejemplo inversiones de espines que respetan balance detallado, una ecuación de Langevin o un proceso de intercambio conservativo. Consideremos un observable macroscópico $A(t)$ en régimen estacionario. Su autocovarianza temporal es

C_{A}(\tau) = \langle A(t)A(t + \tau)\rangle - \langle A\rangle^{2}.

Que la autocovarianza dependa solo de $\tau$ requiere estacionariedad. Un registro que cambia sistemáticamente por calentamiento, envejecimiento o intervención no puede analizarse con la misma interpretación sin examinar primero esa tendencia. En simulaciones, el período de equilibración debe distinguirse del intervalo usado para medir autocorrelaciones.

Podemos definir un tiempo integrado de autocorrelación, por ejemplo en pasos discretos, como $\tau_{int} = \frac{1}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}\rho_{A}(k)$ , donde $\rho_{A}(k) = C_{A}(k)/C_{A}(0)$ . Bajo condiciones habituales de mezcla, el número efectivo de observaciones independientes de una serie de longitud $n$ es aproximadamente $n/\left( 2\tau_{int} \right)$ . Esta estimación requiere una convención consistente y una cola suficientemente bien resuelta. Truncar la suma demasiado pronto puede subestimar la dependencia; prolongarla hasta retardos dominados por ruido aumenta la incertidumbre del estimador.

En muchos modelos dinámicos críticos se observa un tiempo característico que escala como $\tau \sim \xi^{z}$ , donde $z$ es un exponente dinámico. El valor de $z$ depende de propiedades que los exponentes estáticos no especifican, como conservación del parámetro de orden, acoplamiento con otras variables lentas y regla microscópica de actualización. Una dinámica que invierte espines individualmente no tiene necesariamente el mismo exponente que una que intercambia espines vecinos y conserva la magnetización total.

El crecimiento $\tau \sim \xi^{z}$ explica la ralentización crítica en simulaciones. Al crecer las correlaciones espaciales, grandes regiones pueden necesitar mucho tiempo para reorganizarse. Simular cerca de la temperatura crítica con el mismo número fijo de pasos que lejos de ella puede producir una estimación de incertidumbre engañosamente pequeña. Además, dos algoritmos que muestrean la misma distribución de equilibrio pueden tener tiempos de mezcla muy distintos. Los métodos de clúster, por ejemplo, pueden mejorar el muestreo crítico del Ising sin que ello convierta su tiempo de actualización algorítmico en el tiempo físico de relajación del material.

Las correlaciones temporales añaden información cuando la pregunta trata sobre predicción y perturbaciones. Un sistema puede tener correlaciones espaciales considerables y relajarse con relativa rapidez bajo una dinámica; otro puede retener memoria temporal por restricciones cinéticas aun sin proximidad a una transición termodinámica. Por tanto, una autocorrelación prolongada en datos clínicos, ecológicos o económicos admite explicaciones ajenas a la criticidad. Antes de atribuirle un exponente crítico conviene comprobar cambios de régimen, no estacionariedad, efectos de muestreo y mecanismos de memoria.

158.9. Un caso de verificación que conecta cálculos exactos y tamaño finito

Una auditoría útil combina un problema con solución cerrada y otro cuya conducta crítica se conoce, aunque no dispongamos de todos sus observables en forma elemental. La cadena de Ising es el primero. Podemos calcular $C(r)$ para $K = 0.5$ y $K = 1$ , estimar su decaimiento y contrastarlo con $\xi = - 1/\ln\left( \tanh K \right)$ . También es posible sumar las correlaciones medidas y compararlas con $\chi/\beta_{T} = e^{2K}$ . Si se usa una cadena periódica finita, hay que tener en cuenta que las correlaciones exactas contienen correcciones debidas a los caminos que rodean el anillo; por ello no se debe exigir igualdad exacta con la fórmula del límite infinito para cualquier $L$ .

El segundo es la red cuadrada bidimensional de Ising cerca de su temperatura crítica, con interacciones de primeros vecinos y campo nulo. Allí, el escalamiento de tamaño finito predice que la susceptibilidad máxima y la susceptibilidad evaluada en la región crítica aumentan con una potencia próxima a $L^{\gamma/\nu}$ , si se ha alcanzado el régimen asintótico correspondiente. Con $\gamma = 7/4$ y $\nu = 1$ , duplicar el lado $L$ sugiere un factor $2^{7/4} \simeq 3.364$ en el valor crítico de $\chi$ , aparte de correcciones de tamaño finito y errores estadísticos.

Para la magnetización absoluta en $T_{c}$ , la misma duplicación predice aproximadamente $2^{- 1/8} \simeq 0.917$ como cociente entre los valores de las dos redes. Ambos factores son referencias asintóticas para detectar si los datos muestran una tendencia compatible. Una simulación concreta no tiene por qué reproducirlos con tres decimales, ya que las redes pequeñas, los bordes y la autocorrelación prolongada pueden producir desviaciones apreciables.

Un protocolo reproducible debe registrar la definición de cada observable antes de iniciar el cálculo. En cada $L$ hay que calcular $m$ , $M^{2}$ , los productos espaciales y sus incertidumbres bajo una misma distribución. La susceptibilidad debe estimarse mediante la varianza termodinámica correcta cuando se pretende contrastar la identidad exacta. El factor de estructura da una comprobación independiente, porque $\chi/\beta_{T} = S(0)$ ; si esa igualdad falla fuera de errores numéricos o de muestreo, probablemente existe un problema de normalización o de sustracción de la media.

La estimación de $\xi_{2m}$ permite otra prueba. Cerca de un punto crítico ordinario, el cociente $\xi_{L}/L$ puede alcanzar un valor de orden uno y mostrar cruces entre curvas de tamaños distintos, con correcciones que dependen de la geometría y de la clase de universalidad. Para que una aparente intersección obtenida con pocos tamaños sirva como prueba de la transición, hay que repetir el análisis con mayor resolución de temperaturas y con controles de incertidumbre. Conviene, además, ajustar observables distintos y mostrar resultados con y sin los tamaños más pequeños antes de decidir si hay acuerdo con las predicciones.

Finalmente, hay que documentar qué cambió entre pruebas. Si se sustituye un algoritmo de actualización por otro que tiene la misma distribución estacionaria, los resultados estáticos deberían coincidir dentro de su incertidumbre, aunque los tiempos de autocorrelación difieran. Si se cambian las fronteras o la geometría de la red, el comportamiento de tamaño finito puede modificarse de forma sistemática. El informe científico debe separar ambos casos antes de atribuir una discrepancia a un fallo del modelo de Ising.

En un anillo de ocho espines, C(r) vuelve a crecer al acercarse por el otro lado. La transformada discreta cumple S(0) = Var(M)/8. — Figura 158.2. La enumeración de los 256 estados confirma C(r) = [qʳ + qᴸ⁻ʳ]/[1 + qᴸ], con q = tanh K. Los puntos del panel derecho son únicamente los modos permitidos k = 2πj/L; la línea sirve de guía. La corrección periódica evita tratar un anillo de ocho sitios como una cadena infinita. Ampliar figura ↗

158.10. Lo que permiten concluir las correlaciones y lo que dejan abierto

Las correlaciones añaden a la descripción macroscópica la organización de fluctuaciones entre lugares. Dos sistemas con el mismo promedio pueden diferir radicalmente en sus dominios, alternancias y escalas de dependencia. La correlación conectada elimina la contribución directa del orden medio; su suma espacial determina la susceptibilidad uniforme cuando se cumplen las condiciones de equilibrio y acoplamiento especificadas. Así, una respuesta colectiva intensa puede interpretarse desde una distribución microscópica concreta, aunque esa relación no autoriza a inferir causalidad directa entre sitios distantes.

La cadena de Ising es una referencia exacta. A cualquier temperatura positiva sus correlaciones decaen exponencialmente con longitud finita y su susceptibilidad se calcula mediante una suma geométrica. La ausencia de transición térmica a $T > 0$ no significa independencia de espines. En la red cuadrada, en cambio, las correlaciones críticas muestran un régimen algebraico y el crecimiento de la susceptibilidad se describe con exponentes universales. Ambos sistemas tienen espines binarios e interacciones ferromagnéticas; aun así, estos dos resultados no deben confundirse.

El espacio de Fourier ayuda a identificar qué escalas contribuyen a la variabilidad y alrededor de qué número de onda se organiza un patrón. La longitud de correlación puede estimarse mediante un ajuste de decaimiento o mediante momentos espectrales; ambos estimadores tienen supuestos distintos. En muestras finitas, el cociente entre longitud de correlación y tamaño del sistema suele ser más informativo que declarar una longitud arbitrariamente grande cuando la señal alcanza los bordes de observación.

Las mediciones temporales añaden otra pregunta, la de cuánto tarda en olvidarse el estado previo. El exponente dinámico depende de las reglas de evolución y puede cambiar aunque los exponentes estáticos sean idénticos. Para analizar simulaciones debemos medir autocorrelaciones, estimar el número efectivo de muestras y verificar que los promedios corresponden al régimen estacionario. Una nube de puntos que sugiere una ley de potencia puede estar describiendo una mezcla de estados o una tendencia temporal no corregida.

Con estas herramientas tenemos ya un vocabulario operativo para los fenómenos críticos de equilibrio (parámetro de orden, energía libre, correlación conectada, susceptibilidad, longitud de correlación y escalamiento de tamaño finito). Las relaciones entre estas magnitudes permiten comprobaciones cruzadas que pueden fallar de manera reveladora. El siguiente paso del currículo será construir muestreadores de configuraciones de equilibrio y confrontar sus resultados con predicciones analíticas. La calidad de esa confrontación dependerá tanto de la implementación numérica como de haber definido correctamente qué magnitud corresponde a cada ecuación.

Referencias

Fisher, M. E., y Burford, R. J. (1967). Theory of critical-point scattering and correlations. I. The Ising model. Physical Review, 156, 583–622. https://doi.org/10.1103/PhysRev.156.583
Fisher, M. E. (1967). The theory of equilibrium critical phenomena. Reports on Progress in Physics, 30, 615–730. https://doi.org/10.1088/0034-4885/30/2/306
Onsager, L. (1944). Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition. Physical Review, 65, 117–149. https://doi.org/10.1103/PhysRev.65.117
Yang, C. N. (1952). The spontaneous magnetization of a two-dimensional Ising model. Physical Review, 85, 808–816. https://doi.org/10.1103/PhysRev.85.808
Wilson, K. G. (1971). Renormalization group and critical phenomena. I. Renormalization group and the Kadanoff scaling picture. Physical Review B, 4, 3174–3183. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.4.3174
Binder, K. (1981). Finite size scaling analysis of Ising model block distribution functions. Zeitschrift für Physik B, 43, 119–140. https://doi.org/10.1007/BF01293604
Landau, D. P., y Binder, K. (2014). A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics (4.ª ed.). Cambridge University Press.
McCoy, B. M., y Wu, T. T. (1973). The Two-Dimensional Ising Model. Harvard University Press.
Goldenfeld, N. (1992). Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group. Addison-Wesley.