Comparación resuelta de mecanismos de transición

Año 2 · Módulo 11 · Nivel T

110.1. Un mismo cambio visible admite explicaciones distintas

Un experimento registra un aumento súbito de amplitud al modificar un parámetro. Otro muestra ráfagas irregulares separadas por intervalos largos. En un tercero desaparece una oscilación que había persistido durante numerosas iteraciones. Las tres observaciones pueden anunciarse como un «cambio de régimen», aunque esa descripción no identifica su causa. El análisis empieza cuando buscamos qué estructura matemática pudo cambiar (un equilibrio, un ciclo, una separatriz, una rama lenta o un atractor completo).

Las herramientas del módulo permiten plantear hipótesis distintas sobre una misma serie temporal. La aparición de un ciclo después de una bifurcación de Hopf, la explosión de amplitud de un canard, la intermitencia por tangencia y las crisis de atractores pueden producir gráficos parecidos. Su diagnóstico exige información adicional sobre estabilidad, coexistencia de soluciones, dependencia del parámetro y organización geométrica. Un modelo puede, además, combinar más de un mecanismo.

Resolveremos la comparación con ecuaciones concretas y seis conjuntos de observaciones hipotéticas. En cada caso separaremos lo que los datos muestran de lo que permitiría concluir el modelo. La tabla final reúne las mediciones discriminantes y las incertidumbres que permanecen.

110.2. Antes de analizar un umbral, identifiquemos el objeto

El registro experimental suele ser una observable escalar $y(t)=h(z(t))$ del estado dinámico completo $z(t)$. El control $\mu$ puede representar temperatura, intensidad de estímulo, flujo o fuerza. Un cambio de calibración altera la amplitud observada aun cuando el estado físico mantenga su dinámica. La atribución de una transición requiere conocer qué magnitud se controla, qué parte del estado se observa y cómo el sensor transforma esa magnitud en un registro. Separar esos niveles evita diagnosticar una bifurcación a partir de un cambio instrumental.

El primer examen de una serie temporal debe establecer si estamos ante un equilibrio, un ciclo estable, un régimen cuasiperiódico, una dinámica irregular sostenida o un transitorio que todavía no ha desaparecido. «Equilibrio» significa un estado del modelo que no cambia en el tiempo; con ruido, la señal medida no tiene por qué ser exactamente constante. «Órbita periódica» exige repetición del estado completo tras un período, una condición que una única proyección escalar puede sugerir, pero no siempre demostrar. «Caótico» exige una caracterización dinámica que el aspecto desordenado de la secuencia no aporta.

Una comparación útil registra, para cada $\mu$, la existencia de estados invariantes, su estabilidad, la amplitud y frecuencia de oscilación, el resultado del barrido ascendente y descendente, la dependencia de las condiciones iniciales y los tiempos de permanencia en diferentes regiones. Cuando el sistema admite una sección de Poincaré, examinamos también el mapa de retorno y sus conjuntos invariantes.

110.3. Primer mecanismo, la desaparición de un equilibrio en un pliegue

Consideremos la forma normal

Para $\mu>0$, existen dos equilibrios, $x_-=-\sqrt\mu$ y $x_+=+\sqrt\mu$. La derivada del campo respecto de $x$ es $-2x$. Por consiguiente, $x_+$ es estable y $x_-$ inestable. Al acercarse $\mu$ a cero desde valores positivos, ambos confluyen. Para $\mu<0$, no existe un equilibrio cercano de esa familia. En $\mu=0$ tenemos el punto no hiperbólico que organiza la bifurcación de nodo-silla o pliegue.

Si $\mu=0,04$, el equilibrio estable está en $x=0,2$; si $\mu=0,01$, está en $x=0,1$. La distancia entre los dos equilibrios es $2\sqrt\mu$. La tasa de recuperación local alrededor del equilibrio estable es $2\sqrt\mu$, de modo que el tiempo lineal de relajación es $\tau\approx1/(2\sqrt\mu)$. A medida que se aproxima el pliegue, esa recuperación se enlentece. Este enlentecimiento crítico es una predicción del modelo local, aunque su identificación en datos ruidosos requiere cautela.

Después de la desaparición del equilibrio, la forma normal no dice cuál será el destino final de la trayectoria, que podría desplazarse hacia otro atractor de un sistema global más amplio o salir del dominio donde se justifica la aproximación. Un salto grande del observable suele depender de esa estructura global.

110.4. Segundo mecanismo, la aparición gradual de una oscilación por Hopf

Para comparar un cambio de equilibrio con el nacimiento de un ciclo, tomemos el sistema en coordenadas polares

que es la forma normal radial de una bifurcación de Hopf supercrítica. El origen $r=0$ corresponde al equilibrio de las coordenadas cartesianas $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Para $\mu<0$, pequeñas perturbaciones radiales decaen y el equilibrio es estable. Al cruzar $\mu=0$, la estabilidad del origen cambia y, para $\mu>0$, aparece una órbita periódica de radio

La estabilidad del ciclo se comprueba derivando la ecuación radial, $d(\mu r-r^3)/dr=\mu-3r^2$. En $r=r_*$ obtenemos $-2\mu<0$, por lo que el ciclo atrae perturbaciones radiales pequeñas. La frecuencia angular de esta forma normal se mantiene en $\omega$, aunque en sistemas generales puede recibir correcciones no lineales que dependan de la amplitud.

Si observamos $\mu=-0,01$, la amplitud estable es cero. En $\mu=0,01$ vale $0,1$ y en $\mu=0,04$ vale $0,2$. Es un nacimiento continuo, pues la amplitud tiende a cero cuando $\mu\to0^+$. Su derivada respecto del parámetro diverge como $1/(2\sqrt\mu)$, por lo que una gráfica con resolución limitada puede parecer muy empinada.

La firma de una bifurcación de Hopf incluye un par conjugado de valores propios que cruza el eje imaginario y las condiciones de no degeneración pertinentes. Sin la información del sistema subyacente, una oscilación que aparece al cambiar $\mu$ puede tener otras causas, entre ellas excitación forzada o entrada en una cuenca donde ya existía un ciclo.

110.5. Tercer mecanismo, dos atractores y una histéresis verdadera

Una familia radial algo más rica permite estudiar un cambio de amplitud discontinuo con coexistencia de soluciones. Tomemos

El equilibrio radial $r=0$ es estable para $\mu<0$ e inestable para $\mu>0$. Los ciclos no nulos satisfacen $\mu+r^2-r^4=0$. Definamos $s=r^2$, con $s\ge0$. Entonces $s^2-s-\mu=0$ y obtenemos

para las ramas físicamente admisibles. Entre $-1/4<\mu<0$, ambas ramas $s_\pm$ son positivas. La derivada radial sobre un ciclo puede escribirse como $\lambda_r=2s(1-2s)$, de modo que la rama menor, donde $s<1/2$, es repulsora y la mayor, donde $s>1/2$, es atractora.

Por ejemplo, con $\mu=-0,1$ resultan $r_-\approx0,33571$ y $r_+\approx0,94197$. Tenemos entonces dos atractores, el equilibrio $r=0$ y el ciclo grande. Entre sus cuencas aparece el ciclo inestable de radio $0,33571$. Una perturbación que no cruce esa frontera puede dejar el sistema cerca de su estado previo, mientras que otra mayor puede trasladarlo a la oscilación estable.

Si aumentamos $\mu$ muy lentamente desde un valor suficientemente negativo partiendo cerca de $r=0$, el equilibrio pierde estabilidad en $\mu=0$ y la trayectoria puede pasar al ciclo grande. Si después reducimos $\mu$ desde esa rama, el ciclo estable persiste hasta $\mu=-1/4$, donde colisiona con el ciclo inestable en un pliegue de ciclos. Los umbrales de subida y bajada son distintos en el límite cuasiestático ideal. Esa diferencia es una histéresis determinista debida a la bistabilidad, distinta de la demora transitoria que produce un barrido rápido.

110.6. Bistabilidad, retardo y ruido no son equivalentes

Un gráfico con dos curvas distintas durante los barridos ascendente y descendente suele interpretarse como prueba definitiva de histéresis. Esa inferencia es prematura. Cuando el parámetro cambia a una velocidad comparable con el tiempo de relajación, la trayectoria puede quedar retrasada respecto de la rama estable. Cerca de una bifurcación, la recuperación es particularmente lenta y el retardo puede ser considerable. Al reducir la velocidad del barrido, la anchura de un lazo puramente dinámico puede disminuir o desaparecer.

En el modelo radial anterior, en cambio, existe un intervalo abierto de parámetros donde dos atractores coexisten aun cuando $\mu$ permanezca constante. Podemos demostrarlo iniciando el sistema en estados separados por el ciclo inestable; uno convergerá al origen y otro al ciclo mayor. Esta prueba de dependencia de condiciones iniciales, efectuada a parámetro fijo, permite separar bistabilidad genuina de una simple respuesta retardada. En la práctica habría que descartar además deriva del sensor, calentamiento del dispositivo y otras variables internas no controladas.

El ruido complica la situación. Durante una exposición prolongada a un parámetro dentro de la región biestable, fluctuaciones suficientemente intensas pueden inducir escapes entre cuencas. En consecuencia, una transición observada antes del umbral determinista no refuta necesariamente la existencia de bistabilidad. La interpretación exige estudiar cómo cambian las tasas de escape con el ruido, el tiempo de observación y la velocidad del barrido.

110.7. Cuarto mecanismo, un salto de amplitud organizado por escalas temporales

La explosión canard describe cómo una oscilación puede aumentar su amplitud en una ventana paramétrica extremadamente estrecha cuando una trayectoria lenta sigue durante un tiempo una variedad repulsora. Para recordar el escenario, consideremos una versión del oscilador lento-rápido

La curva crítica del subsistema rápido es $y=x^3/3-x$. Sus ramas con $|x|>1$ son atractoras para la dinámica rápida; la región central con $|x|<1$ es repulsora. Los pliegues están en $x=\pm1$, donde se pierde hiperbolicidad normal. El equilibrio completo cumple $x=a$, $y=a^3/3-a$; el jacobiano tiene traza $(1-a^2)/\varepsilon$ y determinante $1/\varepsilon$. Por tanto, en $a=\pm1$ aparecen candidatos naturales a una transición oscilatoria de tipo Hopf para esta normalización.

El análisis de la explosión canard requiere más que localizar el cambio de estabilidad lineal. Hay que estudiar las variedades lentas perturbadas, su prolongación cerca del pliegue y el segmento en que determinadas órbitas siguen una región normalmente repulsora. En configuraciones apropiadas, los ciclos pequeños pueden transformarse en oscilaciones de relajación grandes dentro de una ventana cuyo ancho es exponencialmente pequeño en $\varepsilon$. La ubicación y orientación de esa ventana dependen de la parametrización y de los coeficientes del modelo.

Una apariencia de salto de amplitud puede, por tanto, surgir tanto por bistabilidad como por una explosión canard. En el caso canard buscamos separación de escalas, estructura plegada y seguimiento de una variedad repulsora; en el caso biestable buscamos coexistencia de atractores a un mismo parámetro. En muchos experimentos, estas dos preguntas requieren técnicas de medición diferentes.

Figura 110.1. Cuatro mecanismos que deben distinguirse por su objeto geométrico: A, pliegue de equilibrios ($\dot x=\mu-x^2$); B, Hopf supercrítica ($\dot r=\mu r-r^3$); C, coexistencia de equilibrio y ciclo en $\dot r=\mu r+r^3-r^5$; D, amplitud del oscilador lento-rápido de Van der Pol para $\varepsilon=0{,}1$, calculada por integración numérica. El mayor salto de pendiente de la malla seleccionada aparece entre $a=0{,}98631$ y $a=0{,}98635$; esta estimación finita no establece el ancho asintótico exacto de la explosión canard.

110.8. Quinto mecanismo, episodios laminares y ráfagas

La intermitencia tipo I es una tercera clase de observación, distinta del paso de un equilibrio a otro y del paso de un ciclo pequeño a uno grande. La señal permanece durante numerosos pasos cerca de un patrón regular y luego realiza una excursión. El mapa local

explica el tránsito lento por una región que ha perdido sus puntos fijos. Cerca de cero, los incrementos $\delta+x_n^2$ son pequeños. Para atravesar una ventana simétrica $[-b,b]$, la aproximación continua da

que se comporta como $\pi/\sqrt\delta$ cuando $\delta\to0^+$ y $b$ permanece fijo. Las secuencias repetidas de episodios requieren, además de lentitud local, un mecanismo de reinyección global.

Con $b=0,2$, si $\delta=0,0004$, la aproximación predice unas $147,11$ iteraciones; con $\delta=0,0001$, unas $304,17$. La reducción del parámetro a la cuarta parte produce aproximadamente el doble del tiempo de paso. Una prueba experimental pertinente estudia la duración de los episodios laminares y sus cambios al aproximarse al parámetro crítico, considerando siempre cómo se define la región laminar y cómo se reinyecta la trayectoria.

La presencia de ráfagas irregulares no implica que el mecanismo de intermitencia sea necesariamente una tangencia. Otras formas de intermitencia se deben a multiplicadores distintos de uno o a crisis globales. El mapa de retorno ayuda a discriminar entre ellas. En un cuello de botella tangente buscamos una región donde el mapa casi toca la diagonal y las iteraciones avanzan muy lentamente; en una crisis buscamos el encuentro de un atractor caótico con una estructura inestable.

110.9. Sexto mecanismo, crisis de atractores y cambios globales

Consideremos un atractor caótico que, al variar un parámetro, entra en contacto con una órbita periódica inestable o con una estructura asociada a su variedad estable. Después de la colisión puede expandirse bruscamente, dividirse o desaparecer como atractor, según el escenario. Los trabajos de Grebogi, Ott y Yorke estudiaron este tipo de eventos y los denominaron crisis. La palabra designa una reorganización geométrica global, que un cambio visual intenso de la serie temporal puede imitar sin que ocurra.

En una crisis interior, un atractor caótico puede acceder a una región del espacio de estados que antes no visitaba. Después del evento, la señal alterna etapas dentro de la antigua región con excursiones a la nueva. La observación puede parecer una intermitencia, aunque el mecanismo no sea el cuello de botella de una bifurcación tangente. En una crisis de frontera, el atractor choca con el límite de su cuenca y puede dejar de atraer; las trayectorias pueden mostrar caos transitorio prolongado antes de alcanzar otro atractor.

Para sostener una hipótesis de crisis, buscamos un cambio en el soporte espacial del atractor, información sobre órbitas inestables y evidencia de la colisión relevante. Las distribuciones de tiempos de residencia y sus leyes de escala son informativas, pero los exponentes críticos dependen del tipo de crisis y de la geometría del sistema.

110.10. Séptimo mecanismo, intersecciones homoclínicas bajo forzamiento

La función de Melnikov es una herramienta geométrica distinta, que mide a primer orden la separación orientada de variedades estable e inestable cerca de una conexión homoclínica. Para el Duffing de doble pozo, con perturbación periódica $\varepsilon(F\cos\omega t-\gamma\dot x)$, obtuvimos

Si $F>4\gamma\cosh(\pi\omega/2)/(3\sqrt2\pi\omega)$, la función posee ceros simples. Para una perturbación suficientemente pequeña y bajo las hipótesis apropiadas, eso garantiza intersecciones homoclínicas transversales en el mapa estroboscópico. Se trata de una predicción sobre la geometría de variedades invariantes. No da directamente una ley para el radio de un ciclo, la duración de un episodio laminar ni la amplitud máxima del observable.

Con $\gamma=0,1$ y $\omega=1$, el umbral es $F\approx0,07530$. La desigualdad permite organizar una búsqueda numérica de intersecciones transversales. Un cambio visible de la serie cerca de ese valor no demuestra una transición de atractor descrita por Melnikov, porque la predicción geométrica y la observación estadística requieren comprobaciones distintas. En particular, el conjunto caótico que puede organizarse cerca de la intersección podría no atraer trayectorias genéricas.

Una crisis, en cambio, describe la colisión y reorganización de un atractor caótico existente; Melnikov da un criterio perturbativo para el desdoblamiento transversal de una conexión del sistema de referencia. En modelos concretos los dos mecanismos pueden estar relacionados, aunque son eventos distintos. Uno exige identificar un atractor y su contacto con estructuras inestables; el otro parte de una separatriz conocida y estima la creación de intersecciones transversales.

Figura 110.2. Mecanismos que pueden generar señales irregulares sin compartir su geometría: A, tiempos de paso de un mapa tangente $x_{n+1}=x_n+\delta+x_n^2$ (se requiere reinyección para intermitencia sostenida); B, transición de dos bandas caóticas del mapa logístico cerca de $r\approx3{,}6785735$, ilustrada por iteraciones finitas; C, ceros de la función de Melnikov. La coincidencia visual de ráfagas o cambios de amplitud no sustituye las pruebas de bifurcación o de intersección transversal.

110.11. Cuadro comparativo de lo que debe calcularse antes de elegir una explicación

La siguiente tabla concentra los resultados sin convertirlos en un algoritmo automático. Cada fila señala un objeto geométrico y una prueba que fortalece la interpretación. La ausencia de una firma en un registro corto no equivale necesariamente a refutación; puede faltar resolución, acceso a variables internas o estabilidad suficiente del experimento.

El símbolo $\sqrt\mu$ aparece tanto en el pliegue como en la Hopf supercrítica, pero mide magnitudes diferentes. En el primer caso describe la distancia de equilibrios; en el segundo, el radio de un ciclo respecto de un equilibrio. Dos leyes de escala formalmente idénticas no identifican mecanismos idénticos. Del mismo modo, el exponente $-1/2$ cerca de una tangencia describe un tiempo de paso y nada dice sobre una amplitud estacionaria.

110.12. Primer expediente resuelto, una amplitud que crece desde cero

Supongamos que un modelo tiene la amplitud estable $R(\mu)$ dada por $R=0$ si $\mu\le0$ y $R=\sqrt\mu$ si $\mu>0$. Tomamos mediciones ideales en $\mu=-0,04,-0,01,0,0,01,0,04$. Las amplitudes correspondientes son $0,0,0,0,1,0,2$. Una persona podría observar solo los dos últimos puntos y declarar que el sistema salta desde cero a una oscilación grande. La forma normal muestra, en cambio, que la amplitud se aproxima continuamente a cero conforme el parámetro se acerca al umbral.

El expediente se resuelve identificando una órbita periódica y comprobando cómo evoluciona su estabilidad. En el modelo supercrítico, la solución $r=0$ es estable antes de $\mu=0$, pierde estabilidad después y aparece un ciclo estable. Medir solo el máximo absoluto de una señal puede ocultar ese mecanismo si cambia el nivel medio o la ganancia del sensor. En un sistema conocido, calculamos los valores propios del equilibrio y el coeficiente no lineal que determina la dirección de la bifurcación. En un sistema desconocido, tratamos el ajuste $R\propto\sqrt\mu$ como una pista que aún debe confirmarse.

Añadamos una prueba de barrido. Si el ciclo aparece sin coexistencia de dos atractores en el intervalo cercano al umbral y el resultado cuasiestático se mantiene al invertir el sentido del parámetro, la interpretación supercrítica gana plausibilidad. No queda totalmente probada, porque pueden existir fenómenos globales o escalas no observadas. Sin embargo, el expediente ya excluye que el registro ideal tenga una discontinuidad matemática de amplitud.

110.13. Segundo expediente, dos resultados estables con el mismo parámetro

Ahora fijamos $\mu=-0,1$ en la forma radial $\dot r=\mu r+r^3-r^5$. El cálculo anterior da un equilibrio estable en $r=0$, un ciclo inestable en $r\approx0,33571$ y un ciclo estable en $r\approx0,94197$. Un ensayo iniciado con amplitud radial muy pequeña converge al origen; otro preparado por encima de la cuenca separada por el ciclo inestable converge al ciclo mayor. No hemos cambiado el parámetro entre los dos ensayos.

Esta observación descarta que el resultado se explique solo por una Hopf supercrítica local con un atractor único a cada lado del umbral. Favorece, en cambio, un mecanismo con coexistencia de atractores. No demuestra que el modelo quíntico elegido sea la única explicación posible; existen numerosos sistemas capaces de mostrar bistabilidad. La tarea siguiente sería rastrear la persistencia de ambas soluciones y la frontera de sus cuencas. También habría que verificar que la coexistencia no se deba a una variación oculta de las condiciones ambientales.

Si $\mu$ desciende desde cero, el ciclo de gran amplitud persiste hasta el pliegue de ciclos en $-1/4$. Si asciende desde un valor más negativo siguiendo el equilibrio, el cambio ocurre cerca de cero. En un sistema determinista ideal con barrido cuasiestático, estos límites difieren. En una experiencia real pueden desplazarse por ruido y retardo dinámico; la distinción exige comparar varios tiempos de espera y velocidades de variación.

110.14. Tercer expediente, un crecimiento abrupto sin bistabilidad demostrada

Un investigador observa ciclos de amplitud cercana a $0,1$ que pasan a amplitud próxima a $2$ cuando el parámetro cambia en una fracción diminuta de su escala. Repite el barrido con varios pasos, encuentra una transición cada vez más estrecha y no consigue mantener de forma estable ambas amplitudes con el mismo parámetro. Es tentador adjudicar el resultado a una explosión canard; no obstante, todavía hay hipótesis alternativas, como cambios globales de ciclo, resonancias no lineales, efectos de un parámetro oculto o una bifurcación con histéresis poco visible por ruido.

Una prueba de geometría lento-rápida pregunta si las trayectorias contienen segmentos que evolucionan sobre ramas de movimiento lento y saltos rápidos entre ellas. Una segunda prueba examina si hay un pliegue de la variedad crítica y si alguna familia de trayectorias sigue durante cierto tiempo la prolongación repulsora de una variedad lenta. Una tercera estudia el ancho de la transición al variar $\varepsilon$, el parámetro de separación temporal. En modelos apropiados de explosión canard, dicho ancho puede decrecer exponencialmente con $1/\varepsilon$.

Nada de esto se sustituye midiendo que el cambio «parece vertical» en una figura. El carácter estrecho del intervalo se debe expresar con la escala de parámetros, resolución numérica, tolerancias y método de continuación. Si se observa únicamente una variable física, puede ser necesario un modelo adicional para estimar la variable lenta y localizar la región repulsora. En ausencia de esas comprobaciones, el dictamen defendible es «transición abrupta de amplitud compatible con varias clases de bifurcación».

110.15. Cuarto expediente, ráfagas que se hacen menos frecuentes

En una simulación aparecen largos tramos próximos a un patrón periódico, separados por excursiones irregulares. Al modificar un parámetro $\delta$, el número medio de iteraciones laminares crece. Si el mapa de retorno presenta un cuello de botella aproximado por $x_{n+1}=x_n+\delta+x_n^2$, podemos predecir el tiempo de cruce de una región fija. Con $\delta=0,0004$ y ancho $b=0,2$, la estimación es $147,11$ pasos. Al reducir el parámetro a $0,0001$, asciende a $304,17$ pasos. Un cálculo discreto de esos dos tránsitos, comenzando en $x=-0,2$, da $147$ y $304$ iteraciones, respectivamente.

La coincidencia cuantitativa respalda el cuello de botella calculado, pero la intermitencia sostenida exige además un mecanismo de reinyección que devuelva la trayectoria a la región laminar. Si la serie tiene ráfagas producidas por una crisis interior, el cambio de región accesible podría generar estadísticos similares sin que el mapa local atraviese una tangencia. Si la fuente de ráfagas es un proceso estocástico, la distribución de intervalos podría depender de intensidades de ruido y barreras efectivas.

En el expediente resuelto, la prueba discriminante consiste en reconstruir o conocer el mapa de retorno y verificar la geometría de su vecindad crítica. La ley de tiempos predice una escala; la tangencia junto con la reinyección establece el mecanismo local y global. Si solo se dispone del recuento de ráfagas, sin acceso al mapa ni manipulación del parámetro, el mecanismo permanece parcialmente no identificable.

110.16. Quinto expediente, un atractor se expande de repente

Supongamos que un mapa muestra, durante un intervalo largo, una nube caótica confinada a dos regiones del espacio de estados. Después de variar mínimamente $\mu$, la nube incluye de manera irregular una tercera región que antes no visitaba. La amplitud máxima aumenta, pero no aparece un equilibrio nuevo ni un ciclo estable fácilmente reconocible. Las excursiones a la nueva región se hacen relativamente escasas al aproximarse al valor crítico desde el lado posterior a la transición.

La hipótesis de crisis interior merece investigación porque explica simultáneamente la expansión del soporte y las visitas intermitentes a una región recién accesible. Para contrastarla necesitamos localizar una órbita periódica inestable o estructura relacionada con la colisión y verificar la reorganización de las regiones accesibles. Una visualización de mil iteraciones podría ser insuficiente, porque la frecuencia de los episodios distantes puede ser tan baja que se confundan transitorios con ausencia de visita.

Imaginemos ahora que, tras el cambio paramétrico, la misma nube caótica desaparece como comportamiento asintótico y las trayectorias acaban en un punto o ciclo estable después de una fase irregular larga. La descripción se parece más a una crisis de frontera y a caos transitorio. El análisis correcto requiere repetir condiciones iniciales, estimar distribuciones de tiempos de vida y comprobar que se estudia realmente el límite asintótico. Una trayectoria que todavía no escapó no demuestra un atractor, del mismo modo que una trayectoria que ya escapó no demuestra ausencia de conjuntos invariantes no atrayentes.

110.17. Un laboratorio compacto y reproducible

Las expresiones usadas en los expedientes pueden verificarse sin implementar siete modelos de simulación. Este código calcula los radios estables de las formas normales, el intervalo biestable y los tiempos de tránsito para el mapa de intermitencia. La finalidad es auditar números específicos; las funciones no pretenden clasificar series temporales en general. Para estudiar canards, crisis e intersecciones homoclínicas se necesitarían integradores, continuación y reconstrucción de variedades apropiados para cada sistema.

from math import sqrt, atan, pi

def hopf_supercritica(mu):
    return sqrt(mu) if mu > 0 else 0.0

def ciclos_quinticos(mu):
    if mu < -0.25:
        return []
    d = sqrt(1 + 4 * mu)
    raices = [(1 - d) / 2, (1 + d) / 2]
    return [(sqrt(s), 'estable' if s > 0.5 else
             'inestable' if s < 0.5 else 'no hiperbolico')
            for s in raices if s > 0]

def pasos_cuello(delta, b=0.2):
    x, pasos = -b, 0
    while x < b:
        x += delta + x*x
        pasos += 1
    return pasos

for mu in [-0.10, 0.01, 0.04]:
    print('Hopf supercritica', mu, hopf_supercritica(mu))
print('Ciclos quinticos mu=-0.1:', ciclos_quinticos(-0.10))
for delta in [4e-4, 1e-4]:
    estimado = 2 / sqrt(delta) * atan(0.2 / sqrt(delta))
    print('Cuello', delta, pasos_cuello(delta), estimado)

Para $\mu=-0,1$, el programa devuelve los radios aproximados $0,33571$ y $0,94197$, con estabilidad radial inestable y estable, respectivamente. El origen estable debe examinarse por separado, ya que no es un ciclo de radio positivo. Los tránsitos dan $147$ y $304$ pasos, mientras que la aproximación continua produce $147,11$ y $304,17$. Pese a esa cercanía, la aproximación integral no es exacta y su error depende de la región elegida y de la discretización.

En el punto $\mu=-1/4$, las dos fórmulas de radio coinciden y la derivada radial se anula; por ello la clasificación «no hiperbólico» es correcta. Para $\mu>0$, la raíz $s_-$ es negativa y no corresponde a un radio real. Un código que devuelva indiscriminadamente dos ciclos para cualquier parámetro produciría soluciones espurias. Comprobar la admisibilidad de las ramas forma parte del análisis matemático.

110.18. Ejercicios de discriminación resueltos

Ejercicio 1. Dos leyes con el mismo exponente. Se obtiene $x_*(\mu)=\sqrt\mu$ en un experimento y $R(\mu)=\sqrt\mu$ en otro. ¿Son la misma transición? No necesariamente. Si $x_*$ designa un equilibrio, podría tratarse de un pliegue. Si $R$ mide el radio de un ciclo nacido de un equilibrio, sería compatible con Hopf supercrítica. Debe identificarse primero el objeto invariante.

Ejercicio 2. Estabilidad del ciclo grande. En $\dot r=\mu r+r^3-r^5$, con $\mu=-0,1$, la rama grande tiene $s\approx0,88730$. La derivada radial es $2s(1-2s)$, negativa porque $s>1/2$. Por ello el ciclo atrae perturbaciones radiales pequeñas. El ciclo menor tiene $s\approx0,11270$ y es repulsor.

Ejercicio 3. Un falso diagnóstico de crisis. Una serie presenta ráfagas, pero no se ha reconstruido el atractor antes y después del supuesto umbral. ¿Puede afirmarse que hubo una crisis? No. Se necesita evidencia de una reorganización global, típicamente una colisión con una estructura inestable. Las ráfagas son una observación compatible con diferentes mecanismos.

Ejercicio 4. Qué demuestra Melnikov. Para una función de Melnikov sinusoidal con desplazamiento, la amplitud oscilante excede el término constante. ¿Qué se concluye? Aparecen ceros simples y, bajo las hipótesis del método y con perturbaciones suficientemente pequeñas, intersecciones homoclínicas transversales. No se demuestra automáticamente que toda trayectoria típica converja a un atractor caótico.

110.19. Criterios para atribuir una transición

La comparación de los casos resueltos muestra cuánto cambia la interpretación al especificar el objeto que pierde estabilidad o reorganiza su geometría. En una bifurcación local, los autovalores o multiplicadores dan información sobre el entorno del estado o ciclo crítico. La coexistencia de soluciones exige analizar ramas y cuencas de atracción. Una transición canard requiere identificar la geometría lento-rápida. Las intermitencias y las crisis pueden involucrar retornos y colisiones que el jacobiano local no registra.

Por eso, ante una serie temporal, es útil plantear varias explicaciones compatibles antes de elegir una. Un salto de amplitud sugiere ciertas hipótesis, pero la histéresis, la dependencia de las condiciones iniciales, las distribuciones de tiempos de permanencia y las secciones de fase permiten discriminarlas. Incluso así pueden quedar incertidumbres si solo se observa una variable o si el barrido de parámetros es insuficiente.

El módulo ha reunido un repertorio de mecanismos de transición en sistemas disipativos y perturbados. Para comprender otra familia de cambios hay que estudiar sistemas donde la estructura conservativa impone restricciones geométricas distintas. La formulación hamiltoniana es el nuevo punto de partida.

Referencias

• Kuznetsov, Y. A. (2004). Elements of Applied Bifurcation Theory (3.ª ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3978-7
• Guckenheimer, J., & Holmes, P. (1983). Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer.
• Krupa, M., & Szmolyan, P. (2001). Relaxation oscillation and canard explosion. Journal of Differential Equations, 174(2), 312–368. https://doi.org/10.1006/jdeq.2000.3929
• Pomeau, Y., & Manneville, P. (1980). Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems. Communications in Mathematical Physics, 74, 189–197. https://doi.org/10.1007/BF01197757
• Grebogi, C., Ott, E., & Yorke, J. A. (1983). Crises, sudden changes in chaotic attractors, and transient chaos. Physica D, 7, 181–200. https://doi.org/10.1016/0167-2789(83)90126-4