Año 2 · Módulo 12 · Nivel F

111.1. Del movimiento observado a la estructura que lo genera

Un oscilador sin fricción vuelve una y otra vez a la misma posición, pero esa observación es solo una parte de su dinámica. Al representar conjuntamente posición y momento se obtiene una familia de trayectorias organizada por la energía. Cada valor admisible de esta cantidad limita el movimiento a un conjunto del espacio de fases. La formulación hamiltoniana hace explícita esa organización y permite estudiar con herramientas comunes sistemas mecánicos de naturaleza muy diferente.

Partiremos de coordenadas generalizadas y de un lagrangiano regular. La transformación de Legendre introduce los momentos conjugados y conduce al hamiltoniano, una función de posición, momento y tiempo. Las ecuaciones de Hamilton reescriben la evolución como un sistema de primer orden con estructura propia. La utilidad de este lenguaje aparece al buscar constantes de movimiento, comparar cambios canónicos y describir la geometría de sistemas conservativos.

El momento conjugado no siempre coincide con la cantidad «masa por velocidad» y el hamiltoniano tampoco es necesariamente la energía mecánica expresada de una sola manera. La equivalencia exige examinar la forma del lagrangiano y sus dependencias. La interpretación de cada símbolo requiere derivar las ecuaciones desde el lagrangiano. La nueva formulación describe el mismo sistema físico, aunque revela relaciones que no siempre se ven con facilidad desde la segunda ley de Newton.

Los ejemplos permitirán distinguir casos en los que el hamiltoniano coincide con la energía mecánica de otros en los que esa identificación requiere más cuidado. La derivación es especialmente útil para reconocer supuestos que una fórmula memorizada puede ocultar.

111.2. Grados de libertad, restricciones y coordenadas generalizadas

Consideremos una partícula de masa mm obligada a moverse sobre un círculo de radio ℓ\ell. Sus coordenadas cartesianas (x,y)(x,y) satisfacen x2+y2=ℓ2x^2+y^2=\ell^2. Aunque aparezcan dos componentes de posición, solo hay una coordenada independiente. Podemos usar el ángulo θ\theta, con x=ℓsin⁡θx=\ell\sin\theta e y=−ℓcos⁡θy=-\ell\cos\theta, para especificar la configuración. La elección elimina una restricción algebraica del sistema de ecuaciones.

En general, si las restricciones son holónomas, independientes y regulares, un sistema de NN coordenadas cartesianas sujetas a rr restricciones independientes tiene localmente n=N−rn=N-r grados de libertad. Elegimos entonces coordenadas q=(q1,…,qn)q=(q_1,\ldots,q_n), que pueden ser distancias, ángulos o combinaciones de posiciones. La palabra generalizada indica que no tienen por qué medir metros; un ángulo es una coordenada válida aunque sea adimensional en el sistema internacional.

La velocidad física depende de qq, de q˙\dot q y, en restricciones móviles, quizá también del tiempo. Para una partícula cuya posición es r(q,t)\mathbf r(q,t), se obtiene

r˙=∑i=1n∂r∂qiq˙i+∂r∂t.\dot{\mathbf r}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial\mathbf r}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial\mathbf r}{\partial t}.

Esta identidad muestra que una velocidad generalizada no tiene necesariamente las unidades de una velocidad lineal. Tampoco se deduce que su momento conjugado sea siempre el producto de una masa y esa velocidad.

La elección de coordenadas permite expresar la energía cinética en la forma T=12q˙TM(q)q˙T=\frac12\dot q^{\mathsf T}M(q)\dot q para muchas restricciones independientes del tiempo, donde M(q)M(q) es una matriz de masa dependiente de la configuración. Si el sistema tiene una geometría curvilínea, aparecen términos que parecen acoplamientos entre velocidades. Esos términos provienen de la representación geométrica; ninguna fuerza nueva se ha añadido al modelo.

111.3. De la función lagrangiana al principio variacional

La mecánica lagrangiana parte de una función L(q,q˙,t)L(q,\dot q,t). Para muchos sistemas mecánicos naturales, con potencial independiente de la velocidad, escribimos L=T−VL=T-V, donde TT es la energía cinética y VV la potencial. Esa forma no vale para cualquier sistema físico, porque si las fuerzas dependen de la velocidad pueden hacer falta otros términos.

La trayectoria física satisface, bajo las hipótesis habituales del principio variacional, la condición de estacionariedad de la acción

S[q]=∫t0t1L(q,q˙,t) dt.S[q]=\int_{t_0}^{t_1}L(q,\dot q,t)\,dt.

Comparar trayectorias cercanas con extremos fijados conduce a las ecuaciones de Euler–Lagrange

ddt(∂L∂q˙i)−∂L∂qi=0,i=1,…,n.\boxed{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0,\qquad i=1,\ldots,n.}

La acción debe ser estacionaria; una trayectoria física puede corresponder a un mínimo o a un punto de silla de ese funcional. La estacionariedad de la acción y la estabilidad dinámica de una solución son propiedades diferentes.

Para el péndulo simple, sin rozamiento, T=12mℓ2θ˙2T=\tfrac12m\ell^2\dot\theta^2 y V=mgℓ(1−cos⁡θ)V=mg\ell(1-\cos\theta). En consecuencia, L=12mℓ2θ˙2−mgℓ(1−cos⁡θ)L=\tfrac12m\ell^2\dot\theta^2-mg\ell(1-\cos\theta). La ecuación de Euler–Lagrange da

mℓ2θ¨+mgℓsin⁡θ=0.m\ell^2\ddot\theta+mg\ell\sin\theta=0.

La ecuación de movimiento es de segundo orden y su problema de valor inicial requiere θ(0)\theta(0) y θ˙(0)\dot\theta(0). La formulación hamiltoniana reorganiza precisamente esas dos cantidades iniciales en una posición y un momento conjugado.

111.4. El momento canónico y la transformación de Legendre

Definimos el momento conjugado de qiq_i como

pi=∂L∂q˙i.\boxed{p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}.}

En el caso de una partícula en una recta, L=12mx˙2−V(x)L=\frac12m\dot x^2-V(x), resulta p=mx˙p=m\dot x. Es tentador convertir esa igualdad particular en una definición general, pero no es válida en general. En coordenadas angulares, por ejemplo, el momento canónico puede ser un momento angular. Cuando el lagrangiano contiene términos lineales en la velocidad, también puede diferir del momento cinético correspondiente.

El hamiltoniano se define mediante una transformación de Legendre sobre las velocidades

H(q,p,t)=∑i=1npiq˙i−L(q,q˙,t),\boxed{H(q,p,t)=\sum_{i=1}^{n}p_i\dot q_i-L(q,\dot q,t),}

con las velocidades del lado derecho sustituidas por las funciones q˙(q,p,t)\dot q(q,p,t) que resuelven las relaciones de los momentos. La sustitución es parte de la definición; dejar q˙\dot q como variable independiente no produce todavía el hamiltoniano en coordenadas canónicas.

Para un sistema natural con L=12q˙TM(q)q˙−V(q)L=\frac12\dot q^{\mathsf T}M(q)\dot q-V(q), tenemos p=M(q)q˙p=M(q)\dot q. Si M(q)M(q) es invertible, q˙=M(q)−1p\dot q=M(q)^{-1}p y

H(q,p)=12pTM(q)−1p+V(q).\boxed{H(q,p)=\frac12p^{\mathsf T}M(q)^{-1}p+V(q).}

En este caso, el hamiltoniano coincide con la energía cinética más la potencial. Las matrices de masa deben evaluarse en la posición correspondiente; reemplazarlas sin justificación por una constante cambia el modelo. La expresión también permite verificar dimensiones, ya que piq˙ip_i\dot q_i tiene unidades de energía aunque pip_i y q˙i\dot q_i no compartan las unidades de un momento lineal y una velocidad cartesiana.

111.5. Regularidad y límites de la transformación

La inversión de p(q,q˙,t)p(q,\dot q,t) no siempre está garantizada. Localmente exige que la matriz hessiana respecto de las velocidades,

Wij=∂2L∂q˙i∂q˙j,W_{ij}=\frac{\partial^2L}{\partial\dot q_i\partial\dot q_j},

sea invertible. La condición det⁡W≠0\det W\ne0 caracteriza aquí un lagrangiano regular y permite, por el teorema de la función inversa, despejar las velocidades al menos en un entorno. Para obtener una transformación global, pueden ser necesarias hipótesis adicionales sobre la geometría y la convexidad.

Un ejemplo sencillo de singularidad es L(q,q˙)=a(q)q˙−V(q)L(q,\dot q)=a(q)\dot q-V(q), con una sola coordenada. Entonces p=a(q)p=a(q), independientemente de q˙\dot q. No existe una función ordinaria q˙(q,p)\dot q(q,p) obtenida por inversión. La relación p−a(q)=0p-a(q)=0 es una restricción primaria en el espacio de fases. Tratar el sistema como si cualquier pareja (q,p)(q,p) fuese admisible produciría grados de libertad ficticios.

La teoría de sistemas restringidos, que Dirac desarrolló de manera sistemática, trata estas situaciones; aquí basta reconocer el límite de la receta elemental. Un problema mal planteado en coordenadas redundantes puede parecer singular aunque admita una descripción reducida regular. También hay lagrangianos genuinamente degenerados, como los de varias teorías de campos y formulaciones con simetrías de gauge.

Una matriz WW invertible puede no ser definida positiva. Eso no impide necesariamente la transformación local, aunque altera la interpretación energética y puede introducir direcciones dinámicamente inestables. La regularidad permite efectuar el cambio de variables, mientras que la estabilidad depende de las ecuaciones dinámicas obtenidas.

111.6. Derivación de las ecuaciones canónicas

Para obtener las ecuaciones de Hamilton, diferenciamos la definición de HH. Omitiendo por claridad los índices de suma y entendiendo las variables como vectores,

dH=q˙⋅dp+p⋅dq˙−∂L∂q⋅dq−∂L∂q˙⋅dq˙−∂L∂tdt.dH=\dot q\cdot dp+p\cdot d\dot q-\frac{\partial L}{\partial q}\cdot dq-\frac{\partial L}{\partial\dot q}\cdot d\dot q-\frac{\partial L}{\partial t}dt.

Como p=∂L/∂q˙p=\partial L/\partial\dot q, los términos con dq˙d\dot q se cancelan. Por Euler–Lagrange, p˙=∂L/∂q\dot p=\partial L/\partial q. Así,

dH=q˙⋅dp−p˙⋅dq−∂L∂tdt.dH=\dot q\cdot dp-\dot p\cdot dq-\frac{\partial L}{\partial t}dt.

Comparando con la diferencial de H(q,p,t)H(q,p,t), obtenemos

q˙i=∂H∂pi,p˙i=−∂H∂qi.\boxed{\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\qquad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}.}

Estas son las ecuaciones canónicas. Un sistema con nn grados de libertad se expresa mediante 2n2n ecuaciones de primer orden. El dato inicial es el punto (q(0),p(0))(q(0),p(0)) del espacio de fases. Si conocemos HH y se cumplen condiciones apropiadas de regularidad del campo, queda definido un problema de valor inicial.

La estructura tiene una asimetría de signos. La derivada de HH respecto del momento determina el cambio de posición, mientras que la derivada respecto de la posición determina el cambio de momento con un signo negativo. Ese patrón garantiza propiedades geométricas que no tiene un campo dinámico cualquiera, entre ellas la conservación de una forma diferencial que estudiaremos en el capítulo siguiente.

En notación matricial, si z=(q,p)z=(q,p) y J=(0I−I0)J=\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}, las ecuaciones se condensan como z˙=J∇H(z,t)\dot z=J\nabla H(z,t). El objeto JJ será el punto de partida de la estructura simpléctica. Por ahora, interesa advertir que JJ reorganiza las derivadas y fija su signo; el contenido físico está en la forma de HH.

111.7. Conservación de la energía y dependencia temporal

Sea H(q,p,t)H(q,p,t) diferenciable a lo largo de una solución. La regla de la cadena da

dHdt=∑i(∂H∂qiq˙i+∂H∂pip˙i)+∂H∂t.\frac{dH}{dt}=\sum_i\left(\frac{\partial H}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial H}{\partial p_i}\dot p_i\right)+\frac{\partial H}{\partial t}.

Al sustituir las ecuaciones de Hamilton, los términos de la suma se cancelan de dos en dos. Por tanto,

dHdt=∂H∂t.\boxed{\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial t}.}

Si HH carece de dependencia temporal explícita, permanece constante a lo largo de cada trayectoria, siempre que la solución exista. Esta afirmación es más específica que decir «los sistemas hamiltonianos conservan energía». Un hamiltoniano dependiente del tiempo sigue generando ecuaciones canónicas, aunque su valor no se conserva necesariamente. Además, la función HH no siempre coincide con la energía mecánica que reconoceríamos en un sistema natural autónomo.

La transformación de Legendre satisface ∂H/∂t=−∂L/∂t\partial H/\partial t=-\partial L/\partial t, con las variables canónicas o lagrangianas pertinentes mantenidas fijas al efectuar las derivadas parciales. Si el lagrangiano es autónomo y regular, el hamiltoniano se conserva. Una restricción impuesta mediante una base que se mueve, una fuerza externa con protocolo temporal o un campo electromagnético expresado mediante potenciales dependientes del tiempo pueden introducir dependencia explícita y alterar ese resultado.

En el péndulo oscilante cambian tanto el ángulo θ\theta como el momento pθp_\theta, mientras la energía hamiltoniana permanece constante. La trayectoria queda restringida a un nivel de HH, pero la dinámica sobre ese conjunto continúa. Con más grados de libertad, los niveles energéticos admiten una variedad mayor de movimientos, incluidas regiones caóticas bajo mecanismos adecuados.

111.8. El oscilador armónico en el espacio de fases

Tomemos una masa unida a un resorte ideal, sin rozamiento, con posición qq, masa m>0m>0 y constante elástica k>0k>0. Su lagrangiano es L=12mq˙2−12kq2L=\tfrac12m\dot q^2-\tfrac12kq^2. El momento canónico es p=mq˙p=m\dot q, de donde

H(q,p)=p22m+kq22.H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac{kq^2}{2}.

Las ecuaciones canónicas se convierten en q˙=p/m\dot q=p/m y p˙=−kq\dot p=-kq. Al derivar la primera y sustituir la segunda recuperamos mq¨+kq=0m\ddot q+kq=0. Con ω=k/m\omega=\sqrt{k/m}, las soluciones generales son

q(t)=Acos⁡(ωt)+Bsin⁡(ωt),q(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
p(t)=mω[−Asin⁡(ωt)+Bcos⁡(ωt)].p(t)=m\omega\bigl[-A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)\bigr].

Si la energía inicial es E>0E>0, el movimiento satisface p2/(2m)+kq2/2=Ep^2/(2m)+kq^2/2=E. En el plano (q,p)(q,p), esa ecuación es una elipse. Los extremos de posición valen ±2E/k\pm\sqrt{2E/k} y los de momento ±2mE\pm\sqrt{2mE}. La trayectoria recorre la elipse en sentido horario si dibujamos qq horizontal y pp vertical, porque en q>0,p=0q>0,p=0 se tiene p˙=−kq<0\dot p=-kq<0.

El área encerrada es π2E/k2mE=2πE/ω\pi\sqrt{2E/k}\sqrt{2mE}=2\pi E/\omega. Esta relación anticipa la variable de acción que aparecerá en el estudio de sistemas integrables. Por ahora, muestra que al aumentar la energía la órbita crece en el espacio de fases sin que ninguna contracción disipativa global la acerque o la aleje de una órbita vecina.

Consideremos m=2 kgm=2\,\mathrm{kg}, k=8 N/mk=8\,\mathrm{N/m} y q(0)=0,5 mq(0)=0,5\,\mathrm{m}, q˙(0)=0\dot q(0)=0. Entonces ω=2 s−1\omega=2\,\mathrm{s}^{-1}, p(0)=0p(0)=0 y E=1 JE=1\,\mathrm J. La solución es q(t)=0,5cos⁡(2t)q(t)=0,5\cos(2t) y p(t)=−2sin⁡(2t)p(t)=-2\sin(2t) en unidades SI. Al reemplazarla en HH, obtenemos H=sin⁡2(2t)+cos⁡2(2t)=1 JH=\sin^2(2t)+\cos^2(2t)=1\,\mathrm J. La cancelación es exacta.

C111 Figura 01 Legendre oscilador
Figura 111.1. C111 Figura 01 Legendre oscilador Ampliar figura ↗

Figura 111.1. La transformación de Legendre se representa con el lagrangiano de un oscilador en la sección q=0q=0. Su tangente de pendiente $p_=mv_*determinaelhamiltoniano determina el hamiltoniano H_*=p_v_-L(v_*).Losnivelesdelhamiltoniano. Los niveles del hamiltoniano H=p^2/(2m)+kq^2/2sonelipsesenelplanocanoˊnico.Para son elipses en el plano canónico. Para m=1{,}5,, k=2{,}4ylacondicioˊninicial y la condición inicial (q,p)=(1,0),lasenergıˊascineˊticaypotencialseintercambianmientras, las energías cinética y potencial se intercambian mientras H=1{,}2$ permanece constante.*

111.9. El péndulo y la separatriz

Para un péndulo simple de longitud ℓ\ell, masa mm y gravedad gg, la coordenada generalizada es el ángulo θ\theta. Su momento canónico es pθ=mℓ2θ˙p_\theta=m\ell^2\dot\theta, igual al momento angular respecto del punto de suspensión. El hamiltoniano resulta

H(θ,pθ)=pθ22mℓ2+mgℓ(1−cos⁡θ).\boxed{H(\theta,p_\theta)=\frac{p_\theta^2}{2m\ell^2}+mg\ell(1-\cos\theta).}

Las ecuaciones canónicas son θ˙=pθ/(mℓ2)\dot\theta=p_\theta/(m\ell^2) y p˙θ=−mgℓsin⁡θ\dot p_\theta=-mg\ell\sin\theta. Los equilibrios se localizan en pθ=0p_\theta=0 y sin⁡θ=0\sin\theta=0. El estado inferior θ=0\theta=0 es estable frente a pequeñas perturbaciones en el modelo ideal, mientras que el superior θ=π\theta=\pi es inestable.

La energía potencial en el punto superior es Es=2mgℓE_s=2mg\ell, medida respecto de la posición más baja. Cuando 0<E<Es0<E<E_s, las soluciones no rotatorias oscilan entre dos ángulos de retorno, con momento nulo en esos extremos. Para E>EsE>E_s, hay trayectorias de rotación que atraviesan todas las posiciones angulares. El nivel E=EsE=E_s contiene la separatriz del equilibrio superior, que separa topológicamente los movimientos oscilatorios de los rotatorios.

La separatriz es un objeto decisivo en el estudio del caos conservativo y del caos inducido por perturbaciones temporales. En el péndulo autónomo de un grado de libertad, la separatriz no implica caos, porque la conservación de la energía y la dimensión de sus superficies de nivel restringen fuertemente las trayectorias. Al agregar forzamiento periódico, el espacio de fases pertinente crece y la geometría de las variedades estables e inestables puede cambiar. Los métodos de Melnikov estudiados previamente permiten examinar algunas de esas perturbaciones.

Cerca del equilibrio superior, el período de las oscilaciones crece sin cota cuando la energía se aproxima desde abajo al valor de la separatriz. El movimiento pasa cada vez más tiempo en las proximidades de un equilibrio inestable. No hay contradicción entre energía conservada y una escala temporal que diverge, porque conservar una integral no fija la rapidez local con que se recorre su nivel.

C111 Figura 02 Pendulo separatriz
Figura 111.2. C111 Figura 02 Pendulo separatriz Ampliar figura ↗

Figura 111.2. Retratos de fase del péndulo normalizado H(θ,p)=p2/2+1−cos⁡θH(\theta,p)=p^2/2+1-\cos\theta. Las curvas cerradas representan libraciones con H<2H<2; las ramas de rotación corresponden a H>2H>2. La separatriz, situada en H=2H=2, pasa por la configuración inestable θ=±π\theta=\pm\pi, cuyos extremos se identifican en el espacio de fases cilíndrico. Para H<2H<2, el período es T(H)=4K(H/2)T(H)=4K(H/2), donde KK es la integral elíptica completa de primera especie expresada mediante su parámetro; el período diverge al aproximarse a la separatriz.

111.10. Coordenadas polares y movimiento en un potencial central

Una partícula plana sometida a un potencial central V(r)V(r) ilustra el uso de las coordenadas generalizadas. En polares, con q=(r,φ)q=(r,\varphi), la energía cinética es

T=m2(r˙2+r2φ˙2).T=\frac{m}{2}\bigl(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2\bigr).

Por tanto, L=m2(r˙2+r2φ˙2)−V(r)L=\frac{m}{2}(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2)-V(r). Los momentos son pr=mr˙p_r=m\dot r y pφ=mr2φ˙p_\varphi=mr^2\dot\varphi. El segundo tiene dimensiones de momento angular. Invirtiendo ambas relaciones,

H(r,φ,pr,pφ)=pr22m+pφ22mr2+V(r).\boxed{H(r,\varphi,p_r,p_\varphi)=\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_\varphi^2}{2mr^2}+V(r).}

El hamiltoniano no depende de φ\varphi, de modo que p˙φ=−∂H/∂φ=0\dot p_\varphi=-\partial H/\partial\varphi=0. La simetría rotacional aparece así como conservación del momento angular. Fijando pφ=Lzp_\varphi=L_z, el movimiento radial se estudia mediante el potencial efectivo Vef(r)=V(r)+Lz2/(2mr2)V_{\mathrm{ef}}(r)=V(r)+L_z^2/(2mr^2). El término adicional es la parte angular de la energía cinética, reescrita tras la reducción; ninguna interacción externa nueva interviene.

Para un potencial gravitatorio newtoniano V(r)=−κ/rV(r)=-\kappa/r, con κ=GMm>0\kappa=GMm>0, resulta Vef(r)=Lz2/(2mr2)−κ/rV_{\mathrm{ef}}(r)=L_z^2/(2mr^2)-\kappa/r. Si Lz≠0L_z\ne0, una órbita circular exige pr=0p_r=0 y dVef/dr=0dV_{\mathrm{ef}}/dr=0, lo que da rc=Lz2/(mκ)r_c=L_z^2/(m\kappa). La segunda derivada en ese radio es positiva; se trata de un mínimo del potencial efectivo y pequeñas perturbaciones radiales producen oscilaciones acotadas en el modelo ideal.

La reducción usa una constante de movimiento para disminuir la complejidad efectiva y no elimina arbitrariamente una variable medida. La conservación de pφp_\varphi se deduce de una propiedad verificable del hamiltoniano. Si el potencial dejara de ser central, la conservación podría perderse y la reducción dejaría de ser legítima.

111.11. Momento canónico y momento cinético en un campo magnético

En presencia de un potencial vector, el momento conjugado puede diferir de la masa por la velocidad. Una partícula de carga eléctrica ee, masa mm, potencial vector A(r,t)\mathbf A(\mathbf r,t) y potencial escalar ϕ(r,t)\phi(\mathbf r,t) admite el lagrangiano

L=m2∣r˙∣2+eA⋅r˙−eϕ.L=\frac{m}{2}|\dot{\mathbf r}|^2+e\mathbf A\cdot\dot{\mathbf r}-e\phi.

El momento canónico es p=mr˙+eA\mathbf p=m\dot{\mathbf r}+e\mathbf A. El momento cinético es mr˙=p−eAm\dot{\mathbf r}=\mathbf p-e\mathbf A. Una transformación de Legendre regular conduce a

H=∣p−eA∣22m+eϕ.\boxed{H=\frac{|\mathbf p-e\mathbf A|^2}{2m}+e\phi.}

El término magnético cambia la relación entre momento canónico y velocidad, aunque el campo magnético por sí solo no realice trabajo sobre una carga puntual clásica. Los potenciales admiten, además, transformaciones de gauge. Bajo A↦A+∇χ\mathbf A\mapsto\mathbf A+\nabla\chi y ϕ↦ϕ−∂tχ\phi\mapsto\phi-\partial_t\chi, el momento canónico y la expresión del hamiltoniano se transforman de modo correspondiente; las trayectorias físicas y los campos electromagnéticos no cambian.

Una variación numérica del hamiltoniano bajo un cambio de gauge no indica, entonces, creación física de energía. El significado de conservación debe formularse respetando la dependencia temporal de los potenciales, la simetría temporal y la identificación de las magnitudes observables. Este ejemplo muestra que el formalismo canónico es más general que la fórmula escolar H=T+VH=T+V, aunque la recupera de forma transparente para muchos sistemas naturales.

Las coordenadas móviles y las restricciones dependientes del tiempo exigen un examen similar. Un cambio de variables puede hacer que una función con interpretación energética sencilla adopte una forma con términos adicionales. Un análisis de estabilidad o transporte requiere identificar coordenadas y momentos conjugados, además de las cantidades conservadas que se desprenden de las simetrías.

111.12. Integrales primeras, coordenadas cíclicas y corchetes de Poisson

Una integral primera es una función del estado que permanece constante a lo largo de las soluciones. Para una función suave F(q,p,t)F(q,p,t), combinando la regla de la cadena con las ecuaciones canónicas, obtenemos

dFdt=∑i(∂F∂qi∂H∂pi−∂F∂pi∂H∂qi)+∂F∂t.\frac{dF}{dt}=\sum_i\left(\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)+\frac{\partial F}{\partial t}.

Definimos el corchete de Poisson de FF y GG por

{F,G}=∑i(∂F∂qi∂G∂pi−∂F∂pi∂G∂qi).\boxed{\{F,G\}=\sum_i\left(\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial G}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial G}{\partial q_i}\right).}

La evolución queda resumida como dF/dt={F,H}+∂F/∂tdF/dt=\{F,H\}+\partial F/\partial t. Si FF no depende explícitamente del tiempo, se conserva cuando {F,H}=0\{F,H\}=0. En particular, {H,H}=0\{H,H\}=0 por la antisimetría del corchete, lo que recupera la conservación del hamiltoniano autónomo.

Las relaciones básicas son {qi,pj}=δij\{q_i,p_j\}=\delta_{ij}, {qi,qj}=0\{q_i,q_j\}=0 y {pi,pj}=0\{p_i,p_j\}=0. Si qjq_j es una coordenada cíclica, es decir, si HH no depende de ella, entonces p˙j=0\dot p_j=0. Este resultado es una forma concreta de la conexión entre simetría y conservación. El teorema de Noether da una formulación lagrangiana más general; las ecuaciones canónicas muestran aquí la relación con una sola derivada parcial.

Enumerar integrales no resuelve automáticamente las ecuaciones. La integrabilidad de Liouville requiere condiciones sobre el número de integrales funcionalmente independientes y sobre su conmutación mediante corchetes de Poisson, cuestión que tendrá un capítulo propio. Por ahora, el corchete nos da una prueba algebraica para decidir si una cantidad propuesta es realmente constante.

111.13. Dos osciladores acoplados y modos conservativos

Estudiemos dos masas iguales mm conectadas mediante resortes de modo que las coordenadas de desplazamiento q1,q2q_1,q_2 tengan potencial V=k2(q12+q22)+c2(q1−q2)2V=\frac{k}{2}(q_1^2+q_2^2)+\frac{c}{2}(q_1-q_2)^2, con k,c>0k,c>0. El lagrangiano es L=m2(q˙12+q˙22)−VL=\frac{m}{2}(\dot q_1^2+\dot q_2^2)-V. Como pi=mq˙ip_i=m\dot q_i, obtenemos

H=p12+p222m+k2(q12+q22)+c2(q1−q2)2.H=\frac{p_1^2+p_2^2}{2m}+\frac{k}{2}(q_1^2+q_2^2)+\frac{c}{2}(q_1-q_2)^2.

De las ecuaciones canónicas resultan q˙i=pi/m\dot q_i=p_i/m, p˙1=−kq1−c(q1−q2)\dot p_1=-kq_1-c(q_1-q_2) y p˙2=−kq2+c(q1−q2)\dot p_2=-kq_2+c(q_1-q_2). Introduzcamos coordenadas normales Q+=(q1+q2)/2Q_+=(q_1+q_2)/\sqrt2 y Q−=(q1−q2)/2Q_-=(q_1-q_2)/\sqrt2, junto con momentos P+=(p1+p2)/2P_+=(p_1+p_2)/\sqrt2 y P−=(p1−p2)/2P_-=(p_1-p_2)/\sqrt2. La transformación preserva las relaciones canónicas porque se aplica la misma base ortogonal a posiciones y momentos.

Al sustituirlas, el hamiltoniano se separa en la forma

H=P+22m+kQ+22⏟H++P−22m+(k+2c)Q−22⏟H−.H=\underbrace{\frac{P_+^2}{2m}+\frac{kQ_+^2}{2}}_{H_+}+\underbrace{\frac{P_-^2}{2m}+\frac{(k+2c)Q_-^2}{2}}_{H_-}.

Los modos tienen frecuencias ω+=k/m\omega_+=\sqrt{k/m} y ω−=(k+2c)/m\omega_-=\sqrt{(k+2c)/m}. En el primero, las masas oscilan juntas; en el segundo, lo hacen en oposición. Las energías modales H+H_+ y H−H_- se conservan por separado porque la transformación ha desacoplado la dinámica lineal. La energía total es su suma.

Este ejemplo muestra cómo una representación adecuada convierte una interacción aparente entre coordenadas en dos movimientos independientes. En sistemas no lineales, las transformaciones que desacoplan completamente los modos pueden no existir; incluso si la aproximación lineal los separa, términos no lineales pueden permitir transferencia de energía. Esa dificultad lleva a las resonancias, los toros invariantes y el transporte caótico, que se estudian en los próximos capítulos.

111.14. Disipación, forzamiento y los límites de la descripción conservativa

Un oscilador amortiguado satisface mq¨+γq˙+kq=0m\ddot q+\gamma\dot q+kq=0, con γ>0\gamma>0. Si definimos la energía mecánica E=12mq˙2+12kq2E=\tfrac12m\dot q^2+\tfrac12kq^2, derivarla a lo largo de la solución da

dEdt=q˙(mq¨+kq)=−γq˙2≤0.\frac{dE}{dt}=\dot q(m\ddot q+kq)=-\gamma\dot q^2\le0.

Salvo en instantes con velocidad nula, la energía disminuye. El oscilador se aproxima al equilibrio, en contraste con la familia de elipses de energía constante del caso ideal. En las variables habituales (q,p=mq˙)(q,p=m\dot q), el campo amortiguado tiene divergencia negativa −γ/m-\gamma/m, mientras que un flujo hamiltoniano canónico tiene divergencia nula. Por eso, el oscilador amortiguado ordinario solo admite una formulación hamiltoniana autónoma canónica si se modifica el modelo o se amplía la representación.

Hay formulaciones ampliadas o dependientes del tiempo que incorporan ciertas dinámicas disipativas en marcos hamiltonianos, pero el subsistema mecánico sigue perdiendo energía. El adjetivo hamiltoniano debe ir acompañado, entonces, de la especificación del espacio de estados y de la estructura usada; una equivalencia formal construida sobre variables auxiliares no autoriza a declarar conservada la energía mecánica del sistema observado.

El forzamiento periódico es otro caso. Si H(q,p,t)H(q,p,t) depende de un parámetro externo periódico, todavía satisface las ecuaciones canónicas y conserva localmente la estructura simpléctica del plano (q,p)(q,p) para cada intervalo temporal, aunque el valor de HH no tiene por qué permanecer constante. Al considerar la fase del forzamiento como variable, puede construirse una representación autónoma ampliada con un momento conjugado adicional. La distinción entre autonomía, conservación energética y estructura geométrica volverá a usarse al estudiar los mapas que preservan área y el caos hamiltoniano.

111.15. Una comprobación computacional reproducible

Incluso cuando las ecuaciones diferenciales conservan energía exactamente, una aproximación numérica puede no hacerlo. Consideremos el oscilador con m=k=1m=k=1, q(0)=1q(0)=1, p(0)=0p(0)=0. El método de Euler explícito actualiza qn+1=qn+hpnq_{n+1}=q_n+hp_n y pn+1=pn−hqnp_{n+1}=p_n-hq_n. Su energía numérica cumple Hn+1=(1+h2)HnH_{n+1}=(1+h^2)H_n, de modo que aumenta en cada paso para cualquier h>0h>0. El incremento se debe solo al algoritmo.

La comparación usa el método de Euler simpléctico, que actualiza primero el momento según pn+1=pn−hqnp_{n+1}=p_n-hq_n y después la posición según qn+1=qn+hpn+1q_{n+1}=q_n+hp_{n+1}. Este procedimiento conserva el área del plano canónico, aunque no exactamente la energía mecánica original. Para 0<h<20<h<2, las trayectorias del oscilador permanecen acotadas y la energía oscila sin la deriva sistemática del Euler explícito.

import numpy as np

h, pasos = 0.1, 1000

def energia(q, p):
    return 0.5 * (q*q + p*p)

for metodo in ('euler', 'euler_simplectico'):
    q, p = 1.0, 0.0
    energias = [energia(q, p)]
    for _ in range(pasos):
        if metodo == 'euler':
            q, p = q + h*p, p - h*q
        else:
            p = p - h*q
            q = q + h*p
        energias.append(energia(q, p))
    print(metodo, energias[0], energias[-1], max(energias))

La comparación muestra que un error de discretización puede destruir una propiedad geométrica aunque las ecuaciones escritas en papel sean correctas. En problemas conservativos, especialmente cuando interesa la evolución a largo plazo, el criterio de elección del integrador no debería limitarse al error local de una sola trayectoria durante pocos pasos.

111.16. Ejercicios resueltos e interpretación

Ejercicio 1. Momento angular de un péndulo. Sea m=3 kgm=3\,\mathrm{kg}, ℓ=2 m\ell=2\,\mathrm m, θ˙=0,5 s−1\dot\theta=0,5\,\mathrm{s}^{-1}. Calcular el momento conjugado. Usamos pθ=mℓ2θ˙p_\theta=m\ell^2\dot\theta, de modo que pθ=3⋅4⋅0,5=6 kg m2/sp_\theta=3\cdot4\cdot0,5=6\,\mathrm{kg\,m^2/s}. No sería correcto expresarlo en kg m/s\mathrm{kg\,m/s}, unidades propias de momento lineal. La diferencia proviene de la coordenada angular.

Ejercicio 2. Primera integral de un sistema autónomo. Para H(q,p)=p2/(2m)+λq4/4H(q,p)=p^2/(2m)+\lambda q^4/4, con m,λ>0m,\lambda>0, escribir las ecuaciones y verificar la conservación. Se obtiene q˙=p/m\dot q=p/m y p˙=−λq3\dot p=-\lambda q^3. Entonces H˙=(λq3)(p/m)+(p/m)(−λq3)=0\dot H=(\lambda q^3)(p/m)+(p/m)(-\lambda q^3)=0. El resultado no depende de que las órbitas sean elipses; el potencial cuártico cambia su forma, pero no elimina la integral energética.

Ejercicio 3. Coordenada cíclica. Para H(r,φ,pr,pφ)=pr2/(2m)+pφ2/(2mr2)+V(r)H(r,\varphi,p_r,p_\varphi)=p_r^2/(2m)+p_\varphi^2/(2mr^2)+V(r), demostrar que pφp_\varphi se conserva. Como ∂H/∂φ=0\partial H/\partial\varphi=0, la segunda ecuación canónica da p˙φ=0\dot p_\varphi=0. La conclusión requiere que el potencial sea central y que no aparezca dependencia angular oculta en otros términos.

Ejercicio 4. Hamiltoniano con parámetro temporal. Tomemos H(q,p,t)=p2/(2m)+12k(t)q2H(q,p,t)=p^2/(2m)+\frac12 k(t)q^2. ¿Conserva HH? Las ecuaciones son q˙=p/m\dot q=p/m y p˙=−k(t)q\dot p=-k(t)q, de donde dH/dt=12k˙(t)q2dH/dt=\frac12\dot k(t)q^2. En general no hay conservación. Cuando kk cambia, un agente externo modifica las condiciones del oscilador y puede intercambiar energía con él.

Ejercicio 5. Una transformación ilegítima. Considérese L=a(q)q˙−V(q)L=a(q)\dot q-V(q). ¿Por qué no basta escribir H=pq˙−LH=p\dot q-L y sustituir p=a(q)p=a(q)? Porque la relación entre momento y velocidad no determina q˙\dot q como función de (q,p)(q,p). Hay una restricción primaria p−a(q)=0p-a(q)=0 y la transformación de Legendre ordinaria es singular. Debemos usar una formulación de restricciones o reconsiderar la descripción de los grados de libertad.

111.17. Alcance de la formulación hamiltoniana

La transformación de Legendre es el paso que conecta una formulación lagrangiana regular con las ecuaciones de Hamilton. Las coordenadas generalizadas se complementan con momentos conjugados y la evolución queda escrita como un sistema de primer orden. En el oscilador, el péndulo y el problema orbital, el espacio de fases permite reconocer conjuntos invariantes y estudiar la relación entre simetrías y cantidades conservadas.

La notación requiere interpretación en cada modelo. El momento canónico puede diferir del momento mecánico, como ocurre cuando interviene un potencial vector. La función hamiltoniana coincide con la energía en clases importantes de sistemas, pero esa identificación depende del lagrangiano y de su dependencia temporal. En un sistema de varios grados de libertad, la conservación de HH no implica integrabilidad.

Los ejemplos preparan el estudio geométrico de los flujos hamiltonianos. Una misma familia de trayectorias puede expresarse mediante coordenadas canónicas diferentes; lo que permanece bajo esas transformaciones es una estructura matemática que restringe la evolución y cuyo efecto va más allá de la conservación de una cantidad escalar.

Referencias