Estructura simpléctica y conservación de volumen

Año 2 · Módulo 12 · Nivel F

112.1. Por qué conservar energía no agota el problema

Una región pequeña de condiciones iniciales puede deformarse considerablemente bajo la evolución de un sistema hamiltoniano. Puede alargarse en una dirección y estrecharse en otra, incluso hasta adquirir una forma muy complicada. Sin embargo, su evolución conserva restricciones geométricas precisas. En el plano formado por una coordenada canónica y su momento, el área se preserva; con varios grados de libertad entra en juego una estructura más exigente, la forma simpléctica.

Pensemos en un conjunto de osciladores ideales cuyas posiciones y momentos iniciales difieren ligeramente. Después de cierto tiempo, algunos puntos del conjunto pueden estar mucho más separados que al comienzo. Esa separación no contradice la conservación del área canónica. La generalización a dimensiones superiores requiere distinguir la mera conservación del volumen de la condición simpléctica completa.

Esta distinción es necesaria para analizar trayectorias irregulares. Una dinámica conservativa puede producir sensibilidad a las condiciones iniciales, pliegues y estiramientos del espacio de fases sin ser un flujo disipativo. También explica por qué ciertos algoritmos numéricos, aun cuando parezcan conservar la energía durante un intervalo breve, pueden deformar de manera incorrecta la estructura a largo plazo. Verificaremos la identidad simpléctica antes de recurrir a ejemplos de mayor dimensión.

Una forma simpléctica es una forma bilineal antisimétrica y no degenerada definida sobre espacios tangentes de dimensión par. No define las distancias ordinarias de una métrica. Su preservación por la evolución hamiltoniana establece una restricción geométrica precisa que puede expresarse mediante la matriz canónica $J$. Esta propiedad sirve para analizar los flujos y evaluar los algoritmos que los aproximan.

112.2. Dimensiones del espacio de configuraciones y del espacio de fases

Un sistema mecánico con $n$ grados de libertad tiene $n$ coordenadas generalizadas $q=(q_1,\ldots,q_n)$. Su espacio de configuraciones puede ser localmente una región de $\mathbb R^n$, pero también puede poseer topología no trivial. El ángulo de un péndulo, por ejemplo, pertenece a un círculo, porque $\theta$ y $\theta+2\pi$ son la misma configuración. Describir ese sistema como una recta infinita sin identificar ángulos equivalentes duplica artificialmente configuraciones físicas.

La descripción hamiltoniana añade los momentos conjugados $p=(p_1,\ldots,p_n)$. Cada estado canónico local es un punto $z=(q,p)$, de dimensión $2n$. Para un péndulo, el espacio de fases global es un cilindro, pues combina un ángulo periódico y un momento real. Para dos osciladores, el espacio canónico local tiene cuatro dimensiones; una gráfica bidimensional muestra entonces solo una proyección o una sección de su estado completo.

La construcción geométrica apropiada es el fibrado cotangente del espacio de configuraciones, denotado $T^*Q$. Esta expresión puede parecer innecesaria cuando todos los ejemplos se escriben como pares de números reales, pero aclara por qué el momento se transforma de una forma precisa al cambiar de coordenadas. Una coordenada $q$ describe una posición generalizada; su momento conjugado es un elemento del espacio dual que permite formar cantidades como $p\cdot dq$.

Una región del espacio de fases puede abarcar condiciones iniciales físicamente posibles para un sistema dado. No es una nube material situada en el espacio físico, ni su volumen tiene que medirse en metros cúbicos. Para una sola coordenada lineal, el área $dq\,dp$ tiene dimensiones de acción; para varios grados de libertad, el volumen de fase tiene unidades de acción elevadas a $n$.

112.3. La forma simpléctica canónica

En coordenadas canónicas introducimos la forma diferencial

El símbolo $\wedge$ indica un producto exterior. En el caso de una coordenada, $dq\wedge dp$ actúa sobre dos desplazamientos infinitesimales $u=(u_q,u_p)$ y $v=(v_q,v_p)$ mediante $\omega(u,v)=u_qv_p-u_pv_q$. Este valor es el determinante de la matriz formada por ambos vectores, con una orientación fijada. Si intercambiamos $u$ y $v$, cambia el signo. Cuando son paralelos, vale cero.

La forma es no degenerada; si un vector $u$ satisface $\omega(u,v)=0$ para todo $v$, necesariamente $u=0$. Solo en dimensión par puede una forma como esta tener esa propiedad, ya que en dimensión impar no existe una forma bilineal antisimétrica no degenerada.

En la base ordenada $z=(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n)$, escribimos

La matriz $J$ satisface $J^{\mathsf T}=-J$, $J^2=-I_{2n}$ y $J^{-1}=-J$. En estas expresiones, $I_n$ es la matriz identidad de tamaño $n$. La convención de signos debe indicarse, porque otros textos emplean $\sum_i dp_i\wedge dq_i$ y modifican coherentemente las ecuaciones derivadas. Las conclusiones físicas no dependen de esa elección, pero mezclar convenciones dentro de una derivación altera los resultados.

La forma simpléctica restringe la evolución más fuertemente que la conservación de volumen. En cuatro dimensiones, por ejemplo, evalúa las áreas orientadas de distintas parejas de direcciones tangentes, además de la medida total de un conjunto. De ahí que preservar volumen no sea, en general, condición suficiente para preservar la estructura simpléctica.

112.4. El campo hamiltoniano definido por la geometría

Sea $H(q,p,t)$ una función diferenciable. Su diferencial espacial es $dH=\sum_i(H_{q_i}dq_i+H_{p_i}dp_i)$. Definimos el campo hamiltoniano $X_H$ mediante la relación

La no degeneración de $\omega$ garantiza que esta relación determina un campo único. Con la matriz anterior, el resultado es

Se recuperan así las ecuaciones de Hamilton, $\dot z=X_H(z,t)$. Intervienen dos objetos distintos. La forma $\omega$ da la estructura geométrica de los cambios canónicos; la función $H$ selecciona, dentro de esa estructura, una dinámica concreta. Dos sistemas con hamiltonianos diferentes pueden conservar la misma forma simpléctica sin compartir períodos, trayectorias ni superficies de energía.

El campo hamiltoniano es perpendicular al gradiente de $H$ en el sentido euclidiano de estas coordenadas, porque $\nabla H\cdot J\nabla H=0$. Para un hamiltoniano autónomo se obtiene inmediatamente $dH/dt=0$. Esa perpendicularidad depende de la métrica euclidiana de las coordenadas elegidas, mientras que la formulación simpléctica tiene sentido intrínseco.

Si $H$ depende explícitamente del tiempo, el campo $X_H(\cdot,t)$ cambia con él. La geometría sigue siendo válida en cada instante. La conservación de $\omega$ que demostraremos no requiere que el hamiltoniano sea autónomo, aunque la conservación de su valor sí exige una condición temporal adicional. Esta separación se usará para entender el mapa de Poincaré de un sistema forzado periódicamente.

112.5. Qué significa que un flujo sea simpléctico

Denotemos por $\Phi_t$ el flujo de un sistema hamiltoniano autónomo, de modo que $\Phi_t(z_0)$ es el estado alcanzado después de tiempo $t$ desde $z_0$. Para un sistema dependiente del tiempo se usa una evolución de dos tiempos, $\Phi_{t,t_0}$, que cumple el mismo papel entre un instante inicial y otro final.

La propiedad simpléctica significa que, cuando el flujo está definido y es diferenciable,

El símbolo de extracción hacia atrás $\Phi_t^*$ expresa que el área orientada simpléctica de dos desplazamientos iniciales coincide con la evaluada sobre sus imágenes mediante la evolución. Si $M(t,z_0)=D\Phi_t(z_0)$ es la matriz derivada del flujo, la condición en coordenadas canónicas equivale a

Una matriz es simpléctica cuando satisface la identidad indicada. En este contexto, $M$ es el diferencial del flujo respecto de sus condiciones iniciales y describe la evolución de perturbaciones pequeñas. No debe identificarse con la hessiana del hamiltoniano ni con la matriz del campo lineal, salvo en circunstancias específicas.

Si una perturbación inicial apunta en la dirección $u$ y otra en $v$, después de evolucionar sus imágenes lineales aproximadas son $Mu$ y $Mv$. Entonces $\omega(Mu,Mv)=u^{\mathsf T}M^{\mathsf T}JMv=\omega(u,v)$. Las distancias $|Mu|$ y $|Mv|$ pueden variar mucho; la igualdad impone una relación sobre la combinación antisimétrica de esas dos direcciones. Preservar esa relación no obliga a que el flujo sea una rotación rígida.

112.6. Demostración local mediante ecuaciones variacionales

La identidad simpléctica puede demostrarse directamente sin introducir un teorema geométrico abstracto. Partimos de $\dot z=J\nabla H(z,t)$. Las perturbaciones infinitesimales satisfacen la ecuación variacional $\dot{\delta z}=A(t)\delta z$, donde $A(t)=J K(t)$ y $K(t)=D_z^2H(z(t),t)$ es la matriz hessiana del hamiltoniano evaluada sobre la trayectoria.

Si $H$ es suficientemente suave, $K^{\mathsf T}=K$. La matriz fundamental $M$ satisface $\dot M=A M$ y $M(t_0)=I$. Derivamos el producto relevante

Dado que $A=JK$, $J^{\mathsf T}=-J$ y $J^2=-I$, resulta $A^{\mathsf T}J+JA=0$. Por consiguiente, la derivada del producto es cero. Como inicialmente $M^{\mathsf T}JM=J$, esa identidad se conserva mientras la solución y su derivada estén definidas.

La demostración requiere únicamente la simetría del hessiano y la estructura canónica. No exige linealidad global del movimiento ni ausencia de caos. También funciona para hamiltonianos dependientes del tiempo, porque el cálculo usa la matriz hessiana espacial evaluada en cada instante.

Una segunda demostración usa las propiedades de las formas diferenciales. Como $d\omega=0$ y $\iota_{X_H}\omega=dH$, la fórmula de Cartan da $\mathcal L_{X_H}\omega=d(\iota_{X_H}\omega)+\iota_{X_H}(d\omega)=d(dH)=0$. La derivada de Lie nula indica que $\omega$ es transportada sin cambio por el flujo.

112.7. Del área simpléctica al teorema de Liouville

Para un grado de libertad, la igualdad $M^{\mathsf T}JM=J$ implica $\det M=1$. Por lo tanto, la evolución conserva áreas orientadas del plano $(q,p)$. Con varios grados de libertad, la forma de volumen asociada a $\omega$ es, salvo la orientación convencional,

que es la medida canónica $dq_1\cdots dq_n\,dp_1\cdots dp_n$. Los flujos hamiltonianos conservan esta medida; es una formulación del teorema de Liouville de la mecánica clásica.

Existe una demostración directa mediante divergencia. Para $\dot q_i=H_{p_i}$ y $\dot p_i=-H_{q_i}$, calculamos

por la igualdad de las derivadas parciales mixtas. Por la fórmula de evolución del jacobiano de un flujo, su determinante permanece en uno. En consecuencia, si $D$ es una región medible cuyas imágenes están bien definidas, el volumen de $\Phi_t(D)$ coincide con el de $D$.

Esta conservación no impide que la región se vuelva extremadamente alargada, plegada o filamentosa. Tampoco implica que su proyección sobre un subconjunto de variables conserve el área o el volumen proyectado. En un sistema de cuatro dimensiones, por ejemplo, podemos observar solo dos coordenadas. La dispersión proyectada puede contraerse aunque el volumen total y la forma simpléctica del espacio completo se preserven.

Si una densidad de probabilidad $\rho(z,t)$ describe un conjunto de condiciones iniciales, la ecuación de continuidad es $\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho X_H)=0$. Como $\nabla\cdot X_H=0$, sigue $\partial_t\rho+X_H\cdot\nabla\rho=0$. La densidad fina se conserva a lo largo de las trayectorias. Esto no implica que una densidad suavizada a escala macroscópica permanezca sin cambios, porque, al ignorar filamentos pequeños, una descripción gruesa puede mostrar relajación aparente.

112.8. El oscilador armónico como transformación simpléctica explícita

Volvamos a $H=p^2/(2m)+kq^2/2$, con $\Omega=\sqrt{k/m}$. Las ecuaciones $\dot q=p/m$ y $\dot p=-kq$ tienen solución matricial

El determinante de $M(t)$ es $\cos^2(\Omega t)+\sin^2(\Omega t)=1$. También podemos comprobar directamente $M^{\mathsf T}JM=J$. Como solo tenemos un grado de libertad, ambas condiciones son equivalentes para matrices reales de $2\times2$. El sistema conserva tanto el área canónica como la energía, pero esas dos propiedades provienen de argumentos conceptualmente diferentes.

Un pequeño rectángulo de condiciones iniciales puede rotar y deformarse en coordenadas $(q,p)$. Si dibujamos coordenadas reescaladas $Q=\sqrt{m\Omega}\,q$ y $P=p/\sqrt{m\Omega}$, entonces $dQ\wedge dP=dq\wedge dp$ y el hamiltoniano se convierte en $H=\frac\Omega2(Q^2+P^2)$. En las variables reescaladas, el flujo es una rotación ordinaria de ángulo $\Omega t$. La forma circular de las órbitas es una ventaja de estas coordenadas; en general, los diagramas hamiltonianos no la tienen.

La conservación de energía se ve en $Q^2+P^2=2H/\Omega$, mientras que la conservación de área se aprecia en que la rotación tiene determinante uno. Un hamiltoniano distinto podría deformar la región sin preservar circunferencias ni la métrica euclidiana; la identidad simpléctica seguiría vigente.

112.9. Estiramiento, compresión y sensibilidad a condiciones iniciales

Consideremos un mapa lineal en el plano de fases definido por $Q=\lambda q$ y $P=p/\lambda$, con $\lambda>1$. Su matriz es $S=\operatorname{diag}(\lambda,\lambda^{-1})$. El mapa expande distancias horizontales y comprime las verticales, pero su determinante es uno y satisface $S^{\mathsf T}JS=J$. Un cuadrado de área inicial uno se convierte en un rectángulo de ancho $\lambda$ y altura $1/\lambda$, que tiene la misma área.

Esta posibilidad explica por qué preservar volumen no exige que todas las trayectorias vecinas permanezcan próximas. En un sistema caótico conservativo, perturbaciones pequeñas pueden amplificarse exponencialmente en ciertas direcciones. La conservación de volumen solo obliga a que esas tasas de crecimiento se compensen geométricamente. En un flujo hamiltoniano autónomo regular, la dirección tangente a una trayectoria puede presentar un exponente de Lyapunov nulo bajo hipótesis apropiadas; las estructuras de exponentes y sus pares se analizarán con mayor rigor al tratar el caos conservativo.

Que haya expansión local no implica comportamiento caótico global. El mapa lineal de estiramiento anterior tiene crecimiento exponencial en una dirección, pero carece de la mezcla global y de la recurrencia compleja propias de muchos conjuntos caóticos. Un mecanismo de plegamiento, una región invariante y propiedades globales adicionales pueden ser decisivos. En otros sistemas, una silla hiperbólica produce estiramiento local intenso sin que todas las trayectorias cercanas formen un atractor extraño.

A diferencia de los sistemas disipativos, el campo hamiltoniano canónico no puede comprimir continuamente una región abierta de volumen positivo hasta una órbita atractora de volumen nulo dentro de un dominio finito mediante una evolución regular que conserve volumen. Ello no impide que una proyección parcial parezca concentrarse, ni que existan estructuras estables de dimensión menor o aproximaciones a subconjuntos especiales desde variedades invariantes. Toda afirmación de este tipo debe especificar el espacio completo y el tipo de estabilidad considerado.

112.10. Preservar volumen no equivale a ser simpléctico

En el plano canónico de un grado de libertad, una matriz real invertible $2\times2$ es simpléctica exactamente cuando su determinante vale uno. Esta coincidencia deja de ser cierta a partir de dos grados de libertad. Una transformación de cuatro dimensiones puede conservar volumen y alterar las parejas canónicas.

Tomemos variables $(q_1,q_2,p_1,p_2)$ y la transformación

Su matriz jacobiana tiene determinante $2\cdot\frac12\cdot1\cdot1=1$. La transformación conserva volumen cuatridimensional. Sin embargo, $dQ_1\wedge dP_1=2dq_1\wedge dp_1$ y $dQ_2\wedge dP_2=\frac12dq_2\wedge dp_2$. La suma no coincide con la forma original. Los corchetes canónicos también lo muestran, pues $\{Q_1,P_1\}=2$, cuando debería valer uno.

Esta transformación conserva, por tanto, el volumen sin ser simpléctica. Este contraejemplo impide interpretar el teorema de Liouville como una caracterización completa de la dinámica hamiltoniana. Liouville es una consecuencia de la estructura simpléctica; el recíproco es falso cuando el espacio tiene dimensión mayor que dos.

En dos dimensiones, la afirmación requiere mantener explícitas sus hipótesis. La coincidencia entre conservación local de área orientada y condición simpléctica se formula para mapas diferenciables con la orientación adecuada en coordenadas canónicas. A escala global, decidir si un campo simpléctico proviene de una función hamiltoniana global puede depender de propiedades topológicas del espacio de fases.

Figura 112.1. El flujo de $H=p^2/2$ lleva $(q_0,p_0)$ a $(q_0+tp_0,p_0)$: cambia la forma de una región del plano canónico sin alterar su área orientada. El jacobiano cumple $M^{\mathsf T}JM=J$ y $\det M=1$. En cuatro dimensiones se comparan la matriz simpléctica $\operatorname{diag}(2,1,1/2,1)$ y $\operatorname{diag}(2,1/2,1,1)$, que conserva volumen pero incumple la identidad simpléctica.

112.11. Transformaciones canónicas y cambios de variables legítimos

Una transformación de coordenadas en el espacio de fases es canónica cuando preserva la forma simpléctica. En una dimensión, el cambio $Q=aq$, $P=p/a$, con $a\ne0$, cumple $dQ\wedge dP=dq\wedge dp$. El estiramiento de una coordenada exige la transformación recíproca del momento. Si en cambio tomáramos $Q=aq$, $P=ap$, obtendríamos $dQ\wedge dP=a^2dq\wedge dp$, que solo es canónica en el caso real $a^2=1$.

Otra transformación es $Q=q$, $P=p+aq$. En ella $dQ\wedge dP=dq\wedge(dp+a\,dq)=dq\wedge dp$, porque $dq\wedge dq=0$. Este mapa es una cizalla, que conserva el área orientada aunque cambie la forma de una región. Las transformaciones canónicas permiten simplificar hamiltonianos, separar movimientos y construir variables adaptadas a resonancias.

Las ecuaciones de Hamilton conservan su estructura cuando se expresan en coordenadas canónicas nuevas y se transforma el hamiltoniano de manera correspondiente. Si el cambio de variables depende explícitamente del tiempo, la nueva función generadora de la evolución puede requerir un término adicional. Ignorar ese término puede producir ecuaciones incorrectas incluso si el cambio conserva la forma simpléctica a tiempo fijo.

En dos osciladores acoplados, el cambio a modos normales se hace con una transformación ortogonal aplicada tanto a posiciones como a momentos. Ese cambio es canónico y explica por qué el problema siguió siendo hamiltoniano después de diagonalizarlo. Lo decisivo era que respetara las parejas conjugadas; su ortogonalidad es secundaria, porque existe una clase mucho más amplia de transformaciones canónicas no ortogonales.

112.12. Corchetes de Poisson y estructura simpléctica

La estructura simpléctica admite una descripción algebraica. Para funciones suaves $F(q,p)$ y $G(q,p)$, definimos el corchete de Poisson

Su antisimetría, $\{F,G\}=-\{G,F\}$, es inmediata. También satisface la identidad de Jacobi y la regla de Leibniz, propia de una derivación sobre productos. Esta última establece $\{F,\{G,K\}\}+\{G,\{K,F\}\}+\{K,\{F,G\}\}=0$. Con estas tres propiedades, los observables suaves forman una estructura algebraica útil para estudiar conservaciones y simetrías.

En coordenadas canónicas, $\{q_i,p_j\}=\delta_{ij}$. Una transformación $(q,p)\mapsto(Q,P)$ es localmente canónica cuando conserva las relaciones $\{Q_i,Q_j\}=0$, $\{P_i,P_j\}=0$ y $\{Q_i,P_j\}=\delta_{ij}$. Este criterio es equivalente, para cambios regulares, a la condición matricial simpléctica. Permite evaluar transformaciones sin calcular explícitamente todas las imágenes de áreas orientadas.

Si $F$ es un observable sin dependencia temporal explícita, su evolución cumple $\dot F=\{F,H\}$. Una función que conmuta con $H$ mediante el corchete se conserva. Sin embargo, dos cantidades conservadas no conmutan necesariamente entre sí. La integrabilidad de Liouville exige, en su formulación habitual para $n$ grados de libertad, $n$ integrales independientes en involución sobre las regiones regulares relevantes. Este requisito se estudiará con detalle al introducir variables de acción y ángulo.

Las relaciones canónicas también ayudan a separar propiedades físicas de artefactos de las coordenadas. Bajo un cambio no canónico, las ecuaciones pueden seguir teniendo una descripción hamiltoniana, pero la forma simpléctica dejará de verse como $\sum dq_i\wedge dp_i$ en las variables nuevas. Usar automáticamente la matriz $J$ estándar después de cualquier cambio de variables equivale a modificar la estructura dinámica sin justificación.

112.13. Teorema de Liouville, recurrencia y equilibrio estadístico

La conservación de volumen suele invocarse para justificar la recurrencia de Poincaré, aunque la conexión necesita hipótesis adicionales. Si una transformación preserva una medida finita sobre una región invariante, el teorema de recurrencia afirma que casi todo punto de esa región retorna arbitrariamente cerca de su estado inicial infinitas veces. La expresión casi todo tiene el sentido de la teoría de la medida; puede haber excepciones, siempre que formen un conjunto de medida nula.

Un espacio de fases no compacto con volumen infinito no satisface, en general, esas hipótesis. Ser hamiltoniano tampoco garantiza que todas las trayectorias regresen a cualquier vecindad del estado inicial. En un sistema con escape hacia el infinito, la existencia de una medida conservada no impide ese escape. Los tiempos de recurrencia, por otra parte, pueden superar ampliamente cualquier ventana de observación experimental o computacional.

El teorema de recurrencia no afirma que una trayectoria visite todas las regiones energéticamente accesibles. Esa es una cuestión de ergodicidad, que exige condiciones distintas. Un sistema integrable puede conservar volumen y tener trayectorias confinadas a toros invariantes que nunca recorren la totalidad de la superficie energética. También pueden coexistir regiones regulares y caóticas dentro de un mismo sistema conservativo.

Para sistemas autónomos, la conservación de $H$ restringe la evolución a una superficie energética. Cuando ese nivel es regular, tiene dimensión $2n-1$, de modo que su volumen ordinario en el ambiente $2n$-dimensional es nulo. Por ello no se debe aplicar ingenuamente el argumento de volumen completo a la propia superficie energética. La mecánica estadística usa medidas invariantes apropiadas, entre ellas construcciones microcanónicas, definidas con cuidado sobre conjuntos energéticos.

La aproximación al equilibrio termodinámico introduce además coarse-graining, hipótesis probabilísticas y, con frecuencia, una descripción de subsistemas. El teorema de Liouville no implica que una distribución fina converja punto a punto hacia una densidad uniforme. Una región puede volverse filamentosa hasta que los observables macroscópicos no distingan sus detalles. El volumen conservado no desaparece matemáticamente, aunque esos detalles sean inaccesibles a escala gruesa.

112.14. Caos conservativo sin atractores disipativos ordinarios

En sistemas disipativos, las trayectorias de una región abierta pueden converger hacia un atractor de dimensión menor. En un sistema hamiltoniano canónico, la conservación de volumen impide una contracción de ese tipo en el espacio de fases completo cuando las hipótesis habituales de regularidad y confinamiento se cumplen. Ello modifica la interpretación de los diagramas de bifurcación, las cuencas y los exponentes de Lyapunov.

Consideremos un sistema autónomo de un grado de libertad. Su espacio de fases tiene dos dimensiones; los niveles regulares de energía son curvas unidimensionales. Bajo condiciones ordinarias, la dinámica queda fuertemente limitada por esa integral. La aparición de un atractor extraño con una cuenca abierta es incompatible con la estructura hamiltoniana de ese problema. Las trayectorias no tienen por qué ser todas periódicas, ya que puede haber separatrices, movimientos no acotados o soluciones que se aproximen a equilibrios inestables sobre conjuntos especiales.

Con dos grados de libertad autónomos, el espacio de fases tiene cuatro dimensiones y una superficie de energía regular tiene tres. Esa dimensión permite una organización geométrica bastante más compleja, con toros invariantes, órbitas periódicas inestables y regiones de movimiento caótico. La conservación de energía y la preservación simpléctica siguen vigentes, pero no impiden que existan trayectorias con sensibilidad exponencial a condiciones iniciales.

Un sistema de un grado de libertad sometido a forzamiento periódico también puede mostrar caos. Aunque sus variables mecánicas sean $(q,p)$, el mapa estroboscópico obtenido cada período del forzamiento es bidimensional y conserva área bajo las hipótesis hamiltonianas. La dependencia temporal impide usar un único nivel de energía mecánica constante para reducir el movimiento del mismo modo que en el caso autónomo. Esta diferencia prepara el estudio del mapa estándar y de los sistemas hamiltonianos perturbados.

112.15. Distinción numérica entre Euler explícito y Euler simpléctico

El oscilador $H=(p^2+q^2)/2$ es un banco de pruebas en el que todo es verificable. Euler explícito con paso $h$ produce

El determinante de $E_h$ vale $1+h^2>1$. No es simpléctico. Como además $E_h^{\mathsf T}E_h=(1+h^2)I$, se tiene $H_{n+1}=(1+h^2)H_n$. Si $h=0,1$ y partimos de energía $H_0=0,5$, después de mil pasos la energía alcanza aproximadamente $10\,479,58$ unidades. La energía del oscilador físico permanece constante, así que todo el crecimiento proviene del integrador.

Euler simpléctico en la variante que actualiza primero el momento usa

Su matriz es

En un grado de libertad, esto basta para verificar su carácter simpléctico. No preserva exactamente $H$, pero sí el invariante cuadrático modificado $\widetilde H=(q^2+p^2-hqp)/2$. Para $0<h<2$, ese cuadrático es definido positivo y, por tanto, las órbitas numéricas son acotadas. La energía física calculada en los puntos discretos oscila dentro de una banda, sin el crecimiento geométrico incontrolado de Euler explícito.

La preservación de la forma simpléctica no garantiza precisión en todos los plazos ni para cualquier tamaño de paso. Un integrador simpléctico puede producir resultados pobres si el paso es demasiado grande o si no resuelve escalas dinámicas importantes. La estabilidad y las estimaciones de error siguen siendo indispensables. Su ventaja es conservar una organización geométrica que los métodos generales pueden destruir; por eso suele comportarse mejor, en lo cualitativo, durante simulaciones largas de sistemas hamiltonianos.

Figura 112.2. Comparación numérica para $H=(q^2+p^2)/2$, $h=0{,}1$ y 200 pasos desde $(q,p)=(1,0)$. Euler explícito aumenta la energía desde $0{,}5$ hasta aproximadamente $3{,}658$ y amplía el área por un factor cercano a $7{,}316$. Euler simpléctico conserva el área y el invariante modificado $\widetilde H=(q^2+p^2-hqp)/2$; la energía física oscila dentro de una banda acotada para el intervalo mostrado.

112.16. Ejemplo de cuatro dimensiones con dos osciladores desacoplados

Supongamos $H=(p_1^2+\omega_1^2q_1^2)/2+(p_2^2+\omega_2^2q_2^2)/2$, con masas reescaladas a la unidad. Las ecuaciones canónicas separan dos osciladores independientes. Sus soluciones tienen frecuencias $\omega_1$ y $\omega_2$. En el espacio completo $(q_1,q_2,p_1,p_2)$, el flujo es el producto de dos movimientos elípticos, cada uno de los cuales conserva el área canónica.

Si la razón $\omega_1/\omega_2$ es racional, las trayectorias con ambos modos excitados son periódicas. Si es irracional, una trayectoria típica con amplitudes fijas recorre densamente un toro bidimensional definido por sus dos energías modales. En ninguno de los dos casos aparece automáticamente una mezcla ergódica sobre toda una superficie de energía de tres dimensiones. El sistema preserva volumen cuatridimensional, pero la dinámica queda confinada por integrales adicionales.

Ahora imaginemos una perturbación que acopla débilmente los dos modos. Las energías modales individuales pueden dejar de ser constantes, aunque el hamiltoniano autónomo total siga conservándose. La estructura simpléctica persiste. Dependiendo del acoplamiento, de las resonancias y de las hipótesis de regularidad, pueden sobrevivir toros invariantes o aparecer regiones caóticas. La conservación de volumen no decide cuál de esos resultados ocurrirá.

Este ejemplo adelanta la razón por la que la teoría KAM, los mapas conservativos y el transporte caótico ocupan capítulos posteriores. El espacio de fases puede contener una organización intermedia entre el orden de una solución completamente integrable y un movimiento ergódico que explore toda la región admisible. Esa organización se estudia mediante invariantes, secciones, resonancias y propiedades de estabilidad; saber que la energía permanece fija dice poco sobre ella.

112.17. Comprobación reproducible con matrices y trayectorias

La prueba computacional verifica el determinante de ambos algoritmos y contrasta sus errores energéticos. No requiere paquetes externos. El invariante modificado de Euler simpléctico se calcula para confirmar que la conservación geométrica tiene aquí una consecuencia algebraica concreta, más informativa que observar una gráfica de energía aparentemente estable.

from math import isclose

h, n = 0.1, 1000

def energia(q, p):
    return (q*q + p*p) / 2

def energia_modificada(q, p):
    return (q*q + p*p - h*q*p) / 2

for metodo in ('explicito', 'simplectico'):
    q, p = 1.0, 0.0
    inicial = energia(q, p)
    mod_inicial = energia_modificada(q, p)
    energias = []
    for _ in range(n):
        if metodo == 'explicito':
            q, p = q + h*p, p - h*q
        else:
            p = p - h*q
            q = q + h*p
        energias.append(energia(q, p))
    det = 1 + h*h if metodo == 'explicito' else 1.0
    print(metodo, 'det=', det, 'H_final=', energias[-1])
    if metodo == 'simplectico':
        assert isclose(energia_modificada(q, p), mod_inicial,
                       rel_tol=1e-10, abs_tol=1e-10)
        print('H_min=', min(energias), 'H_max=', max(energias))
    else:
        assert energias[-1] > inicial

El algoritmo comprueba una identidad en un sistema modelo. Para un problema general, la simplecticidad se verifica examinando la matriz jacobiana del paso numérico o usando un método cuya construcción preserve esa propiedad. Una gráfica de energía con error pequeño durante una simulación corta tampoco prueba que el integrador sea simpléctico.

112.18. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1. Comprobar un cambio de escala. Sea $Q=3q$, $P=p/3$. Como $dQ\wedge dP=(3dq)\wedge(dp/3)=dq\wedge dp$, el cambio es canónico. Su jacobiano tiene determinante uno. Aunque la posición se triplique, el volumen canónico permanece constante si el momento se reescala recíprocamente.

Ejercicio 2. Una transformación conservadora de volumen pero no canónica. En cuatro dimensiones, definimos $Q_1=2q_1$, $Q_2=q_2/2$ y $P_i=p_i$. El jacobiano vale uno, pero $\{Q_1,P_1\}=2$, de modo que la transformación no es simpléctica aunque conserve el volumen total.

Ejercicio 3. Probar Liouville para un potencial general. Tomemos $H(q,p)=|p|^2/(2m)+V(q)$, con $q,p\in\mathbb R^n$. El campo es $\dot q=p/m$, $\dot p=-\nabla V(q)$. Su divergencia es $\sum_i\partial(p_i/m)/\partial q_i+\sum_i\partial[-\partial V/\partial q_i]/\partial p_i=0$. El resultado vale para cualquier potencial $V$ suficientemente suave e independiente del momento en esta forma, sin necesidad de calcular una solución explícita.

Ejercicio 4. ¿Puede cambiar la energía sin perder simplecticidad? Sí. En $H(q,p,t)=p^2/2+k(t)q^2/2$, se tiene $dH/dt=\dot k(t)q^2/2$, que no es siempre cero. No obstante, el campo sigue siendo hamiltoniano en $(q,p)$ para cada tiempo; la evolución conserva $dq\wedge dp$. La dependencia temporal no debe confundirse con disipación.

Ejercicio 5. Diagnosticar un integrador. Para el oscilador con $h=0,1$, Euler explícito tiene determinante $1,01$, mientras que Euler simpléctico tiene determinante uno. Después de mil pasos, el primero aumenta la energía de $0,5$ a aproximadamente $10\,479,58$. El segundo preserva exactamente el invariante $(q^2+p^2-0,1qp)/2$ en aritmética exacta. La energía física del segundo método no es constante paso a paso, pero permanece acotada.

112.19. Geometría que debe conservarse

La condición simpléctica obliga al flujo a preservar las áreas orientadas definidas por pares de direcciones canónicas. De ella se desprende la conservación de volumen, expresada por el teorema de Liouville. En dimensiones superiores a dos, un determinante unitario no garantiza la preservación de todas las áreas simplécticas.

En sistemas conservativos, la irregularidad puede coexistir con la preservación geométrica. Las trayectorias pueden separarse de forma sensible y los conjuntos iniciales pueden sufrir deformaciones extensas, siempre que la evolución respete las restricciones geométricas. Por ello, el comportamiento caótico no exige contracción del volumen ni la presencia de un atractor disipativo ordinario.

Los métodos numéricos dan una comprobación tangible. Euler explícito deforma sistemáticamente el área en el oscilador de referencia; una discretización simpléctica conserva la estructura canónica del mapa, aunque no reproduzca exactamente la energía original. Queda por ver qué otras propiedades se conservan en sistemas con suficientes integrales primeras y cómo se organiza el movimiento sobre los conjuntos invariantes que esas integrales definen.

Referencias

• Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2.ª ed.). Springer.
• Cannas da Silva, A. (2001). Lectures on Symplectic Geometry. Springer.
• Marsden, J. E., & Ratiu, T. S. (1999). Introduction to Mechanics and Symmetry (2.ª ed.). Springer.
• Massachusetts Institute of Technology, 8.09. (2014). Classical Mechanics III: Canonical Transformations, Hamilton–Jacobi Equations, and Action-Angle Variables. MIT OpenCourseWare. https://ocw.mit.edu/courses/8-09-classical-mechanics-iii-fall-2014/resources/mit8_09f14_chapter_4/
• Hairer, E., Lubich, C., & Wanner, G. (2003). Geometric numerical integration illustrated by the Störmer–Verlet method. Acta Numerica, 12, 399–450. https://doi.org/10.1017/S0962492902000144
• Hairer, E., Lubich, C., & Wanner, G. (2006). Geometric Numerical Integration (2.ª ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/3-540-30666-8