Vulnerabilidad, recaída y recuperación: definir qué cambia

457.1. Un mismo estado presente admite futuros diferentes

Dos trayectorias pueden coincidir hoy y responder de manera distinta a una misma perturbación posterior. Que el estado observado coincida no basta para identificar los parámetros que gobiernan su evolución. Una persona puede mostrar poca carga actual porque vive en condiciones favorables, mientras otra sostiene ese mismo nivel bajo exigencias mayores. También pueden diferir los mecanismos con que cada una responde a un acontecimiento adverso, o una historia previa que la medición presente no registra. Cuando se habla de vulnerabilidad conviene precisar cuál de estas diferencias se quiere representar, porque cada una conduce a predicciones distintas y exige datos distintos para ser estimada.

Este capítulo trabaja con sistemas ficticios para separar tres componentes. El estado indica dónde se encuentra el sistema en un momento dado. El contexto reúne las entradas o condiciones externas que actúan sobre él. Los parámetros dinámicos determinan cómo responde el estado bajo esas condiciones. La separación es analítica y depende del modelo y de la escala temporal elegidos. Lo que el análisis exige es declarar la representación adoptada y no atribuir a un cambio de estado una modificación del mecanismo sin evidencia adicional. Las unidades de tiempo y de magnitud de todos los ejemplos son ficticias. Los valores se eligieron para facilitar la verificación y no representan escalas clínicas, dosis ni intervenciones reales.

La recuperación también necesita una definición operacional. Puede referirse a una reducción sostenida de las manifestaciones, a la restitución del funcionamiento o a una forma de responder ante nuevas perturbaciones. Estos criterios no son intercambiables. Frank y colaboradores (1991), a partir de un grupo de trabajo convocado por la red de investigación de la Fundación MacArthur sobre la psicobiología de la depresión, documentaron una inconsistencia considerable en el modo en que los estudios describían los puntos de cambio en el curso de la depresión mayor. Propusieron un esquema conceptual para los términos remisión, recuperación, recaída y recurrencia, acompañado de criterios operacionales que presentaron como provisionales. También discutieron cómo evaluar su utilidad mediante reanálisis de datos existentes y estudios nuevos. Ninguno de los umbrales que aparecen en los ejemplos de este capítulo debe leerse como un criterio clínico.

457.2. El retorno lineal como primera aproximación

Considérese una desviación $x$ respecto de un estado de referencia, que vuelve a él mediante una dinámica lineal estable. Una perturbación instantánea fija la desviación inicial en 1 y después no hay nuevas entradas:

La solución es la exponencial decreciente $x(t)=e^{-at}$. El parámetro $a$, que llamaremos tasa de retorno, tiene unidades de inverso del tiempo; su inverso $1/a$ es el tiempo característico del retorno. Dos sistemas pueden estar exactamente en el estado de referencia antes de la perturbación y diferir en esa tasa. Observar el equilibrio no permite estimarla, porque en él la derivada vale cero para cualquier valor positivo de $a$.

Se compararán tasas de 0,5 y 0,1. Ambos parten de cero y reciben el mismo desplazamiento unitario, condición que permite atribuir al parámetro las diferencias de trayectoria dentro del ejemplo. Si las perturbaciones fueran distintas y desconocidas, una desviación mayor podría deberse a una entrada mayor y no a un retorno más lento.

El modelo es deliberadamente local y no contiene cambios de régimen, umbrales clínicos ni una interpretación obligatoria de la variable como síntoma. Sirve para calcular aspectos de la respuesta que una medición estática omite y para examinar qué datos permitirían distinguirlos.

457.3. Amplitud, tiempo y carga acumulada

El tiempo necesario para reducir la desviación al 10 % de su valor inicial se obtiene despejando la exponencial. El área bajo la trayectoria después de la perturbación es el inverso de la tasa:

Los dos sistemas parten de la misma desviación máxima, pero el segundo conserva la perturbación durante más tiempo y acumula un área cinco veces mayor. Una comparación basada solo en el máximo no vería esa diferencia. Una observación aislada en el tiempo 5 sí la detectaría, aunque por sí sola no permitiría separar tasa y amplitud inicial si esta última fuera desconocida. Una desviación de 0,607 en ese instante es compatible con una tasa de 0,1 y amplitud 1 o con una tasa de 0,5 y una amplitud inicial cercana a 7,4.

El área combina magnitud y persistencia, mientras que el tiempo de reducción describe una proporción respecto del valor inicial. Si la perturbación inicial se duplicara, el área se duplicaría y el tiempo de reducción proporcional permanecería igual. Esta propiedad permite distinguir, dentro del modelo lineal, un indicador sensible a la amplitud de otro que depende únicamente de la tasa.

Ninguna de estas cantidades equivale por sí misma a recuperación clínica. Para usarlas como indicadores empíricos habría que justificar la variable observada, la referencia elegida y el significado de la perturbación, además de evaluar si el retorno es aproximadamente exponencial en el rango estudiado.

457.4. Estimar el retorno exige observar la entrada

Si se dispone de dos observaciones positivas de una relajación libre, la tasa puede calcularse a partir de su cociente y del intervalo que las separa:

La fórmula supone que no hubo entradas intermedias y que la referencia está bien especificada. Una perturbación adicional durante el intervalo hace que el cociente mezcle el retorno con la nueva entrada. Una referencia mal elegida desplaza todas las desviaciones en la misma cantidad y altera el cociente aunque la dinámica sea la supuesta.

Cuando la variable se aproxima a cero, el error relativo de medición puede crecer de manera considerable. Un error aditivo pequeño puede incluso cambiar el signo de una observación y hacer imposible aplicar el logaritmo. Aun cuando el error tenga media cero, el logaritmo del cociente es un estimador sesgado, porque la transformación no es lineal. Ajustar directamente la ecuación de balance con un modelo de observación apropiado suele ser preferible a transformar cada par de puntos. Las repeticiones estiman la variabilidad, pero no corrigen una entrada omitida sistemáticamente.

En una trayectoria natural tampoco suelen conocerse el instante exacto ni la amplitud de una perturbación. Tratar un acontecimiento como impulso instantáneo simplifica el cálculo, pero esa simplificación necesita justificación. Si la entrada dura un tiempo comparable al de retorno, el modelo debe representarla como tal.

Un retorno lento observado puede corresponder a una recuperación interna lenta, a una entrada persistente o a una combinación de ambas. Por eso la información sobre las condiciones externas forma parte de la identificación del parámetro que se desea interpretar.

457.5. Mejorar el contexto y cambiar el mecanismo

Añádase una entrada constante $u$ al balance lineal. El equilibrio se sitúa entonces en el cociente entre esa entrada y la tasa de retorno:

Una reducción de la entrada desplaza el equilibrio sin alterar el mecanismo de retorno. Un aumento de la tasa también reduce el equilibrio con la misma entrada. Ambos cambios producen un estado observado más favorable.

Considérese un sistema con entrada 0,2 y tasa 0,1, cuyo equilibrio vale 2. Reducir la entrada a 0,1 lleva el equilibrio a 1. Mantener la entrada original y elevar la tasa a 0,2 produce también un equilibrio igual a 1. Una medición final no distingue estas dos intervenciones hipotéticas.

Sus respuestas a una perturbación adicional sí difieren. En el primer caso la tasa sigue siendo 0,1 y el tiempo de reducción del 90 % es de unas 23 unidades. En el segundo la tasa es 0,2 y ese tiempo baja a unas 11,5 unidades. El ejemplo muestra que una mejoría del estado puede deberse a condiciones externas más favorables o a un cambio de la dinámica. Solo la respuesta ante nuevas entradas permite separar ambas posibilidades.

No hay una razón general para considerar una de estas vías más auténtica que la otra. Lo que el análisis pide es no confundir los mecanismos de cambio. Si las condiciones favorables se retiran, la predicción depende de cuál de las dos vías produjo el estado observado. Por eso la evaluación longitudinal debe documentar también las condiciones que lo mantienen.

457.6. Variabilidad y persistencia no son la misma propiedad

Un modelo lineal sometido a perturbaciones aleatorias continuas permite estudiar las fluctuaciones alrededor del equilibrio. En el proceso de Ornstein–Uhlenbeck, $W_t$ es un proceso de Wiener y $\sigma$ mide la intensidad del ruido. En régimen estacionario la varianza depende de esa intensidad y de la tasa de retorno, mientras que la autocorrelación depende solo de la tasa y del intervalo $\Delta$ entre observaciones:

Observado cada $\Delta$ unidades de tiempo, el proceso da una serie exactamente autorregresiva de primer orden con coeficiente $e^{-a\Delta}$, propiedad que usa la simulación de la sección 457.17.

Pueden elegirse intensidades de ruido diferentes para que los dos sistemas de la sección 457.2 tengan la misma varianza estacionaria, 0,1. Despejando, $\sigma=\sqrt{2a\cdot 0{,}1}$, lo que da intensidades de aproximadamente 0,316 para la tasa 0,5 y 0,141 para la tasa 0,1. Sus distribuciones marginales estacionarias son idénticas, ambas normales con media cero y varianza 0,1. La autocorrelación a una unidad de tiempo, en cambio, es de aproximadamente 0,607 en el primero y 0,905 en el segundo.

Una colección de observaciones sin orden temporal no distinguiría esos dos procesos. El segundo conserva sus desviaciones durante más tiempo porque retorna más lentamente, aunque reciba un ruido de menor intensidad. La misma variabilidad observada puede surgir de combinaciones distintas de exposición a perturbaciones y capacidad de retorno.

Este resultado impide interpretar automáticamente una varianza baja como baja vulnerabilidad, ya que podría reflejar solo que el período observado tuvo pocas perturbaciones. Tampoco autoriza a leer una autocorrelación elevada como diagnóstico de un mecanismo clínico concreto. Ambas estimaciones dependen del intervalo de muestreo, de la estacionariedad de la serie y de la estructura del ruido, condiciones que deben examinarse antes de asignar significado a esos indicadores.

457.7. Qué aporta y qué no aporta la ralentización crítica

Scheffer y colaboradores (2009) revisaron la posibilidad de señales tempranas genéricas que indiquen la proximidad de un umbral crítico en sistemas tan diversos como ecosistemas, mercados financieros y clima. Una de las ideas centrales de esa literatura es la ralentización crítica. Cerca de ciertas pérdidas de estabilidad la recuperación ante perturbaciones pequeñas se hace más lenta. Bajo ruido continuo, esa lentitud tiende a elevar la varianza y la autocorrelación. Van de Leemput y colaboradores (2014) llevaron la hipótesis a la depresión. Con registros repetidos de cuatro emociones obtenidos mediante muestreo de experiencias, en una muestra de población general y en un grupo de pacientes, encontraron que una mayor autocorrelación, una mayor varianza y una mayor correlación entre emociones se asociaban con transiciones posteriores hacia un estado más deprimido o fuera de él. Las comparaciones se hicieron entre grupos de participantes y no evaluaron el desempeño predictivo en personas individuales. Los propios autores advirtieron que no todas las personas tienen necesariamente estados estables alternativos y que un aumento de la varianza puede reflejar más perturbaciones externas en lugar de ralentización.

En el balance lineal de este capítulo, reducir la tasa aumenta el tiempo de retorno y, si la intensidad del ruido permanece fija, también la varianza. Sin embargo, ese modelo no contiene ninguna transición a otro estado estable, ya que mientras la tasa sea positiva conserva un único equilibrio estable. Observar un retorno lento no demuestra que exista un punto de transición cercano, para lo cual hace falta especificar una familia de sistemas en la que ese parámetro cambie y en la que la transición esté definida.

Las mismas estadísticas pueden cambiar, además, por razones distintas. Una entrada con memoria propia aumenta la autocorrelación observada sin modificar la dinámica interna. Una tendencia no eliminada infla la varianza y la correlación. Un cambio de instrumento altera la escala del ruido de medición. Estas alternativas deben compararse mediante modelos explícitos de observación y de contexto, en vez de descartarse porque la señal lleve un nombre dinámico sugestivo.

La selección de casos introduce otro problema. Boettiger y Hastings (2012) simularon sistemas con parámetros fijos, sin aproximación alguna a una bifurcación, en los que el ruido producía transiciones por azar. Al estudiar únicamente los casos que habían experimentado una transición, las tendencias crecientes de varianza y autocorrelación aparecían con más frecuencia que en una muestra no condicionada, lo que elevaba la tasa de falsos positivos. Los autores describieron el sesgo como una forma de falacia del fiscal y señalaron que los diseños experimentales con réplicas lo evitan. Un estudio clínico que reúne retrospectivamente a personas que recayeron selecciona su muestra de la misma manera.

La utilidad práctica de una señal temprana requiere evaluar su discriminación y su calibración frente a un resultado definido operacionalmente, en datos pertinentes y con validación temporal. Una asociación retrospectiva con episodios ya conocidos no equivale a una predicción prospectiva útil. El marco dinámico ayuda a formular la hipótesis; el desempeño clínico de la señal es una pregunta empírica distinta.

457.8. Igual retorno local, distinta frontera de estabilidad

La tasa de retorno cerca del equilibrio no describe necesariamente la respuesta ante perturbaciones grandes. Para mostrarlo se construye un sistema no lineal con dos estados estables, 0 y 1, separados por un equilibrio inestable en $\theta$, que fija la frontera entre sus regiones de atracción:

Derivando el campo se obtiene que su pendiente vale $-1$ en $x=0$ para cualquier valor permitido de $\theta$. La división por $\theta$ se introdujo precisamente para producir esa igualdad, de modo que todos estos sistemas tienen la misma tasa lineal de retorno cerca de cero. La distancia desde cero hasta la frontera, en cambio, varía con el parámetro. Se compararán fronteras en 0,3 y 0,8.

La igualdad local tampoco se extiende al otro estado estable. En $x=1$ la pendiente vale $-(1-\theta)/\theta$, es decir, $-2{,}33$ para la frontera 0,3 y $-0{,}25$ para la frontera 0,8. En la frontera misma la pendiente es $1-\theta$, positiva, lo que confirma que ese equilibrio es inestable.

Antes de una perturbación, ambos sistemas están en cero. Una perturbación pequeña que los deje en 0,1 retorna hacia cero en los dos. Una perturbación que los deje en 0,5 supera la primera frontera y no la segunda, de modo que el sistema con frontera en 0,3 evoluciona hacia 1 y el sistema con frontera en 0,8 vuelve a cero. La vulnerabilidad frente a esa perturbación finita difiere aunque el estado actual y la estabilidad lineal coincidan.

Los estados estables del ejemplo no se etiquetan como salud y enfermedad. Esa interpretación exigiría demostrar una correspondencia adecuada entre el modelo y las variables clínicas. La construcción se usa solo para mostrar que una medida local no determina todas las respuestas globales posibles.

457.9. Resolver la comparación de regiones de atracción

El signo del campo permite anticipar la trayectoria antes de integrar. Entre cero y la frontera, el producto es negativo y la variable disminuye. Entre la frontera y uno es positivo y la variable aumenta. Una desviación a cualquier lado de la frontera se aleja de ella. La tabla siguiente se obtuvo integrando con tolerancias relativas del orden de $10^{-11}$.

La diferencia no se debe a una amplitud de entrada distinta ni a un estado observado inicial diferente. Depende de la posición de la frontera, un parámetro global que la linealización en cero no permite identificar. Si solo se observaran perturbaciones muy pequeñas, ambas dinámicas parecerían semejantes. Inferir su comportamiento lejos del equilibrio requiere información adicional sobre la forma del campo.

De ello no se deduce que deban provocarse perturbaciones grandes para medir la vulnerabilidad. La identificación puede apoyarse en acontecimientos naturales, en mecanismos conocidos o en modelos que reconozcan explícitamente la incertidumbre fuera del rango observado. Si no existe evidencia sobre esa región del espacio de estados, la conclusión debe limitarse a las respuestas que sí se han observado.

457.10. Amplificación transitoria en varias dimensiones

Un sistema multidimensional con un único equilibrio estable puede amplificar temporalmente una perturbación antes de retornar. Considérese una variable que recibe influencia de otra, mientras ambas tienen pérdida lineal:

Los dos valores propios de la matriz del sistema son iguales a $-1$, de modo que el equilibrio es asintóticamente estable. La matriz es, sin embargo, no normal, porque no conmuta con su traspuesta. Además no es diagonalizable; de ahí procede el factor $t$ que aparece en la solución. Si la perturbación inicial afecta solo a la segunda variable y la fija en 1, se obtiene:

La primera variable parte de cero, sube hasta superar la amplitud de la perturbación original y después disminuye. Si se mide el estado completo mediante su norma euclidiana, esta alcanza un máximo cercano a 1,52 hacia $t\approx0{,}93$. Considerando todas las perturbaciones iniciales de tamaño unitario, la amplificación máxima posible es de aproximadamente 1,57, alcanzada hacia $t\approx0{,}87$. La cola también se alarga. En el tiempo 5 la primera variable vale todavía 0,135, mientras la segunda ha bajado a 0,0067, aunque ambas comparten la misma tasa asintótica.

Neubert y Caswell (1997) señalaron que la estimación habitual de resiliencia basada en los valores propios describe la recuperación solo de manera asintótica y no informa sobre el crecimiento transitorio. Propusieron medidas complementarias, entre ellas la reactividad, entendida como la máxima tasa de crecimiento inmediatamente después de la perturbación, además de la amplificación máxima. En el sistema del ejemplo la reactividad es el mayor valor propio de la parte simétrica de la matriz, $(A+A^{\top})/2$, que vale 1. Su signo positivo indica que algunas perturbaciones iniciales crecen de inmediato. El fenómeno no requiere valores propios repetidos, ya que basta con que la matriz sea suficientemente no normal.

Sin acoplamiento, la primera variable permanecería en cero bajo la misma perturbación. La diferencia procede de la transmisión interna y no de una pérdida de estabilidad asintótica, de modo que saber que todos los modos decaen no basta para describir la amplitud transitoria de una salida concreta. La susceptibilidad puede depender de qué componente recibe la perturbación, de qué componente se observa y de cómo se transmite el efecto entre ellos. Una puntuación agregada puede ocultar esa estructura. Antes de interpretar una tasa de retorno única conviene evaluar si un modelo escalar resume adecuadamente las relaciones temporales entre las dimensiones relevantes.

457.11. Definir un acontecimiento de recaída

Una trayectoria continua necesita una regla para convertirse en un acontecimiento categórico. Puede fijarse un umbral y exigir que se mantenga durante un intervalo, o combinarse varias dimensiones de resultado. La fecha y la frecuencia de los acontecimientos dependerán de esa regla, de modo que no son propiedades independientes de la definición utilizada.

En el modelo lineal, una perturbación unitaria podría considerarse terminada cuando la desviación cae por debajo de 0,1. Con una tolerancia de 0,01 el tiempo sería exactamente el doble, porque el logaritmo de 100 duplica al de 10. Para la tasa 0,5 se pasaría de 4,6 a 9,2 unidades de tiempo sin que la dinámica cambie. Si además se exige permanencia bajo el umbral durante un intervalo, la clasificación pasará a depender de las nuevas perturbaciones y del calendario de observación.

En un contexto clínico, los criterios deben reflejar manifestaciones y niveles de funcionamiento pertinentes, más allá de la conveniencia matemática. Distinguir la continuidad de un episodio de la aparición de otro requiere una definición a la vez temporal y sustantiva. El trabajo de Frank y colaboradores respondió precisamente a la inconsistencia con que se usaban esos conceptos. Sus términos deben aplicarse en el contexto para el que fueron propuestos y con criterios documentados.

Un análisis longitudinal debería presentar también la trayectoria continua cuando sea posible. Así puede distinguirse una diferencia real de evolución de otra producida al clasificar valores cercanos a un umbral. Dos grupos con curvas muy semejantes pueden tener proporciones categóricas distintas si muchas observaciones se concentran alrededor del punto de corte.

457.12. Recuperación sintomática y funcionamiento

Una medida de síntomas puede mejorar mientras otras dimensiones tardan en cambiar. También puede mejorar el funcionamiento con una carga residual que permanece estable. La recuperación no debe identificarse automáticamente con alcanzar el mínimo de un instrumento.

Una representación sencilla utiliza dos variables con tasas de retorno distintas. La primera vuelve con rapidez a su referencia, mientras la segunda conserva durante más tiempo los efectos de la perturbación. Observar solo la primera llevaría a declarar el retorno de manera prematura, en tanto que observar ambas mostraría que el sistema completo aún no alcanzó su estado previo. Este razonamiento no fija un orden entre síntomas y funcionamiento. Cuál de las dos dimensiones se recupera antes es algo que debe establecerse empíricamente.

Los objetivos personales y las condiciones externas también influyen en el significado de un cambio funcional. Una misma capacidad puede tener consecuencias diferentes según las demandas y los apoyos disponibles. Si el contexto facilita actividades relevantes, el resultado puede mejorar sin que todos los parámetros internos hayan cambiado. Esa mejoría sigue siendo real en la dimensión medida.

La evaluación puede mantener varias descripciones en lugar de reducirlas a una etiqueta única. Registrar el nivel actual, su estabilidad temporal y el desempeño en actividades definidas permite examinar las discrepancias entre ellos. La integración clínica de esas dimensiones exige juicio. La formalización ayuda a evitar que una de ellas se use inadvertidamente como sustituto de las demás.

457.13. Seguimiento y exposición a perturbaciones

La ausencia de episodios durante un seguimiento puede reflejar mecanismos de retorno favorables, pocas perturbaciones o una observación insuficiente. Para comparar la susceptibilidad futura hay que considerar cuánto tiempo se observó y bajo qué condiciones.

Los dos procesos de la sección 457.6 comparten la misma distribución marginal y difieren en persistencia. Si ambos se observan una vez por unidad de tiempo y se toma como umbral una desviación estándar, es decir, 0,316, la proporción esperada de observaciones sobre él es cercana a 0,16 en los dos. En la simulación de la sección 457.17, sin embargo, las rachas consecutivas por encima del umbral duran en promedio alrededor de 1,8 observaciones en el proceso de tasa 0,5 y alrededor de 3,8 en el de tasa 0,1. Un criterio de acontecimiento que exija persistencia clasificaría de manera muy distinta esas trayectorias, aunque su frecuencia marginal sea la misma.

El seguimiento también puede ser selectivo. Si se observa con mayor frecuencia cuando hay empeoramiento, la serie contendrá más mediciones de estados altos. Si algunas personas dejan de responder precisamente durante los episodios difíciles, el registro tenderá a subestimarlos. El mecanismo de observación forma parte de la interpretación y puede requerir un modelo propio.

Comparar trayectorias exige entonces definir una ventana común o ajustar de manera apropiada las diferencias de observación y de contexto. Como eliminar toda variación externa suele ser imposible, lo razonable es declarar qué parte de la comparación se atribuye a esa variación y qué parte se pretende interpretar como propiedad dinámica del sistema.

457.14. Comparar modelos mediante predicciones adicionales

Un modelo de cambio de contexto y otro de cambio de tasa pueden compartir un equilibrio y predecir respuestas distintas ante nuevas entradas. Dos modelos con la misma tasa local pueden separarse ante perturbaciones mayores. Un modelo escalar puede predecir un descenso inmediato de la variable observada allí donde uno acoplado predice un aumento transitorio. Esas divergencias indican dónde buscar información.

La elección de las observaciones debe respetar qué perturbaciones ocurren de manera natural y qué mediciones son válidas. A veces resulta más informativo registrar el contexto con mayor precisión que aumentar la frecuencia de una puntuación cuyo significado sigue siendo ambiguo. También puede ser necesario medir otra dimensión que permita distinguir una entrada persistente de una transmisión interna.

La comparación debe hacerse sobre predicciones que no se hayan usado para ajustar libremente todos los parámetros. Si cada nueva trayectoria recibe un conjunto completamente nuevo de parámetros, cualquier discrepancia puede absorberse y la hipótesis pierde capacidad de contraste. Especificar qué parámetros se comparten entre períodos ayuda a evaluar si el mecanismo propuesto conserva su significado.

Cuando varios modelos siguen siendo compatibles con los datos, conviene identificar sus predicciones comunes. Una predicción robusta del retorno dentro de cierto rango de perturbaciones puede ser útil aunque no se conozca la estructura global, siempre que no se convierta una buena predicción local en una afirmación sobre todas las perturbaciones futuras.

457.15. Perturbaciones repetidas y acumulación

El retorno después de un único impulso no describe por completo una situación con entradas repetidas. Supóngase que en el balance lineal una perturbación unitaria se repite cada 5 unidades de tiempo. Entre impulsos el estado decae exponencialmente; en cada impulso se suma una unidad. Si $x_k^+$ es el valor inmediatamente posterior al impulso $k$, se cumple $x_{k+1}^+=e^{-5a}x_k^+ + 1$. Esta recurrencia converge al valor fijo dado por la suma de una serie geométrica, que es el máximo del régimen periódico. El mínimo, justo antes de cada impulso, y la media temporal se obtienen de él:

Para la tasa 0,5 el máximo periódico es aproximadamente 1,089 y el mínimo aproximadamente 0,089. Para la tasa 0,1 los valores son aproximadamente 2,541 y 1,541. El segundo sistema no vuelve cerca de la referencia antes de recibir la siguiente perturbación, de modo que las contribuciones se acumulan.

La media temporal también difiere, con un valor de 0,4 en el primer sistema y de 2 en el segundo. Puede obtenerse integrando la trayectoria a lo largo de un ciclo o imponiendo que, en el régimen periódico, la pérdida media iguale la entrada media. Como la entrada media es una unidad cada 5 de tiempo y la pérdida media es $a\overline x$, se obtiene $\overline x=1/(5a)$ sin pasar por la suma geométrica, lo que ofrece una comprobación independiente. La acumulación no exige que cada perturbación sea más intensa ni que el sistema haya perdido estabilidad.

Si solo se observa una carga media elevada, podría atribuirse a una perturbación grande cuando en realidad resulta de perturbaciones moderadas y frecuentes. También podría atribuirse a un cambio interno cuando lo que aumentó fue la frecuencia de las entradas. El calendario de acontecimientos ayuda a distinguir esas posibilidades. La susceptibilidad depende de la relación entre el tiempo de retorno y el intervalo entre perturbaciones, además de la amplitud de cada una.

Un mismo mecanismo puede mantener una desviación pequeña bajo entradas espaciadas y una carga persistente bajo entradas frecuentes. Evaluar la recuperación en un régimen de exposición y extrapolarla a otro puede conducir a predicciones equivocadas cuando el régimen cambia.

457.16. Regresión a la media y selección del momento inicial

Una mejoría aparente puede surgir si el seguimiento comienza justo cuando una medición alcanza un valor extremo. Considérese un estado verdadero constante y un error de observación $\epsilon$ con media cero y desviación estándar $\sigma_\epsilon$, independiente entre mediciones. Si se seleccionan los registros cuyo error inicial supera una desviación estándar, el error inicial medio en ese subconjunto será positivo. La medición siguiente, que no fue seleccionada, tendrá error medio cero. Se observará una disminución aunque el estado no haya cambiado.

En el caso gaussiano el error inicial esperado bajo esa selección es la media de una normal truncada:

donde $\phi$ y $\Phi$ son la densidad y la función de distribución de la normal estándar. La diferencia media posterior tendrá el signo de una mejoría si los valores altos indican mayor carga. El resultado procede del mecanismo de selección de las observaciones y no de una fuerza de recuperación del estado subyacente.

La independencia del error es un supuesto del ejemplo. Si dos errores gaussianos sucesivos tienen igual varianza y correlación $r$ positiva, una parte del extremo inicial persiste en la siguiente medición, cuyo valor esperado pasa a ser $r$ veces el error inicial esperado. La disminución media se multiplica entonces por $1-r$. Con $r=0{,}6$ sería de aproximadamente $0{,}610\,\sigma_\epsilon$. El calendario de medición y la persistencia del error modifican así el tamaño de la regresión a la media, sin que intervenga ningún cambio del estado verdadero.

El ejemplo no implica que toda mejoría sea regresión a la media, sino que elegir el momento inicial por un valor extremo modifica la comparación esperada. Si además se introduce una intervención en ese momento, el descenso posterior puede combinar un efecto real, la evolución espontánea y la selección. Las mediciones repetidas antes del cambio ayudan a estimar qué parte del extremo corresponde a un estado persistente. Un modelo de observación puede representar el error y la variación del estado como componentes distintos, aunque distinguirlos requiere información temporal, ya que una única puntuación alta no permite saber qué parte proviene de cada uno. Toda interpretación del retorno debe considerar cómo se eligió el punto desde el que se mide la mejoría.

457.17. Código para comprobar los ejemplos

El programa recalcula los resultados numéricos del capítulo por vías distintas de las usadas en el texto. Integra numéricamente lo que el texto obtuvo en forma cerrada, simula los procesos aleatorios con una semilla fija, estima por diferencias finitas las pendientes del sistema biestable e itera directamente la recurrencia de los impulsos periódicos. Las cifras simuladas varían levemente con el tamaño de la muestra.

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp, quad
from scipy.linalg import expm
from scipy.signal import lfilter
from scipy.stats import norm

# Retorno lineal (457.3) y proceso OU con varianza común 0,1 (457.6)
for rate, t90_ref, x5_ref in [(0.5, 4.60517, 0.08208), (0.1, 23.02585, 0.60653)]:
    t90 = np.log(10)/rate
    assert np.isclose(t90, t90_ref, atol=1e-5)
    assert np.isclose(np.exp(-rate*t90), 0.1)
    assert np.isclose(np.log(100)/rate, 2*t90)
    assert np.isclose(np.exp(-5*rate), x5_ref, atol=1e-5)
    area = quad(lambda t: np.exp(-rate*t), 0, np.inf)[0]
    assert np.isclose(area, 1/rate)
    sigma = np.sqrt(2*rate*0.1)
    assert np.isclose(sigma**2/(2*rate), 0.1)
    print("Retorno:", rate, round(t90, 5), area, round(sigma, 5), round(np.exp(-rate), 5))

# Contexto frente a mecanismo (457.5)
assert np.isclose(0.2/0.1, 2) and np.isclose(0.1/0.1, 1) and np.isclose(0.2/0.2, 1)

# Misma distribución marginal, distinta persistencia (457.6 y 457.13)
rng = np.random.default_rng(457)
n = 400_000
threshold = np.sqrt(0.1)
runs_by_rate = {}
for rate in (0.5, 0.1):
    phi = np.exp(-rate)                       # muestreo exacto cada unidad de tiempo
    shocks = rng.standard_normal(n)*np.sqrt(0.1*(1-phi**2))
    x = lfilter([1.0], [1.0, -phi], shocks)[5000:]
    assert abs(x.var() - 0.1) < 0.005
    assert abs(np.corrcoef(x[:-1], x[1:])[0, 1] - phi) < 0.01
    above = (x > threshold).astype(int)
    edges = np.diff(np.r_[0, above, 0])
    runs = np.flatnonzero(edges == -1) - np.flatnonzero(edges == 1)
    runs_by_rate[rate] = runs.mean()
    print("OU:", rate, round(x.var(), 4), round(above.mean(), 4), round(runs.mean(), 2))
assert runs_by_rate[0.1] > 1.8*runs_by_rate[0.5]

# Fronteras con igual retorno local (457.8 y 457.9)
for theta, expected, at1, at5 in [(0.3, 1.0, 0.73588, 0.99994), (0.8, 0.0, 0.39182, 0.02670)]:
    field = lambda t, x: x*(1-x)*(x-theta)/theta
    solution = solve_ivp(field, (0, 30), [0.5], t_eval=[0, 1, 5, 30],
                         rtol=1e-11, atol=1e-13)
    assert solution.success
    assert np.isclose(solution.y[0, 1], at1, atol=1e-5)
    assert np.isclose(solution.y[0, 2], at5, atol=1e-5)
    assert np.isclose(solution.y[0, -1], expected, atol=1e-8)
    small = solve_ivp(field, (0, 30), [0.1], rtol=1e-11, atol=1e-13)
    assert abs(small.y[0, -1]) < 1e-8
    h = 1e-6
    slope = lambda p: (field(0, p+h) - field(0, p-h))/(2*h)
    assert np.isclose(slope(0), -1, atol=1e-8)
    assert np.isclose(slope(theta), 1-theta, atol=1e-6)
    assert np.isclose(slope(1), -(1-theta)/theta, atol=1e-6)
    print("Frontera:", theta, np.round(solution.y[0], 5), round(slope(1), 4))

# Amplificación transitoria no normal (457.10)
A = np.array([[-1.0, 4.0], [0.0, -1.0]])
assert np.allclose(np.linalg.eigvals(A), [-1, -1])
assert not np.allclose(A @ A.T, A.T @ A)          # matriz no normal
initial = np.array([0.0, 1.0])
for t in [0, 0.5, 1, 2, 5]:
    assert np.allclose(expm(A*t) @ initial, [4*t*np.exp(-t), np.exp(-t)])
assert np.isclose((expm(A) @ initial)[0], 4/np.e)
times = np.linspace(0, 6, 6001)
state_norm = [np.linalg.norm(expm(A*t) @ initial) for t in times]
worst_case = [np.linalg.norm(expm(A*t), 2) for t in times]
reactivity = np.linalg.eigvalsh((A + A.T)/2).max()
assert np.isclose(reactivity, 1.0)
print("Transitorio:", round(4/np.e, 5), round(max(state_norm), 4),
      round(times[np.argmax(state_norm)], 2), round(max(worst_case), 4),
      round(times[np.argmax(worst_case)], 2), reactivity)

# Impulsos periódicos cada 5 unidades (457.15)
for rate, top, bottom, mean in [(0.5, 1.08943, 0.08943, 0.4), (0.1, 2.54149, 1.54149, 2.0)]:
    decay = np.exp(-5*rate)
    assert np.isclose(1/(1-decay), top, atol=1e-5)
    assert np.isclose(decay/(1-decay), bottom, atol=1e-5)
    x = 0.0
    for _ in range(400):                          # iteración directa de los impulsos
        x = x*decay + 1
    assert np.isclose(x, top)
    cycle = quad(lambda t: x*np.exp(-rate*t), 0, 5)[0]/5
    assert np.isclose(cycle, mean) and np.isclose(cycle, 1/(5*rate))
    print("Periódico:", rate, round(top, 5), round(bottom, 5), round(cycle, 5))

# Regresión a la media por selección (457.16)
selected_mean = norm.pdf(1)/norm.sf(1)
assert np.isclose(selected_mean, 1.52514, atol=1e-5)
for r, drop in [(0.0, 1.52514), (0.6, 0.61005)]:
    assert np.isclose((1-r)*selected_mean, drop, atol=1e-4)
    cov = [[1, r], [r, 1]]
    pairs = rng.multivariate_normal([0, 0], cov, 1_000_000)
    chosen = pairs[:, 0] > 1
    simulated = pairs[chosen, 0].mean() - pairs[chosen, 1].mean()
    assert abs(simulated - drop) < 0.01
    print("Regresión:", r, round(drop, 5), round(simulated, 4))

Que todas las aserciones se cumplan muestra que las cuentas del capítulo son internamente coherentes. No dice nada sobre la validez clínica de los modelos ni sobre la pertinencia de sus parámetros para persona alguna. Los ejemplos no se combinan en una puntuación universal de vulnerabilidad. Cada uno responde a una pregunta definida sobre entrada, estado y salida y requiere observaciones distintas para ser identificado en un sistema empírico.

457.18. Evaluar el cambio sin exigir un estado invulnerable

La recuperación no implica ausencia de respuesta ante acontecimientos adversos. En todos los modelos estables de este capítulo una perturbación produce alguna desviación, incluso cuando el retorno es rápido. Definir el éxito como una desviación exactamente nula confundiría sensibilidad con fracaso y excluiría a cualquier sistema que responda a su entorno. El criterio debe especificar qué magnitudes, duraciones y consecuencias se consideran relevantes.

Tampoco existe un parámetro único que ordene todos los sistemas desde el menos hasta el más vulnerable. Un sistema puede retornar más rápido ante perturbaciones pequeñas y tener una frontera más cercana ante las grandes. Otro puede amortiguar una entrada en cierta dimensión y amplificarla en otra. Cualquier comparación requiere definir la clase de perturbaciones y las salidas que importan.

La dependencia no vuelve inútil el concepto de vulnerabilidad, aunque obliga a formularlo con más precisión, indicando frente a qué perturbación, durante qué horizonte temporal y según qué resultado se evalúa. Así formulado, permite distinguir los cambios del estado actual, los cambios de las condiciones y los cambios de la respuesta. Permite además describir los avances sin atribuirles propiedades que todavía no se han observado.

En la práctica clínica, los criterios deben incorporar significados y prioridades que las ecuaciones no fijan. La formalización ayuda a explicitar las comparaciones y a examinar sus consecuencias. No sustituye la valoración de la experiencia ni del funcionamiento de cada persona, aunque puede evitar que una etiqueta de recuperación o de recaída se use sin aclarar qué cambió.

Referencias

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Neubert, M. G. y Caswell, H. (1997). Alternatives to resilience for measuring the responses of ecological systems to perturbations. Ecology, 78(3), 653–665. DOI.

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