Farmacodinamia: saturación, modelos Emax y relaciones de Hill

453.1. De la concentración a una variable de respuesta

Un modelo farmacocinético describe cómo evoluciona una exposición en el tiempo, pero no dice qué consecuencia tiene esa exposición. Para estudiarla hace falta definir una variable de respuesta y postular una relación adicional entre ambas. La variable puede ser la intensidad de una señal experimental, la proporción de unidades que superan un criterio o una puntuación obtenida con un instrumento. Cada opción tiene su propia escala, su propio error y su propio significado, de modo que una ecuación que reproduce bien una señal de laboratorio no queda validada por ello como descripción del funcionamiento cotidiano, del bienestar o de la probabilidad de recuperación. La primera decisión del análisis, anterior a cualquier ajuste, consiste en precisar qué se mide y en qué condiciones se interpretará esa medición.

Las curvas de este capítulo son estáticas y se construyen con concentraciones y respuestas ficticias. Que una relación sea estática significa que la respuesta depende solo del valor presente de la concentración, bajo condiciones que se suponen constantes; no significa que el organismo carezca de dinámica. La aproximación es razonable cuando el sistema ha alcanzado un equilibrio o cuando los procesos omitidos son rápidos en comparación con el intervalo de muestreo. Si la historia de exposición modifica la sensibilidad, una misma concentración puede asociarse a respuestas distintas. Esa posibilidad obliga a ampliar el modelo con una estructura temporal explícita, que es el tema del capítulo siguiente.

Conviene separar también la respuesta observada del efecto atribuible a la exposición. Toda medición incluye un nivel basal, fluctuaciones propias del sistema y error instrumental. Restar una observación previa no elimina los cambios de contexto ni la evolución espontánea. En los ejemplos que siguen la relación concentración-efecto se conoce porque se define matemáticamente. En un estudio empírico sería una hipótesis cuya contrastación requiere un diseño capaz de separar esas contribuciones. Los cálculos establecen propiedades de la hipótesis y no deben leerse como resultados clínicos.

453.2. El modelo Emax y el significado de sus parámetros

En este capítulo se supone un incremento positivo, $E_{\max}>0$ . La forma hiperbólica más sencilla es

E(C)=E_0+E_{\max}\frac{C}{K+C},\qquad C\geq0,\quad K>0.

$E_0$ es la respuesta prevista en ausencia de concentración. $E_{\max}$ es el incremento máximo sobre ese nivel, no la respuesta máxima absoluta, y $K$ es la concentración que produce la mitad de dicho incremento; en la literatura farmacológica suele escribirse $EC_{50}$ . La asíntota superior es, por tanto, $E_0+E_{\max}$ . Confundir la amplitud con el valor final de la curva produce errores que el ajuste numérico no revela, porque la función es la misma y solo cambia la lectura de sus parámetros. Si el basal difiere entre condiciones, dos curvas pueden compartir amplitud y alcanzar valores finales distintos.

El ejemplo de referencia usa $E_0=10$ , $E_{\max}=90$ y $K=2$ , en unidades arbitrarias. La respuesta parte de 10 y se aproxima a 100. Con $C=2$ la respuesta vale 55, suma de 10 unidades basales y 45 de incremento, de manera que la mitad del incremento no coincide con la mitad de 100. La distinción importa cuando los resultados se expresan como porcentaje del máximo observado, como porcentaje de cambio respecto del basal o en unidades originales, porque cada expresión sitúa el «50 %» en una concentración distinta.

$C$ y $K$ tienen las mismas unidades, así que su cociente es adimensional; $E_0$ y $E_{\max}$ comparten las unidades de la respuesta. Si la concentración pasa a expresarse en una unidad cien veces menor, $C$ y $K$ se multiplican por cien y la curva representada no cambia. Un valor de $K$ sin unidad y sin definición de la respuesta no permite comparar dos modelos.

453.3. Saturación y rendimiento marginal

La derivada

\frac{dE}{dC}=E_{\max}\frac{K}{(K+C)^2}

cuantifica cuánto cambia la respuesta ante un incremento pequeño de concentración. Es máxima en $C=0$ , donde vale $E_{\max}/K$ , y a partir de allí decrece de forma monótona. En el ejemplo, pasar de $C=1$ a $C=2$ eleva la respuesta de 40 a 55, mientras que pasar de $C=4$ a $C=5$ la eleva de 70 a 74,29. Ambos cambios añaden una unidad de concentración; la diferencia procede solo de la curvatura. En este sentido preciso, saturación significa disminución de la sensibilidad marginal respecto de la variable de entrada.

La asíntota no debe tratarse como una frontera observada cuando los datos cubren solo la parte inicial de la curva. Una función hiperbólica tiene un límite matemático aunque el experimento nunca se acerque a él. En ese caso el valor estimado puede depender mucho de las restricciones del ajuste o de información externa. Dutta, Matsumoto y Ebling (1996) estudiaron por simulación este problema en el modelo Emax sigmoide con datos truncados. Cuando la mayor respuesta medida quedaba por debajo de alrededor del 95 % del máximo, $E_{\max}$ y la concentración de semiefecto se estimaban con sesgo marcado y gran variabilidad, aunque el ajuste a los datos fuera bueno. Presentar un máximo extrapolado con la misma certeza que una respuesta medida oculta ese problema de identificación.

Tampoco hay equivalencia automática entre la saturación de la variable modelada y la de todas las consecuencias de la exposición. Dos resultados pueden tener constantes de semisaturación diferentes o relaciones de signo opuesto con la concentración. El modelo de una señal favorable no describe por sí mismo las demás. Lo que la matemática ofrece es una relación verificable entre variables bien definidas; la valoración global de un tratamiento pertenece a otro nivel de análisis.

453.4. La generalización de Hill

La ecuación de Hill introduce un exponente positivo $n$ :

E(C)=E_0+E_{\max}f(C),\qquad f(C)=\frac{C^n}{K^n+C^n}=\frac{(C/K)^n}{1+(C/K)^n}.

La segunda forma, escrita con el cociente $C/K$ , deja claro que solo se elevan a una potencia magnitudes adimensionales. El exponente modifica la forma de la transición sin desplazar la semisaturación: para cualquier $n>0$ se cumple $f(K)=1/2$ . El modelo hiperbólico corresponde a $n=1$ . Con exponentes mayores la transición se concentra en un intervalo de concentraciones proporcionalmente más estrecho alrededor de $K$ .

La revisión de Goutelle et al. (2008) examina las propiedades descriptivas de la ecuación, su conexión mecanística con la ley de acción de masas y una lectura probabilística de su forma. Weiss (1997) añade una advertencia más específica. Para un receptor con varios sitios de unión, la ecuación de Hill no corresponde a un esquema de reacción físicamente posible, y su coeficiente solo aproxima el número de sitios cuando la cooperatividad positiva es muy marcada; por eso propone leerlo como un coeficiente de interacción. En este capítulo la ecuación se usa como familia fenomenológica, que proporciona curvas comparables y consecuencias algebraicas exactas, sin suponer que $n$ cuente sitios de unión ni que la curva provenga de una única reacción molecular.

La tabla siguiente mantiene constantes $E_0=10$ , $E_{\max}=90$ y $K=2$ . Los valores son sintéticos y no corresponden a mediciones de pacientes ni a un medicamento.

Concentración ficticia	$n=1$	$n=2$	$n=4$
0,5	28,0000	15,2941	10,3502
1	40,0000	28,0000	15,2941
2	55,0000	55,0000	55,0000
4	70,0000	82,0000	94,7059
8	82,0000	94,7059	99,6498

Las tres curvas se cruzan en $C=K$ . Por debajo de la semisaturación, un exponente mayor reduce la respuesta; por encima, la aumenta. Decir solo que una curva es «más pronunciada» no informa cuál produce más respuesta en una concentración concreta, porque para saberlo hay que situar esa concentración respecto de la zona de transición.

453.5. Pendiente local y escala horizontal

Derivando la relación de Hill se obtiene

\frac{dE}{dC}= E_{\max}\frac{nK^nC^{n-1}}{(K^n+C^n)^2},\qquad \left.\frac{dE}{dC}\right|_{C=K}=\frac{E_{\max}\,n}{4K}.

Con los parámetros del ejemplo, las pendientes en la semisaturación son 11,25, 22,5 y 45 unidades de respuesta por unidad de concentración para $n=1$ , 2 y 4. La pendiente depende de $E_{\max}$ , de $n$ y de $K$ , de modo que dos curvas con el mismo exponente pueden tener pendientes distintas si difieren en amplitud o en escala de concentración. El exponente no sustituye, entonces, una descripción dimensional de la sensibilidad.

Si el eje horizontal es el logaritmo natural de $C/K$ , la derivada en el punto medio vale $E_{\max}n/4$ (22,5, 45 y 90 en el ejemplo) y la constante dimensional desaparece. Esto explica por qué la representación semilogarítmica facilita comparar transiciones situadas en rangos de concentración muy distintos. El cambio de escala no altera los datos; redistribuye las distancias en el gráfico. La forma en S que adopta en escala logarítmica la curva con $n=1$ es una propiedad de la representación, no una sigmoide biológica adicional.

En escala lineal la curva es cóncava en todo el dominio positivo cuando $n\leq1$ . Para $n>1$ existe un punto de inflexión, que coincide con el punto de máxima pendiente lineal y queda por debajo de la semisaturación:

C_{\mathrm{inflexión}}=K\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{1/n},\qquad n>1.

En el ejemplo vale 1,155 para $n=2$ y 1,760 para $n=4$ , valores que el cálculo numérico de la sección 453.15 confirma. Identificar el punto de máxima pendiente lineal con $K$ sería incorrecto en estos casos.

453.6. Una medida comparable del ancho de transición

El ancho de la transición puede describirse mediante las concentraciones que producen una décima y nueve décimas partes del incremento máximo. Despejando la concentración para una fracción cualquiera se obtiene

C(f)=K\left(\frac{f}{1-f}\right)^{1/n},\qquad 0<f<1,

y, en particular,

\frac{C(0{,}9)}{C(0{,}1)}=81^{1/n}.

Para $n=1$ , 2 y 4 los cocientes son 81, 9 y 3. La medida no depende de la unidad de concentración ni de la amplitud. Indica el factor multiplicativo de concentración necesario para recorrer la parte central de la curva, del 10 % al 90 % del incremento. Resulta más interpretable que la comparación visual de gráficos con ejes distintos.

Estas concentraciones derivadas solo tienen significado empírico si el basal y el máximo están identificados. Si el máximo es incierto, también lo es la concentración que produce el 90 % de él; ninguna transformación algebraica añade información a la que contienen los datos. La incertidumbre del ajuste debe propagarse a los puntos derivados conservando la correlación entre parámetros, por ejemplo mediante perfiles de verosimilitud o remuestreo, en lugar de combinar errores estándar como si fueran independientes.

El cociente tampoco es una recomendación sobre cambios de exposición. Caracteriza la geometría de una relación hipotética. Vincularlo con una decisión exigiría conocer otros resultados, la variabilidad entre individuos y una evaluación clínica que la ecuación no contiene. Aquí sirve para mostrar que una transición estrecha puede describirse con exactitud sin atribuirle una explicación molecular.

453.7. Qué aporta una interpretación de unión

Una lectura mecanística particular parte de un ligando libre que se une reversiblemente a un receptor. Si existe una única clase de sitios independientes, el sistema está en equilibrio, la concentración libre se conoce y la unión no agota apreciablemente el ligando, la ley de acción de masas conduce a una ocupación fraccional hiperbólica:

R+L\rightleftharpoons RL,\qquad \theta=\frac{C}{K_d+C},\qquad K_d=\frac{k_{\mathrm{off}}}{k_{\mathrm{on}}}.

La constante de disociación $K_d$ es el cociente entre las constantes de velocidad de separación y de asociación. Bajo los supuestos anteriores es una propiedad del modelo de unión, con unidades de concentración.

Para identificar ocupación con respuesta hace falta una hipótesis adicional, a saber, que el incremento observado sea proporcional a la fracción ocupada. Esa proporcionalidad no se deduce de la reacción de unión. Si la señal se amplifica o se transforma de forma no lineal, la concentración que produce la mitad de la respuesta puede ser muy distinta de la que produce la mitad de la ocupación. Ajustar una curva funcional y llamar «afinidad» a su constante omite ese paso.

El modelo operacional de Black y Leff (1983) formaliza la separación. Parte de la observación de que muchas curvas experimentales concentración-efecto son hiperbólicas y deduce que, si la unión obedece la ley de acción de masas, la relación entre ocupación y efecto ha de ser también hiperbólica. El modelo describe el agonismo con tres parámetros: la constante de disociación agonista-receptor, la concentración total de receptores y una constante que gobierna la transducción del complejo en efecto. El cociente entre la concentración de receptores y esta última, llamado razón de transductor y representado por $\tau$ , funciona como medida de la eficacia del agonista en un sistema dado. Los autores señalan además que el modelo puede extenderse a curvas no hiperbólicas.

453.8. Dos etapas pueden producir otra hipérbola

Supóngase que la ocupación $\theta$ se convierte en una salida adimensional mediante un transductor hiperbólico con razón $\tau>0$ :

g=\frac{\tau\theta}{1+\tau\theta} =\frac{\tau}{1+\tau}\,\frac{C}{K_d/(1+\tau)+C}.

Esta es la forma hiperbólica del modelo operacional con el máximo del sistema igual a uno; las expresiones para la respuesta, la semisaturación funcional y el máximo observado coinciden con las ecuaciones 1 a 3 de Jakubík et al. (2020). El resultado vuelve a ser una hipérbola en función de la concentración. Su máximo es $\tau/(1+\tau)$ y su semisaturación funcional es $K_d/(1+\tau)$ , siempre menor que la constante de disociación. Quien mide solo la salida puede ajustar un modelo Emax sin residuos sistemáticos aunque la curva combine dos procesos distintos.

Con $K_d=4$ y $\tau=1$ , la semisaturación funcional vale 2 y la salida máxima vale 1/2. Una semisaturación observada de 2 no revela, por tanto, una constante de disociación de 2. Si además el instrumento multiplica la salida por una ganancia desconocida $E_m$ , la curva observada queda determinada por dos cantidades, el máximo $M=E_m\tau/(1+\tau)$ y la semisaturación $S=K_d/(1+\tau)$ , mientras que los parámetros del modelo son tres. Para cualquier $\tau>0$ , la elección $E_m=M(1+\tau)/\tau$ y $K_d=S(1+\tau)$ reproduce exactamente la misma curva. Jakubík et al. (2020) describen esta interdependencia entre máximo del sistema, constante de disociación y eficacia operacional como una dificultad inherente al modelo. Para resolverla proponen ajustar primero una serie de curvas, obtener de cada una el máximo observado y la semisaturación, y estimar después los parámetros del sistema a partir de la relación entre ambas cantidades.

El ejemplo indica qué tipo de información permitiría distinguir las etapas. Puede medirse la ocupación de forma independiente, o puede introducirse una manipulación que modifique el número de receptores disponibles o la transducción con una justificación experimental precisa. Leff, Martin y Morse (1985) aplicaron el modelo operacional para establecer en qué condiciones esas intervenciones permiten estimar la constante de disociación del agonista. Concluyeron que el antagonismo irreversible del receptor es adecuado para ese fin, mientras que el antagonismo funcional, que actúa después del receptor, es en principio poco fiable y puede sobrestimar la afinidad. Obtener más puntos de una misma curva reduce el error de su descripción, pero no separa los mecanismos que se combinan en ella. La identificabilidad depende tanto de las observaciones disponibles como de la estructura propuesta.

453.9. Una curva de Hill sin cooperatividad molecular

Otra construcción produce exactamente la fracción de Hill a partir de heterogeneidad de umbrales. Considérese una población de unidades sintéticas, cada una de las cuales responde de manera binaria cuando la concentración supera su umbral propio $T$ . Ninguna unidad tiene respuesta gradual ni varios sitios cooperativos. Si los umbrales siguen la distribución acumulada

P(T\leq C)=\frac{1}{1+(K/C)^n},\qquad C>0,

la proporción de unidades activadas a la concentración $C$ coincide con $f(C)$ .

La distribución es log-logística. $K$ es la mediana de los umbrales y $n$ controla su dispersión en escala logarítmica, de modo que un exponente grande corresponde a umbrales concentrados alrededor de la mediana. La curva agregada se vuelve abrupta porque casi todas las unidades cambian de estado en un intervalo estrecho, aunque el mecanismo de cada una sea un umbral simple. La lectura inversa es frecuente en biología celular: unidades individuales muy abruptas con umbrales dispersos producen una curva poblacional gradual. Kinnunen et al. (2024) mostraron con un modelo computacional que poblaciones con heterogeneidades distintas pueden generar curvas poblacionales casi idénticas. También desarrollaron un análisis célula a célula capaz de distinguirlas.

Este contraejemplo prueba que la forma de Hill no identifica por sí sola cooperatividad molecular. No prueba que toda curva real proceda de heterogeneidad, explicación que solo podría preferirse con observaciones de las unidades, de sus distribuciones y de las condiciones experimentales. Una misma función es compatible con explicaciones que operan en niveles diferentes.

La construcción muestra además por qué una curva poblacional no debe atribuirse a cada individuo. La respuesta media puede ser gradual mientras las respuestas individuales son discontinuas, y una pendiente poblacional estimada con precisión no informa sobre la variación individual que la generó. El código de la sección 453.15 reproduce la construcción con cuantiles deterministas, para que el resultado no dependa de una realización aleatoria particular.

453.10. La región inicial y la identificación práctica

Cuando $C\ll K$ , la fracción de Hill se aproxima a una potencia:

E(C)-E_0\approx\frac{E_{\max}}{K^n}C^n.

En esa región los datos informan sobre el cociente $E_{\max}/K^n$ más que sobre cada parámetro por separado. Con $n$ conocido, amplitudes y constantes diferentes pueden compartir casi el mismo comportamiento inicial. La igualdad es asintótica y no una identidad. Con mediciones exactas las diferencias serían detectables; con ruido, el problema puede ser grave.

En el modelo hiperbólico, compárese la pareja $E_{\max}=90$ , $K=2$ con la pareja $E_{\max}=180$ , $K=4$ . Ambas tienen pendiente inicial 45. Con $C=0{,}02$ los incrementos son 0,8911 y 0,8955; con $C=20$ son 81,82 y 150. Un perfil de ajuste hace el problema más concreto. Se generan datos exactos con la primera pareja en diez concentraciones entre 0,05 y 0,5, se fija la amplitud en distintos valores y se ajusta solo $K$ . La raíz del error cuadrático medio residual resulta 0,27 con amplitud 60, 0,26 con amplitud 180 (y $K=4{,}38$ ) y 0,40 con amplitud 400 (y $K=10{,}2$ ). Si el error de medición tuviera una desviación típica de una unidad, esas diferencias quedarían ocultas en el ruido aunque las amplitudes comparadas difieran casi siete veces.

Un conjunto de datos restringido a concentraciones bajas puede, entonces, respaldar extrapolaciones muy diferentes. El algoritmo de estimación puede devolver un mínimo único porque impone límites o porque pequeñas irregularidades inclinan el ajuste. Esa unicidad computacional no garantiza información suficiente para interpretar el máximo. Conviene examinar perfiles y regiones conjuntas de parámetros además de las estimaciones puntuales. Para esta situación, Dutta et al. (1996) propusieron caracterizar la relación mediante descriptores estimables, como las concentraciones que producen intensidades de efecto dentro del intervalo observado. En su simulación esos descriptores se estimaban con precisión dentro del intervalo con datos, pero no más allá de él.

453.11. El basal, el ruido y la transformación logit

Si $E_0$ y $E_{\max}$ se conocieran exactamente, la fracción normalizada cumpliría

\log\frac{f}{1-f}=n\log\frac{C}{K}.

Esta linealización, base del gráfico de Hill, ayuda a entender la pendiente en escala logarítmica. Como procedimiento de estimación exige cautela. Un error aditivo aproximadamente constante en la escala original deja de serlo tras la transformación. Cerca de los extremos, pequeñas desviaciones de la respuesta producen grandes variaciones del logit. Además, una observación situada por debajo del basal estimado o por encima del máximo estimado carece de logit real.

Descartar esas observaciones porque no pueden transformarse modifica selectivamente los datos. Sustituirlas por valores arbitrariamente próximos a cero o a uno introduce una elección que puede dominar la pendiente. Una alternativa coherente consiste en ajustar directamente en la escala observada con un modelo de error apropiado e incorporar la incertidumbre del basal y de la amplitud. Si la respuesta consiste en conteos de unidades activadas, la distribución de observación debe reflejar los denominadores, por ejemplo mediante un modelo binomial.

Las repeticiones basales cumplen una función propia. Una única medición sin exposición no distingue un basal estable de una fluctuación accidental. Si el basal depende del tiempo o del contexto, tratarlo como constante traslada esa variación a la amplitud o al exponente. El buen ajuste de la curva no corrige un modelo de observación inadecuado.

453.12. Igual exposición media, respuesta media diferente

La no linealidad impide sustituir una trayectoria de concentración por su promedio sin examinar las consecuencias. Considérense dos perfiles sintéticos durante un mismo intervalo. Uno permanece en $C=2$ ; el otro pasa la mitad del tiempo en $C=0$ y la otra mitad en $C=4$ . Ambos tienen igual concentración media e igual área bajo la curva. En el modelo hiperbólico el perfil constante produce una respuesta de 55, mientras que el alternante produce respuestas de 10 y 70, cuyo promedio es 40.

La diferencia se debe a la concavidad de la función y no a un cambio de parámetros. Si la respuesta sigue a la concentración sin demora, la desigualdad de Jensen garantiza que evaluar una función cóncava en el promedio de su entrada da un valor al menos tan grande como el promedio de sus valores.

Con $n=2$ la curvatura cambia de signo y no hay una regla global. Compárese una concentración constante de 0,5 con la alternancia entre 0 y 1. La respuesta constante es 15,29 y la media alternante es 19, porque en ese intervalo domina la región convexa y la desigualdad se invierte. El sentido de la diferencia depende del rango de concentraciones y de la forma de la curva.

Estos perfiles son idealizaciones algebraicas. Si existe un proceso lento entre concentración y respuesta, primero hay que representar su dinámica, porque promediar una curva estática ya no describe lo observado. La igualdad de exposición acumulada tampoco garantiza igualdad de efectos cuando intervienen umbrales, adaptación o variables de resultado distintas.

453.13. Invertir la curva amplifica la incertidumbre

La fórmula de la sección 453.6 permite recuperar la concentración compatible con una fracción de respuesta cuando los parámetros son conocidos. La sensibilidad de esa inversión crece cerca de la saturación. Para $n=1$ , la derivada de la concentración respecto de la respuesta es

\frac{dC}{dE}=\frac{K}{E_{\max}(1-f)^2}.

En el ejemplo vale 0,089 unidades de concentración por unidad de respuesta en la semisaturación, 2,22 cuando $f=0{,}9$ y 8,89 cuando $f=0{,}95$ , es decir, cien veces más que en el punto medio.

Las cifras absolutas muestran lo mismo. Una fracción de 0,9 corresponde a $C=18$ y una de 0,95 a $C=38$ . La respuesta total solo cambia de 91 a 95,5, mientras que la concentración compatible se duplica con creces. Cerca de la meseta, un error de observación de pocas unidades abarca un intervalo amplio en la escala de entrada. Por eso una señal casi saturada sirve mal como sustituto cuantitativo de una medición de exposición.

La inversión supone también que el basal y la sensibilidad no han cambiado. Si hay adaptación, dos concentraciones distintas pueden producir la misma respuesta en momentos diferentes; si la señal está influida por otro proceso, la concentración inferida absorberá ese cambio. La ecuación inversa resuelve el problema algebraico definido por el modelo y no demuestra que sus condiciones se cumplan.

La incertidumbre debe propagarse hasta la cantidad que se quiere interpretar. Un intervalo estrecho para la respuesta media no implica un intervalo estrecho para la concentración inferida, sobre todo cerca de una asíntota. La asimetría resultante queda mejor descrita transformando los extremos del intervalo de respuesta mediante la función inversa que con una aproximación simétrica basada en un error estándar.

453.14. Diseñar observaciones que separen parámetros

Cada zona de la curva informa sobre parámetros distintos. Las observaciones cercanas a la ausencia de exposición determinan el basal, las de la transición informan sobre la localización y la pendiente, y las que alcanzan una meseta reproducible acotan la amplitud. No existe un diseño universal, porque la posibilidad de observar cada región depende de las condiciones experimentales y de sus límites legítimos.

Cuando solo es accesible una región, el modelo debe reflejar esa restricción. Puede ser preferible informar una pendiente local y un rango de predicción respaldado por los datos antes que atribuir precisión artificial a un máximo lejano, en la línea de los descriptores estimables mencionados en la sección 453.10. Fijar un parámetro con evidencia independiente es una opción legítima si se declara su procedencia y se examina cuánto cambian los resultados al variarlo.

Importa además registrar cuándo se obtuvo cada respuesta respecto de la concentración. Si no se alcanzó el equilibrio, mezclar mediciones obtenidas mientras la concentración sube y mientras baja puede producir un lazo de histéresis que ninguna curva estática resume. Separar las observaciones por historia de exposición permite detectar una estructura temporal que un residuo grande ocultaría. Sheiner et al. (1979) abordaron ese desfase postulando un compartimento de efecto hipotético, unido al compartimento plasmático por un proceso de primer orden, cuya concentración se relaciona con el efecto mediante la ecuación de Hill. El capítulo siguiente estudia esa clase de modelos.

Una comprobación útil consiste en reservar condiciones distintas de las usadas en el ajuste. Predecir respuestas en concentraciones nuevas dentro del dominio observado evalúa la capacidad descriptiva del modelo. Predecir bajo otra historia temporal examina una propiedad adicional; el éxito en la primera prueba no garantiza el de la segunda.

453.15. Cálculo reproducible de las comparaciones

El código siguiente recalcula la tabla y los valores citados en el texto, verifica pendientes y puntos de inflexión por diferencias finitas y comprueba que la composición de dos hipérbolas coincide con la forma del modelo operacional. También reproduce la construcción de umbrales y calcula el perfil de la sección 453.10. Las unidades son las del ejemplo sintético y ninguna entrada corresponde a una pauta de tratamiento.

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize_scalar

def hill(c, n=1.0, e0=10.0, amplitude=90.0, k=2.0):
    """Respuesta de Hill con basal; dominio C >= 0, n > 0, K > 0."""
    c = np.asarray(c, dtype=float)
    if np.any(c < 0) or n <= 0 or k <= 0:
        raise ValueError("Dominio incompatible con el modelo")
    r = (c / k)**n
    return e0 + amplitude * r / (1 + r)

c = np.array([0.5, 1.0, 2.0, 4.0, 8.0])

# 1. Tabla de 453.4 y valores de 453.3
expected = np.array([
    [28, 40, 55, 70, 82],
    [15.2941176471, 28, 55, 82, 94.7058823529],
    [10.3501945525, 15.2941176471, 55, 94.7058823529, 99.6498054475]])
curves = np.array([hill(c, n) for n in (1, 2, 4)])
assert np.allclose(curves, expected)
assert np.isclose(hill(5), 10 + 90 * 5 / 7)          # 74,2857

# 2. Pendiente en K, punto de inflexión y cociente C(0,9)/C(0,1)
for n in (1, 2, 4):
    h = 1e-5
    slope = (hill(2 + h, n) - hill(2 - h, n)) / (2 * h)
    assert np.isclose(slope, 90 * n / 8, rtol=1e-7)
    assert np.isclose(2 * 9**(1/n) / (2 * (1/9)**(1/n)), 81**(1/n))
for n in (2, 4):
    grid = np.linspace(0.01, 5, 500001)
    numeric = grid[np.argmax(np.gradient(hill(grid, n), grid))]
    assert abs(numeric - 2 * ((n - 1) / (n + 1))**(1/n)) < 1e-4

# 3. Ocupación hiperbólica seguida de transductor hiperbólico (Black y Leff)
kd, tau = 4.0, 1.0
grid = np.linspace(0, 20, 101)
theta = grid / (kd + grid)
output = tau * theta / (1 + tau * theta)
assert np.allclose(output, (tau / (1 + tau)) * grid / (kd / (1 + tau) + grid))

# 4. Umbrales log-logísticos: unidades binarias, curva poblacional de Hill
q = (np.arange(100000) + 0.5) / 100000
thresholds = 2 * (q / (1 - q))**(1 / 2)          # n = 2, mediana K = 2
for value in c:
    assert abs(np.mean(thresholds <= value) - value**2 / (4 + value**2)) <= 1e-5

# 5. Región inicial: (A, K) = (90, 2) frente a (180, 4)
inc = lambda x, a, k: a * x / (k + x)
assert np.isclose(inc(0.02, 90, 2), 0.891089, atol=1e-6)
assert np.isclose(inc(0.02, 180, 4), 0.895522, atol=1e-6)
assert np.isclose(inc(20, 90, 2), 81.818182, atol=1e-6) and inc(20, 180, 4) == 150

# Perfil: datos exactos de (90, 2) solo en C <= 0,5; para cada amplitud fija
# se ajusta K y se registra la raíz del error cuadrático medio residual.
xd = np.linspace(0.05, 0.5, 10)
yd = inc(xd, 90, 2)
for a in (60, 90, 180, 400):
    fit = minimize_scalar(lambda lk: np.mean((inc(xd, a, np.exp(lk)) - yd)**2),
                          bounds=(-5, 6), method="bounded")
    print(f"amplitud {a:>3}: K = {np.exp(fit.x):6.3f}, RMSE = {np.sqrt(fit.fun):.4f}")

# 6. Igual promedio de concentración, distinta respuesta media
assert np.isclose(hill([0, 4]).mean(), 40) and np.isclose(hill(2), 55)
assert np.isclose(hill([0, 1], 2).mean(), 19) and np.isclose(hill(0.5, 2), 260 / 17)

# 7. Inversión cerca de la meseta: dC/dE = K / (A (1 - f)^2) para n = 1
for f, target in ((0.9, 18), (0.95, 38)):
    conc = 2 * f / (1 - f)
    assert np.isclose(conc, target) and np.isclose(hill(conc), 10 + 90 * f)
    print(f"f = {f}: C = {conc:.0f}, dC/dE = {2 / (90 * (1 - f)**2):.2f}")

# 8. Sensibilidades logarítmicas (n = 2) frente a diferencias finitas
n, k, a = 2.0, 2.0, 90.0
f = c**n / (k**n + c**n)
logk = lambda kk: np.log(a * c**n / (kk**n + c**n))
dk = (logk(k * np.exp(1e-6)) - logk(k * np.exp(-1e-6))) / 2e-6
assert np.allclose(dk, -n * (1 - f), atol=1e-6)
logn = lambda nn: np.log(a * c**nn / (k**nn + c**nn))
dn = (logn(n + 1e-6) - logn(n - 1e-6)) / 2e-6
assert np.allclose(dn, (1 - f) * np.log(c / k), atol=1e-6)
print("Sensibilidad a log K:", np.round(dk, 3))
print("Sensibilidad a n:    ", np.round(dn, 3))
print("Todas las comprobaciones se cumplieron")

Salida obtenida con NumPy y SciPy 1.18:

amplitud  60: K =  1.211, RMSE = 0.2723
amplitud  90: K =  2.000, RMSE = 0.0000
amplitud 180: K =  4.382, RMSE = 0.2621
amplitud 400: K = 10.216, RMSE = 0.4018
f = 0.9: C = 18, dC/dE = 2.22
f = 0.95: C = 38, dC/dE = 8.89
Sensibilidad a log K: [-1.882 -1.6   -1.    -0.4   -0.118]
Sensibilidad a n:     [-1.305 -0.555  0.     0.139  0.082]
Todas las comprobaciones se cumplieron

Las aserciones comprueban propiedades matemáticas y valores numéricos del ejemplo. La aproximación por cuantiles tiene un error acotado por el tamaño de la discretización y representa una población artificial cuyo mecanismo se conoce por construcción; no constituye evidencia sobre una población real. Esa separación permite examinar qué inferencias serían incorrectas aun cuando todos los cálculos sean exactos.

453.16. Sensibilidades que explican la correlación entre parámetros

La dificultad de estimación puede examinarse antes de disponer de datos. Usando logaritmos naturales, las derivadas logarítmicas del incremento sobre el basal respecto de cada parámetro proporcionan sensibilidades sin unidades. Para la amplitud la sensibilidad vale uno en todas las concentraciones, porque multiplicarla por un factor multiplica todo el incremento por ese mismo factor. Para la semisaturación y el exponente se obtiene

\frac{\partial\log(E-E_0)}{\partial\log K}=-n(1-f),\qquad \frac{\partial\log(E-E_0)}{\partial n}=(1-f)\log(C/K).

Con $n=2$ y las concentraciones de la tabla, la sensibilidad respecto de $\log K$ vale −1,88, −1,6, −1, −0,4 y −0,12, y la sensibilidad respecto de $n$ vale −1,30, −0,55, 0, 0,14 y 0,08. En la zona inicial la primera se aproxima a $-n$ y apenas varía, igual que la de la amplitud. Un aumento de $K$ puede compensarse entonces con un aumento de $E_{\max}$ , porque ambos actúan sobre el nivel de la respuesta en proporciones parecidas. Esta compensación explica la correlación del ajuste a partir de la estructura de la función, sin atribuirla a defectos del algoritmo. Cerca de la saturación la sensibilidad respecto de $K$ disminuye y predomina la información sobre la amplitud.

En el punto medio la sensibilidad respecto del exponente es cero. Todas las curvas de la tabla atraviesan ese punto, de modo que repetir muchas veces una medición exactamente en $C=K$ no distingue exponentes cuando los demás parámetros son conocidos. La información sobre $n$ procede de observaciones situadas a ambos lados. El resultado matiza la idea de que basta muestrear donde la respuesta cambia más rápido, porque la utilidad de una observación depende del parámetro que se quiere identificar.

Un diseño puede repartir observaciones entre regiones complementarias y evaluar la matriz de sensibilidades correspondiente. Si sus columnas son casi proporcionales, habrá combinaciones de parámetros difíciles de separar. Aumentar las repeticiones reduce el ruido; ampliar de forma justificada las condiciones observadas aporta, en cambio, una clase de información que las repeticiones de un mismo punto no contienen.

453.17. Normalización y comparación de dos sistemas

Normalizar cada curva por su propio máximo facilita comparar formas, pero elimina diferencias de amplitud que pueden ser sustantivas. Dos sistemas con el mismo basal y la misma semisaturación, cuyas amplitudes sean 90 y 45, tienen fracciones normalizadas idénticas en todas las concentraciones, aunque en unidades originales el incremento del segundo sea siempre la mitad del primero. Un gráfico de porcentajes ocultaría la diferencia si no se informaran los máximos usados.

La situación inversa también ocurre. Dos sistemas pueden producir el mismo incremento en una concentración particular porque una amplitud mayor compensa una semisaturación mayor. Una comparación basada solo en ese punto no separa ambas explicaciones. Las parejas de parámetros de la sección 453.10 se parecen mucho con concentraciones pequeñas y divergen cuando se observa un intervalo más amplio. La igualdad local no implica igualdad global.

Cuando la variable es una puntuación con límites propios, hay que distinguir la saturación del proceso del techo del instrumento. Si el instrumento registra como máximo 100, una señal subyacente que sigue aumentando queda censurada en ese valor. Ajustar una hipérbola a los registros censurados puede atribuir al proceso una meseta creada por la medición. Un modelo de observación que represente explícitamente el límite permite formular y contrastar esa alternativa.

La comparación exige conservar la escala original junto con la transformación aplicada. Documentar por separado el máximo experimental, el máximo extrapolado y el límite instrumental evita tratarlos como una sola cantidad. Ninguna normalización corrige diferencias de población, de contexto o de definición del resultado, porque solo reorganiza magnitudes que ya se han medido.

453.18. Interpretación de una curva ajustada

Un informe interpretable indica la variable de respuesta, la concentración usada (total o libre, plasmática o estimada en otro compartimento), sus unidades, el intervalo observado y el modelo de error. Aclara si el máximo se observó o se extrapoló y si el basal se estimó junto con los demás parámetros. Cuando las concentraciones proceden de un modelo farmacocinético, su incertidumbre forma parte del problema; tratarlas como valores exactos subestima la incertidumbre farmacodinámica.

La comparación entre modelos puede partir de una pregunta concreta, por ejemplo si un exponente libre mejora la predicción dentro del intervalo observado. Una mejora pequeña acompañada de un intervalo amplio para $n$ no justifica una interpretación molecular elaborada. Si varios modelos predicen casi lo mismo, conviene declarar esa equivalencia descriptiva y buscar observaciones que distingan sus mecanismos. Una curva sencilla puede preferirse por su estabilidad, siempre que su simplicidad no se presente como demostración biológica.

A lo largo del capítulo se construyeron curvas idénticas a partir de mecanismos distintos y respuestas medias distintas a partir de una misma exposición media. Ambos resultados son algebraicos y reproducibles. Su uso empírico exige decidir cuál es el nivel de observación pertinente y qué hipótesis adicionales pueden contrastarse con los datos disponibles.

Referencias

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