Idealización y abstracción: simplificar con una finalidad explícita

Sumar las cantidades contenidas en dos depósitos elimina información sobre su reparto. A partir del total no puede saberse cuánto corresponde a cada uno. Sin embargo, esa pérdida de detalle puede dejar intacta la predicción de cuánto material queda en el conjunto. Suponer, además, que ambos depósitos contienen siempre la mitad introduce una afirmación diferente: describe una distribución concreta que puede ser falsa al comienzo y aproximadamente correcta después de un periodo de mezcla.

Las dos operaciones suelen aparecer juntas al simplificar un sistema. Por eso conviene separarlas antes de juzgar un modelo como demasiado simple o suficientemente realista. Conservar una magnitud agregada, reconstruir estados internos y anticipar un flujo entre componentes son problemas distintos. Una misma reducción puede resolver el primero exactamente y fallar en los otros. La justificación debe señalar cuál de esas propiedades se intenta mantener, durante cuánto tiempo y con qué tolerancia.

La palabra «aproximado» tampoco responde por sí sola a esas preguntas. Una cantidad puede estar cerca en términos absolutos y lejos respecto de su pequeño valor de referencia. Una trayectoria puede aproximarse bien tras un transitorio y omitir casi todo el transporte acumulado durante ese transitorio. Decir que un proceso es rápido requiere compararlo con las escalas de los fenómenos que interesa observar. Los cálculos de dos depósitos permitirán concretar estas diferencias sin atribuir al ejemplo propiedades de sistemas reales que no se han medido.

Operaciones distintas bajo un vocabulario compartido

Las definiciones filosóficas de idealización y abstracción no son uniformes. McMullin (1985) utiliza idealización en un sentido amplio: simplificación deliberada orientada a comprender algo complejo, que puede distorsionar una representación o dejar componentes fuera de consideración. Distingue actuaciones sobre la representación de actuaciones que simplifican la situación investigada. Su análisis también separa modificar propiedades atribuidas a un modelo de extender aspectos que antes quedaban sin especificar.

Levy (2021, publicado inicialmente en línea en 2018) propone afinar otra distinción. La abstracción, entendida como grado relativo de detalle, compara representaciones de un mismo asunto. La idealización implica una discrepancia deliberada entre representación y objetivo, vinculada a lo que quien modela sabe e intenta hacer. Esta propuesta permite que un modelo idealizado sea más abstracto que otro también idealizado. El grado de detalle no equivale automáticamente a veracidad, y una equivocación inadvertida no cumple sin más la misma función que una distorsión asumida.

Estas diferencias de uso importan al leer una crítica. Si un autor incluye las omisiones en la idealización y otro reserva ese término para distorsiones deliberadas, pueden clasificar de forma distinta la misma operación. El desacuerdo terminológico no demuestra por sí mismo que discrepen sobre sus consecuencias. Para evaluar una reducción es más informativo escribir qué relación se elimina, qué magnitud se agrega o qué parámetro se lleva a un límite que confiar únicamente en el nombre elegido.

Podemos trabajar con algunas distinciones operativas sin convertirlas en una taxonomía universal. Una omisión deja un aspecto sin representar. Un modelo que describe el volumen de un depósito puede omitir el color de su superficie sin afirmar que carece de color. Una abstracción conserva ciertas relaciones a un nivel de descripción menos detallado: informar el volumen total de dos depósitos retiene una propiedad compartida por numerosos repartos posibles. Una idealización puede atribuir mezcla instantánea a un sistema cuya mezcla tarda un intervalo finito.

Una aproximación añade una comparación que admite evaluación. Decir que el reparto uniforme aproxima al reparto real requiere especificar cómo se calcula la diferencia entre ambos. Puede utilizarse la discrepancia de cada cantidad, la diferencia entre sus concentraciones o el error en un tiempo de cruce. Esas comparaciones no son intercambiables. La afirmación de cercanía queda incompleta mientras no se indiquen la variable, el intervalo y la escala en que se mide.

El mismo gesto algebraico puede cumplir funciones distintas. Escribir un acoplamiento igual a cero puede representar un aislamiento que se logró experimentalmente, una condición hipotética utilizada para comparar mecanismos o una aproximación a un acoplamiento pequeño. Las ecuaciones coinciden, pero cambia la relación con el sistema investigado. En el primer caso hay que comprobar el aislamiento; en el segundo, interpretar la comparación; en el tercero, estimar cuánto altera el término omitido el resultado de interés.

También conviene distinguir una afirmación sobre el mundo de una decisión sobre qué calcular. Podemos interesarnos por el total sin sostener que los detalles internos no existan o carezcan de importancia para cualquier problema. Su irrelevancia debe establecerse respecto de la pregunta. Si después se solicita el tiempo que tarda un material en llegar de un depósito al otro, la descripción agregada puede necesitar ampliarse aunque siga funcionando perfectamente para el total.

Qué propósito justifica el detalle que se pierde

Weisberg (2007) analiza distintas formas de idealización atendiendo a sus objetivos representacionales. Su argumento rechaza que una sola finalidad y un único conjunto de reglas describan toda esa práctica. Una simplificación destinada a hacer tratable un cálculo no plantea necesariamente las mismas exigencias que una construcción orientada a destacar factores causales relevantes o una comparación entre modelos. La justificación se refiere al trabajo que el modelo debe realizar.

En el caso de los depósitos, se puede buscar una ecuación económica para seguir el inventario total durante varias horas. También se puede querer explicar por qué desaparece una desigualdad inicial entre ambos. Para el primer objetivo puede bastar conservar una suma; para el segundo resulta útil conservar una diferencia. Contar las variables de cada modelo no permite decidir cuál contiene la información pertinente. Ambos pueden tener una sola variable y describir propiedades distintas del mismo proceso.

La reducción también puede facilitar una demostración. Una ecuación simple permite examinar de qué parámetros depende una tasa y detectar cancelaciones que una simulación extensa ocultaría. Esta ventaja no exige que la representación sirva después para cualquier pronóstico. El resultado demostrable podría ser una dependencia, una conservación o una condición de estabilidad, con independencia de que el modelo omita mecanismos necesarios para calcular valores precisos en un dispositivo concreto.

Por ello, antes de evaluar conviene distinguir el sistema investigado del modelo usado como referencia. En nuestro ejemplo, el sistema de dos ecuaciones ya supondrá depósitos homogéneos, intercambios lineales y parámetros constantes. La reducción se comprobará contra esas ecuaciones. Una coincidencia exacta entre ambas descripciones no verifica que tales supuestos representen un depósito físico. Son dos relaciones de evaluación: la reducción respecto del modelo detallado y ese modelo respecto de observaciones.

Una suma que se cierra exactamente

Sean $x(t)$ e $y(t)$ las cantidades de material en dos compartimentos de igual volumen. El tiempo $t$ se mide en horas. El intercambio neto del primero al segundo es proporcional a la diferencia de cantidades, con coeficiente $k$, expresado en horas inversas. Cada compartimento pierde material hacia el exterior con la misma tasa proporcional $\lambda$, también en horas inversas. No existen entradas externas durante el intervalo considerado. El modelo es

El intercambio aparece con signos opuestos porque traslada material entre compartimentos. Las pérdidas externas reducen el total. Definamos $m=x+y$, cantidad total, y $d=x-y$, diferencia entre ambos. Al sumar y restar las ecuaciones se obtiene

Este cambio de coordenadas conserva toda la información: conociendo suma y diferencia se recuperan $x=(m+d)/2$ e $y=(m-d)/2$. Todavía no hay reducción. La reducción aparece cuando se retiene únicamente la ecuación de la suma y se deja de seguir la diferencia. En este caso la operación permite calcular el total exactamente porque su derivada depende solo de él.

Si inicialmente hay cien unidades en el primer compartimento y ninguna en el segundo, entonces $m(0)=d(0)=100$. La solución es

Todo el material puede estar en un compartimento o repartirse de muchas maneras, pero la suma decae con la misma tasa bajo las pérdidas simétricas del modelo. El coeficiente de intercambio desapareció de su ecuación. Esta cancelación muestra qué estructura protege la propiedad agregada: el transporte interno conserva el total y ambos compartimentos tienen la misma pérdida proporcional.

La ecuación reducida es exacta incluso si el intercambio es lento. También lo es si $k=0$, cuando los compartimentos no intercambian nada. En ese extremo, el material que empieza en el primero nunca llega al segundo, pero el total sigue la misma exponencial. Por tanto, sería incorrecto justificar la ecuación de la suma exclusivamente diciendo que la mezcla es rápida. Esa rapidez será relevante para reconstruir el reparto, una tarea adicional.

Simon y Ando (1961) estudiaron criterios de agregación para sistemas dinámicos lineales asociados a matrices casi descomponibles. Su planteamiento sitúa la elección de variables agregadas y las relaciones entre ellas como un problema matemático que requiere condiciones sobre la estructura. El pequeño ejemplo presente permite comprobar directamente una condición especialmente sencilla, sin tratarla como una garantía para cualquier agrupación de variables.

La información eliminada sigue teniendo un significado. Dos estados con igual suma y distinta diferencia se vuelven indistinguibles en el espacio reducido. Si un observador solo necesita el inventario, esa equivalencia es adecuada para su tarea. Si necesita saber qué compartimento se vaciará primero o cuánto material cruza entre ellos, los estados no son equivalentes. El mapa de agregación ha definido una clase de preguntas para las que puede utilizarse.

Puede expresarse la condición de cierre sin resolver primero todas las trayectorias. Si un sistema lineal se escribe como $\dot z=Az$ y la variable agregada es $w=Pz$, buscamos una matriz reducida $B$ que cumpla $PA=BP$. Entonces $\dot w=Bw$ para cualquier estado inicial compatible con la agregación. En los depósitos, $z$ contiene las dos cantidades, $P=(1,1)$ suma sus componentes y $B=-\lambda$. La identidad comprueba que sumar después de calcular la variación produce lo mismo que calcular la variación del total. Para esta conclusión no se necesita invertir la suma ni reconstruir el estado original.

El criterio también permite ver qué detalles pueden cambiar sin alterar el resultado. Reemplacemos el intercambio lineal por cualquier flujo neto $G(x,y)$ que salga de un depósito y entre íntegramente en el otro. Puede depender de las cantidades de manera no lineal o estar limitado por una válvula. Al sumar, sus dos contribuciones siguen cancelándose. Si las pérdidas externas continúan siendo proporcionales con la misma tasa, la ecuación del total permanece exacta. En cambio, la solución exponencial de la diferencia y el tiempo calculado para la mezcla ya no quedan garantizados. La robustez pertenece aquí a una propiedad determinada, no al conjunto completo de predicciones del modelo.

Reconstruir el reparto exige una escala de tiempo

Para asignar cantidades a cada compartimento desde el total, podríamos usar $\widetilde x=\widetilde y=m/2$. Esta reconstrucción supone reparto uniforme. A diferencia de la ecuación de la suma, no es exacta para nuestra condición inicial. Al empezar atribuye cincuenta unidades a cada compartimento, mientras que el modelo detallado contiene cien y cero. La distorsión no proviene de haber calculado mal el total; proviene de añadir una regla para recuperar información que se había descartado.

Fijemos $\lambda=0,10$ y $k=5$. El total tiene un tiempo característico de diez horas; la diferencia decae con un tiempo de aproximadamente $0,099$ horas. La redistribución ocurre mucho antes que una gran reducción del inventario. Esto sugiere usar el reparto uniforme después de un intervalo inicial, pero aún falta precisar cuánto debe esperarse y qué diferencia se acepta.

Definimos el error como la discrepancia absoluta de la cantidad en cualquiera de los compartimentos, dividida por el total de ese momento. Por simetría, ambos errores tienen la misma magnitud. Con las condiciones iniciales elegidas,

El denominador es el total, no la cantidad real del compartimento. Esa elección evita una división por cero al inicio, cuando el segundo está vacío, y hace explícita la escala de comparación. No permitiría afirmar sin conversión que el error equivale al mismo porcentaje de la cantidad de cada depósito. Una tolerancia tiene significado solo cuando se conserva su definición.

Si se admite como máximo un uno por ciento del total, debe cumplirse $E(t)\leq0,01$. La desigualdad da $t\geq\log(50)/(2k)$: aproximadamente $0,3912$ horas, o $23,47$ minutos. La expresión permite modificar la tolerancia o la tasa de intercambio sin repetir una simulación. La afirmación «mezcla suficientemente rápida» se ha convertido en una condición calculable respecto de una finalidad y un error definidos.

En el instante donde el error es exactamente un uno por ciento del total, el primer compartimento contiene el cincuenta y uno por ciento y el segundo el cuarenta y nueve. Repartir por mitades subestima uno y sobrestima el otro. Si ahora se divide cada discrepancia por la cantidad de su compartimento, los errores relativos son aproximadamente $1,96$ y $2,04$ por ciento. Una persona interesada en controlar cada depósito podría exigir ese segundo criterio. Su tolerancia no sería equivalente al uno por ciento del total, aunque ambos informes empleasen informalmente la expresión «error relativo».

La diferencia entre error absoluto y normalizado también importa. Las pérdidas externas hacen que todas las cantidades tiendan a cero. Por ese motivo, una discrepancia absoluta pequeña muy tarde podría reflejar simplemente que casi no queda material. El cociente elegido elimina esa explicación: mide cuán desigual es el reparto respecto de lo que aún existe. En este modelo el factor de pérdida común se cancela y el error normalizado depende de la mezcla.

La condición inicial forma parte de la garantía. Si se parte de un reparto uniforme, la reconstrucción es exacta desde el comienzo. Si después de una hora se introducen veinte unidades únicamente en el primer compartimento, la suma y la diferencia aumentan ambas en veinte. Aparece una nueva desigualdad que debe relajarse. Haber esperado una vez no garantiza precisión inmediatamente después de cualquier perturbación. El tiempo relevante se cuenta también desde las entradas que alteran el reparto.

Este resultado ilustra una diferencia entre acercarse a un límite y haber llegado a él. Para intercambio finito, la diferencia decae continuamente. Suponer mezcla instantánea elimina todo ese proceso y coloca el sistema sobre el reparto uniforme desde el inicio. A tiempos positivos fijos puede aproximarse cada vez mejor aumentando $k$, pero el error inicial sigue siendo de cincuenta unidades por compartimento para cualquier valor finito. La comparación necesita indicar si incluye ese instante y cómo trata el intervalo inicial.

Un flujo puede perderse aunque el inventario se conserve

El flujo neto entre compartimentos es $J(t)=kd(t)$. Con nuestros parámetros empieza en quinientas unidades por hora y decae exponencialmente. La reconstrucción uniforme da diferencia cero y, si se usa para calcular ese flujo, produce cero en todo momento. Preservar el total no preserva el movimiento interno que redistribuye sus partes.

La discrepancia tampoco desaparece al preguntar por el transporte acumulado. Integrando el flujo neto desde el comienzo hasta que se agota el proceso,

Es una cantidad finita considerable, pese a que después de media hora el reparto uniforme aproxima bien las cantidades restantes. Un modelo que inicia su descripción tras la mezcla podría representar su resultado mediante una redistribución inicial efectiva. Para reconstruir el transporte desde el momento original necesita incorporar esa transferencia. Limitarse a poner diferencia cero en la fórmula del flujo elimina precisamente el episodio que se pretendía medir.

El límite de intercambio cada vez más rápido hace visible esta diferencia. Para cualquier tiempo positivo fijo, el flujo $100k e^{-(\lambda+2k)t}$ tiende a cero cuando $k$ crece sin límite. Sin embargo, su integral tiende a cincuenta unidades, pues $100k/(\lambda+2k)$ se aproxima a cincuenta. El transporte se concentra en un intervalo inicial cada vez más corto y con un flujo inicial cada vez mayor. Integrar la función que queda después de tomar el límite puntual perdería ese transporte. Por eso una representación de mezcla instantánea puede necesitar una transferencia inicial concentrada, además de la evolución posterior equilibrada. La idealización del límite conserva unas relaciones y exige reinterpretar otras; suprimir el intervalo rápido de una gráfica no basta para establecer qué pasó durante él.

Aquí la tolerancia anterior sigue siendo correcta para su variable. Lo que falla es trasladarla a otra. Un error pequeño en una cantidad no asegura error pequeño en su derivada, en un flujo proporcional a una tasa grande o en una integral que incluye tiempos excluidos de la validación. El coeficiente de intercambio multiplica una diferencia que se está tratando como despreciable; por eso conviene evaluar la combinación completa que define el observable.

Si el único objetivo fuera anticipar el flujo, podríamos conservar la ecuación de $d$ y calcular $J=kd$, sin seguir la suma. Esa reducción también tiene una variable y es exacta dentro del modelo simétrico. No reconstruye por sí sola el inventario. Elegir entre suma y diferencia depende de qué pregunta se ha formulado, aunque las dos descripciones tengan el mismo coste dimensional.

La simetría que se rompe deja una memoria

Modifiquemos ahora las pérdidas. El primer compartimento pierde con tasa $\lambda+\delta$ y el segundo con tasa $\lambda-\delta$, con $0<\delta<\lambda$. Las tasas son positivas, pero diferentes. Al repetir la transformación se obtiene

La suma ya no se cierra sola. El mismo total puede perderse a distinta velocidad según esté concentrado en el compartimento de mayor o menor tasa. La variable que antes resultaba irrelevante para el inventario ahora interviene en su evolución. Mantener la ecuación reducida anterior constituye una aproximación nueva, cuyo error no queda cubierto por la identidad del caso simétrico.

Con $\lambda=0,10$ y $\delta=0,05$, cien unidades en el primer compartimento producen inicialmente una disminución total de quince unidades por hora. Las mismas cien unidades en el segundo producen una disminución de cinco. Ambos estados tienen la misma suma, pero derivadas distintas. Ninguna función autónoma que utilice exclusivamente el total puede asignarle a ese mismo valor las dos derivadas. Esta incompatibilidad demuestra que se ha perdido el cierre exacto para todos los estados iniciales, independientemente de que una aproximación funcione bien para algunos. Para recuperar una descripción exacta habría que conservar información que distinga los estados o restringir de forma justificada las condiciones admitidas.

Podemos eliminar formalmente la diferencia sin borrar su influencia. Escribamos $h=\lambda+2k$. Resolver su ecuación da

Al sustituirla en la ecuación de la suma aparece

Ahora existe una sola variable explícita, pero su ecuación conserva un término ligado al estado inicial descartado y otro dependiente de su historia. No se ha obtenido una dinámica autónoma sin memoria simplemente escribiendo menos coordenadas. La influencia de la diferencia pasó a otra forma matemática. Esta representación es una identidad del sistema lineal, sin invocar una aproximación de mezcla rápida.

Chorin, Hald y Kupferman (2000) estudian una relación más general entre proyección de variables, memoria e información no resuelta mediante la representación de Mori–Zwanzig. En su formulación, la identidad exacta sirve de punto de partida para aproximaciones; reducir el número de variables retenidas no justifica automáticamente descartar los términos restantes. El cálculo de los depósitos exhibe un mecanismo elemental de memoria, sin reproducir todas las hipótesis estadísticas de aquel formalismo ni añadir ruido al ejemplo determinista.

Si la memoria decae mucho antes que cambie la suma, puede ensayarse una aproximación cuasiestacionaria para la diferencia. Igualando su derivada a cero se obtiene $d\approx-\delta m/h$ y, por sustitución, una tasa de pérdida agregada $\lambda-\delta^2/h$. Esta operación debe distinguirse de resolver exactamente la ecuación. Además de ignorar la historia reciente, deja pendiente cómo representar el intervalo inicial cuando la diferencia original está lejos de ese valor cuasiestacionario.

La elección de parámetros permite cuantificarlo. Tomemos $\lambda=0,10$, $\delta=0,05$ y conservemos cien unidades inicialmente en el primer compartimento. Para $k=5$, la solución de las dos ecuaciones da un total de $36,6947$ a las diez horas. Mantener la ecuación simétrica da $36,7879$. Usar la tasa cuasiestacionaria, pero conservar cien como total inicial de la ecuación reducida, da $36,8791$. Esa corrección de la tasa produce aquí una predicción más alejada del valor de referencia.

La razón puede localizarse en los modos de evolución. Las tasas exactas son $\lambda+k\mp\sqrt{k^2+\delta^2}$. La lenta vale aproximadamente $0,0997500$, muy cerca de la cuasiestacionaria, $0,0997525$. Sin embargo, el total exacto combina una contribución lenta de amplitud inicial aproximada $99,4975$ con otra rápida de amplitud $0,5025$. Iniciar solo la exponencial lenta en cien conserva el valor inicial total a costa de atribuirle una composición dinámica incorrecta. Mejorar la tasa no corrige por sí mismo esa elección.

Con un intercambio de $k=0,05$, las tasas exactas son aproximadamente $0,07929$ y $0,22071$, mucho menos separadas. El total a las diez horas es $28,1276$, mientras que la ecuación simétrica sigue dando $36,7879$, alrededor de un treinta y uno por ciento por encima. La desigualdad persiste mientras el compartimento inicialmente cargado pierde material más deprisa. El supuesto de mezcla rápida ya no proporciona la misma justificación para olvidar esa distribución.

Estas cifras no establecen que una corrección sea generalmente perjudicial. Identifican qué debe acompañarla: un tratamiento coherente del estado inicial y una comprobación en el horizonte requerido. Si se busca la tasa asintótica, la corrección cuasiestacionaria del caso rápido es muy precisa. Si se busca la cantidad a diez horas con una condición inicial particular, importan también las amplitudes. El propósito selecciona qué comparación tiene relevancia.

Existe otra forma de perder el cierre aun conservando la igualdad entre compartimentos. Supongamos, en una variante distinta, que las pérdidas externas son $a x^2$ y $a y^2$, donde $a$ tiene las unidades necesarias para convertir cantidad al cuadrado en cantidad por hora. El total satisface $\dot m=-a(m^2+d^2)/2$. La pérdida depende de la desigualdad interna porque la suma de cuadrados no se determina solo con la suma. Con cien unidades en un compartimento y cero en el otro, la pérdida es $10000a$; con cincuenta en cada uno, es $5000a$. Ambos inventarios son iguales y las leyes locales son idénticas, pero sus pérdidas difieren.

Esta variante muestra por qué conservar solo un promedio puede ser insuficiente cuando el proceso es no lineal. Sustituir cada cantidad por la mitad del total elimina el término asociado a la diferencia al cuadrado y subestima la pérdida mientras exista desigualdad. El problema no se resuelve declarando que ambos compartimentos son del mismo tipo. La simetría de las reglas y la homogeneidad del estado son propiedades diferentes. La variante se puede estudiar con dos variables, con una aproximación controlada a la diferencia o con otra descripción de la dispersión; cada elección conserva información distinta.

Restaurar detalle puede exigir rehacer el modelo

Knuuttila y Morgan (2019) cuestionan la imagen de la desidealización como inversión sencilla de los pasos que produjeron un modelo. Describen distintas tareas de recomposición, reformulación, concreción y adaptación a situaciones. Los supuestos y la construcción matemática pueden estar vinculados, y cambiar uno puede exigir reorganizar otros. Su análisis no obliga a eliminar toda idealización para que un modelo sea utilizable.

El cambio de pérdidas en los depósitos ofrece un ejemplo controlado de esa dificultad. «Permitir pérdidas distintas» parece una pequeña mejora de realismo. Sin embargo, destruye el cierre exacto de la suma. Para conservar una sola variable hay que aceptar una aproximación, introducir memoria o desarrollar una regla más elaborada de inicialización y evolución. Volver a añadir un parámetro no devuelve automáticamente una representación que conserve las ventajas formales anteriores.

También puede ser preferible cambiar de observable o conservar dos variables. Esa elección depende del coste del cálculo y de cuánto importa el error. En un problema de este tamaño, integrar ambas ecuaciones resulta sencillo. La reducción sirve para comprender la estructura de la aproximación. En sistemas con muchas variables, ahorrar cálculo puede tener valor práctico, pero no convierte la cantidad de coordenadas eliminadas en una medida suficiente de éxito.

Una comprobación útil variaría las condiciones que sostienen la simplificación. En el caso simétrico, se pueden cambiar el reparto inicial y la velocidad de intercambio para verificar que el total permanece exacto, mientras cambia la calidad de su reconstrucción. En el asimétrico, interesa variar la diferencia entre pérdidas, la frecuencia de entradas y la escala temporal de observación. Si el uso previsto incluye perturbaciones frecuentes, evaluar solo un largo periodo sin entradas dejaría sin examinar una condición relevante.

La tolerancia tampoco debe derivarse retrospectivamente del error que resultó cómodo obtener. Para una tarea de inventario puede aceptarse cierto error absoluto de cantidad. Para detectar si un compartimento supera un límite, interesa la distancia respecto de ese umbral y el momento del cruce. Una tolerancia global pequeña puede ocultar una clasificación equivocada cerca del límite. Es necesario comprobar el resultado que se utilizará, no únicamente una norma elegida por facilidad de cálculo.

En una aplicación empírica aparecería otro componente: las tasas y los estados iniciales tendrían incertidumbre. El error de reducción calculado con parámetros conocidos no absorbe el error de estimarlos ni una posible inadecuación de la ley lineal. Conviene poder distinguir esos orígenes al comparar con datos. Una reducción excelente de una ecuación mal ajustada puede reproducir con precisión su error, mientras que añadir detalle interno sin nuevas mediciones puede introducir parámetros difíciles de determinar.

Incluso un pequeño error constante en la tasa debe evaluarse junto con el horizonte. Si la tasa usada excede la de referencia en $0,001$ por hora, la cantidad predicha es la cantidad de referencia multiplicada por $e^{-0,001t}$, suponiendo el mismo valor inicial. La subestimación relativa es aproximadamente un uno por ciento a las diez horas y un $9,52$ por ciento a las cien. Una cifra pequeña para el error del parámetro no proporciona por sí misma un límite igualmente pequeño para cualquier tiempo. En nuestro modelo, cuando ha transcurrido mucho tiempo también queda poca cantidad, de modo que el error absoluto puede seguir siendo pequeño. La relevancia de esa diferencia dependería de si se busca estimar inventario restante, describir una tasa o localizar el momento de alcanzar una cantidad mínima. Especificar el horizonte evita evaluar una reducción en un periodo cómodo y utilizarla después donde la acumulación del error exige otra comprobación.

Las mediciones necesarias dependen, a su vez, de la garantía que se busca. Observar solo el total en el caso simétrico permite examinar su pérdida proporcional, pero no estimar la velocidad de intercambio: todas las velocidades generan la misma suma. Para comprobar el tiempo de mezcla hay que medir el reparto o una señal que informe sobre él. Medir un flujo neto tampoco equivale a medir por separado los movimientos en ambos sentidos. Aunque su diferencia pueda ser pequeña, esos movimientos podrían ser grandes. Nuestro modelo especifica el flujo neto y no pretende identificar dos flujos brutos a partir de esa única información.

Para el ejemplo simétrico queda una especificación de uso concreta. La ecuación de la suma conserva exactamente el inventario del modelo de referencia para cualquier tasa de intercambio. La reconstrucción uniforme de cantidades, con los parámetros e inicio indicados, cumple la tolerancia del uno por ciento del total tras unos veintitrés minutos y medio sin nuevas perturbaciones. El flujo acumulado desde el comienzo exige conservar la diferencia o representar explícitamente la transferencia inicial. Si las pérdidas dejan de ser iguales, hay que revisar el cierre antes de reutilizar cualquiera de esas garantías.

Referencias

Chorin, A. J., Hald, O. H., y Kupferman, R. (2000). Optimal prediction and the Mori–Zwanzig representation of irreversible processes. Proceedings of the National Academy of Sciences, 97(7), 2968–2973. https://doi.org/10.1073/pnas.97.7.2968

Knuuttila, T., y Morgan, M. S. (2019). Deidealization: No easy reversals. Philosophy of Science, 86(4), 641–661. https://doi.org/10.1086/704975

Levy, A. (2021). Idealization and abstraction: Refining the distinction. Synthese, 198(Supl. 24), 5855–5872. Publicación inicial en línea: 2018. https://doi.org/10.1007/s11229-018-1721-z

McMullin, E. (1985). Galilean idealization. Studies in History and Philosophy of Science Part A, 16(3), 247–273. https://doi.org/10.1016/0039-3681(85)90003-2

Simon, H. A., y Ando, A. (1961). Aggregation of variables in dynamic systems. Econometrica, 29(2), 111–138. https://doi.org/10.2307/1909285

Weisberg, M. (2007). Three kinds of idealization. The Journal of Philosophy, 104(12), 639–659. https://doi.org/10.5840/jphil20071041240