Interacciones de orden superior: hipergrafos y complejos simpliciales

Una reunión de tres personas y tres reuniones separadas entre parejas producen el mismo triángulo si el registro final conserva únicamente quién coincidió con quién. Sin embargo, los encuentros fueron diferentes. En el primer caso existió una ocasión compartida por las tres personas; en el segundo, ninguna reunión las incluyó a todas. La diferencia puede importar para estudiar coordinación, acuerdos o distribución de información.

Representar el grupo completo permite conservar esa información. Un hipergrafo registra conjuntos de participantes; un complejo simplicial incorpora además una condición de inclusión de todos los subconjuntos de cada grupo representado. Esa condición modifica qué objetos contiene la representación y qué significan sus propiedades.

Los ejemplos que siguen son registros didácticos construidos. Compararemos sus matrices de participación, sus proyecciones por pares y sus complejos asociados. Las diferencias matemáticas mostrarán qué se conservó o añadió en cada paso, sin convertir la coparticipación observada en una afirmación sobre efectos causales.

Del evento registrado al conjunto que lo representa

Un evento puede incluir más de dos unidades: participantes en una reunión, autores de un trabajo o componentes utilizados conjuntamente en una operación. El registro mínimo contiene un identificador del evento y el conjunto de unidades presentes. Según la pregunta, también puede necesitar fecha, duración, funciones desempeñadas y resultados.

El conjunto de participantes describe pertenencia. No indica por sí mismo quién habló con quién, qué persona influyó en una decisión o si hubo intercambio entre todos los presentes. Para interpretar el registro como una interacción de cierto tipo hay que definir qué significa participar. Una lista de asistentes y una lista de personas que colaboraron activamente pueden describir relaciones diferentes.

Torres y colaboradores (2021) distinguen el sistema, los datos recogidos y la representación matemática elegida. La información disponible puede ser un fragmento del sistema, y las decisiones de representación pueden añadir dependencias o eliminar distinciones. Esa separación permite justificar una estructura a partir de lo registrado, sin confundirla con una descripción completa de los mecanismos.

En un hipergrafo, los nodos forman un conjunto $V$, y cada hiperarista es un subconjunto no vacío de $V$. Una hiperarista puede contener dos, tres o más nodos; también pueden admitirse conjuntos de un solo nodo. Si el grupo $\{A,B,C\}$ figura como hiperarista, la definición no obliga a incluir $\{A,B\}$ como otra hiperarista.

Los conjuntos pueden estar incluidos unos en otros. Un registro puede contener un encuentro de A y B y otro de A, B y C. Ambas hiperaristas son distintas y pueden conservarse. Un hipergrafo simple registra qué conjuntos aparecen, pero no cuántas veces ocurrió cada uno. Para preservar repeticiones se necesitan pesos, una familia de hiperaristas con multiplicidad o registros de eventos identificados por separado.

Esas alternativas retienen información diferente. Asignar peso tres a un grupo indica tres ocurrencias si el peso se define como frecuencia, pero puede perder sus fechas. Mantener tres columnas con identificadores distintos conserva las ocurrencias separadas. Si también se guardan sus tiempos, puede estudiarse el orden de los encuentros.

El adjetivo superior tiene varios usos en esta literatura. Puede referirse al tamaño de una relación grupal, a la dimensión de un objeto topológico o al número de variables que aparecen conjuntamente en una regla dinámica. Para evitar un cambio inadvertido de significado, utilizaremos tamaño para la cantidad de miembros y dimensión para los símplices.

La matriz de incidencia conserva quién participó en qué

La matriz de incidencia $B$ tiene una fila por nodo y una columna por evento. Su entrada $B_{ie}$ vale uno si el nodo $i$ participa en el evento $e$, y cero en caso contrario. Las columnas permiten recuperar los grupos originales mientras se conserven sus identificadores y se mantenga la definición del registro.

Para tres encuentros separados, A–B, B–C y A–C, la matriz es

Cada persona participa dos veces y cada evento contiene dos personas. Una reunión única de A, B y C se representa, en cambio, mediante una sola columna con tres unos. Las sumas de las filas dan participaciones individuales; las sumas de las columnas dan tamaños de evento. Confundir ambas sumas equivaldría a confundir unidades con ocasiones.

La misma incidencia puede dibujarse como una red bipartita, con una clase de vértices para personas y otra para eventos. Una línea conecta a una persona con el evento en el que participa. Ese dibujo usa aristas entre dos vértices, pero conserva los grupos porque mantiene los vértices de evento. Pasar a una representación bipartita no equivale a proyectar sobre pares de personas.

Battiston y colaboradores (2020) presentan estas representaciones y sus relaciones. El contraste muestra por qué la expresión ir más allá de los pares necesita precisión: un grafo bipartito puede codificar toda la pertenencia a grupos, aunque sus aristas sean binarias. La pérdida aparece cuando se elimina la identidad de los eventos o se cambia qué representan los vértices.

La matriz también conserva repeticiones si cada evento ocupa una columna. Dos encuentros del mismo grupo generan columnas iguales con identificadores diferentes. Eliminarlas como duplicados cambiaría una base de eventos por una lista de grupos únicos. Esa transformación puede ser útil, pero altera la frecuencia que después se atribuye a personas y pares.

Un registro de actividad individual puede representarse mediante una columna con un único uno. No genera coparticipación entre personas, aunque sí contribuye a la cantidad de actividades de esa persona. Mantenerlo o excluirlo depende de si la base describe todas las actividades o únicamente encuentros compartidos.

La pertenencia tampoco conserva las funciones dentro de un evento. Enviar un mensaje a tres destinatarios y recibirlo de uno de ellos pueden involucrar el mismo conjunto de personas. La columna binaria sería idéntica aunque cambiara quién inicia la comunicación. Si esa diferencia interviene en la pregunta, el registro necesita conservar los papeles además de los participantes.

Una posibilidad es utilizar hiperaristas dirigidas, con un conjunto de origen y otro de destino. Otra es asociar a cada incidencia una función, como convocante, participante o receptor. La elección depende de si el proceso requiere distinguir flujos, responsabilidades u otras relaciones. Añadir una etiqueta dirigida al grupo completo sin definir quién ocupa cada papel no recupera esa información.

La orientación utilizada en topología algebraica cumple otra función. Permite asignar signos a las caras al calcular fronteras; no equivale automáticamente a la dirección causal de una interacción. Ordenar los vértices de un triángulo para realizar una cuenta no demuestra que la información circule siguiendo ese orden. En los cálculos módulo dos utilizados aquí, los signos desaparecen y basta con registrar inclusión de caras.

También pueden importar los tiempos dentro de un evento. Un documento con varios autores identifica una contribución conjunta al documento, aunque sus tareas se hayan realizado en momentos diferentes. Representarlo como un grupo no exige afirmar simultaneidad física de toda la actividad. En las reuniones didácticas, la ocasión compartida se definió como el evento; en otra aplicación debe especificarse con igual cuidado qué unidad de actividad reúne a sus miembros.

Qué hace una proyección por pares

El producto $BB^{\mathsf T}$ resume coincidencias entre filas. Para dos nodos distintos, su entrada cuenta cuántos eventos contienen a ambos. En la diagonal cuenta cuántos eventos incluyen a cada nodo. Una proyección ponderada habitual conserva las entradas no diagonales como pesos de las aristas y pone a cero la diagonal.

En la reunión única de tres personas, cada par coincide una vez. En los tres encuentros separados, cada par también coincide una vez. La proyección ponderada es el mismo triángulo de peso uno en sus tres aristas. Así, conservar pesos no resuelve necesariamente la pérdida introducida al eliminar los eventos.

Las diagonales sí distinguen este primer ejemplo: cada persona participó una vez en la reunión grupal y dos veces en el conjunto de encuentros por parejas. Conviene reconocer esa diferencia. Los registros no son indistinguibles respecto de toda información disponible; lo son respecto de la proyección no diagonal declarada.

Una hiperarista de tamaño $k$ genera $k(k-1)/2$ pares distintos. Por ello, un único evento grande puede aportar muchas aristas a la proyección. Una zona densa puede reflejar numerosos encuentros pequeños, algunos grupos grandes o una combinación de ambos. La densidad por sí sola no identifica cuál de esas situaciones ocurrió.

Los pesos pueden definirse de otra manera. Para grupos de al menos dos miembros, asignar a cada par una fracción $1/\binom{k}{2}$ hace que la contribución total de un evento a las aristas sea uno. Asignar $1/(k-1)$ hace que cada participante reciba una suma de peso uno hacia los demás miembros de ese evento. Son normalizaciones distintas y conservan cantidades distintas.

Con tres participantes, la primera regla asigna un tercio a cada una de las tres aristas; con cuatro, asigna un sexto a cada una de las seis. La contribución total sigue siendo uno. Bajo la segunda regla, los pesos son un medio y un tercio, respectivamente; cada persona tiene dos o tres compañeros y acumula peso uno en ambos casos.

Una comparación entre proyecciones debe indicar esa regla. Una arista de peso dos puede representar dos coincidencias, dos unidades de tiempo compartido o una suma normalizada de eventos grandes. El número aislado no identifica la exposición ni el significado del vínculo.

Las actividades individuales quedan fuera de esas normalizaciones porque carecen de pares. Su peso puede conservarse como atributo de actividad o en la diagonal del producto de incidencia. Eliminarlas antes de construir la matriz completa altera la información sobre participación, aunque no cambie ninguna arista de la proyección entre personas.

La clausura simplicial añade una condición

Un símplice es un conjunto de vértices tratado como un objeto con todas sus caras. Sus caras son sus subconjuntos. Un símplice con tres vértices tiene dimensión dos: contiene tres vértices, tres aristas y una cara triangular. Con cuatro vértices, tiene dimensión tres e incluye las caras de un tetraedro y el tetraedro mismo.

Un complejo simplicial es una colección cerrada bajo la operación de tomar caras. Si incluye un símplice, incluye todas sus caras. Un hipergrafo no está obligado a cumplir esa condición. Esta diferencia permite representar en un hipergrafo la existencia de un grupo sin introducir cada subgrupo como una relación separada.

La clausura descendente de una colección de grupos se obtiene incorporando todos sus subconjuntos. La operación está bien definida matemáticamente. Su interpretación depende de qué signifique una cara. Si significa que esas personas aparecieron juntas dentro de algún evento, una reunión de tres justifica la presencia de sus pares. Si significa que ese par celebró un encuentro autónomo, la misma reunión no proporciona esa observación.

En el primer significado, las caras registran pertenencia conjunta a un evento mayor. En el segundo, representan eventos adicionales. Mezclar ambas interpretaciones haría que la clausura pareciera descubrir reuniones que no se registraron. La información sobre qué conjuntos se observaron directamente debería conservarse junto a los objetos derivados.

Tres aristas que forman un triángulo no obligan, por la definición general de complejo simplicial, a incluir su cara triangular. La clausura exige bajar desde un símplice a sus caras; no exige subir desde una colección de caras a un símplice mayor. Por tanto, el contorno triangular y el triángulo lleno son complejos diferentes.

Existe otra construcción, el complejo de cliques, que sí llena cada conjunto de vértices conectados todos con todos en un grafo. Es una regla adicional. Aplicada a la proyección de los tres encuentros separados, incorpora una cara triangular aunque no haya existido ninguna reunión de las tres personas.

Giusti, Ghrist y Bassett (2016) explican estas diferencias y los instrumentos topológicos que permiten estudiarlas. La información de un complejo no se reduce a su lista de aristas: también importa qué caras de dimensión superior contiene. Dibujar un triángulo con el interior coloreado o vacío debe corresponder a esa decisión formal.

Un complejo puede almacenarse de forma compacta conservando solo sus símplices maximales, aquellos que no son caras de otros mayores incluidos. La clausura permite reconstruir todas sus caras a partir de ellos. Esa compresión es exacta para la lista de símplices, pero no necesariamente para la historia de eventos que dio lugar al complejo.

Supongamos que el registro contiene una reunión A–B y otra reunión ABC. Su clausura es el mismo triángulo lleno que se obtiene de una sola reunión ABC. La arista A–B ya estaba incluida como cara y no se añade una segunda copia al complejo ordinario. Por tanto, guardar solo el triángulo maximal conserva el complejo, pero pierde que el par también se reunió por separado.

Si interesa esa historia, deben mantenerse las frecuencias y los identificadores en un registro adicional. Un peso de una cara podría contar eventos en los que aparece como subconjunto o encuentros exclusivos de ese conjunto; ambos recuentos tienen significados distintos. La estructura de inclusión y el registro de ocurrencias se pueden relacionar sin exigir que uno sustituya al otro.

Una pérdida que persiste incluso al conservar las participaciones

Podemos fortalecer la comparación inicial con cuatro personas, A, B, C y D. El registro I contiene cuatro eventos, uno para cada grupo de tres: ABC, ABD, ACD y BCD. El registro II contiene dos eventos del grupo ABCD y cuatro actividades individuales, una de A, una de B, una de C y una de D.

En el registro I, cada persona aparece en tres eventos y cada pareja coincide en dos. En el registro II, cada persona aparece en los dos eventos colectivos y en su actividad individual, por lo que también participa tres veces. Cada pareja coincide precisamente en los dos eventos de cuatro personas.

Los dos registros producen la misma matriz completa:

Aquí se conservan tanto los recuentos de participación individual como todos los recuentos de coparticipación por pares. Aun así, los eventos difieren. En el primer registro nadie participó en una reunión de cuatro; en el segundo ocurrieron dos. La igualdad del producto matricial no permite reconstruir de manera única las columnas de incidencia.

Las doce participaciones individuales totales coinciden. También coinciden las doce incidencias de pares dentro de eventos: los cuatro grupos de tres aportan tres pares cada uno, mientras los dos grupos de cuatro aportan seis cada uno. Las actividades individuales no aportan pares. La igualdad no depende de ignorar un peso distinto en alguna arista.

Hay información que sí distingue los registros: el primero contiene cuatro eventos de tamaño tres; el segundo, seis actividades con tamaños cuatro, cuatro, uno, uno, uno y uno. Conservar la cantidad y los tamaños de eventos separa estas dos posibilidades. El ejemplo demuestra una pérdida respecto de la matriz de coincidencias, no una imposibilidad de distinguir los registros si se dispone de sus datos originales.

La clausura descendente del registro I contiene los cuatro triángulos de la superficie de un tetraedro, sus seis aristas y sus cuatro vértices. No contiene el símplice de cuatro vértices porque ningún evento incluye a las cuatro personas. La clausura del registro II sí contiene ese tetraedro completo, además de todas sus caras.

La proyección por pares es un grafo completo sobre cuatro vértices, con peso dos en cada arista, en ambos casos. Si se construye su complejo de cliques, se llena también el tetraedro en ambos. Esa ruta de procesamiento produce para el primer registro un objeto distinto del que se obtiene formando directamente la clausura de sus grupos observados.

Contornos, superficies y fronteras

La topología algebraica permite expresar esa diferencia sin depender de cómo se dibujen los objetos. Consideremos primero el contorno triangular. Sus tres aristas forman un ciclo: al recorrerlas se vuelve al punto inicial. Si el complejo no contiene una cara que lo rellene, ese ciclo representa una clase no trivial de homología de dimensión uno.

Si se añade la cara triangular, el mismo recorrido continúa existiendo como ciclo del grafo, pero ahora es la frontera de una cara incluida. Deja de representar un agujero de dimensión uno. Decir que el número de agujeros cambia no significa que hayan desaparecido las tres aristas o el recorrido que forman.

Los números de Betti cuentan clases independientes de este tipo. El número $\beta_0$ cuenta componentes conexas; $\beta_1$, ciclos unidimensionales que no son fronteras; $\beta_2$, ciclos bidimensionales que no son fronteras. En nuestros ejemplos, los objetos son conexos, por lo que $\beta_0=1$.

Podemos comprobar las cuentas usando coeficientes módulo dos. Una arista tiene dos vértices como frontera. Al sumar las tres aristas del contorno, cada vértice aparece dos veces y esas contribuciones se cancelan. La suma es un ciclo. Cuando se incorpora la cara, esa suma de aristas constituye precisamente su frontera.

En la superficie del tetraedro ocurre algo análogo una dimensión más arriba. Cada arista pertenece a dos de sus cuatro caras triangulares. Al sumar las cuatro caras, todas las aristas se cancelan en la frontera. Se obtiene un ciclo bidimensional. Si falta el tetraedro interior, ese ciclo no es frontera de un objeto tridimensional incluido; si se añade, pasa a serlo.

Los recuentos quedan así:

La comprobación algebraica utiliza las matrices de frontera. Sus rangos para vértices, aristas y caras implican que el contorno triangular tiene un ciclo independiente que ninguna cara rellena. En la superficie tetraédrica, las cuatro caras contienen un único ciclo bidimensional independiente. Añadir el tetraedro proporciona la frontera que lo rellena.

Un agujero topológico describe el complejo elegido. No identifica por sí mismo una ausencia de contacto relevante, un circuito causal ni un fallo funcional. En los registros de cuatro personas, describe la diferencia entre incluir grupos de tres y añadir un grupo de cuatro bajo la interpretación de clausura establecida.

Tampoco basta un solo número de Betti para reconstruir toda la organización. Complejos diferentes pueden compartir sus números de Betti. Son resúmenes con una finalidad precisa, del mismo modo que una cantidad de componentes conexas no determina todas las aristas de un grafo.

La observación incompleta puede modificar esos resúmenes de maneras que conviene calcular. Si del registro de cuatro reuniones de tres personas se pierde la reunión BCD, quedan las caras ABC, ABD y ACD. Todavía están presentes los cuatro vértices y las seis aristas: cada pareja aparece en al menos una de esas reuniones. Sin embargo, las tres caras ya no forman la superficie cerrada del tetraedro.

El complejo resultante tiene $\beta_2=0$, y también $\beta_1=0$. El contorno que rodea la cara ausente es la frontera de las tres caras conservadas y, por ello, no constituye una clase unidimensional no trivial. Esta cuenta muestra por qué identificar visualmente una abertura no basta para decidir qué número de Betti debe cambiar.

Añadir el tetraedro completo al registro original también llevaba $\beta_2$ a cero. Así, eliminar una cara y añadir un objeto de dimensión superior pueden producir el mismo valor de ese resumen mediante cambios muy diferentes. Para interpretar una diferencia topológica entre conjuntos de datos hay que revisar los símplices que cambiaron y la posibilidad de que falten eventos, además del número final informado.

Tres operaciones diferentes que pueden llamarse cierre

La clausura descendente añade las caras de un grupo ya incluido. Completar cliques añade símplices cuando aparecen todos sus pares. Un cierre simplicial observado, en el sentido utilizado por Benson y colaboradores (2018), ocurre cuando un conjunto cuyos pares ya habían coincidido aparece después conjuntamente en un evento.

Ese evento puede incluir otras personas. Para que un trío esté contenido conjuntamente, no hace falta que los tres hayan sido los únicos participantes. En cambio, si la pregunta exige encuentros exclusivos de exactamente esas personas, la definición del resultado debe cambiar.

Imaginemos que primero se registra A–B, después B–C y finalmente A–C. Al acumular esos eventos y sus caras, el tercer encuentro completa el contorno triangular, pero no añade una cara triangular. Si posteriormente ocurre una reunión ABC, aparece esa cara. La presencia de todos los pares y la aparición conjunta del grupo tienen momentos diferentes.

Al construir un complejo de cliques de la proyección acumulada, la cara ya aparecería en el tercer momento. La construcción está siguiendo su regla, pero no está fechando la primera reunión ABC. Usar esa fecha derivada como si fuera el momento de un evento observado confundiría dos variables.

Benson y colaboradores estudian precisamente patrones y predicción de la aparición de grupos a partir de su historia. Sus resultados sobre indicadores de cierre son asociaciones predictivas en los datos examinados. No establecen por sí mismos que aumentar una frecuencia de encuentros por pares cause la reunión del grupo completo.

El orden de inclusión también importa para los análisis topológicos. Una filtración es una secuencia de complejos en la que cada uno está contenido en el siguiente. Para que esa secuencia sea válida, una cara debe aparecer antes o al mismo tiempo que el símplice que la contiene. Asignar tiempos distintos a caras y eventos requiere respetar ese requisito y explicar qué fecha representa cada uno.

En nuestro registro temporal, el número de componentes pasa de tres a dos y luego a una al añadir los dos primeros encuentros. El tercero crea un ciclo no relleno. La reunión grupal posterior lo rellena. Ese cambio se deriva de los eventos y de la clausura elegida, sin atribuir al ciclo una dinámica de influencia.

Construir un complejo a partir de correlaciones es otra tarea

Un complejo puede derivarse de datos que no contienen grupos observados. Giusti y colaboradores (2015) construyen complejos de cliques a partir del orden de correlaciones por pares. Se añaden aristas según ese orden y se completa cada clique, obteniendo una secuencia de objetos sobre la que se calculan propiedades topológicas.

En esa representación, una cara triangular indica que sus tres correlaciones han entrado en el grafo bajo el criterio utilizado. No indica necesariamente un episodio de actividad simultánea de las tres unidades. La definición de la cara procede del procesamiento de una matriz, no de una columna de incidencia que documente un evento grupal.

La construcción puede responder a preguntas sobre la organización de esa matriz. El método de Giusti y colaboradores utiliza el orden de las entradas, de modo que transformaciones estrictamente crecientes que preserven ese orden conservan la construcción. Esa invariancia tiene un significado específico; no convierte cualquier correlación en una interacción causal.

Una comparación entre complejos necesita reconocer el origen de sus símplices. Un complejo de coparticipación, uno de correlaciones y uno derivado de proximidad espacial pueden contener los mismos objetos combinatorios, pero sus caras representan relaciones distintas. Un resultado topológico común no basta para afirmar que los sistemas comparten el mismo mecanismo.

También debe documentarse el tratamiento de empates, umbrales y datos faltantes. Si varias relaciones tienen el mismo peso, introducirlas en un orden arbitrario puede crear objetos intermedios que no reflejan una diferencia medida. Una regla que las incorpore conjuntamente conserva otra secuencia. La decisión tiene que ser coherente con la resolución que realmente ofrecen los datos.

Estructura grupal, dependencia estadística y mecanismo

Un grupo observado muestra que ciertas unidades participaron conjuntamente bajo una definición de registro. Una dependencia estadística muestra que sus variables no se distribuyen de cierta forma independiente. Un mecanismo especifica cómo cambian unas cantidades en respuesta a otras o a intervenciones. Estas afirmaciones se relacionan, pero requieren evidencias distintas.

Rosas y colaboradores (2022) distinguen mecanismos de orden superior de comportamientos estadísticos de orden superior. Señalan que mecanismos con interacciones por pares pueden producir patrones estadísticos colectivos. Por tanto, encontrar una dependencia que involucra varias variables no demuestra que la ley que generó los datos incluya una interacción irreducible entre todas ellas.

La coparticipación tampoco establece esa irreducibilidad. Tres personas pueden aparecer juntas porque recibieron la misma invitación, porque integran una categoría administrativa o porque una actividad exige su coordinación. El conjunto observado puede ser idéntico en esas situaciones mientras las reglas que explican la reunión son diferentes.

Para proponer un mecanismo colectivo hay que especificar qué resultado produce el grupo y cómo se relaciona con sus miembros. Si se plantea que hacen falta ciertas combinaciones de participantes, se necesita información que permita comparar esas combinaciones. La lista de quienes asistieron a una única ocasión no contiene por sí sola esa comparación.

Además, una descripción de orden superior puede ser efectiva para cierta escala de análisis. Integrar variables no observadas o resumir procesos temporales puede producir términos colectivos en un modelo reducido. Eso no identifica automáticamente el tipo de interacción presente en una descripción más detallada. La interpretación debe conservar qué variables y escala utiliza el modelo.

El hipergrafo proporciona un lugar donde registrar grupos y asociarles propiedades. La regla dinámica que utiliza esas propiedades debe formularse por separado. Una misma colección de grupos admite distintos procesos, igual que una misma red por pares admite diferentes reglas de difusión o decisión.

Reconstruir grupos exige información o supuestos adicionales

Si solo se conserva un grafo proyectado, la reconstrucción de los grupos es un problema inverso. Nuestros ejemplos muestran que puede tener varias soluciones exactas. Seleccionar todos los cliques máximos produce una colección, pero no demuestra que esos cliques fueran los eventos originales.

Young, Petri y Peixoto (2021) proponen una reconstrucción bayesiana que combina compatibilidad con la proyección y una distribución previa sobre hipergrafos. Esa formulación permite comparar descripciones bajo sus supuestos y expresar incertidumbre entre ellas. Su capacidad de seleccionar grupos procede de los datos junto con el modelo, no de una inversión única de la proyección.

La formulación de la distribución previa y cálculos asociados recibieron una corrección publicada en 2022. Los autores recalcularon sus resultados con las expresiones revisadas (Young et al., 2022). Aquí se utiliza la distinción entre reconstrucción inferida y grupo observado, sin reutilizar cifras ni fórmulas de la versión original que fueron modificadas.

La evaluación de una reconstrucción debería preguntar qué datos nuevos podrían distinguir sus alternativas. El número de eventos, sus tamaños o una muestra de listas de participantes pueden añadir información que los pesos por pares no contienen. En el ejemplo de cuatro personas, conocer los tamaños separa inmediatamente los dos registros considerados.

Cuando no existe esa información, resulta útil conservar varias reconstrucciones compatibles y estudiar qué resultados dependen de la elección. Si una conclusión cambia al pasar de grupos de tres a eventos de cuatro igualmente compatibles con la matriz disponible, esa variación forma parte del alcance de la inferencia.

Para preservar la posibilidad de revisar el análisis, el registro final mantendría los identificadores de evento, sus participantes y sus tiempos. Las proyecciones por pares y las clausuras se guardarían como transformaciones derivadas, con sus reglas de pesos e inclusión. Así, una cara podría rastrearse hasta un grupo observado o hasta una decisión de construcción, y la diferencia entre los dos registros tetraédricos seguiría disponible aunque se utilizara su matriz común de coincidencias para otra pregunta.

Referencias

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Benson, A. R., Abebe, R., Schaub, M. T., Jadbabaie, A., y Kleinberg, J. (2018). Simplicial closure and higher-order link prediction. Proceedings of the National Academy of Sciences, 115(48), E11221–E11230. https://doi.org/10.1073/pnas.1800683115

Giusti, C., Pastalkova, E., Curto, C., y Itskov, V. (2015). Clique topology reveals intrinsic geometric structure in neural correlations. Proceedings of the National Academy of Sciences, 112(44), 13455–13460. https://doi.org/10.1073/pnas.1506407112

Giusti, C., Ghrist, R., y Bassett, D. S. (2016). Two’s company, three (or more) is a simplex: Algebraic-topological tools for understanding higher-order structure in neural data. Journal of Computational Neuroscience, 41(1), 1–14. https://doi.org/10.1007/s10827-016-0608-6

Rosas, F. E., Mediano, P. A. M., Luppi, A. I., Varley, T. F., Lizier, J. T., Stramaglia, S., Jensen, H. J., y Marinazzo, D. (2022). Disentangling high-order mechanisms and high-order behaviours in complex systems. Nature Physics, 18, 476–477. https://doi.org/10.1038/s41567-022-01548-5

Torres, L., Blevins, A. S., Bassett, D. S., y Eliassi-Rad, T. (2021). The why, how, and when of representations for complex systems. SIAM Review, 63(3), 435–485. https://doi.org/10.1137/20M1355896

Young, J.-G., Petri, G., y Peixoto, T. P. (2021). Hypergraph reconstruction from network data. Communications Physics, 4, 135. https://doi.org/10.1038/s42005-021-00637-w

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