Redes temporales: el orden de los contactos importa

Un mensaje puede llegar a una estación de retransmisión cuando la conexión que necesitaba ya terminó. El mapa de enlaces sigue mostrando un camino hacia el destino, y todos sus tramos existieron durante la jornada. Sin embargo, el mensaje no pudo utilizarlos en ese orden. Conocer qué estaciones estuvieron conectadas alguna vez deja pendiente una parte del problema: cuándo podía iniciarse cada transmisión y cuándo terminaba.

La distinción aparece incluso sin incertidumbre estadística. Podemos conocer todos los contactos de una red pequeña y obtener una accesibilidad incorrecta al borrar sus tiempos. También podemos conservarlos y equivocarnos si permitimos transferencias instantáneas cuando cada envío requiere una demora. La representación temporal debe corresponder al proceso que se quiere estudiar.

Consideraremos cuatro estaciones, identificadas por A, B, C y D. El ejemplo es una construcción didáctica, sin datos observados. Compararemos dos calendarios que comparten los mismos enlaces, el mismo número de contactos por enlace y los mismos instantes globales de salida. La diferencia estará en qué enlace se activa en cada instante. Eso permite aislar un efecto del orden sin atribuírselo a una mayor cantidad de conexiones.

Contactos con salida y llegada

Un contacto dirigido se representará mediante $(u,v,s,\delta)$: permite iniciar una transmisión desde $u$ hacia $v$ en el instante $s$, y esta termina en $s+\delta$. La duración $\delta$ será positiva. La estación receptora puede usar el mensaje una vez que termina la transmisión. No puede incorporarse a mitad de un envío ni utilizarlo antes de recibirlo.

Esta representación describe una oportunidad con salida fija. Una conexión disponible continuamente durante un intervalo exige otra especificación: podría permitir salidas en distintos instantes mientras permanezca activa, siempre que la transmisión pueda completarse. Holme y Saramäki (2012) distinguen secuencias de contactos y enlaces activos durante intervalos. Convertir automáticamente una observación de proximidad en un único envío, o un envío en una disponibilidad continua, añade supuestos que pueden modificar los recorridos.

Fijaremos la ventana de observación en $[0,10]$. Inicialmente, un mensaje está disponible en su estación de origen en el instante cero. Todos los contactos tienen duración uno. Se permite esperar entre transmisiones, sin límite en esta primera versión. Una ruta debe iniciar su primer contacto después de que el mensaje esté disponible y completar el último dentro de la ventana.

Si dos contactos consecutivos salen en $s_k$ y $s_{k+1}$, la condición de compatibilidad será $s_{k+1}\geq s_k+\delta_k.$

Además, el destino del primero debe coincidir con el origen del segundo. Admitimos que una nueva transmisión comience exactamente cuando termina la anterior. Si el dispositivo necesitase un tiempo de procesamiento adicional, habría que sumarlo al lado derecho. Esta convención de igualdad es parte del modelo; no se deduce de tener marcas temporales.

Kempe, Kleinberg y Kumar (2000) estudian caminos compatibles con etiquetas temporales y describen una representación de redes programadas mediante salidas y llegadas. Su trabajo muestra que añadir restricciones de tiempo modifica problemas de conectividad conocidos en grafos estáticos. La regla que acabamos de fijar corresponde a nuestro calendario de transmisiones con duración, sin suponer que todas las convenciones utilizadas en la literatura sean idénticas.

Una ruta factible indica que un mensaje podría atravesar una secuencia bajo estas reglas. Todavía no afirma que se haya enviado. Para calcular transmisiones realizadas harían falta condiciones sobre emisión, pérdida, disponibilidad y comportamiento. En los cálculos de accesibilidad asumiremos que cada contacto puede transportar el mensaje considerado; no modelaremos competencia entre varios mensajes por una capacidad limitada.

La dirección también forma parte de la observación. Una oportunidad de A hacia B no proporciona una oportunidad de B hacia A. Si un contacto fuese bidireccional, habría que representar ambos sentidos y aplicar a cada uno sus reglas temporales. Ni siquiera entonces la existencia de una ruta entre dos estaciones garantizaría una ruta inversa dentro de la misma ventana: el orden necesario para regresar puede haber pasado.

Dos calendarios con el mismo agregado

Los calendarios X e Y contienen seis contactos cada uno. La tabla muestra las salidas; cada llegada ocurre una unidad después.

Al agregar toda la ventana, ambos calendarios producen los enlaces A→B, A→C, B→C, B→D y C→D. El último tiene dos contactos y los demás, uno. Un grafo ponderado por frecuencia conservaría también esa coincidencia. Incluso el número global de contactos en cada instante es igual. Se han cambiado sus asignaciones a los enlaces.

El peso de frecuencia tampoco indica cuándo queda disponible la capacidad asociada. Para un mensaje que llegue a C en el instante cuatro, los dos contactos C→D de X todavía pueden utilizarse, mientras que los dos de Y ya han pasado. Asignarles el mismo peso es correcto como descripción del número de oportunidades registradas. Utilizar ese peso como si representara oportunidades futuras desde cualquier llegada sería una interpretación adicional. El instante en que se recibe el mensaje conecta el registro de contactos con la posibilidad de aprovecharlos.

En X, A puede enviar a B en el instante uno; B recibe en dos y envía a C en tres; C recibe en cuatro y envía a D en cinco. La llegada final ocurre en seis. Todas las esperas intermedias son compatibles con el calendario. El mensaje avanza mediante tres contactos que existen en el orden requerido.

En Y, A dispone de dos salidas: hacia C en seis y hacia B en nueve. Cuando C recibe en siete, sus dos oportunidades hacia D ya pasaron. Cuando B recibe en diez, también han pasado sus salidas hacia C y D. Por consiguiente, A no alcanza D dentro de la ventana, aunque el agregado muestre dos rutas de dos enlaces y una de tres.

El fracaso no proviene de que alguna estación carezca de conexiones. C puede alcanzar D si el mensaje se origina allí desde el inicio, y B puede hacerlo mediante su salida en siete. Lo que falla es la compatibilidad entre la llegada desde A y las oportunidades posteriores. La accesibilidad depende de cuándo se alcanza una estación intermedia, además de su identidad.

Se pueden comprobar todos los pares ordenados, excluyendo cada estación consigo misma. En X son accesibles A→B, A→C, A→D, B→C, B→D y C→D. En Y aparecen los mismos salvo A→D. De los doce pares posibles, resultan accesibles seis y cinco, respectivamente. Los restantes sentidos nunca aparecen porque todos los contactos respetan la dirección de las letras anteriores hacia las posteriores.

El agregado estático hace accesibles esos seis pares. La razón entre pares accesibles temporalmente y pares accesibles en el agregado vale uno para X y $5/6$ para Y. Lentz, Selhorst y Sokolov (2013) emplean una comparación de este tipo al estudiar la fidelidad de una representación estática. El numerador cuenta pares alcanzables, no el número de rutas distintas ni las transmisiones que efectivamente se realizaron.

La diferencia es relevante incluso cuando la razón global resulta alta. En Y solo falla uno de los seis pares que el agregado considera accesibles, pero es precisamente A→D. Si esa entrega es la tarea, la discrepancia determina por completo su viabilidad. Un resumen sobre todos los pares no sustituye el cálculo para un origen, un destino y un plazo específicos.

También desaparece una propiedad habitual de la accesibilidad estática. En Y, A alcanza B y B alcanza D, pero A no alcanza D. Los dos primeros enunciados permiten que cada mensaje esté disponible en su respectivo origen desde el inicio. Al concatenarlos, el mensaje procedente de A llega demasiado tarde a B. Componer relaciones de accesibilidad sin conservar ese instante de llegada añade una ruta que el calendario no permite.

Llegar antes, viajar menos tiempo o usar menos contactos

La expresión camino más corto es ambigua cuando el tiempo importa. Puede referirse al menor número de contactos, a la llegada más temprana desde un instante de disponibilidad o a la menor duración entre la primera salida y la última llegada. El calendario X separa esas tres preguntas.

Las cuatro rutas factibles de A hacia D se enumeran en la tabla. Dos utilizan la misma secuencia de estaciones, pero distintos contactos de C hacia D; por ello son recorridos temporales diferentes.

Con el mensaje disponible desde cero, la llegada más temprana es seis y requiere tres contactos. Las rutas con menos contactos utilizan dos y llegan en ocho o diez. La de menor duración desde su primera salida comienza en seis, llega en diez y tarda cuatro unidades. Su menor duración no la convierte en la entrega más temprana.

La espera inicial explica parte de la diferencia. Quien comienza a evaluar desde cero espera seis unidades antes de iniciar la ruta de duración cuatro. Su tiempo total hasta la entrega es diez. En cambio, el recorrido de tres contactos espera inicialmente una unidad y después dura cinco, por lo que entrega en seis. Restar la primera salida y restar el instante de disponibilidad son operaciones distintas.

Pan y Saramäki (2011) definen una distancia temporal dependiente del instante de consulta que incluye la espera inicial hasta una ruta utilizable. Para un origen y un tiempo inicial fijados, minimizar ese tiempo total equivale a minimizar la llegada. Sus análisis distinguen esta distancia de los saltos del agregado y muestran que pares cercanos en el grafo pueden estar separados por tiempos muy diferentes.

Cambiar el instante inicial cambia el resultado sin modificar ningún contacto. Si el mensaje aparece en A en el instante dos, ya perdió la salida hacia B. Todavía puede utilizar A→C en seis y C→D en nueve, con llegada en diez. Su latencia desde dos es ocho. Si aparece exactamente en seis, aún puede tomar esa misma ruta; si aparece después de seis, no dispone de otra salida utilizable en la ventana.

Esta dependencia impide asignar una única distancia temporal al par sin declarar cómo se trata el inicio. Puede interesar una hora concreta, un promedio sobre horas de aparición o un plazo máximo. Cada elección introduce una distribución o una condición que debe acompañar al resultado. En una aplicación de transporte, por ejemplo, no responden a la misma pregunta los pasajeros que llegan al azar y quienes organizan su salida para un servicio programado.

Los pares sin ruta requieren tratamiento explícito. Una distancia infinita puede representar inaccesibilidad dentro de la ventana elegida. Excluir esos pares al promediar deja un promedio condicionado a poder llegar, capaz de mejorar mientras disminuye la cobertura. Una medida basada en inversas de distancias puede asignarles contribución cero, pero sigue necesitando explicar qué distancias y qué instantes iniciales utiliza.

Podemos calcular un resumen para la consulta en cero: para cada origen, sumamos las inversas de sus latencias mínimas hacia las otras tres estaciones y dividimos entre tres; una estación inaccesible aporta cero. En X, las latencias desde A son dos, cuatro y seis, de modo que el resultado es $11/36$. Desde B, C se alcanza en cuatro y D en seis, mientras A es inaccesible: el resultado es $5/36$. A queda por encima de B.

En Y, A alcanza B en diez y C en siete, pero no D; su valor es $17/210$, aproximadamente $0,0810$. B alcanza C en seis y D en ocho, obteniendo $7/72$, aproximadamente $0,0972$. Ahora B queda por encima de A, pese a que ambos calendarios conservan los mismos grados de salida. La comparación usa nuestro resumen para un instante fijo; no es el promedio temporal definido por Pan y Saramäki. Cambiar los instantes de consulta o la ponderación de destinos exigiría recalcularlo. Un origen puede ser conveniente para una difusión iniciada a determinada hora y perder esa posición si se inicia después.

Demoras y límites de espera

El orden creciente de salidas no basta cuando las transmisiones duran. Mantengamos X, pero aumentemos cada duración de uno a tres. El contacto A→B iniciado en uno llega en cuatro, después de la salida B→C en tres. La cadena que entregaba en seis deja de ser factible, aunque sus salidas sigan apareciendo ordenadas como uno, tres y cinco.

Subsiste una ruta hacia D: A→B en uno, llegada a B en cuatro y B→D en siete, con llegada final en diez. La alternativa por A→C sale en seis y llega a C en nueve; puede enlazar con C→D en nueve gracias a nuestra convención de igualdad, pero termina en doce y excede la ventana. El recorrido más temprano permitido dentro de ella es ahora el de dos contactos, con llegada en diez.

La duración de una conexión y la duración de un envío cumplen funciones distintas. Si un enlace permanece abierto durante cierto periodo, todavía hace falta saber cuánto tarda en cruzarlo un mensaje y si puede comenzar en cualquier instante. Registrar únicamente que el enlace estuvo activo no determina esas condiciones. La situación se vuelve más exigente cuando existen tiempos de preparación, transferencia o procesamiento en las estaciones.

Volvamos a la duración uno e introduzcamos otra regla: cada estación intermedia puede retener el mensaje un máximo de dos unidades antes de reenviarlo. Dejaremos libre la espera inicial en el origen, para distinguir ambas restricciones. La ruta por A→B, B→C y C→D en cinco se mantiene: sus esperas intermedias son uno y uno.

La ruta A→B seguida de B→D desaparece, porque el mensaje llega a B en dos y debería esperar hasta siete. También desaparece la variante que llega a C en cuatro y espera allí al contacto de nueve. En cambio, A→C en seis y C→D en nueve sigue siendo válida: llega a C en siete y espera dos. De las cuatro rutas iniciales quedan exactamente dos.

Una caducidad global describe otro mecanismo. Si el mensaje se crea en cero y pierde utilidad en cinco, ninguna ruta de A a D completa la entrega a tiempo. La ruta de duración cuatro no sirve, porque esa duración empieza a contarse desde su salida en seis. Confundir el tiempo total desde la creación con la permanencia en una estación permitiría aceptar una entrega ya caducada.

Estas reglas afectan también al algoritmo. Con espera ilimitada, llegar antes a una estación suele permitir utilizar cualquier salida que también podría utilizar una llegada posterior. Con una retención máxima, llegar demasiado pronto puede obligar a descartar una salida tardía que sí aprovecharía otro recorrido. Un programa que conserve únicamente la primera llegada puede perder soluciones bajo la segunda regla. El estado necesario debe incluir la información temporal relevante para la restricción.

El propio calendario ofrece un contraejemplo si retiramos únicamente el contacto C→D de cinco y mantenemos la retención máxima de dos. La primera llegada posible a C sigue siendo cuatro, a través de B, pero ya no puede aprovechar la única salida C→D, ahora en nueve. La llegada posterior a C en siete, procedente directamente de A, sí permite esa salida. Si el algoritmo descartase esta segunda llegada por ser más tardía, declararía imposible una entrega que se completa en diez. Por eso, verificar un algoritmo requiere comprobar sus reglas de descarte, además de las rutas que finalmente presenta.

La accesibilidad de un mensaje tampoco resuelve por sí sola un problema de tráfico. Dos rutas factibles por separado podrían competir por un contacto con capacidad para un único envío. Si se permite copiar información, varias ramas pueden avanzar simultáneamente; si se transporta un objeto indivisible, habrá que escoger una. Nuestro cálculo enumera posibilidades para una entrega y no asigna recursos compartidos entre demandas.

Un cálculo que conserva la secuencia

Para la versión con duración uno y salidas enteras, la accesibilidad puede calcularse paso a paso. Sea $A_t$ la matriz que indica los contactos que salen en el instante $t$. Una entrada vale uno cuando existe la salida dirigida correspondiente. Usaremos operaciones booleanas: unir posibilidades significa aplicar la disyunción, y encadenarlas exige que ambas sean verdaderas.

Al pasar del instante $t$ al siguiente, un mensaje puede permanecer en la misma estación o atravesar un contacto disponible. La matriz identidad $I$ representa la primera opción. El producto ordenado

indica qué estaciones pueden alcanzarse al terminar en diez, partiendo desde cero. Los productos se realizan con operaciones booleanas y en orden cronológico. Cada factor permite como máximo una transmisión de duración uno o una espera de esa misma duración.

El procedimiento coincide con el despliegue de accesibilidad que desarrollan Lentz y colaboradores (2013). Añadir la identidad permite saltar instantes sin contacto y conservar información durante la espera. Sin ella, multiplicar únicamente las matrices de contactos exigiría una transmisión en cada paso incluido en el producto y perdería recorridos con intervalos de inactividad.

El orden de los factores tiene consecuencias concretas. Un contacto A→B seguido de otro B→C permite añadir A→C a la accesibilidad. Si se invierte el orden, el segundo contacto ya ha pasado cuando el mensaje llega a B. Las matrices correspondientes no conmutan. Sumarlas antes de buscar caminos conserva que ambos enlaces existieron, pero elimina precisamente la restricción que distingue los dos casos.

Cada factor representa aquí una unidad temporal bien definida. Permitir varios saltos dentro del mismo factor cambiaría el modelo, porque el segundo envío podría empezar antes de terminar el primero. Para duraciones diferentes, puede construirse una red expandida cuyos vértices representen una estación en un instante, con arcos de espera y arcos desde cada salida hasta su llegada. El tamaño de esa representación depende de la resolución y de los eventos conservados.

La expansión temporal evita atribuir a una estación física un estado único durante toda la observación. B antes de su salida hacia D y B después de ella tienen posibilidades futuras diferentes. Reunir ambos estados sin memoria del tiempo genera la falsa concatenación que aparecía en Y. La representación expandida conserva esa diferencia mediante vértices distintos.

Para comprobar el ejemplo se enumeraron todas las secuencias compatibles con los contactos, sin imponer una restricción adicional de no repetir estaciones. La duración positiva impide reutilizar un evento ya pasado. En estos calendarios, además, las direcciones forman un grafo sin ciclos. La enumeración de cada origen coincide con el producto booleano para los doce pares y recupera las cuatro rutas completas de A hacia D en X.

Lo que se pierde al agrupar marcas temporales

La resolución de los datos puede ocultar el orden aun cuando el investigador pretenda conservarlo. Consideremos dos contactos dentro del intervalo $[2,3)$, ambos de duración $0,1$. En una historia, A→B sale en $2,1$ y B→C en $2,8$. Un mensaje disponible en A desde dos llega a B en $2,2$ y a C en $2,9$.

En otra historia se invierten las asignaciones: B→C sale en $2,1$ y A→B en $2,8$. El mensaje alcanza B en $2,9$, cuando la salida hacia C ya terminó. Si ambos registros se reducen a indicar qué enlaces existieron dentro del intervalo, las dos historias resultan indistinguibles. La accesibilidad A→C, sin embargo, tiene valores opuestos.

Tratar el intervalo agregado como un grafo con conectividad instantánea permitiría A→C en ambas historias y añadiría una ruta imposible en la segunda. Exigir como máximo un contacto por intervalo eliminaría la ruta en ambas y perdería la que sí existe en la primera. Ninguna convención recupera por sí sola el orden que se descartó.

Con marcas temporales empatadas, la fila que aparece primero en un archivo no ofrece necesariamente información física adicional. Un algoritmo que actualiza inmediatamente el estado tras cada fila puede crear encadenamientos dependientes de ese orden de almacenamiento. Si todos los contactos simultáneos requieren una duración positiva, deben evaluarse respecto de la disponibilidad anterior a sus llegadas. La representación computacional tiene que respetar esa semántica.

Si solo se conocen intervalos, es posible distinguir rutas garantizadas bajo todas las ordenaciones admisibles de rutas posibles bajo alguna de ellas. En las dos historias anteriores, A→C es posible, pero no está garantizada por el registro agregado. Para determinar cuál ocurrió se necesita más resolución o una restricción externa sobre las salidas. Presentar una única trayectoria sin reconocer esa indeterminación convertiría una decisión de reconstrucción en un dato.

La incertidumbre del reloj puede tener el mismo efecto. Cuando la separación entre dos eventos es menor que el error de sus marcas, su orden puede no estar identificado. Sin embargo, conocer cuál comenzó antes tampoco resuelve una incompatibilidad causada por su duración. Orden, precisión temporal y tiempo de transmisión son componentes diferentes de la evidencia necesaria para enlazar los eventos.

Ventanas finitas y secuencias reconstruidas

El final de la observación limita las conclusiones de accesibilidad. Si acortamos la ventana de los calendarios originales a $[0,6]$, X todavía permite los seis pares, incluida la llegada A→D exactamente en seis. Y permite únicamente B→C y C→D. La salida A→C en seis no completa su llegada antes del cierre y no cuenta como una entrega dentro de la ventana.

La ausencia de ruta en una ventana finita no afirma que nunca exista. Podrían aparecer contactos después del final o haber ocurrido antes del inicio. Para un mensaje creado en cero, los contactos anteriores normalmente no sirven, pero podrían importar si se desconoce cuándo empezó la circulación. La elección del instante inicial debe corresponder al estado que se atribuye al sistema.

También importa la cobertura del registro dentro de la ventana. Bajo nuestras reglas, omitir un contacto real puede eliminar rutas observables; no puede crear una ruta nueva. Añadir por error un contacto puede producir el efecto inverso. Esto permite distinguir el cálculo correcto sobre un archivo de la fidelidad del archivo al sistema. Si una estación dejó de registrar durante parte del periodo, sus ausencias no son equivalentes a una comprobación de que no hubo conexiones. La documentación de interrupciones de registro acompaña a los horarios cuando se interpreta una inaccesibilidad.

Repetir periódicamente un registro añade oportunidades nuevas. Si prolongamos Y repitiendo cada diez unidades sus seis contactos, A puede enviar a C en seis y aprovechar la nueva salida C→D en once, con llegada en doce. Esa ruta no existía en la ventana observada. La repetición es una hipótesis sobre el futuro, aunque conserve exactamente el patrón que se registró una vez.

Pan y Saramäki (2011) tratan los efectos de borde al promediar distancias temporales. Su corrección por pares no equivale a repetir íntegramente toda la secuencia y aceptar cualquier nueva conexión. El detalle importa: distintas prolongaciones responden a supuestos diferentes sobre lo que ocurriría fuera de la observación. Para nuestros calendarios mantendremos la ventana finita y distinguiremos expresamente cualquier extensión hipotética.

La selección de la ventana también puede cambiar una comparación entre redes. Ventanas de distinta duración ofrecen cantidades diferentes de oportunidades para completar rutas. Incluso con igual duración, comenzar antes de un periodo activo o justo después puede producir coberturas diferentes. Comparar accesibilidades exige fijar la regla de inicio y cierre, además de informar cuánto duró el registro.

Alterar el orden para estudiar su efecto

Podemos construir un conjunto de calendarios alternativos que conserve los seis tiempos de salida de X y reasigne entre ellos su multiconjunto de enlaces. Como C→D aparece dos veces, existen $6!/2!=360$ asignaciones distintas. Cada una mantiene el agregado ponderado, la ventana y la actividad global por instante. X e Y pertenecen a ese conjunto.

La enumeración completa muestra que A alcanza D en 304 de los calendarios y no lo alcanza en 56. La fracción $304/360$ describe este conjunto construido, si se otorga el mismo peso a cada asignación. No es una probabilidad estimada de transmisión en un sistema real ni un valor de significación para X o Y. Para esa interpretación haría falta justificar por qué las asignaciones representarían una distribución pertinente.

La reasignación tampoco conserva todos los aspectos del tiempo. Los dos contactos C→D están separados por cuatro unidades en X y por dos en Y. Mantener los tiempos globales deja libertad para alterar los intervalos de cada enlace y su coordinación con enlaces vecinos. Si se quisiera estudiar exclusivamente uno de esos componentes, habría que diseñar una transformación que preservase los otros.

Karsai y colaboradores (2011) comparan propagación sobre secuencias de comunicación y versiones reorganizadas que conservan diferentes propiedades. En sus datos y simulaciones de propagación sin recuperación, las ráfagas de actividad y las relaciones entre pesos y topología contribuyen a ralentizar la expansión. Los modelos de comparación son parte del argumento: intercambiar tiempos individuales y mover secuencias completas por enlaces destruye dependencias distintas.

Ese resultado no convierte la temporalidad en un mecanismo universal de ralentización. Scholtes y colaboradores (2014) muestran que el orden puede ralentizar o acelerar la convergencia de una caminata aleatoria respecto de una representación agregada. Su comparación se refiere a un proceso y a una medida concretos de difusión, no a una velocidad física de transporte aplicable automáticamente a cualquier sistema.

Su representación de segundo orden conserva información sobre pares consecutivos de contactos. El estado incluye el enlace por el que se llegó, de modo que continuar desde B puede depender de si se accedió desde A o desde otra estación. Esa memoria permite representar dependencias que una transición basada únicamente en el nodo actual descartaría. Aun así, conservar estadísticas de dos pasos no equivale a retener toda una cronología finita ni todas sus restricciones de larga duración.

En estos trabajos, hablar de rutas causales alude a que el orden permite una propagación. La expresión no identifica el efecto de intervenir sobre un contacto observado. Para predecir qué ocurriría al cancelarlo habría que especificar si otros horarios, conductas o conexiones responderían al cambio. Nuestro ejemplo puede evaluar calendarios alternativos porque estipula sus reglas completas y mantiene fijas las restantes oportunidades.

La tarea de entrega permite cerrar la comparación con un criterio específico. Con duración uno, un plazo hasta ocho y una retención máxima de dos unidades en estaciones intermedias, X admite únicamente la ruta A→B en uno, B→C en tres y C→D en cinco. Entrega en seis mediante tres contactos. La alternativa de dos contactos por B llegaría en ocho, pero exige una espera no permitida; la alternativa por C cumple la retención, pero llega en diez y excede el plazo. Y no ofrece ninguna ruta. El mismo mapa agregado no permite elegir una entrega válida sin conservar esas condiciones del calendario.

Referencias

Holme, P., y Saramäki, J. (2012). Temporal networks. Physics Reports, 519(3), 97–125. https://doi.org/10.1016/j.physrep.2012.03.001

Karsai, M., Kivelä, M., Pan, R. K., Kaski, K., Kertész, J., Barabási, A.-L., y Saramäki, J. (2011). Small but slow world: How network topology and burstiness slow down spreading. Physical Review E, 83, 025102. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.83.025102

Kempe, D., Kleinberg, J., y Kumar, A. (2000). Connectivity and inference problems for temporal networks. Proceedings of the Thirty-Second Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 504–513. https://doi.org/10.1145/335305.335364

Lentz, H. H. K., Selhorst, T., y Sokolov, I. M. (2013). Unfolding accessibility provides a macroscopic approach to temporal networks. Physical Review Letters, 110, 118701. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.110.118701

Pan, R. K., y Saramäki, J. (2011). Path lengths, correlations, and centrality in temporal networks. Physical Review E, 84, 016105. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.84.016105

Scholtes, I., Wider, N., Pfitzner, R., Garas, A., Tessone, C. J., y Schweitzer, F. (2014). Causality-driven slow-down and speed-up of diffusion in non-Markovian temporal networks. Nature Communications, 5, 5024. https://doi.org/10.1038/ncomms6024