Variables, unidades y escalas características

Por qué las unidades forman parte del modelo

Con este capítulo comienza la segunda parte del tomo, dedicada a las herramientas matemáticas que usaremos a lo largo del libro. La primera parece elemental y consiste en distinguir variables, unidades y escalas. Muchos errores de modelamiento aparecen, sin embargo, antes de cualquier cálculo difícil. Una ecuación puede manipularse algebraicamente y carecer de sentido porque suma magnitudes incompatibles, atribuye unidades incorrectas a un parámetro o compara sistemas mediante números que dependen de una elección arbitraria de escala.

Consideremos una sala que recibe pacientes y los da de alta a lo largo del día. Sea $N(t)$ el número de personas presentes en el instante $t$. Si las admisiones ocurren a una tasa $a$ y las altas a una tasa proporcional al número de pacientes, una ecuación mínima es

Antes de resolverla ya puede extraerse información. La variable $N$ es un número de pacientes. Si $t$ se mide en días, $dN/dt$ tiene unidades de pacientes por día, de modo que $a$ también debe medirse en pacientes por día. Para que $kN$ tenga esas mismas unidades, $k$ debe tener unidades de 1/día. Si alguien expresara $k$ en pacientes por día, la ecuación dejaría de ser dimensionalmente consistente, porque los términos que se restan representarían magnitudes de naturaleza diferente.

La consistencia dimensional no demuestra que el modelo sea verdadero, porque muchas ecuaciones falsas tienen unidades perfectamente coherentes. Su función es más modesta y muy útil. Descarta representaciones que no pueden ser correctas tal como están escritas y hace explícita la interpretación física, biológica u operacional de los parámetros. A lo largo del libro aplicaremos este control antes de interpretar cualquier resultado numérico.

Magnitud, dimensión y unidad

Conviene separar tres niveles. Una magnitud es una propiedad susceptible de comparación cuantitativa dentro de un esquema de medición. La dimensión expresa el tipo de magnitud en términos de dimensiones básicas, mientras que la unidad fija una convención concreta para asignarle números. La longitud tiene dimensión L y puede expresarse en metros, centímetros o kilómetros. El valor numérico cambia con la unidad y la dimensión se mantiene.

El Sistema Internacional de Unidades, que mantiene la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (BIPM, 2019), define siete magnitudes básicas, que son la longitud, la masa, el tiempo, la corriente eléctrica, la temperatura termodinámica, la cantidad de sustancia y la intensidad luminosa. Muchas variables se construyen a partir de ellas. Una velocidad tiene dimensión $\mathrm{L\,T^{-1}}$, una aceleración $\mathrm{L\,T^{-2}}$ y una constante de decaimiento exponencial $\mathrm{T^{-1}}$. En otros campos las unidades son operacionales y no se reducen de manera útil a dimensiones físicas. Un conteo de pacientes, una probabilidad o una fracción de ocupación requieren igualmente una definición explícita, aunque sean adimensionales o se traten como conteos.

Que una cantidad sea adimensional no significa que carezca de interpretación. Una proporción, una probabilidad y el cociente entre dos longitudes son adimensionales y representan objetos conceptualmente distintos. El número 0,5 puede designar una probabilidad, una prevalencia relativa, una concentración normalizada o la mitad de una longitud de referencia, de modo que el valor numérico no determina qué representa la variable.

También hay que distinguir variables de parámetros. En el modelo $dN/dt = a - kN$, $N$ cambia durante la evolución y es una variable de estado. Los parámetros $a$ y $k$ se consideran constantes mientras se analiza una ejecución concreta. Nada impide construir después un modelo en que $a$ cambie con la hora o $k$ dependa de la dotación disponible. En ese caso dejarían de desempeñar el mismo papel matemático, porque la clasificación depende de la representación elegida.

Consistencia dimensional

Una ecuación físicamente interpretable debe respetar la homogeneidad dimensional. Los términos que se suman o restan deben compartir dimensiones y ambos lados de una igualdad deben representar magnitudes compatibles. La regla permite detectar errores sin conocer la solución.

Supongamos un modelo para una cantidad $x(t)$ con dimensión de masa M,

El lado izquierdo tiene dimensión $\mathrm{M\,T^{-1}}$. El término $rx$ debe tener la misma dimensión, de modo que $r$ tiene dimensión $\mathrm{T^{-1}}$. Para que $bx^2$ tenga dimensión $\mathrm{M\,T^{-1}}$, $b$ debe tener dimensión $\mathrm{M^{-1}\,T^{-1}}$. Asignar a $r$ y $b$ las mismas unidades porque ambos aparecen como coeficientes sería un error. La dimensión de un parámetro depende de la magnitud a la que multiplica y de la exigencia de que todos los términos sean compatibles, con independencia de su posición algebraica.

El principio restringe también los argumentos de ciertas funciones. Expresiones como $e^{z}$, $\sin z$ o $\log z$ requieren un argumento adimensional. En $e^{-kt}$, el producto $kt$ debe ser adimensional, lo que exige que $k$ tenga dimensión $\mathrm{T^{-1}}$ cuando $t$ tiene dimensión T. El razonamiento reaparecerá al estudiar el decaimiento, la relajación, las oscilaciones y las distribuciones de probabilidad.

La consistencia dimensional sirve también para auditar el código. Si un programa recibe tiempos en horas y usa sin convertirla una tasa estimada por día, la sintaxis es válida y el computador devuelve números. Con una tasa de 0,2 por día interpretada como 0,2 por hora, el decaimiento simulado es 24 veces más rápido que el previsto. El error reside en el modelo implementado. Conviene acompañar cada parámetro con su unidad y mantener explícitas las conversiones, porque una simulación numéricamente estable puede ser científicamente incorrecta si mezcla escalas incompatibles.

Ecuaciones de balance

Muchos modelos comienzan con una idea de balance. Para una cantidad acumulada $X$, el cambio temporal puede escribirse como

La expresión no especifica todavía ningún mecanismo. Es una contabilidad dinámica. La física la usa para la masa, la energía o la cantidad de movimiento, la biología para poblaciones y sustancias, la farmacocinética para cantidades de fármaco y los sistemas sanitarios para personas en espera o camas ocupadas (Sterman, 2000). La semejanza formal no implica que los mecanismos sean equivalentes, porque cada término debe derivarse o justificarse según el sistema real.

Consideremos un depósito que recibe material a una tasa constante $q$ y lo pierde a una tasa proporcional a la cantidad presente,

Si $X$ se mide en miligramos y $t$ en horas, $q$ tiene unidades de mg/h y $k$ de $\mathrm{h^{-1}}$, de modo que la salida $kX$ vuelve a expresarse en mg/h. El modelo supone mezcla homogénea y una pérdida proporcional al contenido. Son hipótesis mecanicistas que la ecuación de balance no impone.

El equilibrio $X^*$ se obtiene con $dX/dt = 0$, es decir, $q - kX^* = 0$ y

Las unidades confirman el resultado, porque $(\mathrm{mg/h})/(\mathrm{h^{-1}}) = \mathrm{mg}$. El cociente $q/k$ define una escala natural de cantidad para este modelo. Si $q$ se duplica con $k$ fijo, el equilibrio se duplica. Si $k$ se duplica con $q$ fijo, el equilibrio se reduce a la mitad. Sin resolver todavía la trayectoria, el análisis de unidades y de balances ya identificó relaciones importantes.

Escalas características

Una escala característica es una magnitud de referencia que representa un tamaño, un tiempo, una velocidad u otra cantidad pertinente para el comportamiento del modelo. No siempre hay una única elección y escogerla forma parte del análisis. Una buena escala permite comparar términos, reconocer qué parámetros dominan y expresar las variables en forma adimensional.

En $dX/dt = q - kX$ aparece de inmediato una escala temporal. Como $k$ tiene dimensión $\mathrm{T^{-1}}$, su inverso tiene dimensión de tiempo, $T = 1/k$. Esta duración describe el ritmo con que el sistema responde. Si $q$ se interrumpe, la ecuación queda $dX/dt = -kX$ y la solución decae como $e^{-kt}$. Después de un tiempo $T = 1/k$ la cantidad se ha multiplicado por $e^{-1} \approx 0{,}368$. Después de varios múltiplos de $T$, el efecto de la condición inicial se vuelve pequeño.

La escala de estado puede tomarse como el equilibrio $X^* = q/k$, una referencia natural para medir cuánto vale $X$ respecto de su nivel estacionario. La variable normalizada vale uno cuando $X = X^*$ y dos cuando $X = 2X^*$, lo que facilita comparar sistemas con valores absolutos muy diferentes.

Una escala característica no coincide necesariamente con un promedio observado ni con un parámetro medido directamente. Puede surgir de una combinación de parámetros, como $q/k$. Su utilidad se juzga por la estructura del problema y por la pregunta que se intenta responder.

Adimensionalización paso a paso

La adimensionalización expresa las variables como cocientes respecto de escalas de referencia (Strogatz, 2015). No elimina la física ni la interpretación del modelo. Reorganiza la ecuación para separar lo que depende de unidades particulares de lo que determina su forma relativa.

Partimos de $dX/dt = q - kX$ con $q > 0$ y $k > 0$, de modo que $X_c = q/k$ y $T_c = 1/k$ son escalas positivas. Si $q = 0$, la escala $q/k$ se anula y hay que elegir otra escala de cantidad, por ejemplo una condición inicial positiva. Si $k = 0$, desaparece la escala de relajación y se requiere otra referencia temporal. Definimos las variables adimensionales

Como $X = X_c\,y$ y $d\tau/dt = k$, la regla de la cadena da

Al sustituir en la ecuación original se obtiene $X_c k\, dy/d\tau = q - k X_c\, y$. Como $X_c k = q$, basta dividir por $q$ para llegar a

Los parámetros $q$ y $k$ desaparecieron de la ecuación adimensional, aunque siguen importando en el sistema real, porque determinan cómo convertir $y$ y $\tau$ de vuelta a unidades físicas. Lo que se mostró es que, dentro de este modelo, todos los sistemas con $q > 0$ y $k > 0$ comparten la misma evolución cuando el estado y el tiempo se expresan en sus propias escalas características. La solución adimensional es

Un depósito con $k = 1\ \mathrm{h^{-1}}$ tiene $T_c = 1$ h y otro con $k = 0{,}1\ \mathrm{h^{-1}}$ tiene $T_c = 10$ h. Ambos alcanzan la misma fracción de aproximación al equilibrio después del mismo número de tiempos característicos, una comparación más informativa que decir que tardaron mucho o poco sin especificar la escala.

Dos sistemas distintos con una misma dinámica normalizada

El sistema A recibe $q = 20$ mg/h y tiene $k = 0{,}5\ \mathrm{h^{-1}}$, de modo que su equilibrio es $X^* = 40$ mg y su escala temporal, 2 h. El sistema B recibe $q = 300$ mg/día y tiene $k = 0{,}1\ \text{día}^{-1}$, con equilibrio $X^* = 3000$ mg y escala temporal de 10 días. Los valores absolutos difieren en órdenes de magnitud y las unidades de tiempo no son las mismas.

Si ambos parten vacíos, la solución es $X(t) = X^*\big(1 - e^{-kt}\big)$. Después de una escala temporal, 2 horas en A y 10 días en B, se tiene $kt = 1$ en los dos y $X/X^* = 1 - e^{-1} \approx 0{,}632$. Después de tres escalas temporales, $kt = 3$ y la fracción es $1 - e^{-3} \approx 0{,}950$, lo que A logra en 6 horas y B en 30 días. La diferencia absoluta es enorme, mientras la dinámica relativa es idéntica, como muestra la figura 11.1.

Supongamos que alguien compara solo los tiempos absolutos y concluye que B es menos resiliente porque tarda más en acercarse a su equilibrio. La afirmación exigiría justificar que el tiempo absoluto es el criterio pertinente y que ambos sistemas deben compararse en la misma unidad operacional. En el modelo normalizado ambos tienen la misma forma de relajación. La elección de la escala puede modificar, así, la interpretación de una comparación.

El resultado depende de la estructura lineal propuesta. Si la salida se saturara, dependiera de un umbral o cambiara con el tiempo, la adimensionalización podría dejar uno o varios parámetros adimensionales en la ecuación. Esos parámetros suelen ser especialmente informativos, porque expresan relaciones entre procesos que ningún cambio de unidades elimina.

Parámetros adimensionales y competencia entre procesos

En el ejemplo anterior, la elección de $X_c = q/k$ y $T_c = 1/k$ eliminó todos los parámetros, porque el modelo tiene una sola escala temporal independiente y una escala de estado construida con $q$ y $k$. En sistemas más ricos, la adimensionalización deja parámetros sin dimensión que condensan la competencia entre procesos.

Supongamos que el sistema de relajación recibe una entrada periódica,

donde $A$ es una amplitud relativa y $\omega$ tiene dimensión $\mathrm{T^{-1}}$. Para interpretar la entrada como un aporte no negativo, supondremos $q_0 > 0$ y $|A| \le 1$. Con $T_c = 1/k$ y $X_c = q_0/k$, el argumento $\omega t$ se convierte en $(\omega/k)\,\tau$ y la ecuación queda

Quedan la amplitud relativa $A$ y el cociente $\Omega$, además de la condición inicial normalizada. El cociente $\Omega$ compara la frecuencia del forzamiento con la tasa interna de relajación. Como ambas tienen dimensión de tiempo inversa, no cambia al pasar de horas a días.

Pasado el transitorio, la respuesta oscila alrededor de 1 con amplitud $A/\sqrt{1 + \Omega^2}$ y un retraso de fase $\arctan\Omega$, el mismo resultado del ejercicio 9.4. Si $\Omega$ es pequeño, el forzamiento varía lentamente respecto del ajuste interno y el estado lo sigue casi por completo. Si es grande, el sistema no alcanza a responder y filtra las oscilaciones. Con $\Omega = 10$, solo llega al estado un 10 % de la amplitud del forzamiento. La figura 11.2 muestra ambos regímenes.

La misma lógica aparece en muchos campos. Un parámetro adimensional puede comparar transporte con reacción, inercia con viscosidad, producción con eliminación o una escala de aprendizaje con otra de cambio ambiental. Los nombres varían según la disciplina, aunque la idea es la misma. Cuando dos procesos tienen dimensiones compatibles, su razón indica cuál domina o si ambos compiten en una región intermedia.

Decir que un proceso es rápido carece de contenido mientras no se indique respecto de qué otro proceso o de qué escala. Una respuesta de una hora es lenta frente a una señal que cambia cada minuto y rápida frente a otra que cambia cada semana. Los cocientes adimensionales convierten esa comparación en parte explícita del modelo.

El principio puede usarse en aplicaciones clínicas u organizacionales aunque no todos los procesos admitan una medición precisa. Supongamos que una variable clínica responde a una intervención con una constante temporal de ocho semanas y que la intervención alterna cada semana entre dos intensidades, con un período de dos semanas. Entonces $\omega = 2\pi/2 = \pi$ por semana, $k = 1/8$ por semana y $\Omega \approx 25$. Según el modelo, a la variable llega menos del 5 % de la amplitud de esa alternancia. Cuantificar la separación exige datos y una definición del estado, aunque la intuición sobre las escalas puede orientar la pregunta.

El teorema π de Buckingham y los grupos adimensionales

El teorema π de Buckingham (1914) sistematiza la búsqueda de combinaciones adimensionales. Se escribe una matriz con los exponentes dimensionales de las $n$ cantidades consideradas. Si esa matriz tiene rango $r$, existen $n - r$ grupos adimensionales independientes. El número $r$ es el rango de la matriz, que no coincide necesariamente con el número de dimensiones fundamentales disponibles. Una relación dimensionalmente homogénea puede reformularse como una relación entre esos grupos (Bridgman, 1922; Barenblatt, 2003). El teorema reduce el número de argumentos sin determinar la función que los relaciona. Las cantidades que ya son adimensionales, como una amplitud angular, cuentan también entre los argumentos del problema.

Un ejemplo clásico es el período $P$ de un péndulo simple en el régimen de oscilaciones pequeñas. Supongamos que depende de la longitud $L$, de la aceleración gravitatoria $g$ y, quizá, de la masa $m$. Las dimensiones son $[P] = \mathrm{T}$, $[L] = \mathrm{L}$, $[g] = \mathrm{L\,T^{-2}}$ y $[m] = \mathrm{M}$. Una combinación adimensional de la forma $P\,L^{a}\,g^{b}\,m^{c}$ exige $c = 0$ para eliminar la masa, $a + b = 0$ para la longitud y $1 - 2b = 0$ para el tiempo. Se obtiene $b = 1/2$, $a = -1/2$ y

El análisis dimensional indica que $\Pi$ debe ser una constante si esas son las únicas variables relevantes en el régimen considerado. No da el valor $2\pi$, que requiere resolver la dinámica. Tampoco demuestra que la masa nunca importe en un péndulo real, porque en otras condiciones pueden intervenir la fricción, la amplitud, la geometría del cuerpo o la resistencia del aire.

Si no se fija el régimen de pequeña amplitud, hay que incluir el ángulo inicial $\theta_0$ como argumento adimensional. La conclusión pasa a ser $P\sqrt{g/L} = F(\theta_0)$, una función de la amplitud. El límite $F(\theta_0) \to 2\pi$ cuando $\theta_0 \to 0$ proviene de la dinámica del péndulo ideal. Esa misma dinámica muestra que con una amplitud de 30° el período es cerca de un 1,7 % mayor que el de las oscilaciones pequeñas y con una de 90°, cerca de un 18 % mayor. La selección previa de variables es una hipótesis física indispensable para aplicar el teorema.

La utilidad epistemológica del procedimiento es precisa. Permite descartar dependencias dimensionalmente imposibles, identificar combinaciones de variables y diseñar comparaciones entre sistemas. No sustituye la teoría del mecanismo ni los datos empíricos, porque una ecuación dimensionalmente correcta puede ser físicamente equivocada.

Normalización, estandarización y cambio de unidades

En investigación se usan varios procedimientos que cambian los números de una variable y que no deben confundirse. Convertir 120 minutos en 2 horas es un cambio de unidad. Dividir $X$ por una escala $X_c$ para obtener $y = X/X_c$ es una normalización adimensional. Restar la media y dividir por la desviación estándar es una estandarización estadística. Las tres operaciones pueden producir números más convenientes y responden a preguntas diferentes.

La normalización física expresa una variable respecto de una escala con significado en el modelo. Si una concentración se divide por la de equilibrio, el valor uno tiene una interpretación dinámica. En una puntuación estandarizada, en cambio, el cero representa la media del conjunto de referencia y el uno, una desviación estándar por encima. Cambiar la población de referencia cambia esos valores aunque el individuo no haya cambiado. Un puntaje de 30 en una escala de síntomas equivale a $z = 2$ en una muestra comunitaria con media 20 y desviación estándar 5. En una muestra clínica con media 32 y desviación estándar 8 equivale a $z = -0{,}25$.

La distinción será importante con datos clínicos. Convertir síntomas o señales en puntuaciones $z$ puede servir para comparar magnitudes estadísticas, aunque no crea una variable de estado adimensional con significado dinámico. Para afirmarlo hay que especificar qué escala caracteriza el proceso y por qué.

También hay que conservar las transformaciones usadas, porque una curva en variables normalizadas puede ocultar diferencias absolutas relevantes. Dos servicios pueden mostrar la misma ocupación relativa del 90 %, con nueve camas ocupadas de diez en uno y novecientas de mil en el otro. Ante cinco pacientes adicionales, el primero se desborda y el segundo los absorbe. Si interesa la vulnerabilidad ante una demanda adicional fija, la escala absoluta vuelve a importar. Una representación útil para una pregunta puede ser insuficiente para otra.

Escalas en sistemas biológicos, clínicos y organizacionales

Los sistemas que estudiaremos contienen varias escalas simultáneas. En neurociencia coexisten milisegundos de actividad neuronal, segundos de integración perceptiva y ritmos de horas. En farmacología, la absorción, la distribución, la unión a receptores y la adaptación fisiológica pueden tener tiempos distintos. En un sistema asistencial, una decisión se toma en minutos mientras una modificación de la dotación requiere meses. Que estos procesos compartan un sistema no autoriza a representarlos con una única escala temporal.

Cuando las escalas están muy separadas aparecen aproximaciones útiles. Un proceso rápido puede alcanzar casi su régimen estacionario mientras otro cambia lentamente. Más adelante estudiaremos los sistemas lento-rápidos y la eliminación de variables. Por ahora basta reconocer que la razón entre escalas puede informar más que cada valor por separado. Si $T_{\text{rápido}}/T_{\text{lento}}$ es muy pequeño, como el cociente de unos 0,002 entre un proceso de diez minutos y otro de tres días, esa relación puede justificar ciertas simplificaciones. Si es cercano a uno, los procesos pueden requerir una representación acoplada.

En psiquiatría conviene ser especialmente cuidadoso. Decir que el cerebro opera en una escala y la experiencia en otra no establece cómo se conectan ambas descripciones. Tampoco basta observar patrones de duraciones diferentes para inferir una jerarquía causal. Las escalas deben definirse a partir de variables y mecanismos concretos. Un episodio clínico, una fluctuación afectiva horaria y una trayectoria de años pueden requerir representaciones distintas, cuya relación debe investigarse sin darla por supuesta a partir del vocabulario multiescala.

La misma cautela vale para los indicadores organizacionales. Una tasa mensual puede ocultar variaciones diarias que producen saturaciones locales. Un registro minuto a minuto puede contener, a la inversa, más detalle del necesario para una pregunta estratégica. La resolución adecuada depende de lo que se intenta explicar, predecir o decidir.

Consolidación

Ante una ecuación, el procedimiento de este capítulo empieza por identificar qué representa cada variable y en qué unidades se expresa. Sigue con la comprobación de que los términos sumados o igualados sean dimensionalmente compatibles y con la búsqueda de combinaciones de parámetros que definan escalas naturales de estado o de tiempo. Termina expresando las variables respecto de esas escalas y observando qué parámetros permanecen en la ecuación adimensional.

En el modelo $dX/dt = q - kX$, la consistencia dimensional exigió que $q$ tuviera dimensión de cantidad por tiempo y $k$ de tiempo inverso. De esas dimensiones surgieron las escalas $X_c = q/k$ y $T_c = 1/k$. La transformación $y = X/X_c$, $\tau = t/T_c$ redujo la dinámica a $dy/d\tau = 1 - y$, de modo que una familia completa de sistemas comparte la misma evolución relativa aunque sus cantidades y tiempos absolutos difieran. Con una entrada periódica quedó un parámetro, $\Omega$, que decide si el estado sigue o filtra el forzamiento.

El teorema π de Buckingham generalizó la idea, porque las combinaciones adimensionales reducen un problema y revelan qué razones entre magnitudes controlan su comportamiento. El análisis dimensional no selecciona mecanismos ni garantiza que las variables elegidas sean suficientes. Su fuerza reside en imponer estructura antes del cálculo y en facilitar comparaciones que no dependan de una elección arbitraria de unidades. El cuadro 11.1 reúne los conceptos del capítulo.

Cuadro 11.1. Conceptos de unidades y escalas.

En los próximos capítulos representaremos estados mediante vectores, estudiaremos transformaciones lineales y retomaremos valores propios, derivadas y matrices jacobianas. Las unidades seguirán presentes aunque dejen de ocupar el centro de la exposición. Ante cada ecuación nueva, una de las primeras preguntas seguirá siendo qué significa cada término y qué dimensiones debe tener para que la expresión sea coherente.

Ejercicios

Ejercicio 11.1. (a) En $dN/dt = a - kN$, con $N$ en pacientes y $t$ en días, indique las unidades de $a$ y $k$. (b) En $dx/dt = rx - bx^2$, con $x$ en gramos y $t$ en horas, indique las unidades de $r$ y $b$. (c) Un programa usa $t$ en horas y una tasa de eliminación $k = 0{,}2$ estimada por día. ¿Qué tasa diaria simula en realidad y qué consecuencia tiene? (d) ¿Es dimensionalmente válida la expresión $dX/dt = q - e^{t}$? ¿Cómo podría corregirse?

Ejercicio 11.2. Un depósito vacío sigue $dX/dt = q - kX$ con $q = 12$ mg/h y $k = 0{,}3\ \mathrm{h^{-1}}$. (a) Calcule el equilibrio y la escala temporal. (b) ¿Cuánto tarda en alcanzar el 90 % del equilibrio? (c) ¿Cómo cambian el equilibrio y la escala temporal si $q$ se duplica y $k$ se reduce a la mitad?

Ejercicio 11.3. (a) Adimensionalice el modelo logístico $dx/dt = r\,x\,(1 - x/K)$ con las escalas $x_c = K$ y $t_c = 1/r$. ¿Quedan parámetros? (b) Agregue una extracción constante $h$, de modo que $dx/dt = r\,x\,(1 - x/K) - h$. Muestre que la ecuación adimensional contiene un único parámetro, $H = h/(rK)$. (c) Muestre que hay equilibrios positivos solo si $H \le 1/4$ y calcúlelos para $H = 0{,}2$. ¿Qué ocurre con $H = 0{,}3$?

Ejercicio 11.4. Considere $dy/d\tau = 1 + A\cos(\Omega\tau) - y$ con $A = 0{,}5$. (a) Calcule la amplitud estacionaria de la oscilación con $\Omega$ igual a 0,1; 1 y 10. (b) En el ejemplo clínico del texto, compruebe que $\Omega \approx 25$ y calcule qué fracción de la amplitud llega al estado. (c) ¿Con qué período debería alternar la intervención para que llegara la mitad de la amplitud?

Ejercicio 11.5. (a) Obtenga el grupo adimensional del péndulo simple con el método del texto. (b) Con $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$, calcule el período de un péndulo de 1 m con oscilaciones pequeñas y con una amplitud de 90°, usando en este caso el factor 1,18. (c) La distancia $d$ recorrida en caída libre desde el reposo depende del tiempo $t$, de $g$ y quizá de la masa $m$. Obtenga el grupo adimensional y diga qué parte del resultado no puede obtenerse por análisis dimensional. (d) Un problema tiene cinco cantidades cuya matriz dimensional tiene rango 3. ¿Cuántos grupos adimensionales independientes hay?

Ejercicio 11.6. (a) Dos servicios tienen una ocupación del 90 %, uno con 10 camas y otro con 1000. ¿Cuál se desborda si llegan cinco pacientes adicionales? (b) Un puntaje de 30 se compara con una muestra comunitaria de media 20 y desviación estándar 5 y con una clínica de media 32 y desviación estándar 8. Calcule ambas puntuaciones $z$. (c) ¿Por qué ninguna de ellas es una variable de estado adimensional en el sentido de este capítulo?

Ejercicio 11.7. Un proceso rápido tiene una constante temporal de 10 minutos y uno lento, de 3 días. (a) Calcule la razón entre ambas escalas. (b) ¿Qué simplificación sugiere? (c) ¿Qué habría que verificar antes de aplicarla?

Referencias

Barenblatt, G. I. (2003). Scaling. Cambridge University Press.

Bridgman, P. W. (1922). Dimensional analysis. Yale University Press.

Buckingham, E. (1914). On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Physical Review, 4(4), 345–376. https://doi.org/10.1103/PhysRev.4.345

Bureau International des Poids et Mesures. (2019). The International System of Units (SI) (9.ª ed.). https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure

Sterman, J. D. (2000). Business dynamics: Systems thinking and modeling for a complex world. Irwin/McGraw-Hill.

Strogatz, S. H. (2015). Nonlinear dynamics and chaos: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering (2.ª ed.). Westview Press.