Ventanas periódicas, intermitencia y coexistencia

Dos espacios que no deben confundirse

La dinámica discreta no progresa de manera tan lineal como podría sugerir la secuencia de los capítulos anteriores. Tras los puntos fijos y los ciclos llegaron la cascada de duplicaciones, la expansión, las definiciones de caos y los exponentes de Lyapunov. Sería fácil concluir que, una vez alcanzado un régimen caótico al aumentar un parámetro, el sistema permanece caótico de manera homogénea. Los mapas no lineales muestran una estructura mucho más fragmentada. Dentro de regiones con órbitas aperiódicas pueden abrirse intervalos en los que reaparece una órbita periódica atractora, cerca de ciertos umbrales una trayectoria puede alternar episodios casi regulares con ráfagas irregulares y, en otros modelos, dos atractores pueden existir a la vez para los mismos parámetros.

Los tres fenómenos reciben nombres distintos porque responden a preguntas distintas. Una ventana periódica es una propiedad de una familia de sistemas al variar un parámetro. La intermitencia es un patrón temporal de alternancia entre fases dinámicas cualitativamente diferentes. La coexistencia, o multiestabilidad, es una propiedad del espacio de estados a parámetro fijo, en la que varios atractores tienen cuencas distintas.

Conviene separar desde el principio dos espacios. En el espacio de estados fijamos el parámetro y preguntamos qué ocurre con distintas condiciones iniciales. En el espacio de parámetros variamos el parámetro y preguntamos cómo se reorganiza la dinámica. La coexistencia pertenece a la primera pregunta y la ventana periódica a la segunda. Si dos simulaciones con el mismo parámetro convergen a comportamientos diferentes porque parten de condiciones iniciales distintas, eso es evidencia de multiestabilidad. Si el comportamiento cambia al modificar el parámetro y en cada valor hay un solo atractor relevante, el fenómeno es otro. También hay que separar la dinámica asintótica de los transitorios, porque una trayectoria que durante miles de iteraciones parece caótica puede terminar convergiendo a un ciclo.

Una ventana periódica en el mapa logístico

En el mapa logístico $F_r(x)=rx(1-x)$, dentro de las regiones con exponente de Lyapunov positivo aparecen intervalos donde una órbita periódica vuelve a ser atractora. El ejemplo clásico es la ventana principal de período 3 (Alligood et al., 1996), cuyo nacimiento puede estudiarse sin inspección gráfica. Un ciclo de período 3 es un punto fijo de la tercera iterada que no lo es de $F_r$. En el borde izquierdo de la ventana, un par de ciclos de período 3 aparece mediante una bifurcación de nodo-silla de $F_r^3$, de modo que en el umbral se cumplen a la vez

Al factorizar $F_r^3(x)-x$ y separar los factores de los puntos fijos queda un polinomio de grado seis cuyos ceros son los dos ciclos de período 3. Su condición de raíz doble da, dentro del rango $0\le r\le4$,

Para $r$ ligeramente mayor coexisten un ciclo estable de período 3 y otro inestable del mismo período. La palabra ventana es apropiada, porque en una escala gruesa del parámetro se observa dinámica aperiódica y, al ampliar una zona estrecha, reaparece una organización periódica. El comportamiento no progresa de manera irreversible hacia la irregularidad.

La estabilidad del nuevo ciclo tampoco dura. Al aumentar $r$, su multiplicador disminuye hasta $-1$. Resolviendo a la vez $F_r^3(x)=x$ y $(F_r^3)'(x)=-1$ se obtiene $r\approx3{,}841499008$, donde el ciclo de período 3 sufre su propia duplicación y nace uno de período 6. Después llegan los períodos 12 y 24, en una cascada que reproduce a escala interna la del capítulo 54. Una ventana contiene, por tanto, su propia secuencia de bifurcaciones y su propia transición a la dinámica aperiódica (figura 58.1).

El exponente de Lyapunov cambia de signo varias veces en un intervalo estrecho. Con $r=3{,}826$ vale $0{,}389$ nats por iteración, con $r=3{,}83$ vale $-0{,}370$ y la órbita converge al ciclo de período 3, con $r=3{,}845$ vale $-0{,}326$ y la órbita converge a período 6. Con $r=3{,}86$ vuelve a ser positivo, $0{,}384$. Estos valores diagnostican órbitas concretas después de descartar un transitorio y no describen por sí solos toda la geometría de la ventana.

El borde de la ventana antes de que exista el ciclo

El borde izquierdo es instructivo porque la dinámica cambia antes de que exista el ciclo estable. Para $r<r_{SN}$, la tercera iterada todavía no tiene el par de puntos fijos que aparecerá en la nodo-silla, aunque su gráfica pasa muy cerca de ser tangente a la diagonal. En esa región, la diferencia $F_r^3(x)-x$ es pequeña durante parte del recorrido y la órbita avanza muy despacio respecto del mapa de retorno de tres pasos. Durante muchas iteraciones parece seguir un patrón de período 3, con tres posiciones que casi se repiten, hasta que abandona esa región y produce una ráfaga irregular antes de volver a otro episodio casi periódico.

El patrón se llama intermitencia y, en este caso, corresponde a la intermitencia de tipo I de Pomeau y Manneville (1980), asociada a una bifurcación tangencial con multiplicador $+1$. La figura 58.2a muestra la cantidad $d_n=|x_{n+3}-x_n|$ con $r=r_{SN}-10^{-6}$. Cuando $d_n$ es pequeño, la trayectoria está en una fase laminar. Las excursiones grandes corresponden a las ráfagas. El umbral dibujado es una ayuda descriptiva, porque cambiarlo modifica la segmentación de los episodios sin alterar el fenómeno.

La intermitencia ilustra por qué una serie corta puede engañar. Quien observe solo una fase laminar concluirá que el sistema es casi periódico. Quien observe solo una ráfaga lo clasificará como irregular. La propiedad pertinente es la alternancia organizada entre ambas fases y su relación con la proximidad a un umbral.

La ley de escala de la intermitencia de tipo I

Cerca de una tangencia genérica, el mapa de retorno se reduce localmente, después de cambios de coordenadas y de parámetro, a la forma

con $\varepsilon>0$ pequeño del lado en que no hay punto fijo. El índice $m$ cuenta iteraciones del mapa de retorno. Como la diferencia por paso es $\varepsilon+y_m^2$, en el cuello dinámico la evolución discreta puede aproximarse por $dy/dm=\varepsilon+y^2$, de modo que el tiempo necesario para atravesar una región $[-a,a]$ es

Cuando $\varepsilon\to0^+$ con $a$ fijo, el arcotangente tiende a $\pi/2$ y

El tiempo laminar diverge como $\varepsilon^{-1/2}$ al acercarse al umbral. La ley proviene de la lentitud geométrica que produce una casi tangencia, el mismo mecanismo de cuello que el capítulo 44 encontró en la nodo-silla continua.

El bloque siguiente comprueba la ley en el mapa logístico, sin pasar por la forma normal. Mide la duración media de las fases laminares para cinco distancias al umbral, usando como criterio que $|x_{n+3}-x_n|$ se mantenga por debajo de un umbral pequeño.

import numpy as np

r_sn = 1 + np.sqrt(8)                       # nacimiento tangencial del ciclo de período 3

def longitud_laminar(eps, umbral=0.02, N=2_000_000):
    """Duración media de las fases casi periódicas con r = r_sn - eps."""
    r = r_sn - eps
    x = 0.4
    for _ in range(1000):
        x = r * x * (1 - x)
    historia = np.empty(N)
    for k in range(N):
        historia[k] = x
        x = r * x * (1 - x)
    laminar = np.abs(historia[3:] - historia[:-3]) < umbral
    cambios = np.diff(laminar.astype(int))
    inicios = np.flatnonzero(cambios == 1)
    finales = np.flatnonzero(cambios == -1)
    if finales[0] < inicios[0]:
        finales = finales[1:]
    n = min(len(inicios), len(finales))
    return np.mean(finales[:n] - inicios[:n])

print("    eps      longitud laminar media")
eps = np.array([1e-4, 3e-5, 1e-5, 3e-6, 1e-6])
largos = np.array([longitud_laminar(e) for e in eps])
for e, L in zip(eps, largos):
    print(f"{e:8.1e}   {L:12.1f}")
pendiente = np.polyfit(np.log(eps), np.log(largos), 1)[0]
print(f"pendiente logarítmica {pendiente:.4f}   valor teórico -0.5")

El programa imprime lo siguiente.

    eps      longitud laminar media
 1.0e-04           23.1
 3.0e-05           40.6
 1.0e-05           69.0
 3.0e-06          125.6
 1.0e-06          215.4
pendiente logarítmica -0.4858   valor teórico -0.5

La pendiente medida, $-0{,}486$, se acerca al exponente teórico. La diferencia proviene de que las distancias usadas no son aún lo bastante pequeñas y de la elección del umbral (figura 58.2b). La forma normal describe solo el cuello local. No especifica cómo se reinyecta la órbita después de una ráfaga ni cuál es la distribución completa de duraciones, por lo que el factor que multiplica a $\varepsilon^{-1/2}$ depende de la dinámica global. Pomeau y Manneville distinguieron además otros mecanismos de intermitencia asociados a pérdidas de estabilidad distintas. Clasificarlos exige examinar el multiplicador y la forma normal correspondientes. Observar fases laminares y ráfagas no identifica por sí solo el mecanismo.

Intermitencia y ruido

Una serie intermitente puede parecer estocástica, porque las ráfagas ocurren en tiempos aparentemente irregulares y las fases laminares varían mucho de duración. Una dinámica determinista produce ese patrón sin ninguna fuente externa de ruido. La afirmación inversa también sería errónea, porque el ruido de medición, las perturbaciones externas o un cambio de régimen exógeno pueden producir secuencias visualmente parecidas. En un modelo conocido puede demostrarse que la alternancia deriva de una estructura concreta del mapa. En datos empíricos se observa una realización finita y hay que comparar explicaciones rivales.

Tampoco toda alternancia entre regularidad e irregularidad es intermitencia en el sentido de Pomeau y Manneville. Un sistema puede tener transitorios caóticos, en los que una trayectoria visita durante mucho tiempo un conjunto caótico no atractor y termina escapando hacia un atractor regular. En ese caso el episodio irregular es transitorio y la dinámica asintótica es periódica. Las crisis proporcionan mecanismos para crear o destruir atractores caóticos (Grebogi et al., 1982) y para producir transitorios prolongados (Grebogi et al., 1983). Ott (2002) reúne ambos mecanismos junto con la intermitencia.

Coexistencia de atractores

Consideremos ahora un fenómeno distinto con el mapa cúbico

Sus puntos fijos cumplen $\tfrac12x-\tfrac12x^3=0$, es decir, $x\in\{-1,0,1\}$. Como $G'(x)=\tfrac32(1-x^2)$, los puntos $x=\pm1$ tienen multiplicador cero y son superestables, mientras que el origen tiene multiplicador $3/2$ y repele. Para $x\in[-1{,}5;\,1{,}5]$, la imagen queda dentro de $[-1,1]$, así que las condiciones iniciales positivas convergen a $+1$, las negativas a $-1$ y solo el valor exacto $x_0=0$ permanece en el punto fijo inestable (figura 58.3). Hay dos atractores simultáneos para el mismo mapa y el mismo valor de sus parámetros, con cuencas $(0;\,1{,}5]$ y $[-1{,}5;\,0)$ separadas por el origen.

La coexistencia cambia el significado práctico de una perturbación. Una que no cruza la frontera de cuenca produce solo una desviación transitoria, mientras que una que la cruza produce un cambio persistente de régimen aunque los parámetros no cambien. Eso no es una bifurcación, porque en una bifurcación cambia la estructura de soluciones cuando cambia un parámetro y aquí cambia la trayectoria asintótica con parámetros constantes.

El ejemplo también explica por qué el mapa logístico no sirve para ilustrar la coexistencia. Singer (1978) demostró que un mapa suave del intervalo que lleva los extremos a cero, con un único punto crítico y derivada de Schwarz negativa, tiene a lo sumo una órbita periódica atractora en el interior del intervalo, cuya cuenca contiene al punto crítico. El mapa logístico cumple esas hipótesis, porque su derivada de Schwarz vale $-\tfrac32(F_r''/F_r')^2<0$, luego para cada $r$ hay a lo sumo un ciclo atractor. El mapa cúbico tiene dos puntos críticos y, por eso, puede tener dos ciclos atractores a la vez. La coexistencia no es un accidente del ejemplo elegido, sino una consecuencia de la estructura crítica del mapa.

Tres preguntas que no deben mezclarse

La comparación puede formularse de manera estricta. En una ventana periódica se elige una familia y se observa un intervalo de parámetros donde existe un atractor periódico estable dentro de una región de comportamiento más irregular, de modo que el objeto central es la dependencia respecto del parámetro. En la coexistencia se fija el parámetro y se encuentran varios atractores, por lo que el objeto central es la dependencia respecto de la condición inicial. En la intermitencia se conserva el orden temporal y se estudia la alternancia de episodios. Los fenómenos pueden combinarse, ya que una familia puede tener una ventana periódica y, dentro de ella, coexistencia entre atractores, pero ninguna propiedad implica automáticamente la otra. Lo mismo vale para la relación entre ventana e intermitencia. La ventana de período 3 del mapa logístico está precedida por intermitencia de tipo I, aunque existen otras rutas hacia la periodicidad y otras clases de intermitencia.

Cuadro 58.1. Qué se fija y qué se observa en cada fenómeno.

La proximidad entre estos fenómenos produce tres errores frecuentes. Uno consiste en llamar ventana periódica a cualquier secuencia aparentemente regular observada dentro de una trayectoria irregular. Una ventana se define en el espacio de parámetros. Por eso justificarla exige localizar un intervalo con un atractor periódico estable. La intermitencia produce precisamente esa ilusión, porque durante una fase laminar una órbita aperiódica permanece cerca de un patrón periódico.

Otro error consiste en atribuir coexistencia a un diagrama que superpone puntos obtenidos con parámetros distintos. Dos atractores coexistentes deben existir para el mismo valor paramétrico, de modo que demostrarlo obliga a fijar el parámetro, variar las condiciones iniciales y comprobar que conjuntos abiertos de estados convergen a destinos distintos.

Un tercer error consiste en identificar toda alternancia irregular con intermitencia determinista. La clasificación requiere un mecanismo dinámico compatible, como el cuello de una casi tangencia, junto con consecuencias cuantitativas coherentes con él, como la ley de escala de los tiempos laminares. Incluso entonces, en datos empíricos habría que comparar ese mecanismo con el ruido, la falta de estacionariedad y las perturbaciones no observadas.

Un protocolo mínimo

La consecuencia metodológica es que la pregunta debe determinar el protocolo de simulación. Si se pregunta por una ventana, se barren parámetros. Si se pregunta por coexistencia, se barren condiciones iniciales a parámetro fijo. Si se pregunta por intermitencia, se conserva el orden temporal y se estudian los estadísticos de los episodios. Mezclar los protocolos produce figuras convincentes que responden a una pregunta distinta de la formulada.

Ante una simulación que muestra comportamiento irregular, luego una banda aparentemente periódica y después irregularidad otra vez, conviene verificar primero que las trayectorias permanezcan donde el modelo está definido y descartar un transitorio suficientemente largo, teniendo en cuenta que cerca de las bifurcaciones la convergencia es lenta. Un exponente de Lyapunov de tiempo finito claramente negativo es compatible con atracción periódica y uno positivo, con expansión media, mientras que un valor cercano a cero pide cautela. Si se sospecha un ciclo de período $p$, hay que comprobar que $|F^p(x_n)-x_n|$ sea pequeño después del transitorio y que ningún divisor propio de $p$ explique la repetición. Para evaluar la coexistencia hacen falta varias condiciones iniciales en el mismo parámetro. Para evaluar la intermitencia conviene construir una variable que mida la proximidad a la fase laminar, como el $|x_{n+3}-x_n|$ de este capítulo. Después se estudian la distribución de duraciones y su dependencia del parámetro.

Finalmente hay que variar las decisiones numéricas, como la longitud del transitorio, el número de iteraciones conservadas y la tolerancia con que se detecta la periodicidad. Si el resultado cambia mucho al modificarlas dentro de rangos razonables, todavía no hay evidencia numérica estable. La escala de observación importa igualmente, porque una ventana estrecha desaparece con un barrido grueso, una cuenca pequeña puede no ser visitada por una malla escasa y una fase laminar larga puede confundirse con convergencia si la simulación termina antes de la ráfaga siguiente. Esos errores dependen del procedimiento de detección y dejan intacto el modelo matemático.

Qué añade este capítulo

El caos determinista no ocupa una región paramétrica lisa. Incluso en el mapa logístico, el espacio de parámetros contiene ventanas periódicas, cascadas internas y bordes con regímenes intermitentes. El exponente de Lyapunov cambia de signo en intervalos estrechos que una resolución insuficiente puede ocultar. A parámetro fijo, además, un sistema puede admitir varios atractores, por lo que la predicción asintótica requiere conocer en qué cuenca está el estado inicial. Las tres nociones describen niveles distintos de organización, el de la familia al variar un parámetro, el de una trayectoria en el tiempo y el del espacio de estados dividido entre destinos alternativos. El capítulo 59 volverá operativas estas distinciones al construir diagramas de bifurcación, donde cada decisión numérica puede confundirse con una propiedad del sistema.

Ejercicios

Ejercicio 58.1. (a) Escriba las dos condiciones que definen el nacimiento tangencial del ciclo de período 3. (b) ¿Por qué el multiplicador vale $+1$ y no $-1$? (c) ¿Qué ocurre con el ciclo inestable que nace junto al estable?

Ejercicio 58.2. Con los valores del capítulo, (a) indique el orden de los períodos que aparecen dentro de la ventana al aumentar $r$. (b) ¿Qué signo tiene el exponente de Lyapunov en cada uno? (c) ¿Qué ocurre al final de la cascada interna?

Ejercicio 58.3. (a) Calcule el tiempo de paso $L(\varepsilon)$ de la forma normal con $a=0{,}5$ y $\varepsilon=10^{-4}$. (b) Compárelo con la aproximación $\pi/\sqrt\varepsilon$. (c) ¿Cuánto cambia si $a$ se duplica?

Ejercicio 58.4. (a) Calcule los puntos fijos del mapa $G(x)=\tfrac32x-\tfrac12x^3$ y sus multiplicadores. (b) Determine las cuencas dentro de $[-1{,}5;\,1{,}5]$. (c) ¿Qué ocurre con la condición inicial $x_0=10^{-8}$?

Ejercicio 58.5. (a) Explique por qué el mapa logístico no puede tener dos ciclos atractores a la vez. (b) ¿Qué propiedad del mapa cúbico permite la coexistencia? (c) ¿Qué habría que comprobar en un mapa nuevo antes de descartar la multiestabilidad?

Ejercicio 58.6. Una simulación muestra una banda periódica dentro de una región irregular. Proponga tres explicaciones distintas y el cálculo que permitiría distinguirlas.

Referencias

Alligood, K. T., Sauer, T. D. y Yorke, J. A. (1996). Chaos: An introduction to dynamical systems. Springer. https://doi.org/10.1007/b97589

Grebogi, C., Ott, E. y Yorke, J. A. (1982). Chaotic attractors in crisis. Physical Review Letters, 48(22), 1507–1510. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.48.1507

Grebogi, C., Ott, E. y Yorke, J. A. (1983). Crises, sudden changes in chaotic attractors, and transient chaos. Physica D, 7(1–3), 181–200. https://doi.org/10.1016/0167-2789(83)90126-4

Ott, E. (2002). Chaos in dynamical systems (2.ª ed.). Cambridge University Press.

Pomeau, Y. y Manneville, P. (1980). Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems. Communications in Mathematical Physics, 74(2), 189–197. https://doi.org/10.1007/BF01197757

Singer, D. (1978). Stable orbits and bifurcation of maps of the interval. SIAM Journal on Applied Mathematics, 35(2), 260–267. https://doi.org/10.1137/0135020