Duplicación de período y universalidad en rutas hacia el caos

De perder estabilidad a crear una periodicidad nueva

El capítulo 53 terminó en un punto preciso. En el mapa logístico $F_r(x)=rx(1-x)$, el punto fijo positivo es estable mientras $1<r<3$ y en $r=3$ su multiplicador llega a $-1$. Para $r>3$ aparece un ciclo de período 2 cuyo multiplicador, $\Lambda_2=4+2r-r^2$, alcanza a su vez el valor $-1$ en $r=1+\sqrt6$. La pregunta que sigue es qué significa que una órbita periódica pierda la estabilidad de esa manera.

En los sistemas discretos hay un mecanismo local especialmente importante, la duplicación de período o bifurcación flip. Una órbita estable de período $k$ deja de atraer cuando su multiplicador cruza $-1$ y, en condiciones genéricas, nace cerca de ella una órbita de período $2k$. La palabra duplicación se refiere al período. El mapa sigue siendo escalar y lo que cambia es la secuencia de estados que se repite. Este capítulo desarrolla el mecanismo local y sigue luego la cascada de duplicaciones hasta su estructura asintótica, que resulta compartida por toda una clase de mapas.

Un ciclo como punto fijo de una iterada

Si $p$ pertenece a una órbita de período mínimo $k$, se cumplen $F^k(p)=p$ y $F^j(p)\neq p$ para $1\le j<k$. La desigualdad importa, porque la ecuación $F^k(x)=x$ contiene todos los puntos cuyo período divide a $k$. Cada punto del ciclo es un punto fijo de $G=F^k$ y su estabilidad depende, en una dimensión, de

el multiplicador del ciclo, que por la regla de la cadena no depende del punto elegido. Si $|\Lambda_k|<1$ el ciclo atrae, si $|\Lambda_k|>1$ es inestable y si $|\Lambda_k|=1$ la linealización no decide (Alligood et al., 1996). La duplicación de período aparece, en el caso genérico, cuando $\Lambda_k$ cruza específicamente el valor $-1$.

Por qué el valor −1 es especial

Si el multiplicador $\lambda$ de un punto fijo cumple $-1<\lambda<0$, una perturbación cambia de signo en cada iteración mientras disminuye. Cuando $\lambda$ llega a $-1$, esa alternancia deja de contraerse a primer orden. Con $\lambda<-1$ la perturbación alterna y crece. La no linealidad organiza esa pérdida de estabilidad creando una órbita cercana que necesita dos iteraciones para cerrarse. Tras cambios suaves de coordenadas y de parámetro, una bifurcación flip se escribe localmente como

donde $\mu$ mide la distancia al umbral (Kuznetsov, 2023). Si se busca un ciclo simétrico $A\mapsto-A\mapsto A$ y se omiten los términos de orden superior, la condición $-(1+\mu)A+aA^3=-A$ da, para $A\neq0$,

La amplitud del ciclo crece como la raíz cuadrada de la distancia al umbral, como en la bifurcación de Hopf del capítulo 46. El multiplicador del ciclo es $F'(A)\,F'(-A)=\bigl[-(1+\mu)+3aA^2\bigr]^2=(1-2\mu)^2$, menor que uno para $\mu$ pequeño y positivo. Con $a>0$, el ciclo nace estable del lado en que el punto fijo es inestable y la bifurcación es supercrítica. Con $a<0$, el ciclo existe del otro lado y es inestable, la variante subcrítica. El cruce por $-1$ no basta por sí solo. Hacen falta la transversalidad del cruce y un coeficiente no lineal no degenerado, del mismo modo que en las bifurcaciones de los capítulos 44 a 46.

En el mapa logístico, la primera duplicación ocurre en $r=3$ y los puntos del ciclo, $x_\pm=\bigl(r+1\pm\sqrt{(r+1)(r-3)}\bigr)/(2r)$, se separan como $\sqrt{r-3}$, la ley que predice la forma normal. El capítulo 53 obtuvo esas expresiones y el multiplicador $\Lambda_2$.

La segunda duplicación

El ciclo de período 2 pierde la estabilidad por el mismo mecanismo cuando $\Lambda_2=-1$, es decir, cuando $r^2-2r-5=0$. La raíz pertinente es

La lógica es la de la primera duplicación aplicada a $G_r=F_r^2$. Los dos puntos del ciclo de período 2 son puntos fijos de $G_r$ y, cuando $G_r'(x_\pm)=\Lambda_2=-1$, cada uno sufre una bifurcación flip bajo $G_r$. El nuevo ciclo tiene período 2 para $G_r$, es decir, período 4 para $F_r$. En general, la duplicación de una órbita de período $k$ se estudia como un punto fijo de $F^k$ y, si su multiplicador cruza $-1$ de manera genérica, la nueva órbita tiene período $2k$.

Con $r=3{,}5$, por encima de $r_2$, una condición inicial genérica converge a los cuatro valores $0{,}3828196830$, $0{,}8269407066$, $0{,}5008842103$ y $0{,}8749972636$, recorridos en ese orden (figura 54.1b). Verificar $F^4(x_i)=x_i$ no basta. Hay que excluir los períodos menores. En efecto, $F(x_i)\neq x_i$ y $F^2(x_i)\neq x_i$, con diferencias de $0{,}12$ y $0{,}05$ para los dos primeros puntos. El multiplicador del ciclo vale $\Lambda_4\approx-0{,}0305$, de modo que atrae con fuerza (figura 54.1a).

El diagrama de bifurcación

Si para muchos valores de $r$ se descarta un transitorio y se dibujan los valores siguientes de $x_n$, aparece el conocido patrón de ramas que se dividen (figura 54.2). Antes de $r=3$ hay una sola rama, la del punto fijo. Después aparecen dos y, tras $r_2$, cuatro. Más allá de la acumulación de la cascada se extienden bandas densas de puntos interrumpidas por ventanas claras, en las que vuelve a haber ciclos estables.

El diagrama informa, aunque no demuestra. La nube de puntos depende del número de iteraciones descartadas, de la condición inicial, de la resolución en $r$ y de la precisión aritmética. Cerca de un umbral la convergencia es lenta, porque el multiplicador se acerca al círculo unidad. El capítulo 53 contó más de 50 000 iteraciones para reducir un error en un factor 10 en $r=3$. Un transitorio demasiado corto puede producir ramas espurias o desplazar aparentemente los umbrales. En este capítulo, los dos primeros umbrales surgen de $\lambda_1=-1$ y $\Lambda_2=-1$ y la simulación se limita a visualizarlos.

Dos ramas no siempre indican una duplicación

La duplicación de período es una bifurcación local con una estructura específica. Un gráfico con dos valores posibles no basta para identificarla. La coexistencia de dos puntos fijos estables con cuencas distintas produce dos ramas en un diagrama construido con varias condiciones iniciales, aunque cada trayectoria converja a un punto fijo. Una bifurcación de nodo-silla crea dos puntos fijos sin alternancia temporal. Un forzamiento periódico puede, por último, producir una respuesta de período 2 respecto del muestreo sin que el mapa autónomo sufra ninguna bifurcación flip. Identificar una duplicación exige seguir una órbita, establecer su período mínimo y evaluar su multiplicador.

Existencia, estabilidad y observabilidad

Un ciclo de período 4 tiene cuatro estados distintos y su estabilidad depende de $|\Lambda_4|$. Que una condición inicial dada llegue a él depende, en cambio, de las cuencas. Los ciclos que pierden la estabilidad en la cascada siguen existiendo como soluciones inestables. Satisfacen $F^k(x)=x$, pero una iteración iniciada cerca de ellos se aleja. Un diagrama construido descartando transitorios está diseñado para mostrar atractores y los oculta. Para seguir ramas inestables hacen falta otros métodos, como la solución directa de las ecuaciones de periodicidad o la continuación numérica. La distinción será central más adelante, porque un sistema puede contener infinitas órbitas periódicas inestables mientras una trayectoria típica se comporta de manera aperiódica.

La cascada y su punto de acumulación

Después de $r_2$ aparecen ciclos estables de períodos 8, 16, 32 y así sucesivamente. Sea $r_n$ el parámetro en que el ciclo de período $2^{n-1}$ pierde la estabilidad y nace el de período $2^n$. Solo $r_1$ y $r_2$ tienen expresiones cerradas sencillas. Los demás se calculan resolviendo a la vez $F_r^{k}(x)=x$ y $(F_r^{k})'(x)=-1$, con $k=2^{n-1}$. Luego se comprueba que la solución no pertenece a un ciclo de período divisor. El cuadro 54.1 reúne los primeros valores.

Cuadro 54.1. Umbrales de duplicación del mapa logístico.

Las bifurcaciones se apiñan. Los incrementos $r_n-r_{n-1}$ disminuyen rápidamente, de modo que la cascada contiene infinitas duplicaciones que se acumulan en un valor finito, $r_\infty\approx3{,}569945672$. La acumulación no significa que toda la dinámica sea caótica para $r>r_\infty$ ni que desaparezcan los ciclos estables. El diagrama muestra ventanas periódicas más allá de ese valor, como la que empieza cerca de $r=3{,}83$ con un ciclo de período 3. Lo que termina en $r_\infty$ es esta cascada en particular.

La constante δ

Para medir cómo se comprimen los intervalos se define

Con los valores del cuadro 54.1 se obtienen $4{,}7514$, $4{,}6563$, $4{,}6682$, $4{,}6687$ y $4{,}6691$. Las razones no son constantes en las primeras etapas, pero convergen a

la primera constante de Feigenbaum (Feigenbaum, 1978). En la clase apropiada de mapas, los intervalos de parámetro entre duplicaciones sucesivas se contraen asintóticamente por ese factor. La relación permite estimar el punto de acumulación. Si desde $r_7$ se supone el escalamiento asintótico, $r_\infty\approx r_7+(r_7-r_6)/(\delta-1)\approx3{,}56994567$, muy cerca del valor de referencia. La coincidencia comprueba el escalamiento en un ejemplo, sin demostrar la universalidad, que es una afirmación sobre una clase entera de sistemas.

Parámetros superestables y la constante α

La regularidad aparece también en la geometría de las órbitas. El máximo del mapa logístico está en $c=1/2$, donde $F_r'(c)=0$, por lo que un ciclo que contiene a $c$ tiene multiplicador cero y se llama superestable. Sea $s_n$ el parámetro en que el ciclo de período $2^n$ contiene al punto crítico, es decir, $F_{s_n}^{2^n}(c)=c$. Los dos primeros son exactos, $s_0=2$ y $s_1=1+\sqrt5$. Los siguientes se encuentran resolviendo esa ecuación cerca del valor extrapolado. Cada $s_n$ está entre $r_n$ y $r_{n+1}$. Las razones entre sus diferencias convergen también a $\delta$.

Para medir la escala espacial se usa $d_n=F_{s_n}^{2^{n-1}}(c)-c$, la distancia entre el punto crítico y el punto del ciclo más cercano a él. Las razones $\alpha_n=d_n/d_{n+1}$ convergen a la segunda constante de Feigenbaum,

(Feigenbaum, 1979). El valor absoluto mide cuánto se reduce la escala de la órbita en cada duplicación y el signo negativo indica que la orientación se invierte entre escalas sucesivas. El bloque siguiente calcula los parámetros superestables hasta el período 512 y estima ambas constantes.

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq

def iterada(r, x, m):
    for _ in range(m):
        x = r * x * (1 - x)
    return x

g = lambda r, n: iterada(r, 0.5, 2**n) - 0.5    # ciclo superestable de período 2**n

s = [2.0, 1 + np.sqrt(5)]                       # períodos 1 y 2, valores exactos
for n in range(2, 10):
    paso = (s[-1] - s[-2]) / 4.67               # extrapolación con delta aproximada
    s.append(brentq(g, s[-1] + 0.5 * paso, s[-1] + 1.5 * paso,
                    args=(n,), xtol=1e-15))

print("  n   período        s_n        delta_n     alfa_n")
for n in range(2, 9):
    delta = (s[n - 1] - s[n - 2]) / (s[n] - s[n - 1])
    d = lambda k: iterada(s[k], 0.5, 2**(k - 1)) - 0.5
    alfa = d(n) / d(n + 1)
    print(f"{n:3d}   {2**n:6d}   {s[n]:.10f}   {delta:8.5f}   {alfa:8.5f}")

El programa imprime lo siguiente.

  n   período        s_n        delta_n     alfa_n
  2        4   3.4985616993    4.70894   -2.53184
  3        8   3.5546408628    4.68077   -2.50872
  4       16   3.5666673799    4.66296   -2.50411
  5       32   3.5692435316    4.66840   -2.50316
  6       64   3.5697952937    4.66895   -2.50296
  7      128   3.5699134654    4.66916   -2.50292
  8      256   3.5699387742    4.66919   -2.50291

Con el período 256, las estimaciones coinciden con $\delta$ y $\alpha$ hasta la cuarta cifra decimal (figura 54.3). Las constantes describen aspectos distintos de la cascada, la primera en el espacio de parámetros y la segunda en la geometría del estado.

Qué significa la universalidad

La observación de Feigenbaum fue que estas constantes no pertenecen a la fórmula logística. Aparecen en una clase amplia de mapas unidimensionales suaves con un solo máximo cuadrático no degenerado que atraviesan una cascada de duplicaciones. Cambiar la función modifica los primeros umbrales, pero no los límites $\delta$ y $\alpha$. El mapa seno, $x\mapsto r\sin(\pi x)$, tiene una fórmula muy distinta. Sus parámetros superestables dan razones $4{,}0457$, $4{,}5559$, $4{,}6452$, $4{,}6641$, $4{,}6681$, $4{,}6690$ y $4{,}6692$, que convergen al mismo valor (figura 54.3a).

Universal no significa presente en todo sistema caótico. Un mapa con un máximo de otro orden, una discontinuidad o varias cimas pertinentes puede pertenecer a otra clase o no mostrar este escalamiento. Tampoco significa que dos sistemas tengan las mismas órbitas ni los mismos umbrales. Lo universal es la estructura de escalamiento que queda después de eliminar los detalles mediante reescalamientos apropiados.

La explicación usa la renormalización. De manera esquemática, se toma la dinámica cerca del punto crítico, se compone el mapa consigo mismo para tratar dos iteraciones como una unidad y se reescala el estado para comparar la forma obtenida con la original. Repetir la operación define una dinámica sobre un espacio de funciones. La universalidad se asocia a un punto fijo de esa transformación y a su estabilidad (Strogatz, 2015, sec. 10.7). Lanford (1982) demostró con asistencia computacional la existencia de ese punto fijo. La construcción formal de los operadores de renormalización excede este tomo.

Lo local y lo universal

Cerca de una duplicación individual, la forma normal describe cómo una órbita pierde la estabilidad cuando su multiplicador cruza $-1$. La ley de raíz cuadrada para la apertura de las ramas pertenece a ese nivel local. La constante $\delta$ compara, en cambio, una sucesión infinita de bifurcaciones y no se obtiene del multiplicador de un solo ciclo ni de una sola forma normal. Una duplicación aislada puede, además, ser subcrítica. En ese caso, la pérdida de estabilidad no produce un ciclo doble estable cercano. Pertenecer a la clase universal exige una estructura global que la forma normal no contiene.

Las constantes pertenecen al sistema matemático, mientras que su estimación numérica depende del método, de la precisión y del criterio con que se identifica cada bifurcación. Estimar los umbrales a partir de un diagrama con pocos transitorios puede desplazarlos artificialmente. En el cálculo del bloque, los parámetros superestables permiten evitar ese problema, porque se obtienen de una ecuación y no de la inspección de una nube de puntos. May (1976) presentó esta familia como ejemplo de dinámica compleja en ecuaciones simples. El capítulo 55 cambiará de familia y usará los mapas tienda y de Bernoulli para aislar la expansión y el plegamiento sin la geometría cuadrática del mapa logístico.

Ejercicios

Ejercicio 54.1. Considere la forma normal $y\mapsto-(1+\mu)y+ay^3$. (a) Encuentre la amplitud del ciclo simétrico de período 2. (b) Calcule su multiplicador. (c) Describa qué ocurre si $a<0$.

Ejercicio 54.2. Con $r=3{,}5$, (a) compruebe numéricamente que los cuatro valores del texto forman un ciclo. (b) Explique por qué es necesario comprobar $F^2(x_i)\neq x_i$. (c) Calcule $\Lambda_4$ como producto de derivadas.

Ejercicio 54.3. Con los valores del cuadro 54.1, (a) calcule $\delta_3$ y $\delta_5$. (b) Estime $r_\infty$ a partir de $r_5$ y $r_6$. (c) Estime $r_8$ suponiendo que la razón vale exactamente $\delta$.

Ejercicio 54.4. (a) Demuestre que $s_1=1+\sqrt5$ resolviendo $F_r^2(1/2)=1/2$. (b) ¿Por qué aparece también la solución $r=2$? (c) Verifique que $r_1<s_1<r_2$.

Ejercicio 54.5. Un diagrama numérico muestra dos ramas para $r$ entre dos valores. Proponga tres explicaciones distintas de una duplicación de período y el cálculo que permitiría descartar cada una.

Ejercicio 54.6. Modifique el bloque del capítulo para el mapa seno $x\mapsto r\sin(\pi x)$ con $r\in[0,1]$. (a) ¿Cuál es el punto crítico? (b) Calcule $s_0$ y $s_1$. (c) ¿Qué indica que las razones converjan al mismo $\delta$?

Referencias

Alligood, K. T., Sauer, T. D. y Yorke, J. A. (1996). Chaos: An introduction to dynamical systems. Springer. https://doi.org/10.1007/b97589

Feigenbaum, M. J. (1978). Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. Journal of Statistical Physics, 19(1), 25–52. https://doi.org/10.1007/BF01020332

Feigenbaum, M. J. (1979). The universal metric properties of nonlinear transformations. Journal of Statistical Physics, 21(6), 669–706. https://doi.org/10.1007/BF01107909

Kuznetsov, Y. A. (2023). Elements of applied bifurcation theory (4.ª ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-031-22007-4

Lanford, O. E., III. (1982). A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures. Bulletin of the American Mathematical Society, 6(3), 427–434. https://doi.org/10.1090/S0273-0979-1982-15008-X

May, R. M. (1976). Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature, 261(5560), 459–467. https://doi.org/10.1038/261459a0

Strogatz, S. H. (2015). Nonlinear dynamics and chaos: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering (2.ª ed.). Westview Press.