La bifurcación de Hopf y el nacimiento de una oscilación

Del valor propio nulo al par imaginario

Los capítulos 44 y 45 estudiaron bifurcaciones en las que el objeto crítico era un equilibrio y el valor propio decisivo era real. En la nodo-silla dos equilibrios aparecían o desaparecían, mientras que en la transcrítica y en la horquilla las ramas persistían y cambiaban de estabilidad. En todos esos casos la pérdida de hiperbolicidad provenía de un valor propio que atravesaba el cero.

La bifurcación de Hopf introduce otra posibilidad. Un equilibrio puede perder estabilidad sin que ningún valor propio real se anule, porque un par complejo conjugado cruza el eje imaginario. La parte real cambia de signo mientras la parte imaginaria se mantiene distinta de cero. Si se cumplen ciertas condiciones no lineales, del equilibrio nace una familia de órbitas periódicas pequeñas o una familia de órbitas periódicas colapsa sobre él. El cambio organiza entonces una oscilación autosostenida.

Consideremos una familia suave $\dot{\mathbf x}=\mathbf f(\mathbf x,\mu)$ con $\mathbf x\in\mathbb R^n$ y una rama de equilibrios $\mathbf x^*(\mu)$. Su estabilidad local depende del jacobiano $A(\mu)=D_{\mathbf x}\mathbf f(\mathbf x^*(\mu),\mu)$. En una bifurcación de Hopf genérica aparece un par de valores propios

En el valor crítico los valores propios son $\pm i\omega_0$, de modo que el equilibrio pierde la hiperbolicidad, aunque la linealización conserva una rotación con frecuencia $\omega_0$. Para que el parámetro atraviese la frontera de estabilidad hace falta además la condición de transversalidad

Si esa derivada se anulara, el par podría tocar el eje imaginario y volver al mismo semiplano. La igualdad $\operatorname{Re}\lambda=0$ identifica un punto no hiperbólico, que todavía no es una bifurcación de Hopf. En dimensión mayor que dos se exige también que ningún otro valor propio tenga parte real nula en el punto crítico. La dinámica pertinente es entonces bidimensional y el teorema de la variedad central permite reducir localmente el problema a esas dos direcciones (Kuznetsov, 2023).

La forma normal en coordenadas polares

Con la variable compleja $z=x+iy$ consideremos

En coordenadas cartesianas el sistema es

El origen es un equilibrio para todo $\mu$ y su jacobiano tiene los valores propios $\mu\pm i\omega_0$. La parte real atraviesa el cero con derivada igual a uno, así que la condición espectral y la transversalidad se cumplen de manera explícita.

Al escribir $z=re^{i\theta}$ con $r\ge0$ se tiene $\dot z=(\dot r+ir\dot\theta)e^{i\theta}$ y $|z|^2z=r^3e^{i\theta}$. Dividiendo por $e^{i\theta}$ e igualando partes real e imaginaria se obtiene

La dinámica bidimensional se separa en una ecuación escalar para la amplitud y una rotación uniforme para la fase. Esta separación es propia de la forma normal elegida. En un sistema general aparecen términos de orden superior que modifican la amplitud y la frecuencia, aunque la estructura local queda expuesta con claridad.

La bifurcación supercrítica

Los estados radiales estacionarios cumplen $r(\mu-r^2)=0$. El radio $r=0$ corresponde al equilibrio del origen. Cuando $\mu>0$ aparece además $r_*=\sqrt\mu$. Como $\dot\theta=\omega_0\neq0$, ese radio constante describe una órbita periódica,

de período $T=2\pi/\omega_0$. El ciclo se acerca continuamente al equilibrio cuando $\mu\to0^+$ y su amplitud crece como la raíz cuadrada de la distancia al umbral (figura 46.1a). Esta ley pertenece a la forma normal, expresada en una coordenada de amplitud y una parametrización transversal adecuadas. En una variable observada pueden intervenir factores de escala o proyecciones que modifican la relación visible.

La estabilidad radial se lee en $g(r)=\mu r-r^3$. En el origen $g'(0)=\mu$, por lo que el origen atrae radialmente para $\mu<0$ y repele para $\mu>0$. En el ciclo $g'(r_*)=\mu-3\mu=-2\mu<0$, así que el ciclo atrae radialmente. Las trayectorias que empiezan por dentro aumentan su radio y las que empiezan por fuera lo disminuyen. Convergen al conjunto periódico y no a un punto concreto de él, porque la fase sigue avanzando. Con esta orientación del parámetro la bifurcación es supercrítica. El equilibrio estable pierde la estabilidad en $\mu=0$ y del lado $\mu>0$ aparece un ciclo límite estable de amplitud pequeña.

Relajación radial exacta

La ecuación radial supercrítica admite una transformación útil. Con $u=r^2$ se obtiene

una ecuación logística en $u$. Si $u(0)=r_0^2>0$,

Para $\mu>0$ la solución converge a $\sqrt\mu$ desde cualquier radio inicial positivo. Cerca del ciclo lo hace con la tasa $2\mu$ que predice $g'(r_*)=-2\mu$ (figura 46.2). En el punto crítico $\mu=0$ la ecuación radial es $\dot r=-r^3$, cuya solución es

El origen sigue siendo atractivo, aunque la relajación es algebraica, con $r(t)\sim1/\sqrt{2t}$. La linealización no decide la estabilidad en el punto de Hopf, porque sus valores propios son imaginarios puros y no predicen contracción exponencial. El término cúbico determina que, en $\mu=0$, las amplitudes pequeñas decaigan lentamente.

Estabilidad orbital y fase

Como vimos en el capítulo 42, desplazarse a lo largo de una órbita periódica no aleja de ella. En la forma normal $\theta(t)=\omega_0t+\theta_0$, por lo que dos soluciones sobre el ciclo conservan su diferencia de fase indefinidamente. La estabilidad de un ciclo es orbital. Las trayectorias cercanas se acercan a la órbita como conjunto, posiblemente con un desplazamiento de fase.

Una desviación radial pequeña $\eta=r-r_*$ cumple, a primer orden, $\dot\eta=-2\mu\eta$. Después de un período se ha multiplicado por $\rho=e^{-2\mu T},$ que es el multiplicador de Floquet transversal. Para $\mu>0$ se cumple $0<\rho<1$, lo que confirma la atracción. La dirección tangencial tiene un multiplicador igual a uno. En una sección transversal que corta el ciclo una vez por vuelta, la órbita periódica es un punto fijo del mapa de retorno, con $P'(0)=\rho$. El mapa elimina la evolución continua de la fase al registrar solo los cruces de la sección. Esa construcción requiere una sección transversal al flujo y un retorno bien definido en el entorno considerado. Una sucesión cualquiera de máximos de una señal no basta para obtenerla.

La bifurcación subcrítica

Si se cambia el signo del término cúbico, $\dot z=(\mu+i\omega_0)z+|z|^2z$, la ecuación radial es

Además del origen hay un radio no nulo, $r_*=\sqrt{-\mu}$, cuando $\mu<0$. Como $g'(r_*)=\mu+3r_*^2=-2\mu>0$, el ciclo es inestable. Para $\mu<0$ el origen sigue siendo estable y está rodeado por una órbita periódica que repele. Cuando $\mu\to0^-$ esa órbita colapsa sobre el equilibrio. Para $\mu>0$ el origen es inestable y la forma cúbica no contiene ningún atractor pequeño que limite el crecimiento.

La ecuación truncada hace crecer sin límite las amplitudes grandes, aunque solo pretende describir un entorno del equilibrio. El sistema original puede contener términos de orden superior que saturen el crecimiento. Con

los ciclos cumplen $r^2=\tfrac12\bigl(1\pm\sqrt{1+4\mu}\bigr)$. El ciclo exterior es estable y existe para $\mu\ge-1/4$. El interior es inestable y existe entre $\mu=-1/4$ y $\mu=0$. En $\mu=-1/4$ ambos ciclos chocan en una nodo-silla de órbitas periódicas (Strogatz, 2015, sec. 8.2). Entre $\mu=-1/4$ y $\mu=0$ coexisten el equilibrio estable y el ciclo estable exterior (figura 46.1b). Si $\mu$ aumenta lentamente, el estado permanece en el equilibrio hasta $\mu=0$ y entonces salta a una oscilación de amplitud finita, cercana a 1. Al disminuir $\mu$, la oscilación persiste hasta $\mu=-1/4$. La transición tiene histéresis.

La diferencia entre las dos variantes tiene consecuencias dinámicas. En la supercrítica, el ciclo estable pequeño aparece de manera continua al cruzar el umbral. En la subcrítica, el equilibrio pierde la estabilidad sin que exista un ciclo estable pequeño del lado inestable. La respuesta depende entonces de una estructura global que la teoría local no determina.

El primer coeficiente de Lyapunov

En un sistema suave general, después de la reducción a la variedad central y de cambios locales de coordenadas, la amplitud y la fase cumplen

donde $\beta=d\alpha/d\mu$ en el punto crítico mide el cruce transversal y $l_1$ es el primer coeficiente de Lyapunov (Kuznetsov, 2023). Su cálculo requiere las derivadas del campo hasta tercer orden, información que el jacobiano no contiene. Con $\beta>0$, un coeficiente $l_1<0$ produce la bifurcación supercrítica, con un ciclo estable para $\mu>0$. Un coeficiente $l_1>0$ produce la subcrítica, con un ciclo inestable para $\mu<0$. En ambos casos el radio principal cumple

de nuevo una ley de raíz cuadrada. La frecuencia del ciclo, en cambio, puede desplazarse con el parámetro y con la amplitud. El período del ciclo pequeño tiende a $2\pi/\omega_0$ cuando $\mu\to0$, aunque en general cambia con $\mu$.

Si $l_1=0$, la bifurcación es degenerada y el término cúbico no decide. Con $\dot r=\mu r-r^5$, por ejemplo, la rama es $r_*=\mu^{1/4}$ y el exponente ya no coincide con el genérico. El par imaginario y la transversalidad no bastan, entonces, para garantizar la forma cúbica usual. Hace falta además una condición de no degeneración no lineal.

Un cálculo del coeficiente en un sistema concreto

Para un sistema plano escrito en la forma

con $f$ y $g$ sin términos lineales, el coeficiente cúbico de la forma normal es (Guckenheimer y Holmes, 1983)

con las derivadas evaluadas en el origen. El signo de $a$ coincide con el de $l_1$.

Apliquemos la fórmula a la ecuación

que se parece al oscilador de Van der Pol pero sitúa el parámetro dentro del amortiguamiento. Con $v=\dot x$ los valores propios del origen son $\tfrac12\bigl(\mu\pm\sqrt{\mu^2-4}\bigr)$, de modo que $\alpha(\mu)=\mu/2$, $\beta=1/2$ y $\omega_0=1$. En $\mu=0$, con la coordenada $y=-v$, el sistema toma la forma requerida con $\omega=1$, $f=0$ y $g=-x^2y$. La única derivada que contribuye es $g_{xxy}=-2$, así que $a=-1/8$ y la bifurcación es supercrítica. La ecuación radial es aproximadamente $\dot r=\tfrac12\mu r-\tfrac18r^3$ y el radio del ciclo es $r_*=\sqrt{4\mu}=2\sqrt\mu$.

El bloque siguiente comprueba esta predicción. Integra la ecuación hasta que el transitorio desaparece y registra la amplitud del ciclo mediante el último máximo de $x$. Hace lo mismo con el oscilador de Van der Pol del capítulo 42 para los mismos valores de $\mu$.

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

def amplitud(mu, generico):
    if generico:      # x'' - (mu - x^2) x' + x = 0
        campo = lambda t, z: [z[1], (mu - z[0]**2) * z[1] - z[0]]
    else:             # Van der Pol, x'' - mu (1 - x^2) x' + x = 0
        campo = lambda t, z: [z[1], mu * (1 - z[0]**2) * z[1] - z[0]]
    maximo = lambda t, z: z[1]            # máximos de x: v pasa de + a -
    maximo.direction = -1
    sol = solve_ivp(campo, (0, 60 / mu), [np.sqrt(mu), 0.0], events=maximo,
                    method="DOP853", rtol=1e-10, atol=1e-12)
    return sol.y_events[0][-1][0]

print("   mu    amplitud genérica   2*sqrt(mu)   amplitud Van der Pol")
for mu in (0.01, 0.04, 0.09, 0.16, 0.25):
    print(f"{mu:6.2f}   {amplitud(mu, True):14.6f}   {2 * np.sqrt(mu):10.6f}"
          f"   {amplitud(mu, False):14.6f}")

El programa imprime lo siguiente.

   mu    amplitud genérica   2*sqrt(mu)   amplitud Van der Pol
  0.01         0.200000     0.200000         2.000001
  0.04         0.400003     0.400000         2.000017
  0.09         0.600025     0.600000         2.000084
  0.16         0.800106     0.800000         2.000265
  0.25         1.000322     1.000000         2.000644

La amplitud del ejemplo genérico sigue la ley $2\sqrt\mu$, con correcciones que crecen con $\mu$. La del oscilador de Van der Pol se mantiene cerca de 2 para todos los valores (figura 46.3).

Por qué el oscilador de Van der Pol es un caso degenerado

El oscilador de Van der Pol, $\ddot x-\mu(1-x^2)\dot x+x=0$, también tiene en el origen los valores propios $\tfrac12\bigl(\mu\pm\sqrt{\mu^2-4}\bigr)$, con cruce transversal en $\mu=0$. El término no lineal, sin embargo, está multiplicado por $\mu$. En el valor crítico el sistema se reduce al oscilador armónico, cuyas órbitas son circunferencias de cualquier radio. El coeficiente de Lyapunov se anula. La bifurcación es degenerada.

El promediado del capítulo 42 lo muestra con claridad. Para el oscilador de Van der Pol la amplitud sigue $\dot R\approx\tfrac12\mu R\left(1-R^2/4\right)$, con los dos términos proporcionales a $\mu$, por lo que el radio del ciclo es 2 para cualquier $\mu$ pequeño. Para la ecuación con el parámetro dentro del amortiguamiento, el mismo cálculo da $\dot R\approx\tfrac12R\left(\mu-R^2/4\right)$, cuyo radio de equilibrio, $2\sqrt\mu$, se anula en el umbral. En el primer caso el ciclo se selecciona entre las circunferencias del centro lineal. En el segundo nace del equilibrio, como describe el teorema de Hopf. La diferencia muestra que el cruce de un par de valores propios no basta para identificar el mecanismo sin examinar los términos no lineales.

Traza y determinante en el plano

Para un jacobiano real de $2\times2$, el polinomio característico es $\lambda^2-\tau\lambda+\Delta=0$, con traza $\tau$ y determinante $\Delta$. Si $\tau=0$ y $\Delta>0$, los valores propios son $\pm i\sqrt\Delta$. Esta condición localiza un candidato a Hopf en un sistema plano. Si además $\tau$ cambia de signo de manera transversal con el parámetro, la parte real del par atraviesa el cero.

El criterio es solo lineal. No informa sobre el signo de $l_1$ ni distingue una Hopf genérica de una degenerada, como acabamos de ver con el oscilador de Van der Pol. También importa la condición $\Delta>0$. Si $\Delta=0$, al menos un valor propio es nulo y el mecanismo es otro. Si $\Delta<0$, los valores propios son reales de signos opuestos y el equilibrio es una silla.

Cuándo un par imaginario no produce una Hopf

El centro lineal $\dot x=-\omega_0y$, $\dot y=\omega_0x$ tiene los valores propios $\pm i\omega_0$, aunque ningún parámetro los hace cruzar el eje imaginario. Todas las circunferencias centradas en el origen son órbitas periódicas y ninguna es un ciclo aislado. La transversalidad falla.

Tampoco debe atribuirse a una Hopf cualquier oscilación periódica observada. El capítulo 41 mostró que un oscilador lineal amortiguado sometido a una fuerza periódica sostiene una respuesta periódica que depende de una entrada externa y que no proviene de ninguna bifurcación del sistema autónomo. Un ciclo límite puede existir, además, lejos de cualquier bifurcación local o surgir de un mecanismo global. Para hablar de Hopf hace falta una afirmación sobre una familia parametrizada, con una rama de equilibrios, un par complejo que cruza transversalmente el eje imaginario y un término no lineal no degenerado que genera la rama periódica.

Alcance local y observables

El teorema de Hopf es local en dos sentidos. Describe estados próximos al equilibrio crítico y parámetros próximos al valor de bifurcación, sin decir nada sobre lo que ocurre lejos de ese entorno. Incluso en la variante supercrítica, la existencia de un ciclo estable pequeño no demuestra que sea el único atractor, porque puede coexistir con otros equilibrios o ciclos alejados. En la subcrítica la información global es todavía más necesaria, ya que las trayectorias que abandonan el equilibrio entran en una región que la forma cúbica no describe.

La amplitud $r$ es una coordenada local sobre la variedad central. Una medición física $y=h(\mathbf x)$ muestra la proyección del ciclo sobre ese observable, de modo que su amplitud visible puede escalar de otra manera si el primer término de la proyección es pequeño o nulo. En un modelo con unidades, la parte real del valor propio tiene unidades de tiempo inverso y el coeficiente cúbico debe compensar las unidades de la amplitud. La ley $r_*\propto\sqrt\mu$ requiere, por tanto, identificar qué parámetro se ha desplazado respecto del umbral y con qué escala.

El aumento del tiempo de relajación cerca del umbral es compatible con una Hopf, aunque no la identifica. En la forma normal la tasa de relajación del equilibrio para $\mu<0$ es $|\mu|$ y la tasa radial del ciclo para $\mu>0$ es $2\mu$. Ambas se acercan a cero en el umbral, como ocurre en otros puntos no hiperbólicos.

Un ejemplo con todos los cálculos

Tomemos $\omega_0=2$. Entonces el período lineal crítico es $T_0=\pi$. Con $\mu=-0{,}25$ los valores propios del origen son $-0{,}25\pm2i$ y el origen es un foco estable. No existe ciclo, porque $r^2=\mu$ no tiene solución positiva. En $\mu=0$ los valores propios son $\pm2i$. La linealización es un centro, aunque la ecuación radial $\dot r=-r^3$ hace que las trayectorias se acerquen en espiral y lentamente al origen. Con $\mu=0{,}25$ los valores propios son $0{,}25\pm2i$ y el origen es inestable. El ciclo tiene radio $r_*=0{,}5$ y período $\pi$. La tasa transversal es $-2\mu=-0{,}5$ y el multiplicador por vuelta vale $\rho=e^{-0{,}5\pi}\approx0{,}2079$. Una perturbación radial pequeña queda reducida a cerca del 20,8 % después de una vuelta, mientras que una perturbación de fase no se elimina, porque la dirección tangencial es neutral.

Estos resultados se derivaron sin simulación. La integración numérica con el método DOP853 (Hairer et al., 1993) de SciPy (Virtanen et al., 2020) sirvió para comprobarlos. Con $\mu=0{,}16$, la solución radial analítica y la numérica difieren en menos de $6\times10^{-13}$. Con $\mu=0{,}25$, el período medido entre dos cruces coincide con $\pi$ hasta el undécimo decimal. Una perturbación radial de $10^{-6}$ se reduce en una vuelta por un factor $0{,}2078792$, frente al valor lineal $0{,}2078796$. En $\mu=0$, el decaimiento numérico sigue la ley algebraica con un error menor que $4\times10^{-13}$.

El capítulo 47 cambiará de escala temporal. En los sistemas lentos y rápidos, distintas variables evolucionan a velocidades muy diferentes, una geometría con la que estudiaremos la excitabilidad y las transiciones bruscas.

Ejercicios

Ejercicio 46.1. Considere la forma normal con desplazamiento de frecuencia $\dot z=(\mu+i\omega_0)z-(1+ib)|z|^2z$. (a) Escriba las ecuaciones de $r$ y $\theta$. (b) Calcule el radio, la frecuencia y el período del ciclo. (c) Evalúe el período con $\mu=0{,}25$, $\omega_0=2$ y $b=1$ y compárelo con el caso $b=0$.

Ejercicio 46.2. Considere el sistema $\dot x=\mu x-y+x^3$, $\dot y=x+\mu y$. (a) Calcule los valores propios del origen y compruebe la transversalidad. (b) Calcule el coeficiente $a$ con la fórmula del texto. (c) Clasifique la bifurcación y estime el radio del ciclo con $\mu=-0{,}03$.

Ejercicio 46.3. En la forma normal supercrítica con $\mu=0{,}25$, (a) calcule el tiempo que tarda el radio en pasar de $0{,}05$ a $0{,}45$. (b) Compare ese tiempo con la escala $1/(2\mu)$ de la relajación lineal cerca del ciclo. (c) ¿Por qué el tiempo del apartado (a) depende del radio inicial de manera logarítmica?

Ejercicio 46.4. Considere $\dot r=\mu r+r^3-r^5$, $\dot\theta=1$. (a) Encuentre los radios de los ciclos y su estabilidad. (b) Localice la nodo-silla de ciclos. (c) Calcule los radios con $\mu=-0{,}1$ y describa qué ocurre si una perturbación lleva el estado desde el equilibrio hasta $r=0{,}5$.

Ejercicio 46.5. El modelo del brusselador es $\dot x=a-(b+1)x+x^2y$, $\dot y=bx-x^2y$, con $a,b>0$. (a) Encuentre el equilibrio y su jacobiano. (b) Use la traza y el determinante para localizar el candidato a Hopf. (c) Con $a=1$, la integración numérica da semiamplitudes de $x$ iguales a $0{,}165$, $0{,}339$ y $0{,}531$ para $b=2{,}02$, $2{,}08$ y $2{,}18$. ¿Qué indican sobre el tipo de bifurcación?

Ejercicio 46.6. (a) Demuestre que el oscilador de Van der Pol se reduce en $\mu=0$ al oscilador armónico y explique por qué su coeficiente de Lyapunov se anula. (b) Use el promediado para obtener la ecuación lenta de la amplitud de $\ddot x-(\mu-x^2)\dot x+x=0$. (c) Explique por qué una ley $r_*\propto\sqrt\mu$ medida en un experimento es compatible con la segunda ecuación y no con la primera.

Referencias

Guckenheimer, J. y Holmes, P. (1983). Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1140-2

Hairer, E., Nørsett, S. P. y Wanner, G. (1993). Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems (2.ª ed. rev.). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-540-78862-1

Kuznetsov, Y. A. (2023). Elements of applied bifurcation theory (4.ª ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-031-22007-4

Strogatz, S. H. (2015). Nonlinear dynamics and chaos: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering (2.ª ed.). Westview Press.

Virtanen, P., Gommers, R., Oliphant, T. E., Haberland, M., Reddy, T., Cournapeau, D., Burovski, E., Peterson, P., Weckesser, W., Bright, J., van der Walt, S. J., Brett, M., Wilson, J., Millman, K. J., Mayorov, N., Nelson, A. R. J., Jones, E., Kern, R., Larson, E., … SciPy 1.0 Contributors. (2020). SciPy 1.0: Fundamental algorithms for scientific computing in Python. Nature Methods, 17(3), 261–272. https://doi.org/10.1038/s41592-019-0686-2