Equilibrios, dominio y primer ciclo del mapa logístico

Una familia de un parámetro

Los capítulos 51 y 52 construyeron el lenguaje de la dinámica discreta y el criterio de estabilidad por multiplicadores. Con esas herramientas podemos estudiar una familia concreta en la que un solo parámetro reorganiza la dinámica, el mapa logístico

x_{n+1}=F_r(x_n)=r\,x_n(1-x_n),\qquad 0\le x_n\le1,\quad 0\le r\le4.

La expresión es cuadrática y tiene un único parámetro. Al variar $r$ aparecen la extinción, la convergencia monótona o alternante a un estado positivo, los ciclos periódicos y, más adelante, los regímenes caóticos. May (1976) lo usó como uno de los ejemplos más claros de que una ecuación en diferencias determinista de primer orden puede producir comportamientos cualitativamente distintos al cambiar un parámetro. Este capítulo resuelve la primera parte de esa secuencia. Establece por qué el intervalo $[0,1]$ es natural, cuáles son los puntos fijos, cuándo son estables, qué ocurre exactamente en $r=3$ y cómo nace el primer ciclo de período 2. El capítulo 54 seguirá la cascada de duplicaciones que viene después.

En aplicaciones poblacionales, $x_n$ puede leerse como una población normalizada medida por generaciones y $r$ como un parámetro efectivo de reproducción con dependencia de la densidad. Esa lectura motiva el modelo sin validarlo. Una población real puede tener estructura de edades, ruido ambiental, migración, retardos y parámetros variables. Aquí el mapa logístico es, ante todo, un modelo canónico de la dinámica discreta no lineal.

La logística continua y su discretización de Euler

El capítulo 8 estudió la ecuación logística continua, $\dot x=a\,x(1-x)$ con $a>0$ . Si $0<x(0)<1$ , su solución crece monótonamente hacia $x=1$ , sin oscilaciones ni ciclos, porque un flujo escalar no los admite. El mapa logístico comparte el término $x(1-x)$ , aunque es otro sistema dinámico. En él, $F_r(x_n)$ es el estado siguiente. Un valor grande de la regla puede enviar el sistema al otro lado de un punto fijo en un solo paso.

La relación entre ambos es, sin embargo, exacta en un sentido preciso. El método de Euler con paso $h$ aplicado a la ecuación continua da $x_{n+1}=x_n+h\,a\,x_n(1-x_n)$ . Con el cambio de escala $y_n=\dfrac{ha}{1+ha}\,x_n$ , la recurrencia se convierte en

y_{n+1}=r\,y_n(1-y_n),\qquad r=1+ha.

La discretización de Euler de la logística continua es, por tanto, el mapa logístico con $r=1+ha$ . El equilibrio $x=1$ corresponde al punto fijo $y=1-1/r$ y su multiplicador, $2-r=1-ha$ , es el factor de amplificación de Euler que el capítulo 26 asoció a la estabilidad del método. Con $ha<1$ la aproximación numérica se acerca al equilibrio sin cruzarlo. Con $1<ha<2$ lo cruza en cada paso mientras converge. Con $ha>2$ el equilibrio discreto se vuelve inestable y aparece un ciclo de período 2 que la ecuación continua no tiene. Con $a=1$ y $h=2{,}2$ , la iteración de Euler alterna entre $0{,}746$ y $1{,}163$ (figura 53.3a). Las oscilaciones del mapa son, en ese uso, artefactos del método. Leído como modelo propio, el mapa describe en cambio una dinámica discreta legítima.

Invariancia del intervalo [0, 1]

Antes de calcular puntos fijos hay que saber si el dominio se conserva. Para $x\in[0,1]$ se cumple $0\le x(1-x)\le1/4$ , porque la parábola es no negativa en el intervalo y alcanza su máximo, $1/4$ , en $x=1/2$ . Multiplicando por $r\ge0$ se obtiene $0\le F_r(x)\le r/4$ . Si $0\le r\le4$ , el intervalo es positivamente invariante y una órbita que empieza en $[0,1]$ permanece en él.

La demostración explica, además, por qué $r=4$ es la frontera natural de esta normalización. Si $r>4$ , el punto $x=1/2$ se envía a $r/4>1$ y el intervalo deja de ser invariante. La fórmula sigue definiendo una función en la recta, aunque pierde la interpretación restringida a $[0,1]$ que justificaba el modelo.

Puntos fijos admisibles y sus multiplicadores

Los puntos fijos cumplen $x\,[r(1-x)-1]=0$ . Una solución es $x_0^*=0$ y, si $r\neq0$ , la otra es

x_1^*=1-\frac1r.

Ambas existen algebraicamente, pero la segunda solo es admisible en $[0,1]$ cuando $r\ge1$ . Para $0<r<1$ es negativa y queda fuera del espacio de estados. Resolver la ecuación no basta, porque hay que comprobar que la solución pertenece al dominio del problema.

La derivada del mapa es $F_r'(x)=r(1-2x)$ . En el origen el multiplicador vale $\lambda_0=r$ y en el punto fijo positivo,

\lambda_1=r\left[1-2\left(1-\frac1r\right)\right]=2-r.

Estas dos expresiones contienen casi toda la primera transición del mapa (figura 53.2b).

Extinción para r ≤ 1

Para $0\le r<1$ , el único punto fijo en $[0,1]$ es el origen y su multiplicador cumple $|\lambda_0|=r<1$ , por lo que el origen es localmente asintóticamente estable. En este caso puede demostrarse algo más fuerte. Si $x_n\in(0,1]$ , entonces $x_{n+1}=r\,x_n(1-x_n)<x_n$ , así que la sucesión es positiva y decreciente y converge a un límite que, por continuidad, debe ser un punto fijo. El único admisible es cero, de modo que toda órbita del intervalo converge al origen (Alligood et al., 1996). La prueba combina un argumento global de monotonía con la clasificación local, porque el multiplicador describe lo que ocurre cerca del punto fijo y la desigualdad extiende la conclusión a todo el intervalo.

En $r=1$ el multiplicador vale $+1$ y la linealización no decide. La desigualdad $x_{n+1}=x_n(1-x_n)<x_n$ sigue valiendo y el origen atrae, aunque despacio. Como $1/x_{n+1}\approx1/x_n+1$ , la órbita se comporta como $x_n\approx1/n$ . El producto $n\,x_n$ vale $0{,}94$ en $n=100$ y $0{,}9999$ en $n=100\,000$ .

Un estado positivo estable para 1 < r < 3

Para $r>1$ el punto fijo positivo entra en $(0,1)$ y el origen se vuelve inestable, porque $\lambda_0=r>1$ . El punto positivo es estable si $|2-r|<1$ , es decir, si $1<r<3$ . El mismo intervalo en que aparece es, hasta $r=3$ , el intervalo en que atrae.

El signo del multiplicador distingue dos maneras de acercarse. Con $1<r<2$ se cumple $0<2-r<1$ y las perturbaciones pequeñas conservan su signo. Con $2<r<3$ se cumple $-1<2-r<0$ y la órbita se acerca alternando por encima y por debajo del punto fijo. Con $r=2{,}5$ , por ejemplo, el punto fijo es $0{,}6$ y su multiplicador, $-0{,}5$ , por lo que cerca del equilibrio cada paso invierte el signo del error y lo reduce a la mitad (figura 53.1b). Esa alternancia no es una órbita periódica, porque los valores no se repiten y su amplitud disminuye. Confundir una convergencia alternante con un ciclo de período 2 es un error frecuente al mirar series temporales cortas.

Reglas y órbitas logísticas en tres regímenes: extinción, convergencia alternante a un punto fijo y ciclo de período dos. — Figura 53.1. Mapa logístico en tres regímenes. En el panel (a), la regla F_r(x) = rx(1 − x) con r = 0,8, 2,5 y 3,2 junto a la diagonal. En el panel (b), órbitas desde x₀ = 0,11. Con r = 0,8 la población se extingue, con r = 2,5 converge a 0,6 alternando de lado y con r = 3,2 oscila entre los dos puntos de un ciclo de período 2. Ampliar figura ↗

El umbral r = 3

En $r=3$ el punto fijo positivo vale $2/3$ y su multiplicador, $-1$ . El criterio hiperbólico deja de decidir. Con $x_n=2/3+y_n$ la sustitución en el mapa da exactamente $y_{n+1}=-y_n-3y_n^2$ . Como el término dominante cambia de signo, conviene estudiar dos iteraciones,

y_{n+2}=y_n-18y_n^3-27y_n^4.

Para $|y_n|$ pequeño y distinto de cero, el término cúbico reduce la magnitud en la dinámica de dos pasos, de modo que el punto fijo sigue atrayendo en $r=3$ . La convergencia es algebraica. Como $1/y^2$ aumenta en unas 36 unidades cada dos pasos, $|y_n|\approx1/\sqrt{18n}$ (figura 53.3b). Para $r>3$ el multiplicador cumple $2-r<-1$ y el punto fijo se vuelve inestable. La pérdida de estabilidad ocurre al cruzar $-1$ y no $+1$ , el escenario local de una bifurcación de duplicación de período (Kuznetsov, 2023).

La transición tiene una consecuencia práctica. Cerca de $r=3$ , la aproximación al punto fijo se vuelve muy lenta, porque el módulo del multiplicador se acerca a uno. El programa de la sección siguiente cuenta cuántas iteraciones hacen falta para reducir un error inicial de $10^{-2}$ a $10^{-3}$ . Hacen falta 22 con $r=2{,}9$ , 227 con $r=2{,}99$ , 1992 con $r=2{,}999$ y 54 844 en $r=3$ . Un procedimiento que descarte un número fijo de iteraciones como transitorio puede, cerca de un umbral, tomar por estacionario un estado que todavía está convergiendo.

Telaraña del ciclo logístico de período dos y multiplicadores de los puntos fijos y del ciclo frente al parámetro. — Figura 53.2. Ciclo de período 2 y multiplicadores del mapa logístico. En el panel (a), diagrama de telaraña con r = 3,2 desde x₀ = 0,11. El punto fijo, en círculo blanco, repele y la construcción termina en el rectángulo formado por los dos puntos del ciclo, en negro. En el panel (b), multiplicadores del origen, del punto fijo positivo y del ciclo de período 2 en función de r. Las líneas verticales marcan r = 1, r = 3 y r = 1 + √6. Las horizontales marcan los valores ±1. Ampliar figura ↗

El primer ciclo de período 2

Un ciclo de período 2 está formado por dos puntos distintos con $F_r(x_-)=x_+$ y $F_r(x_+)=x_-$ . Cada uno es un punto fijo de $F_r^2$ , pero esa ecuación también contiene los puntos fijos de $F_r$ , que hay que descartar. Para el mapa logístico,

F_r^2(x)-x=-x\,(rx-r+1)\left[r^2x^2-r(r+1)x+(r+1)\right].

Los dos primeros factores dan $x=0$ y $x=1-1/r$ . Los candidatos nuevos provienen del corchete,

x_\pm=\frac{r+1\pm\sqrt{(r+1)(r-3)}}{2r},

reales si $r\ge3$ . En $r=3$ ambas raíces coinciden con el punto fijo $2/3$ y no hay todavía un ciclo distinto. Para $r>3$ se separan. La aparición del ciclo coincide con la pérdida de estabilidad del punto fijo positivo, una coincidencia que no es accidental. Es la primera duplicación de período de la familia (Strogatz, 2015, sec. 10.3).

Que el ciclo exista no garantiza que atraiga. Su multiplicador es $\Lambda_2=F_r'(x_-)F_r'(x_+)$ . Con $F_r'(x)=r(1-2x)$ y las relaciones entre las raíces del corchete, $x_++x_-=(r+1)/r$ y $x_+x_-=(r+1)/r^2$ , se obtiene

\Lambda_2=r^2\bigl[1-2(x_++x_-)+4x_+x_-\bigr]=4+2r-r^2.

Para $r>3$ ya se cumple $\Lambda_2<1$ . La condición $\Lambda_2>-1$ equivale a $r^2-2r-5<0$ , cuya raíz positiva es $1+\sqrt6\approx3{,}449490$ . El ciclo es estable para $3<r<1+\sqrt6$ y en el extremo superior su multiplicador llega a $-1$ . El capítulo 54 mostrará que la misma lógica, aplicada a la segunda iterada, produce allí una órbita de período 4.

Con $r=3{,}2$ el punto fijo positivo vale $0{,}6875$ y su multiplicador, $-1{,}2$ , luego es inestable. El ciclo tiene los puntos $x_-\approx0{,}51304451$ y $x_+\approx0{,}79945549$ . Su multiplicador vale $4+6{,}4-10{,}24=0{,}16$ . Desde $x_0=0{,}11$ , la órbita se acerca alternadamente a los dos valores del ciclo y deja atrás el punto fijo (figura 53.2a). El bloque siguiente comprueba esas cifras iterando el mapa. Compara el ciclo simulado con la fórmula y el producto de derivadas con $\Lambda_2$ . Mide también la lentitud de la convergencia cerca de $r=3$ .

import numpy as np

F = lambda r, x: r * x * (1 - x)

r = 3.2                                          # ciclo de período 2
x = 0.11
for _ in range(1000):
    x = F(r, x)
ciclo = sorted([x, F(r, x)])
raiz = np.sqrt((r + 1) * (r - 3))
formula = [(r + 1 - raiz) / (2 * r), (r + 1 + raiz) / (2 * r)]
producto = r**2 * (1 - 2 * ciclo[0]) * (1 - 2 * ciclo[1])
print("ciclo simulado", [f"{c:.8f}" for c in ciclo])
print("fórmula       ", [f"{c:.8f}" for c in formula])
print(f"multiplicador {producto:.6f}   fórmula {-r**2 + 2 * r + 4:.6f}")

print("   r    iteraciones para pasar de un error 1e-2 a 1e-3")
for r in (2.9, 2.99, 2.999, 3.0):                # lentitud cerca de r = 3
    x_fijo = 1 - 1 / r
    x, n = x_fijo + 0.01, 0
    while abs(x - x_fijo) > 1e-3:
        x = F(r, x)
        n += 1
    print(f"{r:6.3f}   {n:8d}")

La salida del programa es la siguiente.

ciclo simulado ['0.51304451', '0.79945549']
fórmula        ['0.51304451', '0.79945549']
multiplicador 0.160000   fórmula 0.160000
   r    iteraciones para pasar de un error 1e-2 a 1e-3
 2.900         22
 2.990        227
 2.999       1992
 3.000      54844

La fórmula del punto fijo y su multiplicador demuestran que el estado estacionario ya es inestable. La resolución de $F^2(x)=x$ y el cálculo de $\Lambda_2$ identifican la órbita que lo reemplaza. Una serie temporal puede sugerir el patrón, pero estas conclusiones no dependen de reconocerlo visualmente. Las comprobaciones numéricas tampoco sustituyen las demostraciones. Iterar un millón de puntos no demuestra la invariancia de $[0,1]$ , que sí demuestra la desigualdad $0\le x(1-x)\le1/4$ . Las cautelas sobre la aritmética finita del capítulo 51 se volverán decisivas cuando aparezcan órbitas aperiódicas.

Euler introduce alternancia o un ciclo ausente de la logística continua; cerca del umbral discreto la convergencia se ralentiza. — Figura 53.3. Dos consecuencias de los multiplicadores. En el panel (a), la solución exacta de la logística continua ẋ = x(1 − x) aparece en negro junto a su aproximación por el método de Euler con tres pasos. Con h = 0,5 la aproximación es monótona, con h = 1,5 cruza el equilibrio y con h = 2,2 queda atrapada en un ciclo de período 2 inexistente en la ecuación continua. En el panel (b), distancia al punto fijo en escala logarítmica. Con r = 2,9 y r = 2,99 decae geométricamente. En r = 3 decae como 1/√(18n), en línea punteada. Ampliar figura ↗

Alcance del modelo

El mapa logístico muestra con limpieza cómo una familia determinista cambia de régimen al variar un parámetro. Esa utilidad matemática no lo convierte en una descripción general de las poblaciones. Una interpretación aplicada tendría que justificar que una variable escalar basta como estado, que la actualización ocurre por pasos, que $r$ permanece constante y que la dependencia de la densidad tiene exactamente la forma $x(1-x)$ . Observar irregularidad en datos reales tampoco demuestra que el mecanismo sea un mapa logístico en régimen caótico, porque el ruido, el forzamiento externo, los parámetros cambiantes y los errores de medición producen series parecidas. La regla puede, además, conocerse exactamente mientras sus parámetros y la condición inicial se conocen con incertidumbre, de modo que el determinismo del modelo y la incertidumbre empírica pertenecen a niveles distintos.

Ejercicios

Ejercicio 53.1. Con $r=2{,}8$ , (a) calcule el punto fijo positivo y su multiplicador. (b) Describa cómo se acerca una órbita cercana. (c) Estime cuántas iteraciones reducen un error pequeño en un factor 1000.

Ejercicio 53.2. (a) Verifique el cambio de escala que convierte la iteración de Euler de $\dot x=a\,x(1-x)$ en el mapa logístico. (b) ¿Qué paso máximo $h$ garantiza que la iteración converja monótonamente al equilibrio cuando $a=0{,}5$ ? (c) ¿A partir de qué paso aparece un ciclo de período 2 espurio?

Ejercicio 53.3. (a) Demuestre que, si $r>4$ , existen puntos de $[0,1]$ cuya imagen sale del intervalo. (b) Con $r=4{,}2$ , encuentre el intervalo de puntos que salen en un paso.

Ejercicio 53.4. En $r=3$ , (a) derive la expresión $y_{n+1}=-y_n-3y_n^2$ . (b) Derive la expresión de dos pasos. (c) Use $1/y^2$ para justificar que $|y_n|\approx1/\sqrt{18n}$ .

Ejercicio 53.5. (a) Deduzca $\Lambda_2=4+2r-r^2$ a partir de las relaciones entre las raíces. (b) Calcule los puntos del ciclo y su multiplicador con $r=3{,}4$ . (c) ¿Qué ocurre con el ciclo con $r=3{,}5$ ?

Ejercicio 53.6. Una serie de 20 generaciones de una población muestra valores que alternan por encima y por debajo de una media, con amplitud decreciente. (a) ¿Qué régimen del mapa logístico sería compatible? (b) ¿Qué otras explicaciones deberían descartarse antes de aceptar ese modelo?

Consultar las soluciones de los ejercicios

Soluciones de los ejercicios

Solución 53.1. (a) $x^*=1-1/2{,}8\approx0{,}643$ y $\lambda_1=2-2{,}8=-0{,}8$ . (b) La órbita se acerca alternando de lado, porque el multiplicador es negativo. Cada paso reduce el error en un 20 %. (c) Con $0{,}8^n=10^{-3}$ se obtiene $n=3\ln10/|\ln0{,}8|\approx31$ iteraciones.

Solución 53.2. (a) Con $y=cx$ y $c=ha/(1+ha)$ , la iteración $x_{n+1}=(1+ha)x_n-ha\,x_n^2$ da $y_{n+1}=(1+ha)\,y_n-(ha/c)\,y_n^2=r\,y_n(1-y_n)$ con $r=1+ha$ . (b) La convergencia monótona exige $0<2-r<1$ , es decir, $ha<1$ , así que $h<2$ . (c) El ciclo aparece cuando $r>3$ , es decir, $ha>2$ , o sea, $h>4$ .

Solución 53.3. (a) El máximo de $F_r$ en $[0,1]$ vale $r/4>1$ , así que $x=1/2$ sale del intervalo. (b) La condición $4{,}2\,x(1-x)>1$ equivale a $x^2-x+1/4{,}2<0$ , cuyas raíces son $\tfrac12\bigl(1\pm\sqrt{1-4/4{,}2}\bigr)\approx0{,}391$ y $0{,}609$ . Salen los puntos del intervalo $(0{,}391;\,0{,}609)$ .

Solución 53.4. (a) $3\left(\tfrac23+y\right)\left(\tfrac13-y\right)=\tfrac23-y-3y^2$ . (b) Aplicando dos veces, $y+3y^2-3(y+3y^2)^2=y-18y^3-27y^4$ . (c) Con $y'=y-18y^3$ se obtiene $1/y'^2\approx(1/y^2)(1+36y^2)=1/y^2+36$ . Tras $n$ pasos, es decir, $n/2$ dobles pasos, $1/y_n^2\approx18n$ .

Solución 53.5. (a) $\Lambda_2=r^2(1-2x_-)(1-2x_+)=r^2\bigl[1-2(x_++x_-)+4x_+x_-\bigr]=r^2-2r(r+1)+4(r+1)=4+2r-r^2$ . (b) Con $r=3{,}4$ , $x_\pm=\bigl(4{,}4\pm\sqrt{4{,}4\times0{,}4}\bigr)/6{,}8$ , es decir, $0{,}4520$ y $0{,}8422$ . El multiplicador vale $4+6{,}8-11{,}56=-0{,}76$ , luego el ciclo atrae alternando. (c) Con $r=3{,}5$ , $\Lambda_2=-1{,}25$ y el ciclo es inestable. El capítulo 54 muestra que lo reemplaza un ciclo de período 4.

Solución 53.6. (a) La alternancia con amplitud decreciente es compatible con $2<r<3$ , en que el punto fijo atrae con multiplicador negativo. (b) Habría que descartar otros mecanismos que producen oscilaciones amortiguadas, como un retardo en la regulación, un forzamiento estacional o un error de medición. Habría que comprobar, además, que 20 generaciones bastan para distinguir una convergencia de un ciclo.

Referencias

Alligood, K. T., Sauer, T. D. y Yorke, J. A. (1996). Chaos: An introduction to dynamical systems. Springer. https://doi.org/10.1007/b97589

Kuznetsov, Y. A. (2023). Elements of applied bifurcation theory (4.ª ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-031-22007-4

May, R. M. (1976). Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature, 261(5560), 459–467. https://doi.org/10.1038/261459a0

Strogatz, S. H. (2015). Nonlinear dynamics and chaos: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering (2.ª ed.). Westview Press.