Análisis tiempo-frecuencia y resolución cambiante

Un generador pasa de doce a veintiocho hercios al cumplirse cuatro segundos, en un instante que la instrucción de control fija sin transición gradual. Aun así, un análisis del registro puede mostrar la frecuencia nueva antes del cambio y prolongar la anterior después de él. Si se acorta la ventana, esa zona de coexistencia se estrecha, aunque la señal, construida como ejemplo didáctico, conserva exactamente las mismas muestras.

El ejemplo plantea una dificultad cotidiana del análisis tiempo-frecuencia. Queremos localizar cambios y, sin embargo, cada coeficiente necesita reunir información de un intervalo cuya extensión y ponderación intervienen en la forma de lo que vemos. Una franja ancha puede corresponder a un proceso prolongado, a la respuesta de un filtro ante un episodio breve o a una mezcla de ambas cosas.

La regla conocida del generador ofrece una referencia que suele faltar en los registros empíricos. Con ella puede comprobarse cuánto cambia la representación cuando se mantiene fijo el segmento analizado o cuando su duración varía con la escala. La anchura de la función de análisis y el espaciado entre coeficientes pueden medirse por separado antes de atribuir una duración al fenómeno registrado.

Un coeficiente reúne observaciones de distintos tiempos

La transformada de Fourier de tiempo corto, que suele abreviarse STFT, desplaza una ventana sobre el registro y calcula una transformada en cada posición. Si $x_n$ es la muestra tomada en $t_n=n/f_s$, una definición posible es

Aquí $b$ es el centro temporal de la ventana, $f$ la frecuencia analizada y $w$ la función que pondera las muestras cercanas. El coeficiente es complejo y conserva módulo y fase; el cuadrado de su módulo da un espectrograma, cuya normalización debe especificarse para poder interpretar los valores. La posición $b$ etiqueta una operación sobre varias muestras, pero esa operación no es una medición instantánea.

Allen y Rabiner (1977) desarrollaron la relación entre esta descripción por segmentos y otra basada en bancos de filtros, en la que se sigue en el tiempo la salida de un filtro asociado a cada frecuencia. Ambas perspectivas ayudan a interpretar el mismo cálculo, en el que una componente estrecha en frecuencia requiere una respuesta que se extienda en el tiempo.

Construyamos el registro del generador con una frecuencia de muestreo de 256 hercios, ocho segundos de duración y amplitud de un voltio. Antes del cuarto segundo usamos el coseno de doce hercios; desde ese instante, el de veintiocho. Como las dos expresiones valen uno en el punto de cambio, la señal no salta de valor, aunque sí cambia su regla de oscilación.

Para comparar ventanas usaremos Hann periódica. En un segmento de $L$ muestras, cuya primera muestra se sitúa en $b-L/(2f_s)$, sus pesos son $w_j=[1-\cos(2\pi j/L)]/2$, con índices de cero a $L-1$. La amplitud se calcula como $2|Z|/\sum_jw_j$, una normalización apropiada para recuperar los cosenos aislados del ejemplo cuando coinciden con la rejilla y sus imágenes espectrales no se solapan.

Consideremos el centro en 3,75 segundos. Con una ventana de 64 muestras, un cuarto de segundo, el segmento empieza en 3,625 y su última muestra cae cerca de 3,871, de modo que todas sus observaciones pertenecen al coseno inicial. Se recupera una amplitud de un voltio en doce hercios y de cero en veintiocho, salvo el redondeo numérico.

Con una ventana de 256 muestras, el mismo centro reúne observaciones desde 3,25 hasta unos 4,246 segundos y parte del segmento pertenece ya al segundo coseno. Las amplitudes calculadas son de alrededor de 0,90969 voltios en doce hercios y 0,09086 en veintiocho. La banda nueva aparece en una posición anterior al cambio porque ese coeficiente usa muestras posteriores a él.

Las filas centradas justo en el cambio contienen contribuciones de las dos frecuencias. Sus amplitudes no tienen por qué sumar exactamente uno, ya que cada coeficiente incluye también la respuesta de la ventana a la otra componente y a la imagen de frecuencia negativa del coseno. Leer estas cifras como porcentajes de tiempo en cada estado pasaría por alto esas contribuciones.

El desplazamiento entre ventanas decide cuántos centros se evalúan. Con pasos de dieciséis muestras se obtiene un centro cada 0,0625 segundos; con pasos de cuatro, los centros se separan 0,015625 segundos. El segundo mapa tendrá más columnas y dibujará la transición con más continuidad, pero cada columna seguirá usando la misma ventana y la duración de la respuesta no se dividirá por cuatro.

El solapamiento introduce además dependencia, ya que dos coeficientes próximos pueden compartir casi todas sus observaciones. Una banda que ocupa muchas columnas no aporta automáticamente muchas confirmaciones independientes; esta cuestión importa tanto al calcular la incertidumbre como al decidir si dos episodios se han separado realmente.

La dependencia puede cuantificarse sin simular. Supongamos muestras de ruido independientes, de media cero y varianza uno. En frecuencia cero, el coeficiente de una ventana es una suma real ponderada de esas muestras. Al dividirla por la suma de pesos se obtiene un promedio local. La covarianza entre dos promedios es la suma de los productos de sus pesos sobre las muestras compartidas, dividida por las normalizaciones correspondientes.

Con Hann de 64 muestras y un desplazamiento de 32, la correlación entre esos promedios es un sexto; con un desplazamiento de solo cuatro muestras sube a cerca de 0,9746. La cuenta concierne a los promedios lineales en frecuencia cero y no asigna esa misma correlación a todos los módulos o potencias del espectrograma, aunque ilustra cuánto puede aumentar la dependencia al densificar el eje temporal.

Los valores intermedios siguen siendo útiles para localizar la evolución de una respuesta y para evitar que un máximo quede entre centros muy separados. Su utilidad descriptiva no es lo mismo que obtener nuevas realizaciones del ruido. Para construir intervalos o evaluar una duración, debe trasladarse la dependencia de las muestras y de los pesos a la cantidad que finalmente se compara.

La disponibilidad del resultado exige otra marca temporal. El coeficiente de un segundo centrado en 3,75 solo puede calcularse, con las muestras especificadas, después de recibir la de 4,246. En un análisis retrospectivo es razonable dibujarlo en el centro, mientras que en una aplicación que actúa a medida que llegan los datos hay que guardar la hora en que estuvo disponible. Adelantarlo en el gráfico y usarlo como predictor en ese centro introduciría información futura en el análisis.

Anchura de la función de análisis

Expresiones como «ventana corta» o «buena resolución» necesitan una medida. Para una ventana gaussiana continua,

las dispersiones en tiempo y en frecuencia pueden medirse tomando como pesos la energía de la ventana y la de su transformada. Con esos pesos normalizados para integrar uno, las desviaciones estándar son

La frecuencia se mide aquí en ciclos por unidad de tiempo y no en radianes. El parámetro $\sigma$ describe la envolvente de amplitud y la dispersión temporal calculada con su energía es menor. Esta distinción evita comparar anchuras definidas con criterios diferentes.

Con $\sigma=0{,}05$ segundos, la dispersión temporal ronda los 0,0354 segundos y la frecuencial los 2,251 hercios, mientras que si el parámetro aumenta a 0,2 segundos, se obtienen unos 0,1414 segundos y 0,563 hercios. La ventana más larga discrimina mejor frecuencias próximas de una oscilación estable a cambio de reunir un intervalo temporal mayor.

La relación entre ambas dispersiones pertenece a la descripción conjunta de tiempo y frecuencia que formuló Gabor (1946). Para funciones de energía finita con los momentos necesarios, el producto de esas anchuras tiene una cota inferior que la gaussiana alcanza. La cota atañe a la concentración de la función de análisis. No es un intervalo de confianza para un parámetro ni fija por sí sola el error de un estimador de frecuencia.

Si sabemos que una señal es un único coseno, un ajuste paramétrico puede estimar su frecuencia con una precisión que se apoya en la hipótesis sobre la forma de la señal y depende del ruido y de la duración. El espectrograma responde a otra pregunta, la de cómo se distribuyen las proyecciones sobre unas funciones localizadas. Comparar ambos resultados exige tener presentes esas hipótesis.

Conviene distinguir también la dispersión de la separación entre picos. Dos componentes de amplitudes muy dispares pueden ser difíciles de separar aunque la anchura nominal parezca suficiente, porque sus fases y las colas de la función de análisis influyen en el aspecto del máximo conjunto. Una cifra de resolución solo adquiere significado operativo cuando se declara qué característica se pretende recuperar y en qué condiciones.

Una frecuencia que cambia durante la ventana

Alargar la ventana no mejora necesariamente la concentración cuando la frecuencia evoluciona dentro de ella, como puede comprobarse con un chirp, una oscilación cuya frecuencia aumenta de forma continua. Para facilitar el cálculo usamos dos canales ideales en cuadratura, un coseno y un seno, reunidos en la señal compleja

La frecuencia instantánea de esta construcción es $f_0+at$ y el parámetro $a$ mide su tasa de cambio en hercios por segundo. La representación compleja está definida por el generador y no hemos inferido un componente oculto de un registro real.

Con una ventana gaussiana centrada en $b$, el perfil de potencia en frecuencia se centra en $f_0+ab$. Una integración directa da su varianza,

El primer término es el ensanchamiento de la ventana ante una frecuencia constante; el segundo surge porque la frecuencia cambia durante el intervalo ponderado. Reducir $\sigma$ agranda el primero y aumentarlo agranda el segundo. La fórmula describe el perfil de la transformada del chirp ideal, sin ruido y en tiempo continuo.

Fijemos una tasa de ocho hercios por segundo. Con $\sigma=0{,}05$ segundos, la desviación frecuencial es de unos 2,268 hercios y con $\sigma=0{,}4$ segundos vuelve a ser amplia, alrededor de 2,280. En este segundo caso la ventana tendría por sí sola una respuesta estrecha, pero la señal recorre frecuencias distintas mientras la observamos.

El mínimo se alcanza en $\sigma=1/\sqrt{2\pi|a|}$, que para nuestra tasa vale unos 0,141 segundos y da una desviación frecuencial de 1,128 hercios. Esa elección intermedia concentra mejor el perfil de este chirp que las dos anteriores. El resultado procede de su regla lineal conocida; una señal con aceleraciones variables o con varias componentes exigiría otra evaluación.

Con esta cuenta puede plantearse una decisión útil antes de dibujar ningún mapa. Si interesa seguir cambios rápidos, importa cuánto puede variar la frecuencia dentro de la ventana. Elegir la duración solo por la separación esperada entre frecuencias e ignorar su evolución temporal puede producir una banda ancha incluso con mediciones sin ruido.

La anchura observada no mide directamente la inestabilidad del generador, cuya trayectoria en este ejemplo es exacta y determinista. Parte de la dispersión corresponde a la función de análisis y otra parte al movimiento regular de la frecuencia durante el intervalo. Un informe que llamara «variabilidad aleatoria» a toda esa anchura atribuiría al proceso una propiedad que el cálculo no demuestra.

La duración de un episodio después del filtrado

Consideremos ahora una frecuencia estable cuya amplitud crece y vuelve a bajar, con un máximo de un voltio. Mantenemos los dos canales en cuadratura y multiplicamos la oscilación por una envolvente gaussiana centrada en $t_0$, con valores en voltios,

El parámetro $\rho$ fija la anchura de amplitud del episodio, cuya dispersión temporal, calculada con la energía de la señal, es $\rho/\sqrt{2}$. Como la envolvente tiene colas y no hay un comienzo con soporte estrictamente acotado, una duración definida mediante un umbral deberá especificar ese umbral.

Analicemos la frecuencia exacta del generador con una ventana gaussiana de parámetro $\sigma$, dividiendo el módulo del coeficiente por la integral de la ventana para que una oscilación compleja de amplitud constante uno dé una amplitud estimada de uno. Para el episodio, la integración del producto de las dos gaussianas da

Al promediar una amplitud que cambia dentro de la ventana, la curva resultante se ensancha y su máximo baja. El máximo del generador sigue siendo uno, pero el coeficiente lo combina con los valores menores que lo rodean.

Tomemos $\rho=0{,}1$ segundos, con una dispersión temporal de la energía original de unos 0,0707 segundos. Con una ventana de parámetro 0,05, la dispersión de la potencia representada sube a 0,0791 segundos y el máximo de amplitud baja a 0,8944. Con una ventana de parámetro 0,2 se obtienen unos 0,1581 segundos y 0,4472, respectivamente.

Bajo esta medida, el segundo mapa presenta un episodio dos veces más ancho que el primero y con la mitad de altura. Interpretar ambos cambios como propiedades del generador llevaría a una comparación equivocada, porque la señal transformada es idéntica en los dos casos.

La diferencia altera también una regla de detección. Si se declara un episodio cuando la amplitud representada supera medio voltio, la ventana corta lo detecta y la larga no llega a cruzar el umbral. Si el umbral se fija como fracción del máximo de cada curva, ambas lo cruzan, aunque con duraciones distintas. Son reglas que responden a preguntas diferentes, ya que la primera conserva una referencia absoluta de amplitud mientras la segunda mide la extensión relativa de cada respuesta. Elegirlas después de mirar el mapa puede esconder esa diferencia; si se describen junto con la ventana, puede reproducirse qué episodios se contaron.

Si se conociera exactamente la forma gaussiana del episodio, podría descontarse el término de anchura que aporta la ventana y estimar $\rho$. Esa inversión depende del modelo de envolvente y se vuelve sensible al error cuando la anchura observada apenas supera la del filtro, porque obliga a restar dos cantidades parecidas. Con ruido, episodios superpuestos o una envolvente de otra forma, la fórmula no recupera automáticamente una duración verdadera.

El ejemplo sugiere una comprobación más general, la de introducir en el procedimiento episodios de duración y amplitud conocidas para medir su respuesta antes de fijar umbrales de detección. La prueba debe usar la misma normalización que el análisis final. Si se calibra con una oscilación permanente y luego se interpreta una ráfaga breve como si tuviera amplitud constante durante toda la ventana, no se evalúa justamente el efecto que se quiere medir.

Transformada continua de ondículas

Una transformada continua de ondículas, o wavelets, usa traslaciones y dilataciones de una función madre. Escribiremos

El asterisco indica conjugación compleja. El parámetro $b$ sigue siendo una posición temporal y $s$ estira o comprime la función. Si el tiempo se mide en segundos y el argumento de la función madre es adimensional, la escala también se expresa en segundos.

La normalización por $1/\sqrt{s}$ mantiene constante la energía de las funciones dilatadas. Grossmann y Morlet (1984) estudiaron esta descomposición junto con las condiciones de admisibilidad que permiten reconstruir funciones a partir de ella. Que exista una representación invertible requiere propiedades concretas de la familia usada. Un conjunto de filtros escogidos arbitrariamente no hereda esa garantía.

Al duplicar la escala, la función dura el doble, sus frecuencias se reducen a la mitad y su anchura frecuencial absoluta también. Puede conservar así aproximadamente la misma resolución relativa en frecuencias distintas, con una proporción constante entre anchura y frecuencia central. Una STFT con ventana fija mantiene, en cambio, la misma anchura absoluta del filtro a lo largo de todo el eje de frecuencias.

Esta geometría suele convenir cuando interesa describir episodios con un número parecido de ciclos. Cuatro ciclos de una oscilación lenta ocupan más tiempo que cuatro de una rápida y una familia dilatada asigna intervalos mayores a la primera. Si la pregunta exige localizar ambas con la misma tolerancia temporal, esa elección puede ser inconveniente y obligar a revisar el diseño.

La función madre decide qué formas producen respuestas intensas. Una onda compleja oscilatoria responde de manera distinta de una función real pensada para cambios bruscos. La palabra «escala» no vuelve equivalentes esas operaciones. Dos análisis pueden usar el mismo valor numérico y ponderar intervalos o bandas muy diferentes.

La descomposición multirresolución de Mallat (1989) organiza aproximaciones y detalles mediante filtros y una estructura de escalas discretas, con propiedades diferentes de las de un mapa continuo densamente muestreado. En particular, contar los coeficientes de un mapa redundante como si fueran coordenadas ortogonales independientes altera la interpretación de su energía y de su incertidumbre.

En la práctica, el término wavelet puede referirse a cualquiera de las dos construcciones. Para reproducir un resultado hay que especificar si se usó una base discreta, una transformada continua evaluada sobre una rejilla u otra familia de filtros, además de la función madre y sus parámetros. Con el nombre general del método quedan demasiadas decisiones abiertas para explicar un patrón concreto.

Escala, período y frecuencia equivalente

Una función muy usada es la de Morlet, formada aproximadamente por una oscilación compleja dentro de una envolvente gaussiana. Su forma habitual contiene el factor $e^{i\omega_0u}e^{-u^2/2}$, donde el parámetro adimensional $\omega_0$ controla cuántas oscilaciones caben bajo la envolvente.

La integral de esa expresión no es exactamente cero. La versión corregida usa

con $C$ ajustado a la normalización elegida. Para $\omega_0=6$, el término restado vale aproximadamente $1{,}52\times10^{-8}$. Su pequeñez permite aproximaciones muy precisas en muchos cálculos, pero no convierte una media pequeña en una media exactamente nula. Las cifras que siguen usan la aproximación gaussiana sin esa resta, con energía unitaria para $C=\pi^{-1/4}$.

Lilly y Olhede (2012) distinguen esta corrección de la condición de analiticidad, que exige ausencia de frecuencias negativas. La Morlet corregida sigue siendo solo aproximadamente analítica. Los autores estudian las familias de Morse, que permiten controlar duración y forma con soporte exclusivamente en frecuencias positivas. La elección cambia la función de análisis, pero no elimina la necesidad de definir su anchura.

Para la Morlet de parámetro seis, la aproximación gaussiana habitual relaciona escala y período equivalente mediante

Torrence y Compo (1998) definen esta conversión con la escala en que la potencia de respuesta a una oscilación monocromática alcanza su máximo. Las correcciones publicadas por los autores no modifican ese factor ni su expresión del borde afectado para Morlet. Aquí usamos la aproximación de frecuencia positiva con ese parámetro, para la cual el efecto de la corrección de media es despreciable a la precisión presentada.

La frecuencia del máximo de la propia función de análisis responde a otra definición, aproximadamente $6/(2\pi s)$, próxima a la anterior pero no idéntica. La diferencia se entiende al calcular el coeficiente de una señal compleja de amplitud $A$ y frecuencia $f$,

donde la transformada de la función madre usa frecuencia angular. Al buscar el máximo respecto de la escala interviene también el factor $\sqrt{s}$, por lo que maximizar $|\widehat{\psi}|$ y maximizar $|W|^2$ son operaciones diferentes. La discrepancia entre conversiones puede proceder de esa normalización sin que haya cambiado la frecuencia del generador.

Para ilustrarlo, tomemos oscilaciones complejas de un voltio de amplitud con frecuencias de cuatro y dieciséis hercios, cuyas escalas se asignan con el período equivalente anterior. Las anchuras de la tabla corresponden a la envolvente gaussiana aproximada, con la energía como peso.

La componente lenta recibe una función cuatro veces más larga y una banda cuatro veces más estrecha, con el mismo producto de dispersiones. Un episodio de idéntica duración física puede abarcar así un número diferente de anchuras efectivas en cada fila.

Las amplitudes requieren cuidado adicional. Con la normalización continua que definimos, si la señal se mide en voltios, el coeficiente tiene unidades de voltio multiplicado por raíz de segundo. El cuadrado de su módulo no se interpreta automáticamente como la potencia de una oscilación en voltios cuadrados. Para nuestros tonos complejos de amplitud unitaria, los máximos son aproximadamente 0,85210 y 0,21303 en unidades de $\mathrm{V}^2\,\mathrm{s}$.

La primera respuesta es cuatro veces mayor porque su escala también lo es. Dividir esos valores por la escala da el mismo resultado para ambos tonos. La operación puede ser útil para comparar amplitudes, aunque modifica el criterio de máximo entre escalas y obliga a mantener una conversión coherente. Otras implementaciones normalizan de forma distinta desde el principio.

Aumentar el número de escalas dibujadas no estrecha las funciones. Doce escalas por octava usan una razón cercana a 1,0595 entre valores vecinos y veinticuatro una de aproximadamente 1,0293. La segunda rejilla localiza con más detalle el máximo de respuesta y suaviza los contornos, mientras que la concentración de cada filtro depende de su forma y de sus parámetros.

Efectos de borde

En un registro finito faltan observaciones para parte de una función centrada cerca del principio o del final. Rellenar con ceros completa el cálculo suponiendo valores nulos fuera del intervalo. Reflejar la señal introduce una continuación simétrica y repetirla periódicamente une el final con el principio. Cada extensión puede producir respuestas distintas.

Las funciones de gran escala abarcan más tiempo, por lo que alcanzan más lejos fuera del registro. El cono de influencia marca la región en que el borde puede afectar sustancialmente al resultado según un criterio declarado. Para Morlet, la convención de Torrence y Compo asigna una distancia de $\sqrt{2}s$ a cada borde. No es una frontera entre observaciones ciertas e inciertas ni un contraste de significación.

En las dos escalas anteriores, esas distancias son de unos 0,3422 y 0,08556 segundos. El análisis de cuatro hercios marca, según ese criterio, una franja más ancha junto a cada extremo. La respuesta gaussiana no tiene soporte temporal estrictamente finito, por lo que el criterio solo fija una atenuación de referencia.

Un impulso breve muestra la relación entre la forma del dato y la del mapa. Si se idealiza el impulso como concentrado en un instante, su transformada a una escala fija es una copia desplazada de la función de análisis, cuya extensión temporal crece con la escala. Un único acontecimiento puede producir así una mancha que se ensancha hacia las frecuencias bajas.

En la aproximación gaussiana, la potencia de esa respuesta decae como $e^{-(b-t_0)^2/s^2}$, salvo un factor de amplitud. Su anchura a media altura es de unos 0,403 segundos en la escala asociada a cuatro hercios y de 0,101 en la asociada a dieciséis. Esa diferencia corresponde a la duración de las funciones de análisis; el impulso es el mismo en ambas bandas.

La comprobación resulta útil en registros con episodios abruptos. Antes de interpretar una extensión a lo largo de varias escalas como una oscilación persistente, puede examinarse cómo responde el mismo procedimiento a un pulso de duración conocida, o compararse la respuesta obtenida con distintas extensiones del borde. La sensibilidad resultante indica qué partes del patrón descansan en observaciones efectivas y cuáles en la manera de completar el registro.

El problema reaparece cerca de los huecos interiores. Una secuencia de valores ausentes reemplazados por ceros crea dos bordes dentro de la serie. Las zonas próximas a esos bordes quedarían sin marcar si solo se recortaran los extremos exteriores. Con una máscara de disponibilidad y el alcance temporal de los filtros pueden identificarse los coeficientes que usan información incompleta.

La implementación puede añadir otra conexión entre extremos. Multiplicar transformadas discretas y volver al tiempo calcula una convolución circular si no se prepara la longitud adecuada. Para reproducir la convolución lineal completa entre un registro de $N$ muestras y un filtro finito de $L$ hace falta una transformada de al menos $N+L-1$ puntos, rellenando con ceros y recortando después según la convención temporal. De lo contrario, la respuesta del final puede reaparecer al principio.

Ese relleno evita el retorno circular, pero no aporta las observaciones que faltan fuera del registro. Son problemas distintos dentro del mismo cálculo. Una función gaussiana debe además truncarse para implementarla como filtro finito y la tolerancia elegida determina qué colas se descartan. Registrar esa longitud permite comprobar la dependencia con el borde y la demora necesaria.

En el extremo de las frecuencias altas interviene el muestreo. Que el centro de una función esté por debajo de Nyquist no garantiza que toda su banda útil lo esté, ya que al comprimir una onda sus frecuencias y su anchura crecen juntas. La escala mínima debe elegirse considerando la respuesta completa del filtro y el filtrado previo de la adquisición, además del valor que figura en el eje vertical.

Del mapa coloreado a una afirmación comprobable

El color puede representar amplitud, módulo al cuadrado, una densidad normalizada o un logaritmo relativo a una referencia. Dos mapas solo admiten comparación directa cuando esa definición y la escala de color coinciden. Ajustar automáticamente los límites de cada imagen puede hacer que un registro débil parezca tan intenso como otro.

Una cresta no corresponde necesariamente a una única componente física. Si dos contribuciones se solapan dentro de una función de análisis, el máximo puede situarse entre sus frecuencias o desplazarse cuando cambian sus amplitudes. Seguir ese máximo como si fuera la trayectoria de un solo oscilador incorpora una hipótesis que conviene contrastar con el registro y con señales de prueba.

Conservar los coeficientes complejos permite estudiar también sus fases y, en condiciones adecuadas, reconstruir la señal. En el ejemplo de Hann, dos ventanas separadas por media longitud tienen pesos que suman uno en la región interior cubierta. Gracias a esa propiedad pueden combinarse segmentos reconstruidos sin alterar sus valores si se usa el esquema correspondiente. Los extremos requieren su propio tratamiento.

Guardar solo la potencia pierde al menos ciertas distinciones, porque una señal y su opuesta producen el mismo espectrograma. La posibilidad de reconstrucción, que depende de qué información se conserve, de la familia de análisis y de las condiciones del procedimiento inverso, no debe atribuirse sin más a una imagen de módulos.

Cuando el mapa se usa para detectar episodios, hace falta además un fondo de comparación. Una región intensa puede ser excepcional bajo un modelo de ruido y corriente bajo otro con distinta variación temporal. Las pruebas puntuales requieren ese modelo y su interpretación no se obtiene de la apariencia del contorno.

La multiplicidad aparece aunque todos los coeficientes estén bien calculados. Con 2.000 pruebas y una probabilidad marginal de falso positivo del 5 %, se esperan 100 falsos positivos cuando se cumplen sus hipótesis nulas. Esa esperanza no exige independencia. La dependencia sí influye en cómo se agrupan y en la probabilidad de obtener una mancha extensa.

Una evaluación orientada a regiones puede simular el procedimiento completo bajo un modelo de referencia y comparar máximos o extensiones de grupos. Debe incluir el filtrado, las ventanas, el tratamiento de los bordes y la regla de selección. Si se probaron varias duraciones hasta dar con la imagen más llamativa, esa búsqueda también forma parte del procedimiento evaluado.

Estas decisiones pueden separarse de la descripción inicial. Primero se informa qué respuestas produjo una transformación completamente especificada; después se formula la hipótesis sobre episodios, frecuencias o cambios y se evalúa con un criterio adecuado. La primera etapa es exploratoria, pero la segunda exige dejar constancia de lo que se decidió después de mirar los resultados.

Volvamos al cambio del generador. El coeficiente largo centrado en 3,75 segundos contiene una respuesta de veintiocho hercios porque incluye muestras tomadas después del cuarto segundo. Si la ventana se reduce a un cuarto de segundo, esa respuesta desaparece en el mismo centro, mientras que al desplazar la ventana corta hasta el cambio reaparecen las dos componentes con amplitudes próximas a medio voltio.

Esos resultados pueden entregarse junto con las muestras que usó cada coeficiente y su hora de disponibilidad. La señal registra un cambio de regla a los cuatro segundos; el mapa registra respuestas de anchura conocida en torno a él. Si el objetivo es accionar un dispositivo a medida que llegan las observaciones, el coeficiente largo de aquella posición quedará fechado como disponible después de 4,246 segundos. El espectrograma puede dibujarlo en su centro sin confundir esa posición con el momento en que fue posible calcularlo.

Referencias

Allen, J. B., & Rabiner, L. R. (1977). A unified approach to short-time Fourier analysis and synthesis. Proceedings of the IEEE, 65(11), 1558–1564. https://doi.org/10.1109/PROC.1977.10770

Gabor, D. (1946). Theory of communication. Part 1: The analysis of information. Journal of the Institution of Electrical Engineers—Part III: Radio and Communication Engineering, 93(26), 429–441. https://doi.org/10.1049/ji-3-2.1946.0074

Grossmann, A., & Morlet, J. (1984). Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 15(4), 723–736. https://doi.org/10.1137/0515056

Lilly, J. M., & Olhede, S. C. (2012). Generalized Morse wavelets as a superfamily of analytic wavelets. IEEE Transactions on Signal Processing, 60(11), 6036–6041. https://doi.org/10.1109/TSP.2012.2210890

Mallat, S. G. (1989). A theory for multiresolution signal decomposition: The wavelet representation. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 11(7), 674–693. https://doi.org/10.1109/34.192463

Torrence, C., & Compo, G. P. (1998). A practical guide to wavelet analysis. Bulletin of the American Meteorological Society, 79(1), 61–78. https://doi.org/10.1175/1520-0477(1998)079%3C0061:APGTWA%3E2.0.CO;2. Consultada también la fe de erratas de los autores.