Caos conservativo, transporte y difusión de Arnold

Año 2 · Módulo 12 · Nivel C

117.1. Un sistema puede conservar su energía y cambiar lentamente de régimen

En un sistema hamiltoniano autónomo, la energía se conserva, pero las variables de acción no tienen por qué permanecer próximas a su valor inicial. Con varios grados de libertad, una trayectoria puede desplazarse entre regiones resonantes de una misma superficie de energía. La existencia de ese transporte depende de la geometría y de la dimensión del sistema. En dos grados de libertad, los toros invariantes apropiados pueden ser barreras en una superficie de energía; en dimensiones mayores la situación cambia.

Conviene distinguir sensibilidad, irregularidad y transporte. Un exponente de Lyapunov positivo describe crecimiento local de perturbaciones, pero no establece cuánto cambia una acción a lo largo de una órbita. Las trayectorias próximas a una separatriz pueden ser caóticas y permanecer confinadas durante tiempos enormes. Para demostrar deriva entre regiones alejadas hay que encontrar conexiones dinámicas y justificar que las órbitas verdaderas las siguen. Aun cuando esa deriva exista, su velocidad puede ser extraordinariamente pequeña.

La difusión de Arnold designa una clase de deriva lenta en las variables de acción de sistemas hamiltonianos con varios grados de libertad, habitualmente casi integrables. Recibe su nombre de Vladímir Arnold, matemático soviético que en la década de 1960 construyó ejemplos de inestabilidad global mediante conexiones entre movimientos cuasiperiódicos. El nombre «difusión» puede sugerir una caminata aleatoria provocada por ruido térmico. Aquí, en cambio, las ecuaciones pueden ser enteramente deterministas. El movimiento adquiere apariencia difusiva porque la trayectoria recorre sucesivas regiones resonantes y conexiones inestables, aunque el patrón concreto no tiene por qué obedecer una ley browniana.

Conviene separar tres preguntas. La primera, de carácter topológico, es si existen barreras invariantes que separen las regiones que deseamos conectar. La segunda, de carácter dinámico, es si una órbita verdadera recorre el camino geométrico cuando este existe. La tercera, cuantitativa, es en qué tiempo puede hacerse ese recorrido. Una simulación breve puede sugerir una respuesta para la primera pregunta y no aportar casi nada sobre las otras dos. La existencia de trayectorias difusivas, su frecuencia respecto de una medida y la escala temporal de la deriva requieren resultados diferentes.

117.2. La dimensión cambia la función de los toros invariantes

Consideremos un hamiltoniano casi integrable con $n$ grados de libertad, escrito en acciones $I$ y ángulos $\theta$ ,

H(I,\theta)=H_0(I)+\varepsilon H_1(I,\theta),\qquad I\in D\subset\mathbb R^n,\quad \theta\in\mathbb T^n.

Cuando $\varepsilon=0$ , las acciones permanecen constantes y los ángulos evolucionan con frecuencias $\omega(I)=\nabla H_0(I)$ . Para perturbaciones pequeñas y condiciones adecuadas, la teoría KAM estudiada en C116 garantiza que persisten numerosos toros invariantes deformados. El significado de esa persistencia depende de la dimensión de los toros relativa a la superficie de energía.

El espacio de fases tiene dimensión $2n$ . Una superficie de energía regular $H=E$ tiene dimensión $2n-1$ , mientras que un toro invariante lagrangiano tiene dimensión $n$ . Por consiguiente, su codimensión dentro de la superficie de energía es

(2n-1)-n=n-1.

Con dos grados de libertad, la superficie de energía es tridimensional y los toros tienen dimensión dos. En regiones cuya topología admite esa separación, un toro es una barrera que impide el paso de una trayectoria de un lado al otro. El fenómeno se observa con especial claridad en una sección de Poincaré bidimensional, donde las curvas invariantes cerradas pueden separar regiones de la sección. Una órbita del mapa no puede atravesar una curva invariante que sea una barrera topológica.

Con tres grados de libertad, la superficie de energía tiene dimensión cinco y los toros KAM tienen dimensión tres; su codimensión es dos. Un toro individual ya no suele dividir la superficie de energía en componentes desconectadas. En dimensiones superiores ocurre algo semejante. Aunque los toros no separen globalmente, pueden persistir otras barreras, integrales del movimiento, conjuntos invariantes o dificultades dinámicas; lo que desaparece es el argumento simple de confinamiento que funcionaba en el ejemplo bidimensional.

Esta distinción evita una extrapolación frecuente del mapa estándar. Una trayectoria atrapada entre dos curvas invariantes en una sección de dimensión dos no es un modelo universal del confinamiento en un sistema hamiltoniano autónomo con tres o más grados de libertad. La dimensionalidad modifica las rutas disponibles, aunque la perturbación sea tan pequeña como queramos. La situación cambia cuando los dos grados de libertad están sometidos a un forzamiento temporal periódico; al convertir el tiempo en una coordenada angular adicional con su momento conjugado, el sistema autónomo extendido tiene un grado de libertad más. La descripción geométrica debe contar las dimensiones del problema efectivamente estudiado.

117.3. La red de resonancias y la geometría del espacio de acciones

La perturbación introduce términos que pueden expresarse mediante una expansión de Fourier en los ángulos,

H_1(I,\theta)=\sum_{k\in\mathbb Z^n} h_k(I)e^{i k\cdot\theta}.

Cada vector entero no nulo $k$ identifica una posible resonancia cuando

\boxed{k\cdot\omega(I)=0.}

La igualdad indica que una combinación entera de frecuencias se anula. En un espacio de acciones tridimensional, una resonancia simple suele formar una superficie de dimensión dos, si el gradiente de la condición no se anula. Las intersecciones de dos resonancias independientes suelen formar curvas. Esa trama de superficies y cruces se llama informalmente red de Arnold (Arnold web). El nombre ayuda a imaginar la organización del espacio de acciones, aunque una superficie resonante no es por ello un corredor transitable.

El orden de una resonancia suele medirse por el tamaño de los enteros que componen $k$ . Cuando la perturbación es analítica, sus coeficientes de Fourier decrecen con el orden y las resonancias de orden alto suelen ser más débiles en un sentido cuantificable. No existe, sin embargo, una jerarquía universal basada únicamente en la suma de esos enteros. Las amplitudes particulares, las simetrías del modelo y los denominadores pequeños pueden modificar qué resonancias son dinámicamente importantes.

Cerca de una resonancia simple pueden introducirse variables canónicas adaptadas. Una combinación angular se vuelve lenta y las demás pueden seguir siendo rápidas. Un procedimiento de promediado y transformación normal aproxima localmente la dinámica por un péndulo resonante acoplado a movimientos adicionales. La presencia del péndulo explica la aparición de libraciones, circulaciones y separatrices. Los términos no retenidos en la aproximación pueden producir divisiones de separatriz y conexiones entre estructuras invariantes.

Las resonancias múltiples exigen mayor cautela. En una intersección de superficies resonantes puede fallar una reducción que conserve solo un ángulo lento. Pueden coexistir varios modos, regiones hiperbólicas y canales de escape. Estos cruces intervienen en ciertos mecanismos de transporte, aunque describirlos como lugares donde «se rompe toda la estabilidad» es excesivo. La geometría depende del hamiltoniano, del nivel de energía y del tamaño de la perturbación.

La red de resonancias tampoco es necesariamente visible en una nube de puntos proyectada sobre dos variables. La proyección puede superponer estados con acciones distintas o esconder dependencias angulares. Para observar transporte hay que seguir acciones apropiadas, controlar las integrales conservadas y usar una representación que no confunda proximidad proyectada con conexión real.

Figura 117.1. C117 Figura 01 Red resonancias dimensiones Ampliar figura ↗

Figura 117.1. Red de resonancias para el hamiltoniano integrable $H_0=\frac{1}{2}(I_1^2+I_2^2+I_3^2)$ , con frecuencias $\omega(I)=I$ . El panel A representa las condiciones exactas $k\cdot\omega(I)=0$ de seis vectores enteros $k$ en la sección $I_3=0{,}6$ . Las líneas son superficies resonantes cortadas por el plano elegido, no órbitas calculadas ni canales de transporte demostrados. El panel B compara la codimensión de un toro lagrangiano dentro de una superficie de energía regular: $n-1=1$ para dos grados de libertad y $n-1=2$ para tres. Las barras representan dimensiones, no fracciones de volumen. La ausencia de separación topológica por un toro aislado no prueba difusión de Arnold.

117.4. Un modelo resonante que muestra movimiento, pero todavía no difusión

Un modelo cercano a resonancia permite calcular el cambio de acciones y evaluar qué condiciones adicionales se necesitan para identificar una deriva de Arnold. Consideremos tres grados de libertad con

H=\frac12(I_1^2+I_2^2+I_3^2)+\varepsilon\cos(\theta_1-\theta_2), \qquad \varepsilon>0.

Las frecuencias no perturbadas son $\omega_i=I_i$ . El término perturbativo contiene el vector resonante $k=(1,-1,0)$ , de modo que la resonancia se sitúa sobre $I_1=I_2$ . Definamos nuevas coordenadas angulares $\varphi=\theta_1-\theta_2$ y $\psi=\theta_2$ . La identidad de la forma canónica

I_1\,d\theta_1+I_2\,d\theta_2 =J\,d\varphi+K\,d\psi

se satisface tomando $J=I_1$ y $K=I_1+I_2$ . Mantenemos el tercer par canónico sin cambios. En las nuevas variables,

H=\left(J-\frac K2\right)^2+\frac{K^2}{4} +\frac{I_3^2}{2}+\varepsilon\cos\varphi.

Como $\psi$ y $\theta_3$ son cíclicos, sus momentos $K$ e $I_3$ son constantes. La parte dinámica restante es un péndulo con momento desplazado $P=J-K/2$ ,

H_{\mathrm{res}}=P^2+\varepsilon\cos\varphi, \qquad \dot\varphi=2P,\quad \dot P=\varepsilon\sin\varphi.

El equilibrio $(\varphi,P)=(\pi,0)$ es elíptico y $(0,0)$ es hiperbólico. La separatriz tiene energía $H_{\mathrm{res}}=\varepsilon$ . En $\varphi=\pi$ , su amplitud máxima cumple $P^2-\varepsilon=\varepsilon$ , por lo que $|P|_{\max}=\sqrt{2\varepsilon}$ . Así, el ancho resonante total medido en $P$ es $2\sqrt{2\varepsilon}$ . Ese resultado exhibe la escala de raíz cuadrada de la perturbación que apareció en C115.

A pesar de tener tres grados de libertad y una resonancia perfectamente identificable, este sistema no presenta difusión de Arnold. Tiene integrales adicionales; su reducción resonante tiene un solo grado de libertad y es integrable. Las acciones pueden oscilar dentro de un intervalo, pero no recorrer arbitrariamente la red de resonancias. El ejemplo refuta los atajos «tres grados de libertad implican difusión» y «una separatriz implica transporte global».

Para obtener deriva extensa hay que introducir acoplamientos que eliminen suficientes integrales adicionales y produzcan conexiones entre regiones antes dinámicamente aisladas. La pérdida de integrabilidad es necesaria en muchos ejemplos típicos, aunque insuficiente para demostrar transporte.

Figura 117.2. C117 Figura 02 Resonancia integrable sin difusion Ampliar figura ↗

Figura 117.2. Integración del ejemplo resonante del capítulo, $H=\frac{1}{2}(I_1^2+I_2^2+I_3^2)+\varepsilon\cos(\theta_1-\theta_2)$ , para $\varepsilon=0{,}09$ , $K=I_1+I_2=1{,}4$ , $I_3=0{,}45$ , $\varphi(0)=\pi$ y $P(0)=0{,}35$ , donde $P=I_1-K/2$ . El panel A muestra una trayectoria confinada dentro de la separatriz $H_{\mathrm{res}}=\varepsilon$ del péndulo resonante. El panel B presenta oscilaciones acotadas de $I_1$ e $I_2$ , con $K$ e $I_3$ constantes. Aunque el modelo tiene tres grados de libertad, sus integrales adicionales impiden una deriva extensa de estas acciones: este ejemplo no exhibe difusión de Arnold.

117.5. El mecanismo geométrico de separatrices, cilindros y conexiones

La idea de Arnold puede explicarse siguiendo la estructura geométrica del sistema. En modelos apropiados existe un subsistema semejante a un péndulo con órbitas hiperbólicas; sus variedades estable e inestable organizan el movimiento cercano. Puede haber también una familia de rotadores, cuyas acciones son aproximadamente constantes cuando la perturbación se anula. Al acoplar ambos subsistemas, las variedades de objetos invariantes pueden cortarse transversalmente y permitir cambios de las acciones del rotador.

Un modelo ilustrativo no autónomo, que puede convertirse en autónomo incorporando el tiempo periódico como un ángulo, es

H(I,\theta,p,q,t)=\frac{I^2}{2}+\frac{p^2}{2} +(\cos q-1)+\varepsilon(1-\cos q)F(\theta,t).

Aquí $(I,\theta)$ describe un rotador; $(p,q)$ , un péndulo; y $F$ es un acoplamiento periódico suficientemente regular. La elección exacta de $F$ condiciona el resultado, porque algunas simetrías anulan términos decisivos y ciertos acoplamientos no permiten una deriva neta de $I$ . La expresión solo ilustra una arquitectura frecuente.

Cuando $\varepsilon=0$ , el péndulo tiene una separatriz homoclínica al equilibrio hiperbólico $(q,p)=(0,0)$ , si se entiende $q$ como ángulo. Una parametrización es

q_0(t)=4\arctan(e^t),\qquad p_0(t)=2\operatorname{sech}t.

La trayectoria sale del equilibrio angular $q=0$ y regresa a él después de dar una vuelta, al representar los ángulos módulo $2\pi$ . Su energía pendular es cero, ya que $p_0^2/2=2\operatorname{sech}^2t$ y $\cos q_0-1=-2\operatorname{sech}^2t$ . Esta órbita es el soporte geométrico sobre el que pueden estudiarse perturbativamente las separaciones entre variedades.

El método de Melnikov, presentado en C109, permite evaluar ciertas divisiones de separatriz de primer orden. En sistemas multidimensionales se usan herramientas más amplias, como funciones y potenciales de Melnikov apropiados, variedades normalmente hiperbólicas y mapas de dispersión (scattering maps). Una variedad normalmente hiperbólica es un conjunto invariante donde la contracción y expansión transversales dominan suficientemente la dinámica tangencial. Esa dominancia favorece su persistencia bajo pequeñas perturbaciones y permite organizar las órbitas cercanas.

Una intersección homoclínica puede producir una excursión en la que la trayectoria se aproxima a un conjunto invariante, se aleja por una dirección inestable y regresa por otra dirección. Si la excursión cambia las acciones del subsistema rotador, es un paso elemental de transporte. Para acumular muchos pasos y obtener una deriva apreciable necesitamos conexiones que puedan encadenarse y una prueba de que una órbita verdadera sigue la secuencia elegida.

117.6. Cadenas de transición y seguimiento de órbitas verdaderas

Una cadena de transición es, informalmente, una sucesión de objetos invariantes (por ejemplo, toros hiperbólicos o cilindros invariantes apropiados) entre los cuales existen conexiones dinámicas que posibilitan un desplazamiento gradual de las acciones. En el lenguaje geométrico moderno, el transporte puede organizarse combinando la dinámica interna de una variedad invariante con excursiones homoclínicas descritas por un mapa de dispersión. La construcción precisa varía considerablemente entre modelos a priori inestables y casi integrables a priori estables.

En los ejemplos a priori inestables, la componente hiperbólica forma parte del sistema sin perturbar. En los a priori estables, puede aparecer al analizar resonancias inducidas por la perturbación. Esta diferencia afecta las construcciones geométricas y las estimaciones del transporte; añadir grados de libertad a un modelo plano es insuficiente para resolver el problema.

Imaginemos que una acción $I$ debe aumentar desde $I_a$ hasta $I_b$ , separados por una distancia de orden uno independiente de $\varepsilon$ . Un cálculo local puede mostrar un cambio $\Delta I$ de orden $\varepsilon$ en una excursión, en circunstancias adecuadas. Podría parecer suficiente repetir unas $1/\varepsilon$ excursiones. Ese razonamiento aritmético omite si todas pueden elegirse con el mismo signo de cambio, si hay acceso geométrico a la siguiente conexión, si la fase angular necesaria reaparece y cuánto tarda cada excursión. Las respuestas determinan si la cadena hipotética corresponde a una órbita realizable.

Las pruebas de difusión introducen herramientas de seguimiento (shadowing) y mecanismos variacionales para justificar que existen órbitas que recorren secuencias prescritas de regiones. Un teorema de existencia puede demostrar una trayectoria difusiva sin establecer que sea típica respecto de la medida natural del espacio de fases. No especifica necesariamente qué proporción de condiciones iniciales presenta un transporte comparable ni da un procedimiento sencillo para encontrar la órbita mediante simulación directa.

El progreso matemático contemporáneo ha ampliado las familias de hamiltonianos para las cuales se demuestra difusión. Los trabajos de Cheng y Xue, por ejemplo, estudian sistemas casi integrables convexos con al menos tres grados de libertad, bajo hipótesis de genericidad. El término tiene un significado técnico que depende de la clase de perturbaciones y de la topología consideradas; no equivale a «ocurre en casi todas las simulaciones» ni a «sucede habitualmente en cualquier sistema físico».

117.7. Nekhoroshev y el problema del tiempo de transporte

La teoría KAM demuestra persistencia de muchas estructuras cuasiperiódicas, pero no determina cuánto pueden variar las acciones de una órbita situada fuera de ellas. La teoría de Nekhoroshev estudia otra forma de estabilidad, la de cambios pequeños durante intervalos de tiempo enormes, incluso para ciertas trayectorias que no pertenecen a toros KAM. Nikolái Nekhoroshev, matemático ruso, desarrolló en la década de 1970 resultados de estabilidad exponencial para sistemas casi integrables analíticos con condiciones geométricas como la escarpadura (steepness) del hamiltoniano no perturbado.

De manera esquemática, las estimaciones adoptan la forma

\boxed{|I(t)-I(0)|\le C\varepsilon^b \quad\text{si}\quad |t|\le T_0\exp(c\varepsilon^{-a}),}

con constantes positivas apropiadas $a,b,C,c,T_0$ , bajo las hipótesis y dominios especificados por el teorema. Los exponentes no son universales; cambian con el número de grados de libertad, las condiciones de convexidad o escarpadura, la clase de regularidad y la formulación precisa. La expresión indica que, al disminuir $\varepsilon$ , el intervalo garantizado puede crecer exponencialmente en una potencia de $1/\varepsilon$ .

Este resultado no contradice la existencia de difusión de Arnold. Una órbita puede permanecer confinada a un pequeño vecindario en acciones durante el tiempo protegido por Nekhoroshev y desplazarse apreciablemente después. Tampoco toda difusión demostrada necesita comenzar exactamente cuando termina esa cota; el tiempo mínimo o efectivo puede ser mucho mayor y algunas construcciones especiales presentan leyes temporales distintas. El teorema establece un límite de estabilidad bajo condiciones suficientes; acota por debajo el instante de la primera transición apreciable sin predecir cuándo ocurre.

El significado físico de una cota temporal depende del horizonte experimental o astronómico considerado. Un sistema puede ser matemáticamente inestable en tiempos ilimitados y comportarse como estable durante todo ese horizonte. También puede presentar transporte relevante si la perturbación ya no es pequeña en el régimen exigido por el teorema. En ese caso no se debe extrapolar mecánicamente la cota exponencial.

Para interpretar resultados hay que distinguir la estabilidad práctica de la asintótica. Afirmar «el movimiento es estable» sin indicar qué magnitudes cambian, cuánto se tolera que cambien y durante cuánto tiempo deja indeterminada la conclusión.

117.8. Transporte determinista, difusión normal y pegajosidad

En sistemas conservativos, las trayectorias caóticas no se transportan todas con la misma velocidad. Cerca de islas y de restos de barreras invariantes aparece con frecuencia la pegajosidad (stickiness), por la cual una órbita pasa mucho tiempo próxima a estructuras relativamente regulares antes de escapar hacia otra región. La distribución de tiempos de permanencia puede ser amplia y la mezcla temporal muy desigual. En estas condiciones, ajustar una recta a la dispersión de acciones puede ser engañoso.

Una forma de estudiar el fenómeno es tomar un conjunto de condiciones iniciales y medir la dispersión de una componente de acción

M(t)=\big\langle [I(t)-I(0)-\langle I(t)-I(0)\rangle]^2\big\rangle.

Los corchetes indican un promedio sobre un conjunto de trayectorias definido explícitamente. Si dentro de una ventana temporal encontramos $M(t)\approx 2Dt$ , podríamos hablar de difusión aproximadamente normal y estimar un coeficiente efectivo $D$ . Sin embargo, la validez del límite de tiempo largo debe investigarse y el resultado depende de qué acción usamos, qué región muestreamos y qué medidas iniciales escogemos. Para varias acciones se trabaja con una matriz de covarianzas y un tensor efectivo.

En otros regímenes, $M(t)$ puede crecer aproximadamente como $t^\alpha$ , con $\alpha\ne1$ , durante un intervalo observado. Un exponente inferior a uno indica dispersión sublineal en esa ventana; uno superior sugiere crecimiento superlineal. Ninguno de los dos establece un régimen asintótico universal, porque puede haber transitorios muy prolongados y cruces entre escalas. Si la región dinámica accesible es compacta y las acciones están acotadas, la varianza de sus cambios no puede crecer indefinidamente como $t$ y acabará saturando, aunque se haya observado un tramo aparentemente difusivo.

Una distribución de estados observada después de mucho tiempo no equivale automáticamente a una distribución de equilibrio ni a un proceso estacionario. La conservación de volumen evita la concentración atractora en el sentido disipativo clásico, pero no exige que una nube de condiciones iniciales se vuelva uniforme punto por punto. El mezclado grueso puede coexistir con estructuras finas conservadas por la dinámica exacta. En C118 examinaremos qué condiciones adicionales permiten relacionar promedios temporales y promedios espaciales.

El término «difusión de Arnold» corresponde a mecanismos de transporte hamiltoniano que usan conexiones entre estructuras invariantes. No debería extenderse a toda irregularidad temporal o a cualquier varianza creciente en un sistema acoplado. La comparación con un proceso estocástico puede ser útil, pero exige precisar qué magnitud se desplaza y qué propiedad matemática produce esa evolución.

117.9. Qué puede verificar una investigación numérica y qué no

Un estudio reproducible debe distinguir la preservación geométrica del integrador, el error de energía, la presencia de inestabilidad local y el transporte efectivo. Una elección útil es un hamiltoniano separable con tres ángulos y tres acciones,

H=\frac12(I_1^2+I_2^2+I_3^2)+\varepsilon V(\theta_1,\theta_2,\theta_3),

V=\cos(\theta_1-\theta_2)+\cos(\theta_2-\theta_3) +\cos(\theta_1+\theta_2-\theta_3).

Las resonancias potenciales corresponden a los vectores $(1,-1,0)$ , $(0,1,-1)$ y $(1,1,-1)$ . Podemos hacer una integración kick–drift de Euler simpléctico, actualizando primero las acciones con $-h\varepsilon\nabla V$ y después los ángulos con las nuevas acciones. La composición es simpléctica, aunque no conserva exactamente la energía del hamiltoniano original.

import numpy as np

def potencial_y_gradiente(theta):
    a = theta[0] - theta[1]
    b = theta[1] - theta[2]
    c = theta[0] + theta[1] - theta[2]
    V = np.cos(a) + np.cos(b) + np.cos(c)
    grad = np.array([-np.sin(a)-np.sin(c),
                      np.sin(a)-np.sin(b)-np.sin(c),
                      np.sin(b)+np.sin(c)])
    return V, grad

h, eps, pasos = 0.02, 0.015, 50_000
theta = np.array([0.2, 0.7, 1.1], dtype=float)
I = np.array([0.9, 0.8, 0.6], dtype=float)
V0, _ = potencial_y_gradiente(theta)
H0 = 0.5 * np.dot(I, I) + eps * V0
muestras = []
for n in range(pasos):
    _, grad = potencial_y_gradiente(theta)
    I -= h * eps * grad
    theta = (theta + h * I) % (2*np.pi)
    if n % 1000 == 0:
        V, _ = potencial_y_gradiente(theta)
        muestras.append((n*h, *I, 0.5*np.dot(I, I)+eps*V-H0))

registro = np.asarray(muestras)
print("Variación máxima de cada acción:", np.ptp(registro[:, 1:4], axis=0))
print("Máximo error energético muestreado:", np.max(np.abs(registro[:, 4])))

El programa documenta un experimento numérico; no demuestra la existencia de difusión de Arnold. Un desplazamiento apreciable de $I$ podría proceder de una libración resonante limitada, de un error numérico, de una deriva transitoria o de transporte genuino. Para discriminar esas posibilidades necesitaríamos condiciones iniciales sistemáticas, análisis de convergencia al reducir $h$ , tiempos de integración crecientes, conservación de las magnitudes pertinentes y seguimiento de las regiones resonantes visitadas. Una comparación con integradores simplécticos de orden superior ayudaría a separar artefactos del algoritmo y características del modelo.

El fenómeno más lento puede requerir tiempos fuera del alcance de una ejecución ordinaria, de modo que no encontrar deriva tampoco demuestra que esta sea imposible. El valor de la simulación depende de que responda a una pregunta operacional delimitada, por ejemplo si cierta familia de condiciones iniciales presenta una variación de acciones superior a un umbral dado antes de un tiempo concreto, con un error numérico controlado. La prueba matemática de existencia y el cálculo de una probabilidad o frecuencia empírica son investigaciones diferentes.

117.10. Transporte posible y tiempos efectivos

Ejercicio 1. Barreras según los grados de libertad. Un hamiltoniano autónomo tiene $n=4$ grados de libertad. Su espacio de fases tiene dimensión ocho y una superficie de energía regular, siete. Un toro lagrangiano invariante tiene dimensión cuatro. Su codimensión en la superficie de energía es tres, por lo que no es una hipersuperficie separadora. Esta cuenta no establece que el complemento sea dinámicamente accesible ni que todas las acciones puedan variar.

Ejercicio 2. Resonancia y reducción integrable. En el modelo $H=\frac12\sum I_i^2+\varepsilon\cos(\theta_1-\theta_2)$ , identifiquemos las cantidades conservadas. Como $H$ depende solo de la diferencia angular, $I_1+I_2$ es constante; como no depende de $\theta_3$ , también lo es $I_3$ . La energía completa se conserva porque el sistema es autónomo. Estas constantes reducen la dinámica efectiva a un péndulo. El ancho de la separatriz escala como $\sqrt\varepsilon$ , pero no existe una cadena que produzca una deriva extensa de acciones.

Ejercicio 3. Interpretar Nekhoroshev. Supongamos, solo como ejemplo algebraico, que una estimación válida para determinado sistema da $|\Delta I|\le 2\varepsilon^{1/4}$ hasta $T=\exp(\varepsilon^{-1/4})$ , en unidades elegidas. Para $\varepsilon=10^{-4}$ , la cota de desplazamiento es $0,2$ y $T\approx e^{10}$ . El cálculo ilustra una garantía temporal, pero no acredita que ese sistema real tenga exactamente esas constantes ni que la difusión comience después de $e^{10}$ .

Ejercicio 4. Difusión observada y confinamiento. Un conjunto de órbitas parte de una misma acción inicial y mantiene esa acción siempre entre cero y uno. Se estima $M(t)\approx0,0008t$ entre $t=10$ y $t=100$ . ¿Podemos extrapolar esa recta hasta $t=10^6$ ? No. Como todas las trayectorias comparten el mismo valor inicial, la dispersión de sus cambios equivale a la dispersión de los valores finales. La varianza de una variable en $[0,1]$ no supera $1/4$ , mientras la recta extrapolada predeciría un valor de 800. El ajuste local no es una ley asintótica válida en todos los tiempos y menos aún prueba un mecanismo geométrico específico.

Ejercicio 5. Diferenciar tres afirmaciones. Un gráfico muestra puntos dispersos en una sección; un cálculo muestra un exponente de Lyapunov positivo; una prueba construye una órbita que desplaza una acción entre dos regiones separadas. La primera observación describe una apariencia geométrica; la segunda, una tasa de sensibilidad local bajo condiciones definidas; la tercera, una propiedad de transporte. Las dos primeras pueden ser verdaderas sin que se haya probado la tercera.

La difusión de Arnold es una deriva apreciable de acciones en ciertas familias hamiltonianas casi integrables de dimensión suficiente, producida al encadenar transiciones cerca de resonancias mediante estructuras hiperbólicas y sus conexiones. Una trayectoria puede presentar exponente finito positivo o irregularidad visible y permanecer confinada; para establecer transporte deben medirse las acciones. Los teoremas de Nekhoroshev añaden otra restricción, pues bajo hipótesis apropiadas las acciones varían poco durante tiempos que pueden crecer exponencialmente al disminuir la perturbación. Comparar ambas teorías exige no intercambiar sus cuantificadores, hipótesis ni escalas temporales.

La evaluación numérica del transporte debe especificar la acción observada, el intervalo temporal y el control de error; para distinguir una deriva efectiva de oscilaciones acotadas hacen falta trayectorias extensas y comprobaciones de convergencia. Aun así, el resultado describe una ventana finita y la existencia asintótica de deriva requiere otro tipo de argumento.

Referencias

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Efthymiopoulos, C., y Páez, R. I. (2023). Arnold diffusion and Nekhoroshev theory. En G. Baù y colaboradores (eds.), New Frontiers of Celestial Mechanics: Theory and Applications (pp. 163–207). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-031-13115-8
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