Resonancias y ruptura de toros

Año 2 · Módulo 12 · Nivel F

115.1. Qué sucede cuando una frecuencia encuentra otra

En el mapa estándar coexisten cadenas de islas regulares y regiones donde las trayectorias se separan de manera sensible. Su distribución no es arbitraria; buena parte se organiza alrededor de relaciones racionales entre frecuencias, que favorecen la acumulación coherente de perturbaciones. A medida que cambian los parámetros, esas regiones resonantes pueden crecer y entrar en contacto. La evolución posterior depende de las separatrices, de las curvas invariantes que persistan y de sus propiedades como barreras de transporte.

Retomemos las variables de acción y ángulo del capítulo 113. En un sistema integrable con una acción y un ángulo, el mapa temporal de una órbita regular puede escribirse como $I_{n+1}=I_n$ y $\theta_{n+1}=\theta_n+\Omega(I_n)\pmod{2\pi}$ . Cada valor de $I$ identifica una curva invariante. Si $\Omega(I)/(2\pi)$ es racional, la órbita cierra después de un número finito de iteraciones; si es irracional, la sucesión de ángulos recorre densamente esa curva, siempre que se observen suficientes iteraciones. En ambos casos la acción permanece exactamente fija.

En la práctica experimental y numérica, una órbita irracional bien aproximada por una fracción puede parecer periódica durante muchas iteraciones. A su vez, que haya islas resonantes no prueba que todo el espacio de fases sea atravesable. Las aproximaciones mediante el péndulo y los criterios de solapamiento describen mecanismos locales; la pérdida de una barrera invariante requiere información adicional. Prestaremos especial atención a esa diferencia entre geometría observada y transporte demostrado.

En sistemas hamiltonianos esa acumulación no equivale a disipación. Un impulso que aumenta la energía o el momento de una trayectoria puede disminuirlos en otra región de fases; el mapa completo sigue preservando el área. La resonancia reorganiza la geometría accesible. Para analizarla necesitaremos tres escalas, que son la dinámica integrable de referencia, el entorno local de una resonancia y la interacción entre resonancias diferentes. Cada escala responde una pregunta distinta.

Con las mismas herramientas se estudian resonancias en osciladores acoplados y secciones de Poincaré de modelos orbitales o forzados. La interpretación de las curvas del retrato depende del modelo físico y de la sección representada. Antes de atribuir a una figura la existencia de una barrera o de una zona de transporte, tendremos que identificar las variables, el espacio en que se dibujan y la precisión con que se siguieron las trayectorias.

115.2. Condiciones de resonancia y números de rotación

Un sistema hamiltoniano integrable con $n$ grados de libertad se describe localmente mediante $H_0(I_1,\ldots,I_n)$ . Sus ecuaciones en coordenadas de acción y ángulo son $\dot I_j=0$ y $\dot\theta_j=\omega_j(I)$ , con $\omega_j=\partial H_0/\partial I_j$ . Una condición de resonancia interna aparece cuando existe un vector entero no nulo $k\in\mathbb Z^n$ tal que

\boxed{k\cdot\omega(I_*)=0.}

Para dos frecuencias, una relación posible es $m\omega_1-n\omega_2=0$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Durante la evolución, la combinación de fases $\psi=m\theta_1-n\theta_2$ cambia con velocidad $m\omega_1-n\omega_2$ . Cerca de $I_*$ , esa velocidad es pequeña. La fase relativa se mueve lentamente y una interacción dependiente de $\psi$ ya no se cancela de manera eficiente al promediar. En un sistema forzado con frecuencia externa $\Omega_f$ , la condición de resonancia es $k\cdot\omega(I_*)-\ell\Omega_f=0$ , con $\ell$ entero.

En un mapa angular, la noción equivalente es el número de rotación. Para una curva invariante que admite un levantamiento coherente de los ángulos, definimos

\rho=\lim_{N\to\infty}\frac{\widetilde\theta_N-\widetilde\theta_0}{2\pi N},

si el límite existe. La tilde indica que acumulamos el ángulo sin reducirlo módulo $2\pi$ . Si aplicáramos el módulo en cada paso y restáramos solo los extremos representados en $[0,2\pi)$ , perderíamos todas las vueltas completas. Una rotación $\rho=p/q$ en términos reducidos corresponde, en el modelo integrable de referencia, a una órbita que retorna al mismo ángulo después de $q$ iteraciones y $p$ vueltas completas.

Para comprobar esta diferencia entre rotación y resonancia, tomemos dos trayectorias no perturbadas cuyos momentos difieran muy poco. Si una tiene número de rotación exactamente igual a un racional sencillo, sus posiciones angulares se repiten con un período determinado. La segunda, con número irracional, puede visitar durante miles de iteraciones casi las mismas posiciones, pero no cerrará exactamente su órbita. Si el registro numérico redondea los ángulos a pocas cifras, ambos comportamientos resultan indistinguibles. Por eso, al estudiar una resonancia, el período detectado en una serie finita es una hipótesis que hay que contrastar con la ecuación del sistema. Con ruido de observación, además, una frecuencia que cambia puede confundirse con una relación racional fija.

La fracción $p/q$ debe estar reducida; una órbita de rotación $2/4$ tiene período primitivo dos. Cuando la perturbación rompe la familia continua de órbitas resonantes del sistema integrable, en muchos mapas de giro aparecen puntos periódicos aislados. Una sección de fases puede mostrar entonces una cadena de $q$ islas alrededor de una órbita elíptica de período $q$ . La existencia exacta de esa configuración requiere hipótesis de regularidad, conservación de área, giro y genericidad. El número de rotación racional tampoco fija el tamaño ni la geometría de las cadenas de islas.

Las resonancias forman subconjuntos geométricos del espacio de acciones. Si la condición $k\cdot\omega(I)=0$ es regular, describe típicamente una superficie de codimensión uno. Para un sistema con varias acciones, distintas superficies pueden cortarse y sus intersecciones introducen una dinámica más difícil de reducir a un solo ángulo lento. Un sistema de dos osciladores próximos a una relación 1:1 no es, en consecuencia, un modelo de todas las resonancias posibles de una red de osciladores. El número de grados de libertad, las simetrías y los términos de acoplamiento determinan qué relaciones intervienen efectivamente.

115.3. La aproximación del péndulo alrededor de una resonancia

La reducción resonante habitual conserva la estructura hamiltoniana. Después de separar un ángulo lento $\psi$ y hacer, cuando corresponde, una transformación canónica y un promediado sobre fases rápidas, es frecuente obtener una expresión efectiva de la forma

H_{\mathrm{res}}(J,\psi)=\frac{a}{2}(J-J_*)^2+\varepsilon V\cos\psi.

Aquí $J$ es una acción adaptada a la dirección resonante, $J_*$ identifica la posición central de la resonancia, $a$ mide la curvatura local de la frecuencia y $\varepsilon V$ es el coeficiente resonante de la perturbación. Hemos omitido constantes aditivas y desplazamientos de la fase que no alteran la dinámica. Obtener este modelo exige hipótesis que no siempre se cumplen (un término de Fourier resonante dominante, amplitud pequeña, no degeneración y separación adecuada respecto de otros modos).

Para trabajar con signos claros, consideremos $a>0$ , $V>0$ y $\varepsilon>0$ . Si escribimos $P=J-J_*$ , las ecuaciones de Hamilton son

\dot\psi=aP,\qquad \dot P=\varepsilon V\sin\psi.

El punto $(P,\psi)=(0,\pi)$ es elíptico y el punto $(0,0)$ es hiperbólico, ambos entendidos módulo $2\pi$ en la coordenada angular. Para comprobarlo linealizamos alrededor de $\psi=\pi+u$ . Como $\sin(\pi+u)\simeq-u$ , obtenemos $\ddot u+a\varepsilon V u=0$ . La frecuencia de pequeñas libraciones es $\sqrt{a\varepsilon V}$ . Cerca de $\psi=0$ el signo cambia y las desviaciones crecen exponencialmente en la aproximación lineal.

La energía del punto hiperbólico es $H_s=\varepsilon V$ . La separatriz que pasa por él satisface

\frac{a}{2}P^2+\varepsilon V\cos\psi=\varepsilon V.

De aquí se deduce $P^2=(2\varepsilon V/a)(1-\cos\psi)$ . El valor máximo de $|P|$ se alcanza en $\psi=\pi$ , donde $1-\cos\pi=2$ . Por tanto,

\boxed{\Delta J_{\mathrm{semi}}=2\sqrt{\frac{\varepsilon V}{a}},\qquad \Delta J_{\mathrm{total}}=4\sqrt{\frac{\varepsilon V}{a}}.}

Hay que distinguir el semiancho del ancho completo al comparar resonancias, porque en la literatura aparecen ambas convenciones con el mismo símbolo $\Delta I$ y eso produce errores de factor dos al aplicar un criterio de solapamiento. El resultado muestra también que, en esta forma normal y con los demás coeficientes constantes, el ancho crece como la raíz cuadrada de la amplitud perturbativa. Esta ley de escala no vale para cualquier resonancia ni para perturbaciones grandes.

Una región de libración corresponde a movimientos de la fase relativa alrededor del centro elíptico. Fuera de la separatriz, $\psi$ rota indefinidamente. Cerca de la separatriz el período aumenta marcadamente y diverge en el modelo continuo ideal al aproximarse exactamente a la órbita homoclínica. Esto explica por qué un promediado que supone dos escalas bien separadas puede dejar de ser uniforme allí. La aproximación del péndulo exige, pues, precaución justo donde aparecen las capas caóticas.

El péndulo efectivo tiene un grado de libertad y es integrable. Describe una sola resonancia y nada dice sobre la integrabilidad del sistema original en toda una región ni sobre la interacción entre resonancias. Para explicar el caos de las separatrices perturbadas y de las resonancias múltiples hay que recuperar los términos que la reducción descartó o examinar cómo se acoplan las regiones resonantes.

Figura 115.1. C115 Figura 01 Hamiltoniano resonante Ampliar figura ↗

*Figura 115.1. Geometría del hamiltoniano resonante $H=aP^2/2+c\cos\psi$ con $a=0{,}5$ y $c=\varepsilon V=0{,}09$ . Las curvas de nivel muestran las libraciones alrededor del equilibrio elíptico $\psi=\pi$ y las rotaciones fuera de la separatriz. El semiancho $\Delta J/2=2\sqrt{c/a}$ vale aproximadamente $0{,}84853$ . Las trayectorias se han integrado numéricamente; el ángulo del panel C se representa sin reducción módulo $2\pi$ .*

115.4. Del círculo resonante a una cadena de islas

Regresemos al mapa estándar introducido en C114, definido por

p_{n+1}=p_n+K\sin\theta_n,\qquad \theta_{n+1}=\theta_n+p_{n+1}\pmod{2\pi}.

Cuando $K=0$ , la trayectoria mantiene $p_n=p_0$ y rota con número $\rho=p_0/(2\pi)$ , entendido módulo los enteros para el ángulo. Cada $p_0=2\pi p/q$ define una curva resonante en la representación cilíndrica. Al introducir $K\neq0$ , esas curvas racionales dejan de ser en general curvas invariantes formadas enteramente por órbitas periódicas. La perturbación selecciona órbitas especiales y abre alrededor de ellas regiones cuya topología recuerda a un péndulo.

Consideremos primero los puntos fijos con $p=0$ en el toro de fases. Como $\sin\theta=0$ , encontramos $\theta=0$ y $\theta=\pi$ . El jacobiano calculado en el capítulo anterior tiene traza $2+K\cos\theta$ y determinante uno. En $\theta=0$ la traza es $2+K>2$ si $K>0$ , de modo que el punto es hiperbólico. En $\theta=\pi$ la traza vale $2-K$ ; para $0<K<4$ los multiplicadores lineales son complejos de módulo uno y el punto es elíptico en sentido lineal. El comportamiento no lineal exige un análisis adicional, especialmente cerca de resonancias secundarias.

En las cadenas de período mayor, una iteración del mapa lleva de una isla a la siguiente y solo después de $q$ pasos retorna al entorno inicial. La cadena no está formada por $q$ atractores independientes, porque en un mapa conservativo no hay contracción de área hacia el centro de las islas. Las curvas cerradas que pueden rodear una órbita elíptica corresponden a movimiento estable o aproximadamente regular, según la región y las condiciones, sin atraer un conjunto abierto de estados como sucedería en un oscilador amortiguado.

Una versión del teorema de Poincaré–Birkhoff establece, bajo hipótesis de mapa de giro conservativo y condiciones apropiadas en las fronteras, la existencia de puntos periódicos con números de rotación racionales comprendidos entre los de las fronteras. En situaciones genéricas se observan órbitas elípticas e hiperbólicas alternadas, pero esa descripción visual no reemplaza las hipótesis del teorema. La clasificación local se verifica con el producto de los jacobianos a lo largo de la órbita completa.

Las islas explican también que dos condiciones iniciales muy próximas tengan destinos geométricos muy distintos sin ningún mecanismo de selección disipativa. Una trayectoria puede quedar en una región regular interior y otra circular por una capa próxima a la separatriz, aunque ambas obedecen al mismo mapa y conservan el área. El contraste depende de su posición respecto de las estructuras invariantes; un mismo valor del parámetro admite estabilidades distintas en regiones distintas. En un diagrama de bifurcación, una sola órbita elegida por conveniencia puede ocultar buena parte de esa organización coexistente.

Bajo una perturbación pequeña, una familia continua de movimientos resonantes del límite integrable puede reorganizarse en órbitas periódicas aisladas, islas y separatrices sin que desaparezcan las curvas invariantes exteriores. Saber si hay transporte ilimitado en momento exige resultados o mediciones que van más allá de identificar una cadena de resonancias.

115.5. Separatrices, intersecciones homoclínicas y caos localizado

Una separatriz de la forma normal del péndulo coincide con las ramas estable e inestable de un punto hiperbólico dentro de ese modelo integrable. Si se restaura una perturbación temporal o un término adicional que no respeta esa coincidencia, las ramas pueden separarse y cortarse transversalmente. En el capítulo 109 estudiamos cómo una función de Melnikov puede detectar tal situación a primer orden cuando se cumplen sus hipótesis. El problema de las resonancias da ahora una interpretación geométrica más amplia de ese resultado.

Al iterar una intersección homoclínica transversal aparecen nuevos cruces entre segmentos de las variedades estable e inestable. Los resultados clásicos de Birkhoff y Smale permiten identificar en un entorno adecuado una dinámica simbólica complicada. La intersección transversal es una afirmación local. Cuánto volumen ocupa la región irregular y qué trayectorias la atraviesan son preguntas distintas, que exigen información global. Puede haber un conjunto hiperbólico pequeño coexistiendo con grandes islas regulares.

La región irregular próxima a la antigua separatriz se denomina a menudo capa caótica. Su grosor depende de la perturbación y de la geometría del sistema y no se deduce simplemente del ancho de la resonancia principal. A veces la capa presenta estrechos canales por donde unas trayectorias cambian de región. Otras veces las barreras invariantes vecinas bloquean cualquier transporte hacia grandes valores de momento, aunque la dinámica dentro de la capa sea sensible e irregular.

Una nube inicial que se vuelve filamentosa al aumentar $K$ no indica qué curvas invariantes, si alguna, han desaparecido. La misma figura puede contener un conjunto caótico acotado, separatrices muy deformadas y órbitas de período largo. Para inferir algo sólido hay que examinar los números de rotación, las regiones separadas, la estabilidad de las órbitas periódicas, el flujo a través de fronteras y la persistencia al aumentar el tiempo de integración.

Una separatriz tampoco produce caos por el mero hecho de existir; el péndulo autónomo no perturbado tiene separatriz y es integrable. Lo que favorece el comportamiento homoclínico complicado es la ruptura de una coincidencia especial entre variedades invariantes bajo perturbaciones apropiadas. Este mecanismo, los canards de C107 y las crisis de atractores de C108 son objetos matemáticos distintos, aunque todos puedan ir acompañados de cambios bruscos en una señal observada.

115.6. El criterio heurístico de solapamiento de resonancias

El criterio de Chirikov aproxima el inicio de un transporte caótico extendido cuando los dominios de resonancias vecinas llegan a solaparse. La idea es comparar su distancia, medida en una acción o en una frecuencia apropiada, con los semianchos calculados mediante formas normales. Para dos resonancias centradas en $J_1$ y $J_2$ , una medida esquemática es

S=\frac{\delta J_1+\delta J_2}{|J_2-J_1|},

siendo $\delta J_i$ los semianchos expresados en la misma coordenada. Cuando $S$ se aproxima a uno o lo supera, los dominios que resultarían de tratar ambas resonancias separadamente dejan de estar bien separados. Esta condición sugiere que puede haber transporte irregular entre ellas, sin probar que exista un mar caótico conectado ni fijar un umbral exacto válido para todos los sistemas.

Un ejemplo numérico permite fijar magnitudes. Supongamos dos resonancias con curvatura efectiva $a=1$ , amplitud $V=1$ y centros separados por $d=0,60$ . Si cada una tiene $\varepsilon=0,01$ , su semiancho aproximado es $2\sqrt{0,01}=0,20$ . La suma es $0,40$ y $S\simeq0,67$ , de modo que la aproximación local predice regiones separadas. Si aumentamos $\varepsilon$ hasta $0,04$ , cada semiancho alcanza $0,40$ y $S\simeq1,33$ . Ahora las aproximaciones individuales se solapan y ya no pueden usarse como descripciones independientes exactas en esa región.

Al aplicar este cálculo a datos reales aparecen dificultades que el ejemplo ideal no contiene. Las dos resonancias pueden tener coeficientes de curvatura diferentes; otras resonancias más débiles pueden intervenir antes del solapamiento principal; los términos no resonantes pueden desplazar los centros; una simetría puede anular el coeficiente de Fourier esperado. También existen sistemas integrables especiales en los que la apariencia de resonancias superpuestas no produce el caos anticipado por una regla genérica. La regla de Chirikov es una heurística; la teoría geométrica y las comprobaciones numéricas siguen siendo necesarias.

En el mapa estándar, un cálculo sencillo del solapamiento de resonancias principales no reproduce con precisión el valor numérico al que desaparece la última curva invariante que impide el transporte global. La diferencia no invalida la idea; se debe a las resonancias secundarias, a sus jerarquías y a las capas estocásticas. Tratar el umbral heurístico como una constante universal sería un error metodológico. Conviene preguntar cuánto informa el criterio en el modelo concreto, con qué márgenes y con qué observaciones independientes puede corroborarse.

115.7. Curvas invariantes, cantori y barreras de transporte

En un mapa conservativo bidimensional sobre el cilindro, una curva invariante esencial que rodea la dirección angular puede separar regiones de distinto momento. Si la curva es una barrera continua y el mapa es un difeomorfismo que respeta su invariancia, una trayectoria no puede atravesarla. La barrera no necesita ser atractora; su eficacia procede de la invariancia y de la topología bidimensional. Por eso el movimiento puede ser caótico dentro de una franja y, aun así, permanecer confinado entre dos curvas invariantes.

Cuando una curva deja de existir como curva continua suave, el transporte no adquiere necesariamente una tasa elevada. Puede quedar un conjunto cantor invariante, denominado cantorus en este contexto. Sus huecos permiten una comunicación que antes estaba topológicamente impedida, pero el flujo puede ser muy pequeño. Las trayectorias permanecen entonces mucho tiempo a un lado de una barrera parcial. El mismo fenómeno interviene en el atrapamiento temporal cerca de islas y en las distribuciones no triviales de tiempos de tránsito.

El trabajo de MacKay, Meiss y Percival relacionó ese transporte con diferencias de acción y barreras parciales. Hay que distinguir si es posible atravesar una región y cuánto tarda en hacerlo una familia de trayectorias. La desaparición de una barrera absoluta responde a lo primero sin fijar lo segundo. Un cambio topológico puede preceder ampliamente a un cambio práctico en una escala temporal observacional. Por ello, un desplazamiento pequeño en una simulación de duración limitada no prueba que exista una barrera invariante perfecta.

En sistemas hamiltonianos con más grados de libertad cambia la geometría. En un sistema autónomo de dos grados de libertad, una superficie de energía regular tiene dimensión tres y los toros invariantes de dimensión dos pueden separarla. Para tres o más grados de libertad, un toro lagrangiano de dimensión $n$ ocupa codimensión al menos dos dentro de una superficie de energía de dimensión $2n-1$ y, en general, ya no divide globalmente esa superficie. Se abre entonces la posibilidad de un transporte muy lento a lo largo de una red de resonancias, la difusión de Arnold, que estudiaremos en C117.

La representación gráfica también puede engañar. Al dibujar el momento módulo $2\pi$ convertimos el cilindro del mapa estándar en un toro de visualización. Dos puntos separados por varias vueltas en el momento quedan representados en posiciones próximas. Una trayectoria que parece confinada dentro del cuadrado dibujado podría estar haciendo grandes desplazamientos en el momento no reducido. El análisis del transporte conserva la variable sin proyectarla y declara qué región del espacio de fases se ha muestreado.

115.8. Irracionalidad, residuos y el umbral del mapa estándar

Las curvas con número de rotación irracional no son todas igualmente resistentes a la perturbación. Una rotación muy próxima a una fracción de denominador pequeño puede interactuar fuertemente con una resonancia de orden bajo. Por el contrario, algunas irracionales están peor aproximadas por racionales que otras, en un sentido cuantificable mediante fracciones continuas y desigualdades diofánticas. La razón áurea aparece en este problema por las propiedades aritméticas de sus aproximantes racionales. La expresión divulgativa «el número más irracional» solo tiene sentido respecto de un criterio matemático concreto.

El número de rotación áureo reducido suele escribirse como $\rho_g=(\sqrt5-1)/2$ . Sus aproximantes son cocientes de números de Fibonacci, como $3/5$ , $5/8$ , $8/13$ y $13/21$ . Greene propuso analizar las órbitas periódicas con esos números de rotación para investigar la persistencia de una curva irracional. Si $M_q$ es la matriz de monodromía del mapa iterado $q$ veces alrededor de una órbita periódica y $\det M_q=1$ , se define su residuo como

R_q=\frac{2-\operatorname{tr}M_q}{4}.

En el caso lineal no degenerado, $0<R_q<1$ indica multiplicadores elípticos; $R_q<0$ o $R_q>1$ corresponden a inestabilidad hiperbólica. Los valores de frontera requieren un análisis separado. Seguir los residuos a lo largo de los aproximantes racionales es un método especializado para detectar cambios en curvas invariantes, distinto de calcular un único jacobiano o de mirar si una figura parece continua.

Para la convención del mapa estándar adoptada aquí, el umbral numérico ampliamente aceptado de destrucción de la curva invariante áurea es $K_g\simeq0,971635$ . Es un resultado específico del mapa y de su normalización. La literatura presenta argumentos numéricos sólidos sobre su relación con el umbral de transporte global y distingue esa evidencia de las cotas demostradas rigurosamente. Incluso por encima de ese valor siguen existiendo islas regulares y estructuras de transporte parcial.

El interés del método es que las órbitas periódicas próximas a una frecuencia irracional informan sobre la persistencia de una curva que no puede representarse con un período finito; en él se combinan aritmética, estabilidad lineal y dinámica geométrica. En C116 veremos por qué las condiciones diofánticas aparecen también en los teoremas KAM y qué información adicional requieren esas demostraciones para justificar la persistencia de una familia grande de toros.

Figura 115.2. C115 Figura 02 Islas periodo dos residuo Ampliar figura ↗

Figura 115.2. Retratos del mapa estándar para $K=0{,}45$ y $K=1{,}20$ . En naranja se destacan trayectorias cercanas a la órbita de período dos $(0,\pi)\leftrightarrow(\pi,\pi)$ ; los puntos verdes marcan sus dos posiciones periódicas en el toro. Su monodromía tiene traza $2-K^2$ y residuo $R_2=K^2/4$ , que indica elipticidad lineal para $0<K<2$ . El umbral numérico de la curva áurea, $K_g\approx0{,}971635$ , se señala solo para comparar fenómenos distintos: que sobreviva una órbita elíptica no garantiza una barrera invariante global. Los retratos son simulaciones, no pruebas de destrucción de toros.

115.9. Experimento reproducible con el mapa estándar

El mapa estándar permite un experimento directo, que consiste en variar $K$ , elegir distintas condiciones iniciales y representar $(\theta_n,p_n\bmod2\pi)$ . La simulación conserva el momento sin reducir, controla el determinante del jacobiano y genera tres retratos de fase comparables. El código es deliberadamente breve para que las decisiones de implementación sean visibles. Se usa una fase inicial fija por trayectoria, un transitorio definido y la misma cantidad de iteraciones en los tres parámetros.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(115)
ks = (0.2, 0.8, 1.2)
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 4), sharex=True, sharey=True)
for ax, K in zip(axes, ks):
    for _ in range(22):
        theta = rng.uniform(0.0, 2 * np.pi)
        p = rng.uniform(-np.pi, np.pi)
        xs, ys = [], []
        for n in range(2600):
            p += K * np.sin(theta)
            theta = (theta + p) % (2 * np.pi)
            if n >= 300:
                xs.append(theta)
                ys.append(p % (2 * np.pi))
        ax.plot(xs, ys, '.', ms=0.35, alpha=0.55)
    ax.set_title(f'K = {K}')
    ax.set_xlabel('ángulo módulo 2π')
axes[0].set_ylabel('momento módulo 2π')
fig.tight_layout()
plt.show()

for K in ks:
    for th in (0.0, np.pi, 0.37):
        c = K * np.cos(th)
        M = np.array([[1.0 + c, 1.0], [c, 1.0]])
        assert np.isclose(np.linalg.det(M), 1.0)

Los retratos de fase orientan la exploración, pero su aspecto depende de la duración de la simulación y de las condiciones iniciales elegidas. Una franja vacía puede no haber sido muestreada; una agrupación compacta puede corresponder a un transitorio; una región aparentemente continua puede mezclar proyecciones de trayectorias distintas. Las curvas invariantes y sus posibles rupturas requieren un estudio más sistemático que la inspección de una sola figura.

Si quisiéramos evaluar transporte, registraríamos además $p_n$ sin módulo, los desplazamientos $p_n-p_0$ y su distribución sobre un conjunto explícito de condiciones iniciales. Para estudiar una curva con un número de rotación determinado usaríamos aproximantes racionales y métodos específicos de localización de órbitas periódicas, sin identificar la curva por semejanza visual.

115.10. Resonancia, barreras y transporte

Ejercicio 1. Interpretar una resonancia de frecuencias. Dos osciladores integrables tienen $\omega_1=3$ y $\omega_2=2$ radianes por unidad de tiempo. La combinación $2\theta_1-3\theta_2$ evoluciona con velocidad $2(3)-3(2)=0$ . Por tanto, esa fase relativa es constante en el sistema integrable. Una interacción que contenga $\cos(2\theta_1-3\theta_2)$ es resonante. Si ambas frecuencias cambian ligeramente, la fase pasa a variar despacio y puede construirse una aproximación de resonancia. Sin conocer el acoplamiento no puede concluirse que los osciladores intercambien energía.

Ejercicio 2. Calcular el ancho de una resonancia. Sea $H=P^2/4+0,09\cos\psi$ . Comparando con $aP^2/2+\varepsilon V\cos\psi$ , identificamos $a=1/2$ y $\varepsilon V=0,09$ . El semiancho es $2\sqrt{0,09/0,5}\simeq0,849$ ; el ancho total es aproximadamente $1,697$ . El centro estable está en $\psi=\pi$ y el punto hiperbólico en $\psi=0$ . El número obtenido pertenece al modelo reducido; para trasladar ese ancho a una variable física hay que conocer la transformación canónica.

Ejercicio 3. Clasificar puntos del mapa estándar. Para $K=1$ , la traza del jacobiano en $(\theta,p)=(0,0)$ es tres, de modo que el punto es hiperbólico. En $(\pi,0)$ la traza vale uno y el punto es linealmente elíptico. Si elevamos el parámetro a $K=5$ , la segunda traza toma el valor $-3$ y el punto fijo pasa de elíptico a hiperbólico. Esta transición local nada dice sobre lo que sucede simultáneamente con otras islas ni con la estructura global.

Ejercicio 4. Aplicar el indicador de solapamiento. Dos resonancias, con semianchos de $0,18$ y $0,27$ , tienen sus centros a $0,40$ en la misma coordenada canónica. El parámetro resulta $S=(0,18+0,27)/0,40=1,125$ . El criterio heurístico sugiere una interacción considerable. El transporte ilimitado, sin embargo, queda sin demostrar, porque podrían persistir otras barreras o estar fuera de su rango de validez las aproximaciones usadas para estimar los anchos.

Ejercicio 5. Evaluar un residuo. Una órbita periódica de un mapa conservativo tiene matriz de monodromía con traza $1,2$ y determinante uno. Su residuo es $R=(2-1,2)/4=0,2$ , que corresponde a multiplicadores elípticos en la clasificación lineal. Si la traza es $2,4$ , se obtiene $R=-0,1$ y la clasificación es hiperbólica. Que una órbita periódica sea elíptica no garantiza que todas las trayectorias próximas sean linealmente estables durante cualquier horizonte ni que exista una curva KAM determinada.

La interacción entre resonancias ordena una parte importante de la geometría del mapa estándar. La aproximación del péndulo permite estimar el tamaño de ciertas islas y separatrices; el criterio de Chirikov compara sus anchuras y distancias. Cuando esas regiones se solapan aumenta la posibilidad de transporte caótico, aunque el criterio no es un teorema global para un mapa determinado.

La ruptura de una curva invariante merece un análisis separado. Algunas curvas son barreras completas de transporte; sus restos pueden dejar conjuntos parcialmente permeables, los cantori. Una órbita de gran período o una pequeña capa irregular observada numéricamente no demuestra que todas las barreras hayan desaparecido. Los residuos de órbitas periódicas y el seguimiento de trayectorias durante tiempos largos son fuentes de evidencia complementaria.

La cuestión más difícil es distinguir entre resonancias aisladas, regiones caóticas conectadas y transporte efectivo a escalas grandes, escenarios que pueden parecer similares en una figura. Cada uno exige observables y cálculos diferentes.

Referencias

Chirikov, B. V., y Shepelyansky, D. L. (2008). Chirikov standard map. Scholarpedia, 3(3), 3550. https://doi.org/10.4249/scholarpedia.3550
Shepelyansky, D. L. (2009). Chirikov criterion. Scholarpedia, 4(9), 8567. https://doi.org/10.4249/scholarpedia.8567
Greene, J. M. (1979). A method for determining a stochastic transition. Journal of Mathematical Physics, 20, 1183–1201. https://doi.org/10.1063/1.524170
MacKay, R. S., Meiss, J. D., y Percival, I. C. (1984). Transport in Hamiltonian systems. Physica D, 13, 55–81. https://doi.org/10.1016/0167-2789(84)90270-7
Lichtenberg, A. J., y Lieberman, M. A. (1992). Regular and Chaotic Dynamics (2.ª ed.). Springer.