Teoría KAM: qué preservan las perturbaciones pequeñas

Año 2 · Módulo 12 · Nivel C

116.1. El problema de la persistencia ante perturbaciones pequeñas

La perturbación de un sistema integrable crea resonancias y puede destruir ciertas curvas o toros invariantes. Queda por establecer qué ocurre con los movimientos cuasiperiódicos que no están próximos a una resonancia fuerte. La respuesta clásica es sorprendente, pues bajo hipótesis específicas muchos de esos toros sobreviven aunque el sistema perturbado ya no sea integrable en su conjunto.

Kolmogórov, Arnold y Moser desarrollaron los resultados que hoy agrupamos bajo el nombre de teoría KAM. En una formulación habitual, un hamiltoniano suficientemente regular, próximo a otro integrable y con una condición apropiada de no degeneración, conserva numerosos toros de frecuencias diofánticas. El resultado garantiza la persistencia de ciertos toros y deja abierta la estabilidad global del resto de las trayectorias. Alrededor de los toros preservados pueden formarse resonancias y regiones de movimiento irregular.

La palabra «pequeña» exige una precisión que suele perderse en las presentaciones generales. Una perturbación se mide con normas funcionales y sobre un dominio concreto; el tamaño admisible depende de las propiedades del hamiltoniano integrable, de sus frecuencias, de la regularidad de las funciones y de las constantes aritméticas que cuantifican la distancia a las resonancias. Dos funciones con idéntica amplitud máxima pueden tener derivadas y contenidos espectrales muy diferentes. No existe un porcentaje de perturbación válido para todos los sistemas y todos los teoremas KAM.

El problema tiene antecedentes en la mecánica celeste, donde se buscaba comprender la estabilidad del movimiento de muchos cuerpos mediante expansiones perturbativas. Andrei Kolmogórov, matemático soviético que trabajó en probabilidad y sistemas dinámicos, formuló en 1954 el mecanismo central de persistencia. Vladimir Arnold, matemático especializado en geometría y dinámica, desarrolló demostraciones y aplicaciones; Jürgen Moser, matemático germano-estadounidense, obtuvo resultados para aplicaciones conservativas del anillo y problemas afines. Las diferentes versiones del teorema no son intercambiables sin revisar sus hipótesis.

La teoría KAM relaciona la persistencia geométrica de toros con condiciones de no resonancia, regularidad y no degeneración. Para estudiar su alcance usaremos acciones y ángulos, expansiones de Fourier y propiedades de números de rotación. El mapa estándar será un ejemplo donde las garantías teóricas y la apariencia de las trayectorias numéricas deben interpretarse por separado.

116.2. El modelo casi integrable y sus hipótesis

Consideremos un hamiltoniano autónomo con $n$ grados de libertad escrito localmente como

\boxed{H(I,\theta)=H_0(I)+\varepsilon H_1(I,\theta),\qquad I\in D\subset\mathbb R^n,\quad\theta\in\mathbb T^n.}

La parte no perturbada $H_0$ depende solo de las acciones. La perturbación $H_1$ puede depender de las acciones y de los ángulos. Las ecuaciones de Hamilton son

\dot I=-\varepsilon\,\partial_\theta H_1,\qquad \dot\theta=\omega(I)+\varepsilon\,\partial_I H_1, \quad\omega(I)=\nabla_IH_0(I).

Si $\varepsilon=0$ , la evolución tiene solución $I(t)=I(0)$ y $\theta(t)=\theta(0)+\omega(I(0))t$ . Para cada acción regular existe un toro $I=\mathrm{constante}$ . La perturbación cambia esas ecuaciones; en general las acciones originales ya no se conservan. De ahí que la persistencia de un toro no implique que sus coordenadas de acción previas sigan siendo exactamente constantes.

Una versión clásica del teorema de Kolmogórov considera hamiltonianos reales analíticos y exige que la matriz hessiana de $H_0$ cumpla la condición de no degeneración

\boxed{\det D_I^2H_0(I)\ne0.}

Como la matriz hessiana es precisamente $D_I\omega$ , esta condición significa que el mapa que lleva acciones a frecuencias tiene derivada invertible; variaciones pequeñas de las acciones permiten variar localmente todas las componentes de la frecuencia de forma independiente. La condición no exige que las frecuencias sean distintas de cero ni excluye resonancias; un sistema no degenerado sigue teniendo superficies donde se cumplen relaciones enteras entre las frecuencias.

La otra condición esencial es aritmética. Se seleccionan frecuencias que se mantienen suficientemente alejadas de resonancias enteras de orden creciente. Esa propiedad se expresa mediante una desigualdad diofántica, que estudiaremos en la sección siguiente. También se necesitan normas de regularidad y pequeñez adecuadas. Existen formulaciones con distintas clases de suavidad, hipótesis de giro, condiciones isoenergéticas y degeneraciones tratadas por teoremas más refinados.

La consecuencia, expresada de manera conceptual, es que para perturbaciones suficientemente pequeñas y bajo las hipótesis estipuladas sobre el sistema integrable subsiste una gran familia de toros invariantes deformados con movimiento cuasiperiódico. Al tender $\varepsilon$ a cero, la medida relativa de la región no cubierta por esos toros puede tender a cero en los dominios apropiados. Esto no significa que cada toro individual persista ni que desaparezca toda región resonante cuando $\varepsilon$ se hace positiva.

116.3. El problema de los denominadores pequeños

El origen técnico de KAM se entiende al intentar eliminar la dependencia angular de un término perturbativo mediante un cambio canónico cercano a la identidad. Fijemos provisionalmente una frecuencia $\omega$ y consideremos una función periódica de ángulos cuya parte oscilatoria tiene expansión de Fourier

H_1^{\mathrm{osc}}(\theta)=\sum_{k\in\mathbb Z^n\setminus\{0\}}h_k e^{i k\cdot\theta}.

En un primer paso perturbativo buscamos una función generatriz $S(\theta)$ que satisfaga la ecuación homológica

\omega\cdot\partial_\theta S=-H_1^{\mathrm{osc}}(\theta).

Si $S=\sum_{k\ne0}S_k e^{ik\cdot\theta}$ , las componentes formales cumplen

\boxed{S_k=-\frac{h_k}{i\,k\cdot\omega}.}

El numerador depende de la intensidad del modo de Fourier de la perturbación. El denominador depende de una combinación entera de las frecuencias del sistema integrable. Si $k\cdot\omega=0$ , estamos exactamente sobre una resonancia y la ecuación no puede resolverse con esa fórmula para un coeficiente $h_k\ne0$ . Si el producto es pequeño, la corrección puede ser enorme aunque el término original sea pequeño. Esa es la dificultad de los denominadores pequeños.

Consideremos un ejemplo con dos ángulos y una perturbación $A\cos(\theta_1-\theta_2)$ . La ecuación reducida es

(\omega_1\partial_{\theta_1}+\omega_2\partial_{\theta_2})S =-A\cos(\theta_1-\theta_2),

cuya solución particular, para $\omega_1\ne\omega_2$ , puede escribirse como

S=-\frac{A}{\omega_1-\omega_2}\sin(\theta_1-\theta_2).

Si $A=0,001$ y la diferencia de frecuencias es $0,5$ , la amplitud de $S$ vale $0,002$ . Si la diferencia baja hasta $0,01$ , la amplitud aumenta a $0,1$ . A pesar de que la perturbación sigue teniendo amplitud $0,001$ , el cambio necesario para intentar eliminarla deja de ser tan próximo a la identidad. Las ecuaciones siguen siendo resolubles; la dificultad está en que el procedimiento analítico deja de producir una corrección uniformemente pequeña.

Los modos de Fourier tienen órdenes arbitrariamente altos. Una frecuencia que evita todas las igualdades resonantes exactas puede aproximarse muchísimo a algunas de ellas. La mera irracionalidad no controla los denominadores pequeños; hace falta una cota diofántica cuantitativa que impida que $|k\cdot\omega|$ decrezca demasiado deprisa respecto del tamaño de $k$ . Así, un problema de sistemas dinámicos queda ligado a la teoría de la aproximación racional.

La estrategia KAM repite la resolución de ecuaciones homológicas en una sucesión de transformaciones y correcciones que buscan reducir cada vez más la perturbación restante. La prueba debe controlar simultáneamente las normas de las funciones, las pérdidas de regularidad o de dominio analítico, las variaciones de frecuencia y los denominadores que aparecen en todas las etapas. El resultado clásico demuestra que este procedimiento converge en condiciones apropiadas; nada dice de la convergencia de una serie perturbativa ingenua cualquiera.

Figura 116.1. C116 Figura 01 Denominadores pequenos Ampliar figura ↗

Figura 116.1. Con $\rho=(\sqrt5-1)/2$ y $\omega=(\rho,1)$ , los vectores enteros $k=(q,-p)$ producen denominadores $|k\cdot\omega|=|q\rho-p|$ . Los aproximantes de Fibonacci permiten visualizar su disminución sin alcanzar cero. A la derecha se compara la corrección formal $|S_k|=|h_k|/|k\cdot\omega|$ para una familia hipotética de modos tomados uno por uno con $|h_k|=0{,}002$ , frente a otra con decaimiento exponencial $|h_k|=0{,}002e^{-0{,}04(p+q)}$ . No se afirma que un único hamiltoniano analítico tenga coeficientes constantes en todos los modos.

116.4. Frecuencias diofánticas y el sentido de «no resonante»

Una condición diofántica típica exige que existan constantes $\gamma>0$ y $\tau>n-1$ tales que, para todos los vectores enteros no nulos $k$ ,

\boxed{|k\cdot\omega|\ge\frac{\gamma}{|k|^\tau}.}

La norma $|k|$ puede elegirse entre varias normas equivalentes de dimensión finita, con el correspondiente ajuste de las constantes. La desigualdad admite denominadores pequeños, pero les impide decrecer demasiado deprisa. Esa cota cuantitativa permite estimar los coeficientes de Fourier del cambio de coordenadas y controlar los pasos sucesivos.

Para $n=2$ , una frecuencia proporcional a $(1,1)$ es exactamente resonante, pues $k=(1,-1)$ da producto escalar cero. En cambio, la razón de frecuencias $\sqrt2$ es irracional y pertenece a una clase de números mal aproximables por racionales, de modo que tiene buenas propiedades diofánticas. No toda razón irracional tiene cotas igualmente favorables; ciertos números admiten aproximaciones racionales de precisión excepcional que agravan el problema perturbativo.

Hay que separar las propiedades de una frecuencia individual de las afirmaciones de medida relativas a conjuntos completos de frecuencias. Si fijamos una constante $\gamma$ estrictamente positiva, excluimos bandas alrededor de todas las resonancias y obtenemos un conjunto restringido de frecuencias. Al permitir constantes adecuadas y variar el tamaño de la perturbación, las versiones de KAM muestran que la familia de toros persistentes puede ocupar una proporción de medida cada vez mayor de un dominio pertinente. La expresión «casi todos» alude a la medida relativa dentro de ese dominio, sin garantía idéntica para cada condición inicial.

La representación geométrica de esta selección parece fragmentada. Se excluyen vecindades resonantes organizadas por infinitos vectores enteros y quedan frecuencias en un conjunto de tipo Cantor, de medida positiva bajo las hipótesis correspondientes. Un conjunto puede carecer de intervalos y tener, aun así, medida positiva, es decir, ser topológicamente perforado y cuantitativamente extenso. Esta combinación explica por qué una sección de fases puede contener numerosas curvas regulares entre regiones resonantes sin recuperar la foliación integrable completa.

El número áureo, analizado en C115, pertenece a una familia especialmente útil por la dificultad de aproximarlo mediante racionales con denominadores pequeños. Su papel en el mapa estándar depende a la vez de esa propiedad aritmética y de la geometría de ese mapa concreto. La frecuencia áurea no garantiza persistencia frente a perturbaciones arbitrarias ni determina un umbral universal de destrucción. El teorema KAM controla familias bajo condiciones explícitas, mientras que los umbrales particulares requieren estudios del modelo.

116.5. No degeneración, giro y casos que exigen otros teoremas

La no degeneración puede examinarse con una cuenta breve. Sea $H_0(I_1,I_2)=I_1^2/2+I_2^2$ . Entonces $\omega(I)=(I_1,2I_2)$ y la hessiana es $\mathrm{diag}(1,2)$ , cuyo determinante vale dos. El ejemplo satisface la condición de no degeneración de Kolmogórov en cualquier región de acciones donde las coordenadas sean apropiadas. Sigue teniendo, no obstante, puntos resonantes; si $I_1=2I_2$ , las dos frecuencias coinciden y $k=(1,-1)$ es resonante.

Compárese con $H_0(I_1,I_2)=\omega_1^0 I_1+\omega_2^0 I_2$ , con frecuencias constantes. La hessiana es la matriz nula. El sistema es integrable, pero falla la hipótesis habitual de giro, porque cambiar las acciones no modifica las frecuencias. Una perturbación del mismo tamaño que en el ejemplo anterior puede exigir entonces herramientas diferentes, ya que la versión elemental no se aplica y nada decide sobre la estabilidad o la desaparición de los toros.

Para mapas conservativos del anillo, una condición análoga pide que el número de rotación cambie con la acción, es decir, que $d\Omega/dI\ne0$ al menos en la región considerada. Se habla entonces de mapas de giro o twist maps. La forma integrable del mapa estándar tiene $\theta_{n+1}=\theta_n+p_n$ y cumple ese requisito. Existen mapas que no lo cumplen, llamados nontwist, con fenómenos especiales de reconexión y barreras que requieren análisis propio. La teoría KAM no se agota en los mapas de giro, aunque estos sean su ejemplo docente más accesible.

También existen formulaciones isoenergéticas que trabajan sobre una superficie de energía y sustituyen la no degeneración completa por otra condición geométrica. En problemas de mecánica celeste aparecen degeneraciones relacionadas con simetrías, conservaciones y formas particulares del hamiltoniano. Sería, por tanto, demasiado fuerte afirmar que «KAM exige siempre hessiana invertible»; esa hipótesis pertenece a una versión clásica y otros teoremas modernos de persistencia prescinden de ella.

Otra confusión frecuente consiste en equiparar no degeneración con convexidad. La invertibilidad de la hessiana no exige que esta sea positiva definida. Una matriz puede tener autovalores positivos y negativos sin tener determinante nulo. Algunas teorías de estabilidad a tiempos muy largos sí usan condiciones adicionales como convexidad o steepness, pero esas hipótesis pertenecen a resultados diferentes.

116.6. Qué significa que un toro sobreviva

Un toro integrable $I=I_*$ es una superficie compacta invariante de dimensión $n$ sobre la cual el movimiento es lineal en los ángulos. Después de una perturbación admisible, un toro persistente puede estar deformado dentro del espacio de fases original. Ya no se describe por $I=I_*$ ; puede representarse localmente mediante una parametrización $(I,\theta)=\Phi(\varphi)$ tal que el flujo lleva puntos de esa superficie a otros puntos de la misma superficie. El movimiento restringido continúa siendo cuasiperiódico y tiene las frecuencias apropiadas, según la formulación del teorema.

Por invariancia, una solución cuyo estado inicial pertenece exactamente al toro no lo abandona. Es una propiedad exacta de las ecuaciones que satisfacen las hipótesis, independiente del tamaño de los errores numéricos y de cualquier tendencia estadística de un conjunto de trayectorias a permanecer cerca. Una computadora, en cambio, trabaja con precisión finita y no suele colocar una condición inicial exactamente sobre una variedad irracional desconocida.

La persistencia no implica que la trayectoria conserve todas las propiedades del sistema sin perturbar. Los ángulos físicos pueden experimentar modulaciones; las frecuencias pueden cambiar bajo ciertas parametrizaciones; las acciones originales pueden oscilar sobre el toro deformado. En ocasiones, la frecuencia de un toro se fija en el enunciado y se ajusta la acción; en otras formulaciones se describe una familia de frecuencias perturbadas, de modo que conviene identificar qué versión se usa.

El teorema no establece estabilidad global uniforme para todos los estados vecinos al toro. Alrededor de un toro cuasiperiódico persistente pueden sobrevivir resonancias estrechas y movimientos con distinta regularidad. La forma específica de estabilidad transversal depende de la dimensión, del tipo de toro y de hipótesis adicionales. En un mapa de área bidimensional, una curva invariante esencial sí puede bloquear el transporte entre regiones; en dimensiones mayores, la topología cambia y esa conclusión no se traslada automáticamente.

También la palabra «muchos» requiere precisión. Para pequeñas perturbaciones se puede demostrar que los toros persistentes ocupan un conjunto de medida positiva y que, en regímenes clásicos adecuados, la medida de la parte excluida disminuye al reducir la perturbación. Sin embargo, un conjunto de medida pequeña puede ser dinámicamente decisivo si contiene conexiones que facilitan transporte durante escalas temporales muy largas.

Figura 116.2. C116 Figura 02 Curvas invariantes conjugacion Ampliar figura ↗

Figura 116.2. Ejemplo de deformación invariante exacta obtenido por conjugación canónica de un mapa integrable. Con $P=p-\varepsilon\cos\theta$ y $\varepsilon=0{,}63$ , cada recta $P=\mathrm{constante}$ se convierte en una curva $p=P+\varepsilon\cos\theta$ . Una trayectoria de rotación irracional $P/(2\pi)=(\sqrt5-1)/2$ mantiene $P$ constante mientras $p$ oscila. El ejemplo demuestra directamente la invariancia de estas curvas particulares; no constituye una demostración del teorema KAM para perturbaciones genéricas.

116.7. Resonancias, difusión de Arnold y estabilidad durante tiempos finitos

Una frecuencia resonante no satisface la condición diofántica exigida para la persistencia clásica del toro correspondiente. Esto no prueba que toda trayectoria resonante sea caótica. La reducción local del capítulo 115 muestra, por el contrario, que una resonancia puede organizar movimientos regulares de libración alrededor de órbitas elípticas. Lo que falla es la garantía genérica de continuidad del toro integrable completo bajo la perturbación escogida. Las posibilidades dinámicas dependen de las dimensiones y de la interacción con resonancias vecinas.

En un mapa de área sobre el cilindro, una curva invariante esencial separa regiones y es una barrera completa de transporte. Para sistemas hamiltonianos autónomos de dos grados de libertad, la situación análoga aparece en una superficie de energía tridimensional, donde toros de dimensión dos pueden separar regiones. Sin embargo, en tres o más grados de libertad, los toros invariantes no son generalmente barreras globales dentro de la superficie energética. Una trayectoria puede encontrar rutas alrededor de ellos y pasar, bajo condiciones apropiadas, de un entorno resonante a otro.

La difusión de Arnold describe mecanismos de deriva lenta de acciones en sistemas hamiltonianos casi integrables con suficientes grados de libertad y geometría resonante adecuada. No debe presentarse como un movimiento difusivo aleatorio universal ni como una consecuencia necesaria de cualquier perturbación pequeña. El nombre alude a estructuras dinámicas y órbitas que pueden recorrer extensas regiones de acciones durante tiempos potencialmente enormes. Estudiaremos este problema en C117, después de introducir la estructura de resonancias y los toros KAM.

La teoría de Nekhoroshev aborda otro aspecto de la perturbación casi integrable. Para ciertas clases analíticas de hamiltonianos y con condiciones geométricas adicionales, establece cotas de variación de las acciones durante tiempos que crecen de forma exponencial con una potencia inversa del tamaño perturbativo. El resultado asegura estabilidad prolongada bajo hipótesis estrictas, aunque no eterna para todas las órbitas.

Estas teorías responden preguntas complementarias. KAM identifica soluciones cuasiperiódicas invariantes que sobreviven indefinidamente dentro del modelo ideal. Nekhoroshev acota la variación para clases más amplias de condiciones iniciales, pero durante tiempos finitos muy largos. Los mecanismos de difusión explican por qué puede existir transporte lento sin contradecir la persistencia de muchos toros.

116.8. La lección del mapa estándar y sus límites

El mapa estándar es un laboratorio donde la teoría abstracta adquiere una representación visible. En la convención empleada en C114 y C115,

p_{n+1}=p_n+K\sin\theta_n,\qquad \theta_{n+1}=\theta_n+p_{n+1}\pmod{2\pi}.

Para $K=0$ , cada línea $p=p_0$ es invariante y tiene número de rotación $p_0/(2\pi)$ . La derivada de ese número respecto del momento es $1/(2\pi)$ , distinta de cero. El mapa es, por tanto, un caso sencillo de sistema integrable con giro. Para perturbaciones suficientemente pequeñas, versiones del teorema de Moser garantizan curvas invariantes con números de rotación diofánticos apropiados. Entre ellas aparecen zonas resonantes, cadenas de islas y regiones donde el movimiento puede ser irregular.

El teorema KAM no predice un valor universal de $K$ . La cifra $K_g\simeq0,971635$ , obtenida numéricamente para la destrucción de la curva de rotación áurea del mapa estándar, proviene de un estudio concreto que incluye análisis de órbitas periódicas y renormalización. No es una constante de KAM aplicable a otros mapas ni el número que surge automáticamente de la mera hipótesis «perturbación pequeña». La teoría rigurosa da condiciones suficientes cuya optimización es otro problema.

Cuando ya no existe una curva invariante completa que separe dos regiones, pueden quedar conjuntos invariantes parciales y trayectorias de transporte muy lento. Las islas alrededor de órbitas elípticas también pueden persistir más allá de un umbral de transporte global. Por tanto, hablar de «transición al caos» sin especificar si se mide la primera órbita irregular, el área de la región caótica, la destrucción de una curva dada o el inicio del transporte a gran escala genera conclusiones ambiguas.

En sistemas con perturbación disipativa, las ecuaciones cambian de categoría. Una fuerza de rozamiento contrae volúmenes y puede crear atractores; la preservación simpléctica que usa la versión clásica del teorema deja de valer. Existen teorías de toros invariantes en sistemas no hamiltonianos y forzados, pero exigen otros supuestos. No es correcto invocar KAM de manera indiferenciada para explicar que cualquier oscilador biológico, dispositivo digital o sistema social conserve una oscilación al introducir ruido o interacciones débiles.

El ejemplo muestra que una misma simulación puede exhibir regularidad e irregularidad sin contradicción matemática. Se necesita distinguir la propiedad del mapa completo, la región del espacio de fases y el conjunto de condiciones iniciales observadas. KAM explica una parte muy precisa de esa coexistencia; la geometría de resonancias, la teoría de transporte y el estudio de los exponentes de Lyapunov completan la descripción.

116.9. Cómo investigar un toro en una simulación

Una simulación puede apoyar la identificación de una curva invariante, pero no demostrar mediante un gráfico aislado que satisface un teorema. Una estrategia razonable empieza por conservar las variables canónicas sin pérdidas inadvertidas, controlar errores numéricos y verificar que el algoritmo usado respeta las propiedades geométricas relevantes. En el mapa estándar, la preservación de área puede comprobarse de manera algebraica para cada iteración, pues el determinante de su jacobiano es exactamente uno.

A continuación, interesa seguir varios estados iniciales a lo largo de tiempos crecientes, estimar números de rotación con ángulos no reducidos y observar la dependencia de esos números respecto de las condiciones iniciales. Una meseta aparente o una discontinuidad del número estimado puede revelar una zona resonante, pero también depender del tiempo de observación. La estimación numérica necesita pruebas de convergencia con más iteraciones, pasos menores cuando corresponde y métodos alternativos de cálculo de frecuencias.

El siguiente ejemplo se limita al caso integrable. Como su respuesta exacta es conocida, es una base transparente para extensiones. Partimos de un momento inicial igual a $2\pi\rho$ , con $\rho=(\sqrt5-1)/2$ . La frecuencia de rotación se mide con el ángulo levantado, sin aplicar el módulo al acumulado.

import numpy as np

rho = (np.sqrt(5.0) - 1.0) / 2.0
K = 0.0
p = 2.0 * np.pi * rho
theta_lift = 0.23
nsteps = 10000
inicio = theta_lift
for _ in range(nsteps):
    p += K * np.sin(theta_lift % (2.0 * np.pi))
    theta_lift += p
rho_est = (theta_lift - inicio) / (2.0 * np.pi * nsteps)
assert np.isclose(rho_est, rho, rtol=0, atol=1e-11)
print('rotación estimada:', rho_est)

Si aumentamos $K$ , el resultado deja de interpretarse como la rotación de una curva invariante salvo que verifiquemos que la trayectoria pertenece efectivamente a una de ellas. Sobre órbitas que se libran alrededor de una isla, el ángulo levantado puede acumular otro tipo de promedio; en una región caótica, un promedio finito puede depender de transitorios y del muestreo. Que el promedio se aproxime a un irracional conocido no prueba que exista un toro analítico.

Para un estudio avanzado se pueden localizar órbitas periódicas de aproximación racional, medir sus residuos, construir mapas de frecuencia y estimar indicadores de caos. Cada procedimiento tiene supuestos y errores. La convergencia numérica aporta evidencia, aunque no es una certificación matemática. Si el problema exige demostrar la persistencia de una curva concreta, existen métodos de validación asistida por computadora, con cotas de error rigurosas, que van más allá de una integración ordinaria.

116.10. Persistencia y limitaciones del teorema KAM

Ejercicio 1. Comprobar no degeneración y resonancia. Sea $H_0(I_1,I_2)=I_1^2/2+I_2^2$ . La hessiana es $\mathrm{diag}(1,2)$ y su determinante vale dos, de manera que se satisface la condición de no degeneración de Kolmogórov. En el punto $(I_1,I_2)=(1,1/2)$ , el vector de frecuencias es $(1,1)$ , resonante para $k=(1,-1)$ . La condición sobre la hessiana no convierte en no resonantes todas las acciones del dominio.

Ejercicio 2. Evaluar un denominador perturbativo. Para $H_1=A\cos(\theta_1-\theta_2)$ con $A=0,002$ , comparemos $\omega_1-\omega_2=0,4$ y $\omega_1-\omega_2=0,004$ . La amplitud de la función generatriz de primer orden es, respectivamente, $0,005$ y $0,5$ . La segunda frecuencia está mucho más próxima a la resonancia y exige una corrección cien veces mayor. El cálculo muestra que el paso perturbativo elegido pierde utilidad uniforme; sobre la existencia de caos no dice nada.

Ejercicio 3. Identificar el fallo de una hipótesis. Consideremos $H_0=3I_1+\sqrt2 I_2$ . El vector $(3,\sqrt2)$ tiene frecuencias no conmensurables, pero la hessiana del hamiltoniano es cero. La formulación clásica que exige hessiana invertible no puede aplicarse directamente. Sería incorrecto afirmar tanto que los toros deben destruirse como que su persistencia está demostrada por ese enunciado. Hay que estudiar una versión adecuada a un sistema degenerado.

Ejercicio 4. Distinguir barreras según la dimensión. En un sistema hamiltoniano autónomo de dos grados de libertad, una superficie de energía regular es tridimensional y un toro KAM bidimensional puede separar regiones de ella. Con tres grados de libertad, la superficie tiene dimensión cinco y un toro tiene dimensión tres, de modo que la codimensión es dos. Ese toro no es, en general, una barrera que divida toda la superficie energética. La topología permite rutas de transporte que no existían en el ejemplo bidimensional simple.

Ejercicio 5. Interpretar una observación del mapa estándar. Una simulación con $K=1,1$ muestra una región aparentemente irregular junto a varias cadenas de islas. El resultado es compatible con la existencia simultánea de caos y órbitas regulares, pero no demuestra que todas las curvas invariantes hayan desaparecido ni que todo momento inicial pueda alcanzar valores arbitrariamente grandes. Para evaluar transporte hay que seguir el momento no reducido, explorar distintas condiciones iniciales y precisar la escala temporal.

KAM establece la persistencia de numerosos toros cuasiperiódicos en clases de sistemas hamiltonianos próximos a otros integrables, siempre que se controlen la regularidad, la no degeneración, las propiedades aritméticas de las frecuencias y el tamaño de la perturbación. Las condiciones diofánticas limitan la proximidad excesiva a resonancias y ayudan a resolver las ecuaciones en las que aparecen denominadores pequeños.

La pérdida de la integrabilidad exacta no destruye todas las estructuras regulares. Los toros persistentes pueden coexistir con resonancias, islas y regiones caóticas; en algunas dimensiones son barreras de transporte y en otras no separan globalmente la superficie de energía. Los tiempos durante los que ciertas acciones permanecen próximas a sus valores iniciales requieren hipótesis y herramientas propias, como las de la teoría de Nekhoroshev.

El mapa estándar es una buena ilustración, pero no sustituye las condiciones de un teorema KAM. La estabilidad de una trayectoria o de una región concreta debe investigarse dentro del modelo y el dominio correspondientes.

Referencias

Kolmogorov, A. N. (1954). On conservation of conditionally periodic motions for a small change in Hamilton's function. Doklady Akademii Nauk SSSR, 98, 527–530. https://cds.cern.ch/record/430016
Arnol'd, V. I. (1963). Proof of a theorem of A. N. Kolmogorov on the invariance of quasi-periodic motions under small perturbations of the Hamiltonian. Russian Mathematical Surveys, 18(5), 9–36.
Moser, J. (1962). On invariant curves of area-preserving mappings of an annulus. Nachrichten der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, Math.-Phys. Klasse II, 1–20.
Pöschel, J. (2001). A lecture on the classical KAM theorem. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 69, 707–732.
Chirikov, B. V., y Shepelyansky, D. L. (2008). Chirikov standard map. Scholarpedia, 3(3), 3550. https://doi.org/10.4249/scholarpedia.3550
Chierchia, L., y Mather, J. N. (2010). Kolmogorov–Arnold–Moser theory. Scholarpedia, 5(9), 2123. https://doi.org/10.4249/scholarpedia.2123
MacKay, R. S., Meiss, J. D., y Percival, I. C. (1984). Transport in Hamiltonian systems. Physica D, 13, 55–81. https://doi.org/10.1016/0167-2789(84)90270-7