Cuantificación de recurrencia y dependencia del umbral

Un recorrido puede volver muchas veces cerca de un lugar y hacerlo de maneras distintas, ya sea atravesándolo casi con la misma secuencia, permaneciendo allí durante varias observaciones o regresando desde direcciones diferentes. Contar únicamente los regresos pierde esas diferencias. Los diagramas de recurrencia conservan la posición temporal de cada encuentro y su cuantificación intenta resumir cómo se organizan.

El resultado depende de qué consideremos cercano. Una tolerancia pequeña distingue estados que una tolerancia mayor reúne. También importa qué comparaciones se admiten, ya que dos observaciones contiguas pueden estar próximas solo porque el sistema apenas tuvo tiempo de moverse. Una cifra de recurrencia adquiere significado cuando conocemos el espacio de estados, la distancia, la exclusión temporal y la regla de recuento que la produjeron.

La cercanía se define antes de contar

Supongamos que disponemos de $N$ vectores de estado $\mathbf x_i$, observados inicialmente a intervalos regulares. Pueden ser medidas simultáneas de varias variables o vectores obtenidos por reconstrucción con retardos. Aquí los tomaremos como dados. Si elegimos una distancia $d$ y una tolerancia no negativa $\varepsilon$, la matriz básica se define por

Una entrada igual a uno indica que los estados de las ocasiones $i$ y $j$ cumplen el criterio de cercanía; un cero indica que no lo cumplen. La convención incluye las distancias exactamente iguales al umbral. Con una distancia simétrica y un umbral común la matriz es simétrica y su diagonal principal contiene unos, porque cada estado coincide consigo mismo.

Eckmann, Kamphorst y Ruelle (1987) introdujeron el diagrama para representar la recurrencia de los estados de un sistema. Marwan y colaboradores (2007) desarrollan su interpretación geométrica y los procedimientos de cuantificación. Cada entrada compara dos tiempos. Filas y columnas indexan ocasiones y no variables, aunque los estados con que se calcula cada entrada sean multidimensionales.

La distancia euclídea mide la longitud del vector diferencia, mientras que la distancia máxima toma la mayor diferencia absoluta entre coordenadas. Sus vecindades tienen formas diferentes. En dos dimensiones, una diferencia de una unidad en ambas coordenadas tiene distancia euclídea $\sqrt 2$ y distancia máxima uno, así que con tolerancia uno el mismo par queda fuera de la primera vecindad y dentro de la segunda.

Cambiar de norma puede, por tanto, cambiar la matriz aun con el mismo número escrito como umbral. Esa cifra no puede interpretarse al margen de las unidades, porque si una coordenada se expresa en milisegundos y otra en segundos, la primera pesará mucho más por una simple razón de escala. Una distancia adecuada necesita definir qué diferencia de cada variable merece un peso comparable.

La estandarización por desviaciones típicas es una posibilidad, pero cambia la pregunta, porque las diferencias pasan a expresarse respecto de la variabilidad de referencia. Normalizar cada ventana por separado puede eliminar una expansión de amplitud que interesaba estudiar. Una escala común conserva esa expansión, aunque obliga a justificar por qué es pertinente para todas las ventanas.

Una transformación que incorpore covarianzas puede reducir el peso de direcciones redundantes, pero su estimación requiere suficientes datos y una matriz bien condicionada. Una coordenada casi duplicada no aporta necesariamente una dirección informativa nueva, aunque al incluirla en una distancia euclídea aumente el peso de cierto movimiento. La geometría procede de esas decisiones y el recuento no las corrige después.

La resolución instrumental permite precisar qué entradas son estables frente al error de medida si suponemos que cada vector observado difiere del estado verdadero en una cantidad de norma no mayor que $\eta$. Por la desigualdad triangular, la distancia observada entre dos estados puede diferir de la verdadera hasta en $2\eta$. Una distancia observada no mayor que $\varepsilon-2\eta$ garantiza entonces la recurrencia bajo ese límite de error, mientras que una distancia mayor que $\varepsilon+2\eta$ garantiza que el par queda fuera. Las distancias intermedias requieren conocer mejor los errores.

Este argumento usa un límite determinista para cada observación, expresado en la misma norma y escala que el análisis; una desviación típica del ruido no es automáticamente ese límite. Si solo conocemos una distribución de errores, la pertenencia a la vecindad adquiere una incertidumbre probabilística que exige otro cálculo. Tampoco puede trasladarse un límite en las coordenadas originales a una distancia estandarizada sin transformar los errores junto con los datos.

Con tolerancia uno y un error máximo de cinco centésimas por estado, las distancias observadas de hasta nueve décimas quedan dentro con garantía y las mayores que una unidad y una décima quedan fuera. La banda restante mide dos décimas.

La banda que se excluye del análisis

En una trayectoria suave y densamente observada los estados contiguos suelen estar cerca. Si buscamos retornos después de una separación temporal apreciable, conviene distinguir esa continuidad inmediata de otros encuentros. La exclusión de pares temporalmente próximos se conoce como ventana de Theiler. El trabajo de Theiler (1986) mostró cómo las correlaciones temporales podían producir estructuras engañosas en cálculos de dimensión; su tratamiento de los vecinos temporales orienta también el análisis de recurrencias.

Fijaremos una convención explícita. Dado un entero $w\geq0$, se excluyen los pares que satisfacen $|i-j|\leq w$, de modo que la máscara admisible es $M_{ij}=\mathbf 1\{|i-j|>w\}$ y la matriz analizada es $B_{ij}=M_{ij}R_{ij}$. Para $w=0$ desaparece únicamente la diagonal principal y para $w=1$ desaparecen además los pares de ocasiones consecutivas.

Algunas formulaciones definen la anchura con una desigualdad estricta diferente, por lo que dos programas que informen una ventana de Theiler igual a uno pueden no excluir exactamente los mismos pares. El valor debe ir acompañado de su regla de desigualdad y de una aclaración sobre si la banda se usa solo al cuantificar o también se ha borrado de la imagen presentada.

Contaremos ambas mitades de la matriz. Con nuestra convención, el número de pares ordenados admisibles es

La tasa de recurrencia entre esos pares, definida cuando $E_w>0$, es

Si $w=N-1$ no quedan pares comparables y la tasa está indefinida. El denominador cuenta las oportunidades de encontrar una recurrencia después de aplicar la exclusión. Otra convención frecuente mantiene $N^2$ como denominador incluso cuando elimina ciertas entradas del numerador. Ambas cantidades pueden calcularse, pero no coinciden. La fórmula habitual de la tasa de recurrencia en una matriz sin exclusión usa $N^2$; adaptarla a una máscara requiere declarar qué densidad se está estimando.

La banda no garantiza que los pares restantes sean independientes. Una misma observación participa en muchas comparaciones y pueden persistir dependencias a separaciones mayores que la excluida. Tampoco existe una anchura universal que elimine solo los efectos indeseados, pues si coincide con un período real del sistema puede retirar justamente los retornos que se querían estudiar.

Un recorrido que permite revisar cada entrada

Consideremos diez estados bidimensionales artificiales que recorren una y otra vez las cuatro esquinas de un cuadrado,

Con observaciones separadas por una unidad de tiempo, distancia euclídea, umbral $0{,}1$ y exclusión $w=1$, la máscara deja setenta y dos pares ordenados. Como la tolerancia es menor que cualquier distancia entre esquinas diferentes, solo cuentan como recurrentes los encuentros con la misma esquina.

Los retornos aparecen a separaciones de cuatro y ocho observaciones, con seis unos consecutivos en la diagonal desplazada cuatro posiciones y dos en la desplazada ocho. La mitad simétrica de la matriz contiene otras dos líneas iguales. El total es $2(6)+2(2)=16$ puntos recurrentes y la tasa entre pares admisibles vale $16/72$, aproximadamente $0{,}222$.

Si excluyéramos solamente la diagonal principal conservaríamos los mismos dieciséis puntos, porque ninguna pareja consecutiva ocupa la misma esquina, pero el denominador subiría a noventa y la tasa bajaría a $0{,}178$. La exclusión adicional elevó la tasa sin crear ningún retorno. Se limitó a retirar comparaciones no recurrentes.

Si usáramos cien como denominador con dieciséis en el numerador, informaríamos $0{,}16$; si además incluyéramos los diez encuentros de cada punto consigo mismo, informaríamos $0{,}26$. Como los cuatro valores describen el mismo recorrido bajo convenciones distintas, una comparación entre estudios necesita reconstruir esas convenciones antes de interpretar sus diferencias como cambios dinámicos.

Con exclusión $w=4$ desaparecen también los retornos separados por cuatro ocasiones y quedan cuatro puntos recurrentes entre treinta pares admisibles, con una tasa de $0{,}133$. Las únicas líneas visibles tienen ahora longitud dos. La secuencia conserva su período; es el análisis el que ha decidido no contar los encuentros separados por una vuelta completa.

Con el ejemplo podemos comprobar también qué significa duplicar la matriz por simetría. Cada pareja no ordenada aparece dos veces, por lo que dividir por dos tanto las recurrencias como los pares admisibles no cambia la tasa. Recortar físicamente un triángulo, en cambio, puede modificar otros recuentos de líneas, sobre todo los verticales, así que mantendremos la matriz completa durante toda la cuantificación.

Qué se cuenta como una línea diagonal

Una línea diagonal de longitud $\ell$ contiene unos en posiciones sucesivas $(i,j),(i+1,j+1),\ldots$, lo que significa que los dos segmentos temporales avanzan juntos y permanecen próximos en las ocasiones comparadas. Contaremos líneas máximas. Una línea de seis puntos aporta una línea de longitud seis y no cinco líneas de longitud dos más todas sus demás sublíneas.

Definimos $P_d(\ell)$ como el número de esas líneas máximas. Los límites de la matriz y los ceros de la máscara interrumpen el recuento, de modo que no unimos el final de una diagonal con el principio de otra. Las líneas que tocan el borde se cuentan por su longitud visible. Esta decisión importará más adelante.

La medida convencional que se denomina determinismo es

El denominador cuenta todos los puntos recurrentes admisibles, incluidos los aislados, mientras que el numerador cuenta los que pertenecen a líneas suficientemente largas. El nombre de la medida no indica que el mecanismo generador sea determinista. Marwan (2011) muestra cómo la reconstrucción, la correlación temporal y la frecuencia de muestreo pueden producir estructuras diagonales que invalidan esa interpretación automática.

Con longitud mínima dos, nuestro cuadrado tiene dos líneas de longitud seis y dos de longitud dos. Todos sus puntos pertenecen a líneas admitidas y $DET=1$. La longitud media de las líneas admitidas es cuatro, porque dieciséis puntos se reparten en cuatro líneas. La máxima es seis. Son resúmenes de segmentos observados y no garantías de predicción fuera del registro.

Si aumentamos la longitud mínima a tres, solo quedan en el numerador las dos líneas de seis puntos, con lo que el determinismo baja a $12/16=0{,}75$ mientras la longitud media de las líneas admitidas sube a seis. No hay contradicción. El primer cociente mide una fracción de puntos y el segundo promedia únicamente las líneas que superaron el corte.

Cuando hay recurrencias pero ninguna línea alcanza la longitud mínima, el determinismo vale cero y la longitud media admitida queda indefinida. Si no hay ninguna recurrencia, desaparece incluso el denominador del determinismo. Asignar cero a todas esas situaciones confunde la ausencia de estructura lineal suficiente con la falta de datos para calcular el cociente.

La disposición de los errores importa tanto como su número. Imaginemos que, en cada una de las dos líneas de seis puntos del cuadrado, el tercer punto deja de cumplir el umbral. Solo han cambiado dos entradas simétricas entre las setenta y dos admisibles, pero cada línea larga se divide en una de longitud dos y otra de longitud tres. Junto con las dos líneas cortas originales, quedan cuatro líneas de longitud dos y dos de longitud tres.

Ahora hay catorce puntos recurrentes y el determinismo sigue valiendo uno, pero la longitud media baja de cuatro a $14/6$ (aproximadamente $2{,}333$) y la máxima, de seis a tres. Este cambio aislado en la matriz es útil para estudiar la sensibilidad del recuento, aunque una perturbación real de un estado podría modificar varias distancias a la vez. La tasa pierde solo dos puntos mientras el corte interior de las líneas altera mucho las medidas de duración. Esa fragilidad pasaría inadvertida si solo se informara la densidad.

La distribución de longitudes y sus bordes

La entropía diagonal usa la distribución de longitudes entre las líneas admitidas. Si $p_d(\ell)=P_d(\ell)/\sum_{r\geq\ell_{\min}}P_d(r)$, se calcula

Usaremos logaritmos naturales. Con longitud mínima dos, la mitad de las líneas del cuadrado tiene longitud dos y la otra mitad longitud seis, así que la entropía vale $\log2$, aproximadamente $0{,}693$, aunque el recorrido sea perfectamente periódico. La diversidad de longitudes visibles procede aquí de cómo chocan las diagonales con los bordes de una matriz finita.

Kraemer y Marwan (2019) estudian este efecto y comparan procedimientos para tratar las diagonales truncadas. Descartarlas evita fingir que su longitud visible es una longitud completa. En nuestro ejemplo, sin embargo, todas llegan a los bordes, por lo que eliminarlas produce un histograma vacío y la entropía deja de estar definida. Un resultado vacío no debe convertirse en una estimación de entropía nula.

Otros procedimientos reasignan longitudes o conservan una parte seleccionada de las líneas de borde. Esas decisiones incorporan información o restricciones diferentes. Asignar a toda línea truncada la longitud máxima posible puede concentrar artificialmente un histograma; conservar solo una de ellas cambia los pesos con que contribuyen los segmentos. La corrección utilizada debe formar parte de la definición del estimador y mantenerse al comparar registros.

El movimiento tangencial añade otro problema. Cuando el sistema avanza lentamente dentro de una vecindad, varias diagonales próximas pueden describir casi el mismo encuentro y sus longitudes engrosan el histograma. Kraemer y Marwan distinguen ese efecto del recorte por bordes y examinan métodos que reducen el grosor de las estructuras. Corregir únicamente los bordes no elimina las consecuencias de un muestreo demasiado denso o de una tolerancia excesiva.

La entropía del histograma no es sin más una entropía dinámica del sistema. Tampoco el inverso de la diagonal más larga, que a veces se llama divergencia, es automáticamente un exponente de Lyapunov, ya que la duración del registro, la tolerancia y el tratamiento temporal afectan a esa diagonal. Relacionar estas cantidades con invariantes dinámicos exige hipótesis y procedimientos que van más allá de leer una longitud máxima.

Líneas verticales y permanencia cerca de un estado

En una línea vertical se mantiene fija una columna mientras avanza la fila, es decir, se compara una secuencia de estados con un mismo estado de referencia. La línea indica que varias observaciones consecutivas permanecieron dentro de su vecindad. No exige que coincidan entre sí. Basta con que todas estén próximas a la referencia.

Si $P_v(v)$ cuenta las líneas verticales máximas de longitud $v$, la laminaridad es la fracción de puntos recurrentes que pertenecen a líneas de longitud al menos $v_{\min}$ y el llamado tiempo de atrapamiento, $TT$, es la longitud media de esas líneas admitidas. Ambos parten de la misma matriz, pero usan una distribución de longitudes diferente de la diagonal.

Para calcularlos, consideremos otra secuencia artificial de nueve estados escalares formada por tres ceros, tres doses y tres ceros. Con el umbral $0{,}1$, la exclusión $w=1$ y una longitud vertical mínima de dos, hay cincuenta y seis pares admisibles y veinticuatro puntos recurrentes. El histograma vertical contiene seis líneas de longitud tres y seis puntos aislados.

Dieciocho puntos pertenecen a las líneas admitidas, de modo que la laminaridad es $18/24=0{,}75$ y el tiempo de atrapamiento vale tres observaciones. Una columna del primer bloque de ceros encuentra un bloque de tres recurrencias cuando la trayectoria vuelve a cero. Las comparaciones locales eliminadas por la banda no se incorporan después para completar la línea.

Tres muestras separadas por una unidad abarcan dos unidades entre la primera y la última, por lo que llamar «tres horas» a una línea de tres puntos medidos cada hora añade una duración que el recuento no contiene. Los extremos de la estancia real pueden quedar, además, antes o después de las muestras visibles. El nombre de tiempo de atrapamiento debe leerse junto con su definición en número de puntos.

En el cuadrado, con la tolerancia pequeña, todos los puntos recurrentes están aislados verticalmente. La laminaridad vale cero y el promedio de líneas verticales de longitud mínima dos está indefinido, aunque el mismo registro tenga determinismo uno. Las dos medidas distinguen la repetición de secuencias de la permanencia alrededor de una referencia y no expresan una única cantidad genérica de regularidad.

Aumentar el umbral cambia más que la densidad

Volvamos al cuadrado con diez observaciones y exclusión uno, manteniendo la longitud diagonal mínima de dos y el mismo tratamiento de los bordes. Solo cambia la tolerancia euclídea.

Con tolerancia uno entran las esquinas adyacentes y con tolerancia uno y medio también las opuestas. Como solo se añaden pares, la tasa de recurrencia no puede disminuir al aumentar el umbral. El determinismo, en cambio, sí puede disminuir, porque los puntos nuevos no tienen por qué incorporarse a líneas que superen la longitud mínima.

Con tolerancia uno, los treinta y dos pares de esquinas adyacentes caen exactamente sobre el corte. Su inclusión es perfectamente reproducible con las coordenadas artificiales exactas, pero sería sensible a errores pequeños si las coordenadas procedieran de un instrumento.

En el último caso todos los pares admisibles son recurrentes y la matriz analizada depende únicamente de la máscara y no de la trayectoria particular. El determinismo sigue ligeramente por debajo de uno porque hay dos puntos aislados en las esquinas más alejadas de la matriz. Esos detalles proceden del tamaño del registro y del corte de longitud, así que una cifra próxima a uno en ese régimen no discrimina entre mecanismos dinámicos.

Las entropías diagonales de las tres matrices son aproximadamente $0{,}693;\ 1{,}609$ y $1{,}946$, con la misma trayectoria en todos los cálculos. Interpretar ese aumento como una creación de complejidad física confundiría un cambio de tolerancia con un cambio del proceso. La curva de una medida frente al umbral permite ver cuánto de una conclusión depende de esa elección.

Con distancia máxima y tolerancia uno, todas las esquinas del cuadrado ya son vecinas y la tasa pasa directamente a uno. Un valor de tolerancia que parecía moderado para una norma resulta saturante para otra. Si solo se informa el número del umbral, sin indicar la distancia, el análisis no puede reproducirse.

Umbral fijo y tasa de recurrencia fijada

Un umbral fijo conserva una escala geométrica común y, si el espacio está expresado en unidades comparables, permite preguntar con qué frecuencia se encuentran estados dentro de una diferencia determinada. Una tasa de recurrencia fijada elige en cambio el umbral a partir de un percentil de las distancias. Conserva aproximadamente la fracción global de pares próximos y facilita el estudio de su organización.

Kraemer y colaboradores (2018) muestran que seleccionar un percentil de distancias puede reducir la dependencia de ciertas características de recurrencia respecto de la dimensión de reconstrucción, en los sistemas y medidas que examinan. La razón es que cambiar la dimensión altera la escala de la distribución de distancias y también su forma, de manera que mantener una proporción fija de su máximo o de su media puede producir matrices con densidades muy diferentes.

Fijar la densidad no garantiza que las líneas ni sus histogramas sean invariantes, porque dos matrices con el mismo número de unos pueden organizarlos de maneras completamente distintas. Tampoco conserva una escala física constante, ya que cada ventana o individuo puede necesitar un umbral diferente para alcanzar la densidad elegida.

La diferencia se ve al duplicar ambas coordenadas de nuestro cuadrado. Con la tolerancia euclídea fija en uno, los pares de esquinas distintas dejan de ser recurrentes y la tasa baja de $0{,}667$ a $0{,}222$. Si duplicamos también el umbral recuperamos exactamente la matriz original. Una selección por el mismo percentil hace justamente eso ante una expansión uniforme de todas las distancias.

El análisis con tasa fijada elimina entonces la diferencia global de amplitud de la matriz binaria. Eso puede ser apropiado si esa amplitud es una escala instrumental irrelevante. Si la expansión de estados es el fenómeno buscado, es una pérdida. Guardar el umbral necesario para cada ventana permite conservar información sobre la escala que la tasa fijada retiró de la matriz.

Normalizar por separado y fijar además la tasa actúan sobre aspectos relacionados del problema y no deben acumularse como pasos automáticos de mejora. Conviene describir qué diferencias se desea conservar y cuáles se aceptan como cambios de unidades o de escala. El mismo procedimiento puede ser útil para una comparación y eliminar la señal relevante de otra.

Los empates impiden alcanzar cualquier porcentaje

En el cuadrado las distancias admisibles solo toman tres valores, con dieciséis pares a distancia cero, treinta y dos a distancia uno y veinticuatro a distancia $\sqrt2$. Al cruzar cada nivel, el umbral incorpora de golpe todos sus empates.

Si se solicita una tasa del treinta por ciento y se elige el menor umbral que la alcance o supere, se obtiene tolerancia uno y una tasa real de dos tercios. Ningún umbral no negativo produce exactamente el treinta por ciento con nuestra desigualdad inclusiva; interpolar un percentil numérico no crea distancias nuevas entre las que repartir los empates.

Podrían seleccionarse arbitrariamente algunas parejas empatadas para alcanzar un número exacto de puntos, pero eso añade una regla distinta de la cercanía definida por un radio. Si la selección no respeta la simetría, puede ocurrir incluso que un estado sea declarado vecino de otro sin que se conserve la relación inversa. Si se respetan las parejas simétricas, la disposición de las líneas sigue cambiando según cuáles se elijan.

Los empates aparecen en variables discretas, escalas redondeadas y mediciones con resolución limitada, pero también pueden introducirse al recortar valores extremos o al completar ausencias con una constante. El porcentaje solicitado debe distinguirse del alcanzado y la regla para empates debe quedar registrada, porque una tasa fijada es un objetivo del procedimiento y no una promesa matemática independiente de los datos.

Hay otra construcción que fija un número de vecinos para cada estado. Admite radios locales diferentes y controla la densidad por fila, aunque con densidades desiguales en el espacio puede producir relaciones asimétricas. Esa regla preserva características de la geometría distintas de las que conserva un único umbral global escogido para alcanzar cierta tasa.

Comparar resultados sin seleccionar la respuesta

Una comprobación de sensibilidad puede variar la tolerancia, la anchura temporal y las longitudes mínimas dentro de rangos justificados, mostrando las regiones donde una diferencia se conserva y aquellas donde cambia de signo o desaparece. Una diferencia que solo surge para una combinación muy estrecha necesita una explicación distinta de la que requiere otra que se mantiene bajo varias resoluciones pertinentes.

La búsqueda también forma parte de la inferencia. Si se prueban muchos umbrales y se comunica únicamente el que mejor separa dos grupos, la comparación final usa información que no aparece en una prueba calculada como si ese umbral se hubiera fijado de antemano. Una evaluación predictiva debe repetir la selección dentro de los datos de entrenamiento y un contraste con sustitutos debe aplicar una regla de selección coherente con la hipótesis examinada.

Las entradas de una matriz de recurrencia no son ensayos binomiales independientes. Cada estado se reutiliza en muchas distancias y las líneas expresan dependencia temporal, así que los setenta y dos pares admisibles del ejemplo no equivalen a setenta y dos observaciones nuevas del sistema. La incertidumbre sobre una medida necesita conservar la estructura relevante de la serie o apoyarse en un modelo explícito que justifique el procedimiento.

Permutar sin más las observaciones destruye el orden que las medidas de líneas intentan cuantificar. Puede servir para un contraste cuya hipótesis implique precisamente ese intercambio temporal, pero no da automáticamente un intervalo de confianza para la dinámica original. Del mismo modo, remuestrear puntos aislados del diagrama puede romper líneas y fabricar una variabilidad que pertenece al remuestreo.

La longitud de la ventana merece el mismo cuidado que el umbral. Las ventanas más largas admiten diagonales más largas y contienen más oportunidades de encontrar una recurrencia extrema, por lo que comparar máximos entre registros de tamaños muy diferentes exige tener en cuenta esa diferencia de oportunidades. En ventanas móviles solapadas, dos valores sucesivos de una medida reutilizan buena parte de las mismas observaciones.

Longitudes en puntos y duraciones físicas

Una línea diagonal de seis puntos compara dos segmentos durante cinco intervalos entre muestras y, con un intervalo común $\Delta$, su extensión visible entre extremos es $5\Delta$. Si cambiamos la frecuencia de muestreo, una longitud expresada en puntos deja de corresponder al mismo horizonte físico. La elección de una longitud mínima debe relacionarse con la duración que interesa distinguir.

La exclusión temporal también debe convertirse de forma coherente. Para retirar todas las comparaciones separadas por dos horas o menos, un registro horario necesita excluir hasta dos posiciones de diferencia y uno tomado cada media hora, hasta cuatro. Mantener el mismo entero en ambos análisis excluiría duraciones distintas aunque el resto de los parámetros pareciera idéntico. Para un límite físico $T$ y una separación regular $\Delta$, nuestra desigualdad inclusiva corresponde a $w=\lfloor T/\Delta\rfloor$.

Esta conversión iguala el alcance temporal de la banda, pero no convierte las matrices en copias de una misma observación. El registro más denso contiene estados intermedios y puede revelar salidas breves de la vecindad que el registro horario no captó; cambia también el número de oportunidades de formar líneas y la precisión con que se localizan sus extremos. Una comparación de resoluciones debe distinguir el cambio de unidades del cambio de información disponible. Reexpresar las longitudes en horas resuelve lo primero, pero no lo segundo.

En registros irregulares, avanzar una fila y una columna puede hacer avanzar duraciones diferentes en los dos segmentos, por lo que una diagonal ordinaria conserva la proximidad en índices sin comparar necesariamente evoluciones a igual velocidad temporal. Interpolar puede facilitar una representación regular a costa de añadir decisiones sobre estados no observados. Otra posibilidad es usar procedimientos que incorporen explícitamente las marcas temporales y definir de nuevo qué cuenta como continuidad de una recurrencia.

Una ausencia de medición plantea un problema distinto del de una observación que queda fuera de la vecindad. Si falta un estado completo, las distancias que lo usan son desconocidas. Es posible añadir una máscara de disponibilidad que cuente como oportunidades solo los pares efectivamente comparables. El denominador deja entonces de seguir la fórmula cerrada que dependía únicamente de la anchura temporal y debe obtenerse contando las entradas admisibles de la máscara combinada.

Los fragmentos de línea situados a ambos lados de una comparación desconocida no deben unirse. Si se exige continuidad observada, la ausencia interrumpe la línea aunque no demuestre que la trayectoria salió de la vecindad. Borrar la fila ausente y tratar como consecutivas las observaciones restantes comprime el tiempo y puede fabricar continuidad. Mantener las marcas temporales permite distinguir un retorno fallido de uno que no pudo observarse. Una comparación entre registros con distinta disponibilidad necesita conservar esa distinción al interpretar sus longitudes.

Incluso con muestreo regular, conocer estados próximos en varias ocasiones no demuestra que las trayectorias permanecieran próximas durante todo el intervalo entre ellas. La interpretación continua necesita información sobre la dinámica y la resolución del registro. Los resúmenes de líneas describen primero las comparaciones observadas; atribuirles duraciones físicas completas exige un paso adicional.

Para cerrar la comparación del cuadrado ampliado, conservemos el objetivo original de contar encuentros a distancia no mayor que una unidad instrumental y separados por más de una ocasión. El recorrido pequeño produce cuarenta y ocho recurrencias entre setenta y dos comparaciones y el ampliado, dieciséis. Si la pregunta pasa a ser la organización del mismo porcentaje de vecinos, los umbrales uno y dos generan matrices idénticas. Los resultados responden a dos preguntas distintas. Para distinguirlas hacen falta el umbral aplicado, el denominador admisible y la matriz efectivamente contada.

Referencias

Eckmann, J.-P., Kamphorst, S. O., & Ruelle, D. (1987). Recurrence plots of dynamical systems. Europhysics Letters, 4(9), 973–977. https://doi.org/10.1209/0295-5075/4/9/004

Kraemer, K. H., Donner, R. V., Heitzig, J., & Marwan, N. (2018). Recurrence threshold selection for obtaining robust recurrence characteristics in different embedding dimensions. Chaos, 28(8), 085720. https://doi.org/10.1063/1.5024914

Kraemer, K. H., & Marwan, N. (2019). Border effect corrections for diagonal line based recurrence quantification analysis measures. Physics Letters A, 383(34), 125977. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2019.125977

Marwan, N. (2011). How to avoid potential pitfalls in recurrence plot based data analysis. International Journal of Bifurcation and Chaos, 21(4), 1003–1017. https://doi.org/10.1142/S0218127411029008

Marwan, N., Romano, M. C., Thiel, M., & Kurths, J. (2007). Recurrence plots for the analysis of complex systems. Physics Reports, 438(5–6), 237–329. https://doi.org/10.1016/j.physrep.2006.11.001

Theiler, J. (1986). Spurious dimension from correlation algorithms applied to limited time-series data. Physical Review A, 34(3), 2427–2432. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.34.2427