Renormalización: transformar el modelo al cambiar de escala

COMPLEXA · Ciencias de la Complejidad y Teoría del Caos
Módulo 17. Renormalización, universalidad y descripción multiescala

163.1. Qué conservar al eliminar detalle

La renormalización construye una descripción efectiva de un sistema después de reducir el número de variables con que se describe. Su exigencia central es conservar las predicciones sobre las variables que permanecen accesibles. Cuando se elimina detalle microscópico, también debe transformarse la distribución estadística que asigna probabilidades a las configuraciones observables. Esa transformación determina las interacciones del modelo efectivo y precisa el significado de cambiar de escala.

En un sistema de muchos componentes, diferentes configuraciones microscópicas pueden producir el mismo estado observable a resolución gruesa. Una magnetización de bloque, por ejemplo, reúne información de numerosos espines. La probabilidad de ese resultado depende de todas las configuraciones compatibles y de sus pesos estadísticos. Seleccionar una configuración representativa omite, en general, contribuciones que afectan a las fluctuaciones y a las correlaciones entre bloques vecinos.

Un cambio de resolución puramente geométrico deja pendiente ese problema probabilístico. Si se agrupan sitios y se mantienen los parámetros iniciales, el nuevo modelo puede asignar probabilidades incorrectas a los estados retenidos. Integrar los grados de libertad descartados modifica los acoplamientos y puede generar interacciones ausentes en la descripción original. La complejidad del modelo se redistribuye entre el número de variables y la estructura de sus dependencias.

Designaremos por $s$ la configuración microscópica completa y por $S$ una configuración efectiva. Una regla de reducción especifica cómo se obtiene $S$ a partir de $s$; puede ser determinista o probabilística. Con esa regla, la distribución microscópica induce una distribución sobre las nuevas variables. Esta operación permite formular con precisión qué información se conserva y cuál deja de distinguirse en el nivel efectivo.

El criterio de conservación vale para observables definidos en ese nivel. En una decimación exacta, que retiene ciertos espines y suma sobre los restantes, las correlaciones entre sitios retenidos deben coincidir exactamente con las del modelo inicial. Un observable que depende de espines eliminados requiere información adicional o su representación efectiva, porque conocer los espines retenidos no garantiza recuperarlo directamente.

La organización de variables en bloques y la comparación entre escalas forman parte del desarrollo conceptual de Kadanoff (1966) y Wilson (1971). Aquí se aislará primero el mecanismo estadístico elemental (definir variables efectivas, sumar sobre el detalle y expresar el resultado en una nueva unidad de longitud). La cadena de Ising es un ejemplo en el que estas operaciones pueden verificarse mediante identidades exactas.

163.2. Modelo microscópico de Ising en equilibrio

El modelo de Ising asigna un espín $s_i=\pm1$ a cada sitio $i$; la configuración $s$ reúne todos los espines. La geometría, el número de sitios y las condiciones de frontera determinan los pares de primeros vecinos. Con interacciones y campo uniformes, el Hamiltoniano es

$H$ se mide en energía; $\langle ij\rangle$ cuenta cada enlace una vez, $J$ es la energía de acoplamiento y $h$ la energía de campo por espín. Si $J>0$, los espines alineados tienen menor energía; es el caso ferromagnético de los ejemplos de la cadena.

En equilibrio, a temperatura absoluta $T$, $\beta=1/(k_B T)$ ($k_B$, constante de Boltzmann); el acoplamiento adimensional es $K=\beta J$, el campo adimensional $u=\beta h$ y la acción adimensional $\mathcal H=\beta H$. En el exponente de Boltzmann aparece la acción adimensional

La función de partición suma los pesos de todas las configuraciones (para $N$ espines binarios sin restricciones hay $2^N$ términos) y, al normalizar esos pesos, se obtiene la distribución de Gibbs

La esperanza de un observable es la suma de sus valores ponderados por estas probabilidades.

La transformación compara exponentes adimensionales; interpretar parámetros efectivos como energías requiere especificar temperatura y convenciones. Puede mantenerse la temperatura física mientras cambian los coeficientes; un nuevo $K$ no implica calentamiento experimental. Sumar una constante $C$ a $\mathcal H$ multiplica $Z$ por $e^{-C}$, sin alterar probabilidades normalizadas, pero cambia la energía libre $F=-k_B T\ln Z$. Omitir esa constante puede preservar correlaciones y, aun así, alterar cantidades termodinámicas absolutas; en la decimación surge un factor multiplicativo por cada espín integrado.

La derivación exacta usará una cadena con campo nulo y frontera periódica, que permite factorizar la suma sobre sitios alternos. Con campos, enlaces de frontera u otros términos se revisa la acción resultante, aunque se mantenga la suma de pesos estadísticos.

163.3. La regla de coarse-graining

El coarse-graining se define mediante un núcleo condicional $T(S\mid s)$, no negativo y normalizado para cada configuración microscópica $s$

El núcleo asigna probabilidades a las configuraciones efectivas $S$. En la decimación, que es determinista, el núcleo vale uno si $S$ coincide con los espines seleccionados de $s$ y cero en otro caso. La regla de mayoría elige el signo predominante de cada bloque y requiere una convención para los empates; también caben reglas probabilísticas. Estas opciones definen variables efectivas distintas y, desde un mismo sistema microscópico, acciones diferentes.

Llamaremos $\mathcal H_{\mathrm{micro}}$ a la acción adimensional inicial y $\mathcal H_{\mathrm{ef}}$ a la efectiva. El peso reducido suma las contribuciones microscópicas compatibles con $S$; su logaritmo negativo define la nueva acción

Al sumar sobre $S$ e intercambiar las sumas finitas, la normalización del núcleo recupera exactamente la suma microscópica. Por ello, sin exigir que ambas acciones compartan forma funcional, se conserva la función de partición

Al dividir los pesos por $Z$ se obtiene $P_{\mathrm{ef}}(S)=\sum_s T(S\mid s)P(s)$. Así, cualquier función de las variables efectivas tiene la misma esperanza bajo esta distribución que al muestrear $s$ y aplicar el núcleo; la equivalencia especifica el observable y su interpretación en la escala original.

La igualdad exacta de pesos sin normalizar fija la constante aditiva. Si se resta para simplificar la acción, debe guardarse el factor que modifica la partición. Las probabilidades normalizadas pueden bastar para ciertas correlaciones, pero la energía libre exige recuperar la constante y contabilizar su acumulación en cada transformación. El núcleo forma parte del esquema junto con el reescalado y las aproximaciones. Separar la reducción exacta de una proyección sobre pocos parámetros evita atribuir al coarse-graining los errores de descartar términos de la acción efectiva y da una referencia para evaluar cálculos analíticos o numéricos.

Transformar también los observables

La decimación permite calcular observables de espines eliminados si se conserva su distribución condicional. Dadas las variables vecinas retenidas, la media de un espín intermedio se obtiene de sus dos pesos posibles

Cuando los vecinos tienen signos opuestos, ambos valores del espín intermedio pesan lo mismo y la media condicional es cero. Cuando coinciden, la media tiene su signo y una magnitud menor que uno a temperatura positiva. El observable microscópico queda representado por una función de dos variables efectivas. Su esperanza puede calcularse en la distribución reducida exacta, sin reintroducir explícitamente todas las configuraciones eliminadas.

La nueva función reproduce una esperanza y deja sin determinar el valor concreto que tenía el espín en una realización microscópica. Para calcular una varianza o una correlación hay que transformar los productos correspondientes; multiplicar medias condicionales solo es válido en casos particulares. Dos espines eliminados pueden ser condicionalmente independientes en una geometría sencilla y dejar de serlo en otra.

Una transformación de parámetros que omite la de los observables es, en consecuencia, incompleta como receta de comparación. Al medir magnetización por sitio, energía por enlace o correlación entre regiones hay que contar, además, cuántos sitios o enlaces originales agrupa cada término. Las cantidades extensivas y sus densidades siguen reglas de normalización diferentes. Una igualdad entre acciones efectivas no elimina esa contabilidad.

En una aproximación truncada, estas identidades son controles selectivos. Puede ajustarse el acoplamiento para reproducir una correlación vecina y comprobar después otra a distancia mayor. Una discrepancia sistemática señala información que el ajuste no retuvo. Añadir un operador y repetir la comparación permite evaluar si el aumento de complejidad mejora precisamente las predicciones que motivaron el modelo.

La reconstrucción condicional puede extenderse a una energía local. Se calcula primero su promedio condicionado a las variables retenidas y después se promedia ese resultado con la distribución efectiva. La ley de la esperanza iterada garantiza la igualdad cuando la reducción es exacta. En una simulación reducida, ese observable transformado puede tener una varianza distinta del estimador microscópico original, aunque ambos compartan la misma media. Así, conservar el valor esperado no implica conservar el coste estadístico de estimarlo. Al comparar algoritmos conviene indicar el sesgo del modelo, la dispersión del estimador utilizado y su correlación temporal.

163.4. Integrar variables y reescalar coordenadas

Integrar variables y reescalar coordenadas son operaciones distintas. La primera construye la distribución efectiva y la segunda expresa la geometría en unidades comparables a las iniciales. Separarlas explica por qué cambia una longitud numérica aunque, tras una reducción exacta, permanezca inalterada la distancia física del mismo fenómeno.

Sea $a$ la separación física entre sitios y $b>1$ el factor lineal de agrupación; los sitios efectivos corresponden a regiones separadas por $ba$. En la decimación alterna de una cadena, $b=2$ y los sitios retenidos consecutivos distaban dos enlaces. Se conserva la extensión física, salvo convenciones en fronteras finitas.

Si $x$ mide posiciones en unidades de la separación original, la coordenada efectiva es $x'=x/b$. Los sitios retenidos quedan separados por una unidad y así pueden compararse acciones sobre redes con la misma unidad convencional. El reescalado modifica únicamente la regla de medición y se resume en

La longitud de correlación $\xi$ mide el alcance espacial del decaimiento de las fluctuaciones en unidades de la red microscópica; su longitud física es $\ell_{\mathrm c}=a\xi$. Si una transformación exacta conserva el decaimiento a grandes distancias, en la red efectiva se cumple

La disminución de $\xi$ en unidades de red no implica perder correlación física entre puntos retenidos, porque cada paso efectivo corresponde a una distancia física mayor. La comparación exige identificar el mismo par de regiones o espines conservados.

Al reemplazar bloques por variables colectivas, los observables pueden requerir factores de normalización; una suma de espines y un promedio por bloque tienen amplitudes distintas aunque describan fluctuaciones relacionadas. El reescalado fija la comparación espacial y la definición del campo efectivo fija la de amplitudes. En la decimación de espines individuales no se añade normalización a sus valores binarios.

Esta contabilidad de unidades prepara la comparación entre escalas de la teoría de fenómenos críticos (Kadanoff, 1966; Wilson, 1971). En el ejemplo exacto siguiente, sumar sobre sitios alternos dará el nuevo acoplamiento y el factor de partición; el reescalado permitirá verificar que $\xi$ se divide por dos mientras la longitud física permanece consistente.

163.5. Decimación exacta de la cadena de Ising

Consideremos una cadena de $N$ espines, con $N$ par, campo nulo y frontera periódica $s_{N+1}=s_1$. Su acción adimensional es $\mathcal H=-K\sum_{i=1}^{N}s_i s_{i+1}$. Retenemos los sitios impares, $S_j=s_{2j-1}$, y sumamos sobre los pares. Cada espín eliminado aparece solo en los enlaces con sus dos vecinos retenidos, de modo que las sumas se factorizan.

Fijados $s_1$ y $s_3$, la suma local depende de su producto. Si $s_1s_3=1$, su suma es $\pm2$ y el peso vale $2\cosh(2K)$; si $s_1s_3=-1$, la suma es cero y el peso vale $2$. Estos dos casos, los únicos posibles, definen el factor positivo $A$ y el acoplamiento $K'$ mediante

Dividir las dos igualdades fija el acoplamiento y multiplicarlas fija $A$; para todo $K$ real se obtiene la identidad exacta

En el caso ferromagnético, $K'\geq0$ y, para $K>0$ finito, $K'<K$.

Sea $M=N/2$, con frontera periódica $S_{M+1}=S_1$. Cada uno de los $M$ espines eliminados da un factor $A$. La multiplicidad de enlaces se mantiene incluso cuando la cadena reducida tiene muy pocos sitios; la acción efectiva conserva los primeros vecinos y suma la constante extensiva

Si $Z_M(K')$ es la partición reducida sin la constante, la relación entre particiones es $Z_N(K)=A^M Z_M(K').$

La constante debe acompañar el cálculo de la energía libre. Este cierre en un único acoplamiento es propio de la cadena sin campo y no se obtiene automáticamente en otras geometrías. Tras eliminar los pares, los espines retenidos distan físicamente $2a$; reescalar las coordenadas restablece la unidad de red convencional.

163.6. Ejemplos numéricos y longitud de correlación

La identidad de decimación transforma $K=0{,}5$ en $K'\approx0{,}2168904$ y $K=1$ en $K'\approx0{,}6625014$. De ella se deduce

relación que expresa que la correlación entre nuevos vecinos corresponde a dos pasos de la cadena microscópica.

En una cadena infinita con temperatura $T>0$, la correlación a distancia $r$ es $\langle s_0s_r\rangle=(\tanh K)^r$. Al escribirla como decaimiento exponencial se obtiene la longitud de correlación, medida en pasos de la red microscópica

Como $\tanh K'=(\tanh K)^2$, la longitud en la red efectiva se reduce exactamente a la mitad

En efecto, un sitio retenido a distancia $m$ corresponde a la distancia microscópica $2m$ y ambas redes asignan la misma correlación a ese par físico.

Verificar una decimación conservando la normalización

Una cadena pequeña permite examinar la transformación completa sin recurrir a simulaciones. Consideremos cuatro espines con frontera periódica, sin campo. El exponente de Boltzmann es $K(s_1s_2+s_2s_3+s_3s_4+s_4s_1)$. Hay dieciséis configuraciones. Dos tienen todos los espines alineados y suman cuatro en los productos vecinos; las dos alternantes suman menos cuatro. Las doce restantes tienen dos enlaces alineados y dos opuestos, de modo que su suma es cero.

La función de partición se obtiene enumerando esos tres grupos $Z_4(K)=2e^{4K}+12+2e^{-4K}.$

Para $K=0{,}5$, el resultado es aproximadamente $27{,}0488$, una suma de pesos relativos. Solo a temperatura infinita, donde $K=0$, todos los pesos valen uno y $Z_4$ cuenta las dieciséis configuraciones.

Retengamos los espines uno y tres y sumemos sobre los otros dos. Cada espín eliminado conecta el mismo par retenido, aunque por lados diferentes del anillo. Cada suma produce el factor $A e^{K's_1s_3}$. Por tanto, el modelo de dos espines tiene un exponente total $2K's_1s_3$. Este factor dos es indispensable porque el anillo reducido de dos sitios conserva dos enlaces de la cadena original. Se obtiene así

Usando $2K'=\ln\cosh(2K)$, el producto puede simplificarse algebraicamente hasta recuperar la expresión enumerada. Si tratáramos los dos sitios como una pareja con un solo enlace, aparecería $4\cosh K'$ y la igualdad fallaría. El error vendría de modificar la geometría durante la reducción.

En una cadena periódica de longitud par, contabilizar el factor de cada espín eliminado da la identidad general

Descartar el primer término puede dejar correctas ciertas probabilidades normalizadas de los espines retenidos y, al mismo tiempo, alterar la energía libre. En efecto, $F=-k_BT\ln Z$, de modo que los factores multiplicativos de la partición se convierten en contribuciones aditivas a esa magnitud. Comparar únicamente imágenes de configuraciones o un valor de correlación no comprueba que se haya conservado toda la información necesaria.

El parámetro $K'$ tampoco debe identificarse automáticamente con una nueva temperatura física del material. En esta construcción hemos sumado variables dentro de una distribución a una temperatura dada. Si queremos escribir el Hamiltoniano efectivo con el mismo $\beta$, definimos $J'=K'/\beta$. Una reinterpretación alternativa puede cambiar unidades o parametrizaciones, pero debe explicar cómo se traducen los observables entre las dos descripciones.

Las fronteras dan otra comprobación útil. En la cadena infinita, la correlación a distancia $r$ es $(\tanh K)^r$. En un anillo finito de $N$ sitios, para $0\leq r\leq N$, aparece además la contribución del recorrido por el otro lado del anillo

La diferencia es pequeña cuando los dos puntos están lejos de sentir la periodicidad y la longitud de correlación es reducida frente al tamaño total. Cerca del régimen fuertemente correlacionado puede ser importante. Usar la fórmula infinita para verificar una cadena corta podría atribuir a la decimación un error debido al cambio de las condiciones de comparación.

Para los espines retenidos del anillo de cuatro sitios, la distancia original es dos y la correlación vale $2t^2/(1+t^4)$. En el anillo reducido, la distancia es uno y $\tanh K'=t^2$, por lo que la expresión finita produce exactamente el mismo resultado. La coincidencia confirma que se comparan los mismos espines físicos, ahora vecinos en la red gruesa.

Con campo externo, la suma de un espín intermedio contiene $2\cosh[K(s_1+s_3)+u]$, donde $u$ es el campo adimensional de ese sitio. Los pesos de vecinos ambos positivos y ambos negativos dejan de coincidir. Para representar el resultado harán falta contribuciones de campo además del acoplamiento, con una asignación cuidadosa de los campos de los sitios retenidos. Mantener la fórmula de campo nulo después de introducir el campo alteraría la distribución efectiva.

Esta observación permite distinguir dos fuentes de error. Una es algebraica y procede de normalizaciones o factores geométricos incorrectos. La otra es de representación y consiste en exigir que el modelo transformado pertenezca a una familia demasiado restringida; puede surgir incluso cuando todas las sumas se calcularon exactamente. En redes más generales, las nuevas interacciones deben registrarse antes de decidir cuáles pueden omitirse.

La comparación entre observables también debe respetar la regla de agregación. Una regla de mayoría transforma varios espines en una variable nueva; una decimación conserva algunos espines originales. Ambas reducen el número de variables, pero la magnetización de los bloques y la de los sitios retenidos no son intercambiables sin una relación adicional. Incluso sus normalizaciones por volumen pueden ser distintas.

163.7. Nuevas interacciones generadas

El cierre exacto de la cadena de Ising sin campo depende de su conectividad, porque eliminar un espín con dos vecinos produce una función de esos dos espines exteriores. En una red bidimensional, un sitio puede conectar con más vecinos retenidos; al sumarlo, el peso conjunto suele requerir varios tipos de interacción para expresarse como acción efectiva completa.

Considérese, sin campo, un espín central $\sigma$ conectado con cuatro espines retenidos $S_1,\ldots,S_4$. La suma local es $2\cosh[K(S_1+S_2+S_3+S_4)]$ y su logaritmo negativo es la contribución a la acción

Esta contribución es par y, al expresarla mediante productos binarios, aparecen términos de pares y de cuatro espines, además de una constante.

Podemos calcular esos términos sin ajustar parámetros. Escribamos el logaritmo del peso como $c_0+c_2\sum_{\alpha<\beta}S_\alpha S_\beta+c_4S_1S_2S_3S_4$. Las configuraciones con cuatro signos iguales, tres iguales y uno opuesto, o dos de cada signo dan tres ecuaciones independientes. Su solución es

La contribución a la acción tiene el signo opuesto al logaritmo del peso. Para $K=0{,}5$, los coeficientes del logaritmo son $c_2\approx0{,}165625$ y $c_4\approx-0{,}051265$. El término de cuatro espines es distinto de cero, aun cuando el modelo microscópico solo contenía pares. Ningún ajuste de una constante y un único coeficiente de pares puede reproducir simultáneamente los tres pesos si se elimina ese término. A acoplamiento pequeño aparece en orden $K^4$, pues $c_4=-2K^4+O(K^6)$. Una truncación perturbativa puede aprovechar esa jerarquía, siempre dentro del intervalo donde los órdenes omitidos son pequeños.

Los pares generados pueden unir sitios que no eran vecinos. Al repetir el coarse-graining, pueden aumentar el alcance y la variedad de interacciones. Con campo nulo y una regla compatible con la inversión global, las simetrías excluyen productos de un número impar de espines, aunque siguen permitiendo numerosas interacciones.

En dos dimensiones no existe un mapa cerrado exacto general sobre los pocos parámetros del Hamiltoniano inicial. Wilson (1971) sitúa la transformación en un espacio amplio de interacciones, en el que los coeficientes cambian y pueden aparecer términos nuevos al variar la escala. Los cálculos prácticos eligen una representación manejable y explicitan qué contribuciones desprecian.

La acción puede organizarse como suma de operadores $O_\alpha(S)$ con coeficientes $g_\alpha$. Cada operador es, por ejemplo, un enlace de cierto alcance o un producto multiespín de geometría determinada; $\alpha$ distingue esas estructuras y la constante cuenta como otro término. La transformación exacta actúa sobre todos los coeficientes compatibles con el modelo y sus simetrías; la acción efectiva resultante es

Una aproximación restringe la acción a una familia o ansatz (por ejemplo, enlaces entre primeros vecinos y un campo uniforme). Los términos restantes se descartan o se incorporan indirectamente mediante un ajuste. El mapa de pocos parámetros incorpora así una proyección cuya precisión depende de los observables, la escala y la región de parámetros estudiada.

Conservar exactamente la partición antes de proyectar no garantiza que la acción truncada reproduzca todas las correlaciones. Puede ajustarse una constante para igualar la partición y aun mantener errores en otras cantidades. La truncación se evalúa comparando predicciones independientes o ampliando sistemáticamente los operadores. Separar reducción y truncación localiza el origen de las discrepancias.

163.8. Repetición de la transformación y estructura de semigrupo

Una transformación de escala puede aplicarse al modelo efectivo de la etapa anterior. Si la primera produce variables $S$ y la segunda, variables más gruesas $U$, la regla condicional compuesta desde las configuraciones microscópicas es

Los núcleos $T_1$ y $T_2$ corresponden a las dos etapas. Si ambos están normalizados, también lo está la composición. Por la asociatividad de las sumas, sumar primero sobre $S$ o integrar sucesivamente da el mismo peso final, siempre que se conserven todos los términos y factores de normalización.

Para una familia compatible de coarse-graining y reescalado, las transformaciones $\mathcal R_b$ se etiquetan por el factor espacial $b$. Dos etapas de factores $b_1$ y $b_2$ dan el factor total $b_1b_2$ si la regla directa coincide con su composición

aunque otra partición en bloques puede definir un esquema distinto.

La familia $\mathcal R_b$ es un semigrupo porque la reducción tiene una dirección privilegiada. Distribuciones microscópicas distintas pueden inducir la misma distribución efectiva, ya que el núcleo deja de distinguir sus diferencias internas. De ahí que la acción efectiva y la regla de agrupación no permitan reconstruir de forma única las distribuciones originales ni definir una inversa general.

Esta falta de inversa es distinta de la invertibilidad algebraica de una relación particular entre parámetros. En la cadena ferromagnética, $K'$ permite recuperar $K$ si se presupone la familia microscópica original; esa restricción no reconstruye configuraciones eliminadas ni da una inversa única en el espacio general de modelos y distribuciones con la misma descripción reducida.

En la cadena, si $K_n$ es el acoplamiento tras $n$ decimaciones, $\tanh K_n=(\tanh K_0)^{2^n}$, donde $K_0$ es el inicial. A temperatura positiva y acoplamiento finito, $K_n$ tiende a cero. La longitud de correlación cumple $\xi_n=\xi_0/2^n$ en unidades de la red de cada etapa. Las constantes de la acción se acumulan y deben conservarse para recuperar la partición original.

El índice de iteración ordena descripciones espaciales del mismo equilibrio. No es un tiempo físico ni describe una trayectoria de relajación de los espines, que requeriría reglas temporales adicionales. Truncar la acción en cada etapa introduce errores de proyección; el resultado puede diferir de una reducción exacta seguida de una única truncación final. Esa diferencia pertenece al procedimiento aproximado y debe evaluarse por separado.

163.9. Verificación

La verificación distingue identidades de definición, cálculos exactos y aproximaciones de representación. En una cadena corta, la enumeración de todas las configuraciones permite calcular sus pesos y agruparlos según los espines retenidos; esa suma es una referencia independiente para la acción efectiva. La comparación mantiene iguales el número de enlaces, las condiciones de frontera y las convenciones de normalización.

Para una cadena periódica con número par de sitios, cada peso agrupado se compara con el producto de factores locales obtenido por decimación y, al sumar sobre las configuraciones retenidas, se verifica la identidad $Z_N(K)=A^{N/2}Z_{N/2}(K').$

Al usar la acción reducida sin constante se incluye el factor $A^{N/2}$; omitirlo modifica la partición, aunque la distribución normalizada de los espines conservados siga siendo correcta.

Una comprobación global usa la matriz de transferencia de la cadena sin campo, cuyos autovalores son $2\cosh K$ y $2\sinh K$. Con frontera periódica, la partición es la suma de sus potencias de orden $N$,

una expresión finita que incluye las contribuciones del cierre del anillo y evita aplicar una fórmula válida solo en el límite de tamaño infinito.

Las correlaciones prueban algo distinto de la partición. Para cualquier función $f$ de los espines retenidos, su esperanza con la acción efectiva exacta coincide con la esperanza microscópica de esa misma función

En la decimación, las nuevas variables son espines originales seleccionados, de modo que la identificación es literal. Se comprueban productos de dos espines y de orden superior, así como distribuciones conjuntas de pequeños conjuntos retenidos.

El núcleo se normaliza para cada configuración microscópica antes de promediar; una regla determinista asigna cada configuración a un único estado efectivo y, en una probabilística, las probabilidades de todos los resultados suman uno. Así se conserva el peso total, aunque esto no garantiza que una acción truncada prediga con precisión los observables elegidos.

Campos y fronteras requieren controles propios. Un campo distinto de cero cambia la suma local y puede generar campos efectivos y nuevos acoplamientos. En una cadena abierta, los extremos no reciben las mismas contribuciones que los sitios interiores; incluso un anillo muy corto exige respetar la multiplicidad de enlaces heredada. Reemplazar estas geometrías por una cadena infinita cambia el problema y puede causar discrepancias ajenas a la transformación exacta.

Los parámetros efectivos dependen del esquema y pueden diferir entre reglas de reducción. La comparación físicamente significativa identifica variables, distancias y observables correspondientes. Dentro de ese dominio, la transformación exacta produce predicciones consistentes con el modelo inicial; si hay truncación, la enumeración y las correlaciones retenidas permiten medir errores y determinar qué aspectos requieren una familia de interacciones más amplia.

163.10. Alcance y continuación

En la cadena ferromagnética de Ising con interacciones de corto alcance y campo nulo no hay transición de fase a temperatura finita; para todo $T>0$, $K=J/(k_B T)$ es finito y también lo es la longitud de correlación. El comportamiento singular propio del orden aparece únicamente en $T=0$. Bajo iteraciones de decimación, todo acoplamiento ferromagnético finito tiende a cero y la longitud de correlación disminuye en unidades de la red efectiva; el límite de acoplamiento infinito, con longitud divergente, requiere un tratamiento separado. Este ejemplo exacto delimita el alcance físico de los resultados del capítulo.

Un punto fijo es una acción o conjunto de parámetros $\boldsymbol g_\ast$ que cumple $\mathcal R_b(\boldsymbol g_\ast)=\boldsymbol g_\ast$ para una transformación de escala especificada y sus convenciones de normalización. La constante aditiva de la acción se contabiliza aparte al comparar energías libres de sistemas con distinto número de variables. El análisis de perturbaciones distingue direcciones que crecen, disminuyen o requieren estudio adicional y prepara el de leyes de escala y universalidad; aquí no se calculan exponentes críticos ni se clasifican por completo los puntos fijos.

La universalidad describe coincidencias macroscópicas entre sistemas con distintos detalles microscópicos bajo condiciones especificadas. Explicar qué diferencias persisten a gran escala conduce desde la organización en bloques de Kadanoff (1966) al espacio de interacciones de Wilson (1971), más allá de la cadena exactamente resoluble. El siguiente capítulo estudiará el mapa cerca de puntos fijos mediante su linealización, autovalores y transformación de observables, manteniendo explícitas simetrías, núcleo, unidades espaciales y truncaciones. En ese análisis, la constante acumulada controla la energía libre y los operadores efectivos permiten comparar correlaciones y respuestas.

Referencias

Kadanoff, L. P. (1966). Scaling laws for Ising models near Tc. Physics Physique Fizika, 2, 263–272. DOI.

Wilson, K. G. (1971). Renormalization group and critical phenomena. I. Renormalization group and the Kadanoff scaling picture. Physical Review B, 4, 3174–3183. DOI.