Identificar ecuaciones espaciales y leyes de conservación

Una región puede perder materia porque esta cruza su frontera o porque una reacción la transforma dentro de ella. Un mapa de concentraciones muestra dónde disminuye la señal, pero esa disminución es compatible con más de un mecanismo. La misma dificultad aparece con la energía, la población o la carga. En todos estos casos hay que relacionar la evolución del campo con los intercambios entre regiones y con las contribuciones que actúan en su interior.

Al identificar una ecuación espacial, los datos aportan algo más que una sucesión de estados. Incluyen también distancias, orientaciones y una geometría de observación. La derivada temporal se compara con cambios espaciales del campo, cuyos valores dependen de la resolución y de cómo se registraron las posiciones. Una ecuación inferida tiene que dar sentido conjunto a esas cantidades.

La distinción entre flujo y fuente organiza el problema y revela qué puede conocerse con una observación determinada. Una evolución completa, medida sin error, puede ser compatible con ecuaciones diferentes. Construiremos un ejemplo en el que transporte, difusión y reacción producen una señal sencilla y en el que modificar el perfil inicial permite separar dos mecanismos que estaban confundidos.

El balance de una región

Sea $q(x,t)$ la densidad de una cantidad sobre una línea. Su integral entre dos posiciones mide la cantidad contenida en ese intervalo. Si $J(x,t)$ es el flujo orientado hacia posiciones crecientes y $s(x,t)$ la producción por unidad de longitud y tiempo, el balance sobre un intervalo fijo es

El flujo que entra por el extremo izquierdo aumenta el contenido y el que sale por el derecho lo reduce. Una fuente positiva añade cantidad y una negativa la retira. Si la cantidad se mide en unidades de masa, la densidad tiene unidades de masa por longitud, el flujo de masa por tiempo y la fuente de masa por longitud y tiempo. Todos los términos del balance tienen entonces las mismas unidades.

Cuando las funciones tienen suficiente regularidad y la igualdad vale para cualquier intervalo, obtenemos la forma local $q_t+\partial_xJ=s$. En varias dimensiones la derivada espacial se convierte en la divergencia del flujo y el intercambio se integra sobre la frontera con su normal exterior. La igualdad en un único dominio completo es una restricción más débil, porque puede ocultar contribuciones interiores que se cancelan.

LeVeque (2002) desarrolla la relación entre estas formulaciones y la construcción de métodos de volúmenes finitos, con el balance de cantidades integradas como punto de partida. La forma diferencial requiere interpretar adecuadamente las derivadas, mientras que la integral sigue siendo útil cuando un campo presenta discontinuidades. Para descubrir una ecuación, esa elección determina qué magnitudes deben estimarse a partir de las observaciones.

Consideremos tres celdas consecutivas de longitud uno, con densidades medias iniciales de dos, uno y tres. Los flujos por sus cuatro caras, ordenadas de izquierda a derecha, valen $0{,}3;\ 0{,}8;\ 0{,}2$ y $0{,}1$; las fuentes medias son $0{,}1;\ 0$ y $-0{,}1$. Todos son valores didácticos expresados en unidades compatibles.

La primera celda cambia a una tasa de $-0{,}4$, porque recibe menos de lo que entrega aunque tiene una fuente positiva. La segunda cambia a $0{,}6$ y en la tercera la entrada neta compensa la extracción local, con una tasa nula. Al sumar, las caras compartidas desaparecen del balance porque cada flujo sale de una celda y entra en la siguiente.

Si esos flujos y fuentes permanecen constantes durante medio tiempo unitario, las densidades pasan a $1{,}8;\ 1{,}3$ y $3$ y el contenido total aumenta de seis a $6{,}1$. La ganancia procede de la diferencia entre el flujo de entrada y el de salida durante ese intervalo. Las fuentes se compensan globalmente, aunque están presentes y modifican los balances locales.

Esta cancelación muestra por qué conservar el total no basta para concluir que no existen fuentes. Del mismo modo, una pérdida total puede proceder de una salida por la frontera sin que haya una reacción de consumo. Las mediciones de flujo y las hipótesis sobre los extremos forman parte de la identificación, incluso cuando el interés principal está en los coeficientes interiores.

Existe además una libertad de representación. En una dimensión, añadir al flujo una función del tiempo que sea constante en el espacio no cambia su derivada espacial, así que los datos interiores de densidad no distinguen esa adición. Un flujo absoluto conocido en una frontera puede fijarla; en varias dimensiones aparecen libertades relacionadas con campos de divergencia nula. Si la ecuación y las condiciones pertinentes permanecen iguales, lo único que ha cambiado es una representación del flujo que esos datos no determinaban.

La separación entre flujo y fuente necesita restricciones adicionales cuando ambos se desconocen. Una medición de $q_t$ determina la combinación $-\partial_xJ+s$ y, si admitiéramos funciones arbitrarias para los dos, podríamos añadir una función espacial al flujo y compensar su derivada en la fuente sin que la densidad cambiara su evolución. Medir intercambios, conocer una reacción o restringir la dependencia del flujo respecto del campo reduce esa libertad. La forma de balance organiza las hipótesis, pero no resuelve por sí sola una descomposición sin restricciones.

También importa qué cantidad se integra. La intensidad de una imagen puede ser proporcional a una densidad dentro de un rango de calibración y dejar de serlo cuando el detector satura, de manera que sumar intensidades en ese segundo régimen no da automáticamente el contenido físico de la región. Antes de usar la conservación como criterio de ajuste hay que establecer la relación entre la señal y la cantidad, incluidos factores geométricos como el volumen que corresponde a cada píxel. Una adquisición con celdas desiguales requiere ponderar sus valores por esos volúmenes.

Construir términos con significado espacial

Una estrategia de identificación compara la derivada temporal con una biblioteca de términos candidatos, en la que cada columna contiene un campo evaluado en los puntos disponibles, ya sea la propia variable, una derivada espacial o una combinación de variables y derivadas. Los coeficientes pueden entrar linealmente aunque las columnas describan mecanismos no lineales. Rudy y colaboradores (2017) desarrollaron PDE-FIND siguiendo esta idea y Schaeffer (2017) estudió otra formulación de aprendizaje mediante optimización dispersa.

La biblioteca expresa hipótesis previas sobre el fenómeno. Incluir una segunda derivada equivale a admitir difusión lineal; incluir el producto de la variable por su primera derivada, ciertos transportes no lineales. Excluir una variable medida, una dependencia espacial o una fuente externa obliga al ajuste a explicar sus efectos mediante los términos restantes.

Cuando se conoce una estructura de balance puede construirse directamente una biblioteca de flujos y fuentes. Para coeficientes constantes, un flujo $J=cu-Du_x$ y una fuente $s=\rho u$ dan $u_t=-c u_x+D u_{xx}+\rho u.$

Aquí $c$ es una velocidad, $D$ un coeficiente de difusión y $\rho$ una tasa de crecimiento o decaimiento local. Con $D$ positivo, la difusión transporta la cantidad en sentido opuesto a su gradiente. La contribución de reacción permanece aunque el campo sea espacialmente uniforme, mientras que el transporte por velocidad constante desplaza un perfil sin exigir que cambie su amplitud.

Estas interpretaciones dependen de las restricciones declaradas. Si $D$ varía con la posición, la difusión conservativa es $\partial_x(Du_x)=D u_{xx}+D_xu_x$ y descartar el segundo término cambia la ecuación. Con $D(x)=1+x$ y $u=x^2$, la expresión completa vale cuatro en $x=0{,}5$ y el término $D u_{xx}$ solo vale tres. Una biblioteca mal construida podría atribuir la diferencia a otro transporte.

Las identidades algebraicas también importan. Para campos suaves, $\partial_x(u^2/2)=u u_x$, de modo que introducir ambos términos como columnas independientes genera una redundancia exacta. El procedimiento puede repartir el mismo efecto entre dos coeficientes o seleccionar uno según su normalización. Antes de interpretar el número de términos como complejidad física conviene reducir esas equivalencias y conservar una convención explícita de flujo.

Las simetrías pueden restringir aún más la biblioteca. Si el sistema no distingue direcciones espaciales, una difusión diferente en cada eje necesita una justificación adicional. Esa restricción deja de ser apropiada si existe una dirección impuesta por un material o por una corriente. En varias dimensiones, un tensor de difusión puede describir el intercambio entre direcciones y sus propiedades de positividad limitan qué coeficientes corresponden al mecanismo propuesto.

La selección dispersa decide entre candidatos suministrados y no deduce por sí sola qué cantidad se conserva, a qué campo corresponde el sensor ni qué simetrías debe cumplir la ecuación. Estas decisiones pueden verificarse parcialmente con los datos, pero también pueden requerir información experimental independiente.

La dimensión del espacio observado puede ser menor que la del transporte real. Una imagen plana de un proceso tridimensional no contiene necesariamente las derivadas perpendiculares al plano. Si el campo satisface difusión en tres dimensiones, su evolución sobre la imagen depende también de la segunda derivada en la dirección no registrada. Esa contribución se pierde al ajustar únicamente las dos derivadas visibles. Una fuente estimada en el plano podría corresponder a un intercambio con regiones situadas delante o detrás de él. Identificarla como una reacción local requiere justificar el cierre espacial, por ejemplo mediante una geometría delgada conocida o mediciones adicionales de ese intercambio.

Dos mecanismos que coinciden sobre un perfil

Tomemos la ecuación anterior con $c=0{,}5$, $D=0{,}2$ y $\rho=-0{,}1$ en un espacio periódico de longitud $2\pi$, con unidades fijadas antes del cálculo. Usaremos un campo con signo, que puede interpretarse como una desviación respecto de una referencia, por lo que sus valores negativos no se presentan como concentraciones absolutas negativas.

Con condición inicial $u(x,0)=\cos x$, la solución es

El perfil se desplaza hacia posiciones crecientes y su amplitud disminuye. La primera derivada espacial está desfasada respecto del perfil, pero la segunda satisface exactamente $u_{xx}=-u$. Difusión y reacción contribuyen entonces mediante la combinación $\rho-D=-0{,}3$.

Por tanto, la ecuación con $D=0{,}3$ y $\rho=0$, con la misma velocidad, genera exactamente la misma solución desde esa condición inicial, aunque explique la pérdida de amplitud mediante una difusión mayor sin reacción. Medir ese mismo campo durante más tiempo o en más posiciones no separa ambos coeficientes en el caso ideal, porque la igualdad procede de la forma del perfil.

Puede comprobarse formando una matriz con las columnas $-u_x$, $u_{xx}$ y $u$, evaluadas en sesenta y cuatro posiciones equiespaciadas de un período y en veintiún tiempos entre cero y dos, con derivadas obtenidas de la solución analítica para aislar la cuestión de identificabilidad. La matriz tiene rango dos aunque contiene más de mil filas.

Después de normalizar cada columna a norma uno, sus valores singulares son aproximadamente $1{,}414$, uno y cero; el último señala una dirección de coeficientes que no cambia la predicción de la derivada temporal. La normalización ayuda a comparar las columnas numéricamente, pero no elimina su dependencia, como tampoco la elimina una penalización que elija una solución particular entre las compatibles.

Este problema es distinto de la libertad aditiva del flujo. Las dos ecuaciones de difusión y reacción responden de manera diferente ante otros perfiles y su coincidencia se limita al campo observado. En la libertad de representación la divergencia del flujo permanece igual para la ecuación considerada; aquí, en cambio, difieren operadores que una solución concreta no logra distinguir.

Introduzcamos una segunda condición inicial, $u(x,0)=\cos(2x)$, con los mismos parámetros físicos. Su solución contiene el factor $e^{-0{,}9t}$ porque ahora $u_{xx}=-4u$. Su velocidad de traslación sigue siendo $0{,}5$, aunque la fase espacial cambia el doble por unidad de desplazamiento.

Las tasas de amplitud de los dos ensayos satisfacen $\alpha_1=\rho-D$ y $\alpha_2=\rho-4D$, así que restándolas obtenemos $D=(\alpha_1-\alpha_2)/3=0{,}2$ y, sustituyendo, recuperamos $\rho=-0{,}1$. Al apilar los datos de ambas soluciones la matriz tiene rango tres, con valores singulares normalizados de aproximadamente $1{,}347$, uno y $0{,}430$.

La segunda solución aporta la información que faltaba, una relación diferente entre las columnas, sin necesidad de aumentar artificialmente el tamaño de la primera matriz. Rudy y colaboradores (2017) ilustran un problema relacionado con ondas viajeras que admiten una descripción de transporte más sencilla que la ecuación que las produjo; para distinguir las propuestas, usan soluciones con distintas condiciones iniciales.

En datos reales las columnas rara vez coinciden con precisión matemática. Un valor singular pequeño puede señalar que la separación existe pero es débil frente al error. En ese caso interesan tanto el rango como las escalas de incertidumbre. Las restricciones físicas pueden descartar coeficientes inadmisibles, como una difusión negativa en el modelo propuesto, sin elegir necesariamente entre todas las alternativas restantes.

Una alternativa extrema aclara la utilidad de esa restricción. Los coeficientes $D=-0{,}1$ y $\rho=-0{,}4$ también dan una tasa de $-0{,}3$ para el primer perfil, pero para una ondulación con número de onda tres producen una tasa positiva de $0{,}5$ y el crecimiento aumenta sin límite al elevar el número de onda. Perturbaciones espaciales muy pequeñas y rápidas se amplificarían violentamente. El buen ajuste del perfil inicial ocultaba una ecuación de difusión hacia atrás, inadecuada como modelo evolutivo estable frente a esos errores. Exigir una difusión no negativa incorpora conocimiento físico que los datos del primer ensayo no aportan.

La información del segundo perfil depende además de cuándo se observa. Su amplitud disminuye más rápidamente y después de cinco unidades temporales vale aproximadamente $0{,}0111$, frente a $0{,}2231$ del primero. Con errores instrumentales de desviación estándar $0{,}01$ por lectura, la segunda ondulación está ya en una escala comparable al ruido de cada observación. Promediar puede ayudar, según su dependencia y cantidad, pero observar únicamente tiempos tardíos pierde la parte del experimento que mejor diferenciaba los mecanismos. Un diseño informativo combina excitación espacial y resolución temporal.

Integrar en espacio y tiempo

Las derivadas puntuales pueden evitarse en parte mediante una formulación débil, que multiplica la ecuación por una función de prueba conocida, integra sobre una región de espacio y tiempo y, con una integración por partes, transfiere derivadas hacia esa función. Reinbold, Gurevich y Grigoriev (2020) y Messenger y Bortz (2021) desarrollan métodos de identificación espacial basados en este procedimiento.

Para nuestra ecuación lineal, tomemos una función real $\psi(x,t)$ que se anule en los extremos temporales y que, junto con su primera derivada espacial, se anule en los extremos espaciales de la región. Resulta

Las integrales incluyen el elemento $dx\,dt$. La derivada temporal genera un signo negativo y el transporte, que ya tenía signo negativo en la ecuación, produce uno positivo al integrar una vez; la difusión conserva el signo positivo después de dos integraciones. La observación aparece sin derivadas en todos estos términos.

Las condiciones sobre la función de prueba cumplen un papel concreto, porque para la segunda derivada espacial los términos descartados serían $[\psi u_x-\psi_xu]_a^b$, integrados en tiempo. Anular únicamente $\psi$ no elimina necesariamente la contribución que contiene $\psi_x$. Si la función alcanza la frontera sin satisfacer esas condiciones, las contribuciones deben conservarse y calcularse con la información disponible.

La nulidad de la función de prueba no impone que el flujo físico sea cero. Es una decisión analítica destinada a construir relaciones interiores sin usar el valor del campo ni el de su derivada en los bordes de la región de integración. Esa región puede estar enteramente dentro del dominio observado. Una condición de contorno del problema físico especifica, en cambio, cómo interactúa el sistema con el exterior.

En una comprobación reproducible usamos coordenadas locales $\xi$ y $\eta$, ambas entre menos uno y uno, con la función $\psi=(1-\xi^2)^3(1-\eta^2)^2$, cuyos factores aseguran las anulaciones requeridas. Sus derivadas se calculan analíticamente, incluidos los factores de escala de la región física.

Elegimos tres rectángulos, formados por los intervalos espaciales $[-1{,}2;0{,}4]$, $[0;1{,}4]$ y $[1;2{,}5]$, combinados respectivamente con los intervalos temporales $[0{,}1;0{,}9]$, $[0{,}2;1{,}4]$ y $[0{,}5;1{,}8]$. El punto y coma separa los extremos para no confundirlos con las comas decimales. El espacio negativo del primer rectángulo se interpreta mediante la extensión periódica del campo.

Con el primer perfil, en el primer rectángulo, las tres integrales que multiplican a velocidad, difusión y reacción son aproximadamente $-0{,}155867;\ -0{,}206499$ y $0{,}206499$, con una integral temporal de $-0{,}139883$. Sustituir los coeficientes originales reproduce ese valor, igual que los alternativos, porque la segunda columna sigue siendo la negativa de la tercera.

Con los tres rectángulos y ambos perfiles obtenemos seis ecuaciones débiles cuya resolución recupera $0{,}5;\ 0{,}2$ y $-0{,}1$ dentro de la precisión numérica. Las integrales se calcularon sobre los campos analíticos mediante cuadratura de Gauss-Legendre, con sesenta y cuatro nodos por coordenada. Esta comprobación verifica signos, términos y rango, pero no evalúa el rendimiento con datos experimentales ruidosos.

La formulación débil conserva la ambigüedad del primer ensayo porque integra una identidad que ya era verdadera en cada punto. Puede mejorar la estimación de las relaciones disponibles, pero no introduce ninguna relación independiente que el campo no contenga. Elegir muchas funciones de prueba sobre la misma solución puede reducir ciertos errores sin aumentar el rango relevante.

En aplicaciones, la integración se aproxima a partir de las mediciones. El tamaño y la forma de las funciones de prueba determinan qué escalas se promedian. Un soporte muy pequeño reduce poco el ruido y uno muy grande puede mezclar regiones con coeficientes distintos. Las integrales que comparten observaciones también comparten parte de sus errores, por lo que tratar cada una como una medición independiente puede exagerar la información disponible.

Una elección especial muestra qué puede perderse al integrar. Si la función de prueba es constante en el espacio sobre todo el dominio periódico, las contribuciones de transporte y difusión se anulan y solo queda una relación temporal para la integral del campo. Nuestros dos perfiles tienen integral cero, por lo que ese balance global se cumple sin distinguir ninguno de los coeficientes. Las funciones que varían espacialmente recuperan comparaciones locales que el promedio completo eliminaba.

Podríamos diseñar otro ensayo con un campo inicial uniforme y no nulo. Bajo las mismas condiciones periódicas, transporte y difusión no lo modifican y su evolución depende directamente de la reacción, de manera que, junto con el primer perfil, ese ensayo también separaría los mecanismos. La elección entre observar una segunda ondulación o una concentración uniforme dependería de qué preparación e instrumento fueran posibles. En ambos casos se modifica la relación entre los términos candidatos antes de pedir al ajuste que los distinga.

Resolución, unidades y coordenadas del sensor

La dificultad de derivar un campo ruidoso puede cuantificarse suponiendo errores independientes de desviación estándar $\sigma$ en una rejilla de paso $h$. La diferencia central para la primera derivada tiene una desviación estándar de error $\sigma/(\sqrt2h)$ y la de la segunda derivada es $\sqrt6\sigma/h^2$, porque los pesos del numerador son uno, menos dos y uno.

Con un error de medida de $0{,}01$ y una separación espacial de $0{,}1$, esas desviaciones son aproximadamente $0{,}0707$ y $2{,}449$; si reducimos la separación a $0{,}05$ manteniendo el mismo error por medición, pasan a $0{,}1414$ y $9{,}798$. La aproximación de un campo suave puede tener menor error de discretización y, a la vez, mayor variabilidad por ruido, así que sacar partido de una rejilla más densa requiere una estimación que atienda a ambos efectos.

La biblioteca y la variable objetivo se construyen habitualmente a partir del mismo campo medido, por lo que el error afecta a ambos lados de la regresión y puede estar correlacionado entre columnas. La integración evita ciertas amplificaciones de las derivadas, pero los términos no lineales también transforman el ruido. El cuadrado de una medición con error centrado, por ejemplo, contiene una contribución media igual a su varianza. El modelo de observación sigue siendo relevante.

Los coeficientes necesitan además sus unidades. Si cambiamos a $x=L\xi$, $t=T\tau$ y $u=Uv$, la ecuación se expresa con coeficientes $cT/L$, $DT/L^2$ y $\rho T$, que con escalas $L=2$ y $T=5$ pasan a $1{,}25;\ 0{,}25$ y $-0{,}5$. Describen el mismo mecanismo en otras coordenadas y compararlos sin registrar esa transformación produciría una diferencia artificial.

Normalizar columnas para resolver una regresión introduce otra transformación que debe deshacerse al comunicar los parámetros. Un umbral aplicado a coeficientes normalizados no corresponde directamente a un umbral físico de velocidad o difusión, así que el criterio de selección y la interpretación dimensional deben conservarse por separado durante el cálculo.

También hay que saber si el sensor permanece fijo. Para una cámara que se desplaza a velocidad $v$, la coordenada física es $x=\xi+vt$ y la derivada temporal de la señal en coordenadas de la cámara incluye $v u_x$. En el modelo anterior, la velocidad observada del transporte sería $c-v$ y una cámara que avanza a $0{,}2$ observaría una velocidad relativa de $0{,}3$. Omitir el movimiento del dispositivo cambia el coeficiente inferido.

La variable registrada puede requerir una transformación igualmente explícita. Si una densidad positiva $q$ satisface difusión y observamos $y=\log(q/q_0)$, con $q_0$ una densidad de referencia fija, la ecuación de la observación es $y_t=D(y_{xx}+y_x^2)$, donde el término cuadrático en el gradiente aparece por el cambio de variable. Atribuirlo a una interacción adicional sin examinar la respuesta del sensor confundiría la ecuación observada con la de la densidad física.

El promedio espacial de un sensor introduce otra diferencia. Para una ley no lineal con flujo $u^2/2$, el flujo medio depende del promedio del cuadrado, que en general no coincide con el cuadrado del promedio. Si dos subregiones iguales tienen valores uno y tres, su media es dos, pero el promedio del flujo es $2{,}5$, frente al valor dos que se obtendría aplicando la fórmula a la media.

La diferencia es la mitad de la variación cuadrática dentro de la celda y, cuando esa variación cambia de una posición a otra, contribuye al balance del campo promediado. En una región interior donde un promedio lineal fijo pueda intercambiarse con la derivación, la ecuación filtrada contiene explícitamente ese flujo adicional. Ajustar la misma biblioteca al campo grueso y al fino puede dar coeficientes distintos porque corresponden a resoluciones diferentes. La cuestión experimental pasa a ser si se identifica una ley del campo original o una ecuación efectiva para la escala observada.

Fronteras y frentes que no son suaves

La evolución interior necesita condiciones de contorno para producir una predicción. Una frontera impermeable fija el flujo normal, mientras que una frontera con valor impuesto fija el campo. En un modelo con transporte y difusión, $u_x=0$ no implica flujo nulo, porque con $c=0{,}5$ y $u=2$ el flujo $cu-Du_x$ vale uno aunque el gradiente sea cero.

Si una región pierde cantidad hacia un exterior no observado, imponer artificialmente flujo cero puede hacer que la regresión introduzca una fuente negativa para compensar la pérdida. La ecuación ajustada describiría entonces un error del modelo de frontera. Los sensores próximos a los extremos y las mediciones de intercambio pueden ser más informativos para ese problema que aumentar la densidad de observaciones en el centro.

La forma conservativa cobra un significado adicional ante discontinuidades. Para la ecuación $u_t+\partial_x(u^2/2)=0$, un frente que separa un valor izquierdo de dos y uno derecho de cero se desplaza a velocidad uno, que resulta de dividir el salto del flujo por el salto del estado. Es la condición de Rankine-Hugoniot, obtenida del balance integral alrededor del frente.

En esa discontinuidad no existe la derivada clásica del perfil y la expresión $u u_x$, equivalente al término de flujo para soluciones suaves, necesita una interpretación que respete el balance. Aplicar diferencias locales y regresión como si cada punto fuera suave puede atribuir al frente términos espurios, sobre todo si el instrumento lo resuelve con unos pocos píxeles.

El balance tampoco selecciona siempre una solución única. Para el flujo cuadrático, invertir los estados izquierdo y derecho también satisface la relación de salto con velocidad uno, pero ese frente expansivo no cumple la condición de admisibilidad que selecciona la solución entrópica y en su lugar aparece una rarefacción. Un procedimiento de identificación y simulación de estas leyes debe conservar la elección de la solución física, además de ajustar una expresión algebraica del flujo.

En una discretización conservativa, el flujo numérico de una cara compartida entra con signos opuestos en las celdas vecinas, lo que reproduce el telescopado del primer ejemplo incluso cuando el flujo numérico aproxima imperfectamente el flujo físico. Por ello, comprobar la conservación discreta y comprobar la exactitud de la ecuación inferida son pruebas distintas. Una simulación puede conservar el total y desplazar mal un frente.

También puede ensancharlo. Para transporte puro a velocidad positiva, una actualización sencilla usa el valor actual de una celda y el de su vecina izquierda,

El número $C$ compara el desplazamiento físico durante un paso con el tamaño de la celda. Al expandir la actualización para una solución suave, manteniendo fijo ese número durante el refinamiento, aparece una difusión adicional dominante de coeficiente $c h(1-C)/2$. El término procede de combinar los errores espaciales y temporales y no estaba presente en la ecuación de transporte original.

Cuando ese número está entre cero y uno, la actualización combina los dos valores con pesos no negativos que suman uno. Esa propiedad limita las oscilaciones que puede introducir el esquema. Fuera de ese intervalo deja de ser una media de los valores vecinos y pierde esa garantía. La elección del paso temporal forma parte de la definición del experimento numérico.

Con velocidad $0{,}5$, tamaño de celda $0{,}1$ y paso temporal $0{,}1$, el coeficiente es $0{,}0125$. Un procedimiento que reciba únicamente esa simulación puede detectar un efecto difusivo real en los valores almacenados y atribuirlo al mecanismo físico. Con rejillas más finas, conservando la relación temporal apropiada, puede examinarse si el coeficiente disminuye con la discretización. La ecuación aprendida de un archivo numérico puede describir parte del método que generó el archivo.

La expansión anterior describe el comportamiento dominante en regiones suaves y no convierte el frente discontinuo en una función diferenciable. Para estudiar un salto siguen siendo necesarias la estructura de flujo y la selección de una solución admisible. El refinamiento da entonces una comprobación sobre posiciones y cantidades integradas, además de los coeficientes ajustados. Registrar el esquema generador y su resolución ayuda a interpretar esa comprobación sin confundir el error de observación con el error del simulador.

Campos no medidos y pruebas con otra evolución

Algunos modelos incluyen campos que el instrumento no observa. Reinbold y Grigoriev (2019) estudiaron un flujo en el que se medía la velocidad mientras la presión y el forzamiento permanecían desconocidos. Bajo sus hipótesis, aplicar operadores apropiados permitía eliminar esas contribuciones a costa de aumentar el orden de las derivadas requeridas.

Reinbold y colaboradores (2020) usaron funciones de prueba que anulan las contribuciones de la presión y de un forzamiento estacionario en las relaciones integradas, con lo que la regresión resultante estima una relación entre términos observables. Esa eliminación no reconstruye los campos de presión y forzamiento, cuyos valores pueden requerir otras condiciones o mediciones; la cancelación depende de las hipótesis que justificaron las funciones de prueba.

La distinción importa al validar. Si se ajustó una relación proyectada, debe comprobarse esa relación y examinar qué información perdió la proyección. Si se propone una ecuación evolutiva completa, debe poder simularse con condiciones iniciales y de contorno declaradas. Un residuo pequeño de derivadas puede coexistir con una solución simulada que se aleja de los datos a tiempos posteriores.

Las pruebas más informativas cambian aquello que separa las explicaciones, por ejemplo con otra condición inicial, un intercambio de frontera conocido o un régimen que excite escalas ausentes. Separar posiciones al azar dentro del mismo campo mantiene muchas relaciones espaciales compartidas y puede dar una prueba demasiado parecida al ajuste. Para examinar la transferencia de los coeficientes es preferible reservar una evolución completa.

En nuestro ejemplo, las dos ecuaciones competidoras dan una amplitud de $0{,}7408$ en el primer perfil cuando ha transcurrido una unidad de tiempo. Para el segundo perfil, la ecuación con difusión $0{,}2$ y reacción $-0{,}1$ predice una amplitud de $0{,}4066$ y la alternativa con difusión $0{,}3$ y reacción nula, $0{,}3012$, aproximadamente un veintiséis por ciento menos. Ambas trasladan el perfil a la misma velocidad. A diferencia de una observación más precisa de la primera ondulación, medir la amplitud de la segunda permite distinguirlas dentro de la familia propuesta.

Referencias

LeVeque, R. J. (2002). Finite volume methods for hyperbolic problems. Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9780511791253

Messenger, D. A., & Bortz, D. M. (2021). Weak SINDy for partial differential equations. Journal of Computational Physics, 443, 110525. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2021.110525

Reinbold, P. A. K., & Grigoriev, R. O. (2019). Data-driven discovery of partial differential equation models with latent variables. Physical Review E, 100(2), 022219. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.100.022219

Reinbold, P. A. K., Gurevich, D. R., & Grigoriev, R. O. (2020). Using noisy or incomplete data to discover models of spatiotemporal dynamics. Physical Review E, 101(1), 010203(R). https://doi.org/10.1103/PhysRevE.101.010203

Rudy, S. H., Brunton, S. L., Proctor, J. L., & Kutz, J. N. (2017). Data-driven discovery of partial differential equations. Science Advances, 3(4), e1602614. https://doi.org/10.1126/sciadv.1602614

Schaeffer, H. (2017). Learning partial differential equations via data discovery and sparse optimization. Proceedings of the Royal Society A, 473(2197), 20160446. https://doi.org/10.1098/rspa.2016.0446