¿Qué significa que un sistema sea complejo?

Cuando el inventario no explica el resultado

Imaginemos dos equipos clínicos con el mismo número de profesionales, las mismas horas contratadas y acceso a los mismos recursos. Para simplificar, supongamos también que atienden poblaciones equivalentes. En uno de ellos, cada derivación incluye la información necesaria para continuar la atención. En el otro, las decisiones se comunican tarde, algunas solicitudes se repiten y varios pacientes deben volver a explicar su situación antes de que alguien pueda actuar.

Se trata de un ejemplo construido con fines didácticos. Nos interesa por la pregunta que permite formular. Si ambos equipos disponen de recursos equivalentes, ¿basta con contar esos recursos para explicar su funcionamiento?

Podríamos ampliar el inventario con las especialidades, la experiencia profesional, las salas disponibles y el número de prestaciones. Aun así, seguiríamos sin representar lo que distingue a los dos equipos, que es la manera en que circula la información y el modo en que las decisiones de unos condicionan lo que otros pueden hacer.

Resolver el problema exige conservar el estudio de los componentes y añadirle las relaciones pertinentes, porque una explicación que considere solo las piezas puede resultar insuficiente cuando el resultado depende de su organización.

La pregunta por las conexiones que hay que representar para comprender un fenómeno será nuestra entrada a la complejidad. Es más exigente que la afirmación, frecuente en la divulgación, de que todo está conectado.

Antes de responderla hay que despejar una dificultad terminológica. Ninguna definición de sistema complejo cuenta con la aceptación de todas las disciplinas. Ladyman, Lambert y Wiesner (2013) examinaron diversas caracterizaciones y mostraron que varios rasgos habituales, tomados aisladamente, no son condiciones necesarias ni suficientes. Por eso no adoptaremos una lista breve de requisitos como si fuera una definición matemática universal.

Partiremos de una orientación inicial, sabiendo que llamar complejo a un sistema todavía no explica su comportamiento. Estudiar complejidad implica investigar cómo las interacciones y la organización contribuyen a producir comportamientos que una descripción de componentes aislados deja fuera. Después habrá que precisar el comportamiento que interesa y la escala en que se observa, además del modelo con que se representa.

Primero hay que decidir qué estamos estudiando

En este libro llamaremos sistema a un conjunto delimitado de componentes cuyas relaciones consideramos pertinentes para una pregunta. La delimitación fija lo que representamos y lo que queda como entorno, así como el intervalo durante el cual observamos la evolución.

Volvamos al equipo clínico. Para estudiar la distribución de turnos quizá baste con representar a los profesionales y sus horarios. Para estudiar la continuidad de la atención habrá que incorporar pacientes, decisiones y traspasos de información. Si interesa saber por qué alguien no acude a su cita de seguimiento, pueden ser relevantes condiciones ajenas al establecimiento.

Esto no autoriza a definir el sistema de manera arbitraria. Una misma realidad admite preguntas diferentes, cada una de las cuales exige justificar sus fronteras. Dejar fuera un factor es una decisión que puede ser acertada o introducir un error. Incluir todos los factores tampoco asegura una representación útil.

Que la frontera dependa de la pregunta tampoco implica relativismo. Una frontera mal trazada puede dejar fuera una interacción que altere la predicción o que invalide una intervención propuesta. Esas consecuencias pueden examinarse comparando modelos y reuniendo nuevas observaciones. Elegir una representación es una decisión metodológica, pero su adecuación depende también del sistema estudiado.

Hay otra distinción indispensable. El sistema real y el modelo que construimos para estudiarlo son objetos distintos. Un paciente es mucho más que una colección de puntuaciones, aunque usemos puntuaciones para representar algunos aspectos de su evolución. Del mismo modo, una ecuación diferencial puede describir parte de la actividad de una neurona sin ser la neurona.

La diferencia importa cuando se habla del número de componentes. Un cerebro puede representarse mediante millones de unidades, cientos de regiones o unas pocas variables agregadas. El número de variables pertenece a la representación y no informa, sin más, cuántas entidades hay en el objeto real.

También hay que especificar qué se observa. Dos configuraciones diferentes pueden producir el mismo promedio, lo que indica únicamente que el promedio no las distingue. La relación entre observaciones y estados macroscópicos es un problema formal de las ciencias de la complejidad. Shalizi y Moore (2025) sostienen que los macroestados dependen a la vez de lo que decidimos observar y de la dinámica del sistema, porque corresponden a la partición más gruesa del espacio de estados que es compatible con las observaciones y que permite predecir su propia evolución.

Una buena representación conserva lo necesario para la pregunta y permite evaluar las consecuencias de lo que omite. En este capítulo construiremos un ejemplo en el que una descripción agregada basta para una pregunta y resulta insuficiente para otra.

Grande, difícil y complejo

Supongamos un millón de unidades independientes, cada una con una cantidad inicial de sustancia. En cada intervalo, cada unidad conserva exactamente la mitad de lo que tenía y no recibe material de las demás.

Una unidad que comienza con 8 recorre la secuencia 8, 4, 2 y 1. Otra que comienza con 12 recorre 12, 6, 3 y 1,5. Para calcular el total basta sumar las cantidades iniciales y aplicar la misma regla, porque el total también se reduce a la mitad en cada intervalo.

El conjunto es enorme y, aun así, la pregunta por su cantidad total admite una descripción muy breve. No hace falta seguir un millón de trayectorias por separado, ya que la independencia de las unidades y la regla compartida permiten una simplificación exacta dentro del modelo.

Imaginemos ahora cuatro unidades cuya tasa de pérdida depende de cuánto contienen sus vecinas. Ya no podemos suponer que el total actual basta para determinar el siguiente, porque podría importar cómo se reparte la sustancia entre las unidades. El conjunto es mucho menor y contiene, sin embargo, una dependencia que el primero no tenía.

Todavía no hemos mostrado que el segundo sistema sea complejo en algún sentido técnico. Lo que hemos mostrado es más básico. El tamaño de un sistema no decide, sin más, cuán difícil será una explicación ni cuánta información hará falta para construirla.

La dificultad de una explicación también debe distinguirse de la complejidad del objeto. Una ecuación puede resultarnos difícil porque desconocemos la técnica para resolverla. Un mecanismo puede parecernos misterioso porque no hemos medido una variable importante. En ambos casos la dificultad pertenece a nuestro conocimiento del sistema.

La palabra «complicado» se usa a menudo para describir construcciones con muchas piezas o procedimientos. Algunos autores oponen lo complicado a lo complejo y asignan los artefactos a la primera categoría y los organismos a la segunda. En este libro esa oposición servirá, a lo sumo, como orientación, porque la clasificación depende del proceso que se investiga y de las dependencias que aparecen al representarlo.

Lo opuesto a una descripción compleja será, en adelante, una descripción más simple respecto de una tarea definida. Una descripción simple puede ser verdadera y nada trivial. Cuando unas pocas variables expliquen adecuadamente un resultado, el análisis habrá cumplido su objetivo.

Un experimento mínimo con las mismas piezas y otra organización

Construyamos un sistema tan pequeño que pueda seguirse a mano. Tendrá cuatro unidades, A, B, C y D, cada una de las cuales puede estar apagada (valor 0) o encendida (valor 1).

Todas obedecen la misma regla. En el paso siguiente, cada unidad copia el estado que tenía la unidad de la que recibe información. La actualización es simultánea, de modo que todas consultan los estados del paso anterior antes de cambiar y ninguna usa el estado recién actualizado de otra.

Compararemos dos organizaciones. En la primera, las unidades forman un circuito en el que A envía información a B, B a C, C a D y D a A, de modo que cada unidad recibe de una vecina y entrega a otra. En la segunda forman dos parejas separadas, en las que A y B se copian mutuamente e igual hacen C y D. También aquí cada unidad tiene una entrada y una salida. El número de componentes, el número de conexiones dirigidas y la regla local coinciden en ambos casos. Solo cambia quién se conecta con quién.

La figura 1.1 muestra ambas organizaciones.

Partiremos en ambos casos de A encendida y las otras tres apagadas, estado que escribiremos $(1,0,0,0)$ respetando siempre el orden A, B, C, D.

Antes de calcular podemos anticipar una diferencia. En el circuito, la actividad inicial puede recorrer las cuatro posiciones. En la organización por parejas no existe camino alguno que la lleve desde A hasta C o D. La tabla 1.1 muestra la evolución exacta de ambas organizaciones.

Tabla 1.1. Estados sucesivos de las dos organizaciones a partir de (1, 0, 0, 0), en el orden A, B, C, D.

En el circuito, el estado inicial reaparece después de cuatro pasos. En las parejas reaparece después de dos. El comportamiento colectivo difiere aunque ninguna unidad haya adquirido una capacidad nueva y el número de conexiones sea el mismo.

Quien conociera solo las características de una unidad aislada sabría que copia un estado, pero no podría decir si el conjunto recorrerá un ciclo de dos o de cuatro pasos. Esa respuesta requiere conocer la organización.

Cambiemos ahora lo que observamos y anotemos solo cuántas unidades están encendidas. En todas las filas de la tabla hay exactamente una, de modo que el indicador agregado permanece constante y no distingue las dos evoluciones.

El indicador es correcto para saber cuántas unidades están encendidas. Resulta inadecuado para saber cómo circula la actividad o cuándo vuelve cada unidad a su estado anterior.

El ejemplo deja otra conclusión. La organización importa, aunque su importancia no obliga a calificar el sistema de altamente complejo. Los dos modelos son pequeños y deterministas. Su evolución se predice sin dificultad y tienen una propiedad colectiva, el período, que se deduce por completo de las reglas y las conexiones.

Con esto quedan separadas dos afirmaciones que suelen confundirse. Una sostiene que un comportamiento pertenece al conjunto. La otra sostiene que ese comportamiento no puede explicarse a partir de una descripción adecuada de los componentes y sus interacciones. El ejemplo muestra que la primera puede ser verdadera sin que lo sea la segunda.

Dinámica, no linealidad y caos

El circuito cambia en el tiempo y por eso es un sistema dinámico. Para usar ese término no hace falta añadir incertidumbre ni miles de componentes.

Un modelo todavía más sencillo es

donde $x_t$ es el valor en el paso actual y $x_{t+1}$ el del paso siguiente. Cada valor es la mitad del anterior. La regla es dinámica y lineal, lo que basta para ver que «dinámico» y «no lineal» designan propiedades distintas.

La linealidad es una propiedad de la relación matemática y es independiente del tamaño de sus efectos. Con $f(x) = 1000\,x$, un aumento de una unidad en la entrada produce un aumento de mil unidades en la salida. El efecto es grande y la relación sigue siendo lineal.

Comparemos con $g(x) = x^2$. Cuando la entrada pasa de 1 a 2, la salida pasa de 1 a 4 y aumenta en 3. Cuando la entrada pasa de 2 a 3, la salida pasa de 4 a 9 y aumenta en 5. El mismo incremento de la entrada produce cambios distintos según el punto de partida.

La comparación todavía no es una definición, aunque prepara la que formalizaremos en el capítulo 8. Una relación lineal cumple el principio de superposición y el ejemplo cuadrático lo incumple. Basta tomar dos entradas iguales a 1, porque $g(1+1) = 4$ mientras que $g(1) + g(1) = 2$.

La no linealidad tampoco garantiza caos. Una función cuadrática aislada ni siquiera describe una evolución mientras no se indique cómo interviene el tiempo. Para hablar de caos se necesita una regla dinámica cuyas trayectorias cumplan propiedades adicionales.

En los modelos que estudiaremos más adelante, el caos determinista combina una evolución gobernada por reglas con una sensibilidad a las condiciones iniciales que limita la predicción de trayectorias individuales. El sistema de Lorenz (1963) tiene tres variables y el mapa logístico tiene una sola. Ambos muestran que ese comportamiento aparece con muy pocas variables (May, 1976; Strogatz, 2015). En un sistema continuo autónomo el caos requiere al menos tres variables de estado, mientras que un mapa discreto puede producirlo con una.

Observar que los errores crecen tampoco basta para hablar de sensibilidad en sentido técnico. Habrá que estudiar la organización de las trayectorias y las condiciones de cada modelo. Por ahora interesa mantener separadas la pregunta de si el sistema cambia, la de cómo se relacionan matemáticamente sus variables y la de qué propiedades tiene su evolución a largo plazo.

Propiedades colectivas sin explicaciones misteriosas

El período del circuito pertenece a la organización conjunta. Ninguna unidad aislada tiene incorporado un «período de cuatro pasos» como propiedad independiente de sus conexiones. En un sentido inicial y descriptivo, llamaremos emergentes a las propiedades de patrones cuya descripción exige considerar un conjunto organizado.

El mismo ejemplo muestra que una propiedad colectiva puede ser perfectamente deducible, puesto que el período se calcula a partir de las conexiones y de la regla. Una definición de emergencia que identificara toda novedad global con la imposibilidad de explicarla quedaría refutada por un caso tan simple como este.

Una deducción puede resultar difícil porque exige simular muchas interacciones. También puede ocurrir que todavía no se disponga del modelo adecuado. Ninguna de estas situaciones justifica la tesis más fuerte según la cual ningún conocimiento de las partes y sus relaciones podría explicar el resultado. El capítulo 3 distingue estas tesis antes de aplicarlas a fenómenos como la conciencia.

También separaremos emergencia y adaptación. En el ejemplo, las unidades copian estados mediante una regla fija y no aprenden. Si añadiéramos una instrucción que les permitiera cambiar de interlocutor según los resultados previos, habríamos introducido un proceso nuevo y la estructura de conexiones dejaría de ser constante.

Solo podremos llamar adaptativo a ese modelo ampliado después de especificar qué modifica, con qué información y mediante qué regla. El cambio tampoco tendría que ser beneficioso para un observador externo, porque podría diseñarse una regla que conserve una función inmediata a costa de empeorar otra. Decir que el modelo «se adapta» no reemplaza la evaluación de esas consecuencias.

Mantener separados estos términos evita tratarlos como si nombraran una sola propiedad. Un modelo puede generar patrones sin aprender. También puede tener control distribuido y admitir, aun así, una descripción sencilla. En cada caso habrá que establecer qué ocurre efectivamente.

¿Cuánta complejidad tiene algo?

Hasta aquí hemos comparado número de elementos, organización y comportamiento. Surge entonces la pregunta de si esas diferencias pueden reunirse en una medida que ordene cualquier sistema desde el más simple hasta el más complejo.

Antes de buscar un número hay que decidir qué propiedad se quiere medir. La incertidumbre sobre el próximo dato y la cantidad de información que hay que conservar para predecirlo son magnitudes distintas. Lo mismo ocurre con la longitud de una descripción y el tiempo de cálculo que exige usarla.

Consideremos dos secuencias idealizadas. La primera alterna unos y ceros indefinidamente. La segunda registra lanzamientos independientes de una moneda equilibrada, codificados como 1 y 0.

En la alternancia, conocer el último valor permite conocer el siguiente. En la moneda, el historial no modifica la probabilidad del próximo resultado y ambos valores siguen siendo igualmente probables. La teoría de la información de Shannon (1948) permite cuantificar esta diferencia mediante la tasa de entropía, que mide la incertidumbre que persiste sobre el símbolo siguiente cuando se conoce todo el pasado. Esa tasa vale 0 bits por símbolo en la alternancia y 1 bit por símbolo en la moneda.

Crutchfield y Young (1989) propusieron otra magnitud, la complejidad estadística, que mide cuánta información sobre el pasado hay que conservar para predecir de manera óptima. En la alternancia hay que recordar la fase, es decir, si el último símbolo fue 0 o 1, lo que exige 1 bit. En la moneda el pasado no mejora la predicción, de modo que no hay nada que recordar y la complejidad estadística es 0. Las dos medidas ordenan las secuencias en sentidos opuestos. La alternancia combina predictibilidad perfecta con 1 bit de memoria, mientras que la moneda combina incertidumbre máxima con memoria nula.

Una secuencia constante, como 0000…, tiene ambas magnitudes nulas, porque el símbolo siguiente es seguro y no hay nada que recordar. La figura 1.2 sitúa las tres secuencias en el plano formado por las dos medidas.

La moneda tiene además una regla generadora muy breve, que consiste en repetir ensayos independientes con probabilidad 1/2 para cada resultado. Esa regla describe la distribución de las secuencias sin especificar cuál aparecerá. Una realización larga puede ser muy difícil de comprimir aunque su mecanismo probabilístico tenga una descripción corta. Hay que distinguir, por tanto, la complejidad de la ley generadora, la de una realización concreta y la memoria necesaria para predecir el resultado siguiente.

Por eso, en este libro, «más impredecible» no se traducirá automáticamente como «más organizado» ni como «más complejo». Tampoco consideraremos la aleatoriedad máxima como el punto culminante de la complejidad. En cada caso habrá que indicar qué medida se usa y qué aspecto del fenómeno recoge.

Antes de asignar números podemos empezar con una ficha conceptual que registre cuántas variables requiere la descripción, cuáles dependen unas de otras, qué regularidades aparecen y qué parte de la historia modifica las predicciones. La usaremos como herramienta de trabajo a lo largo del libro, sin pretender que sea una taxonomía universal.

Dimensiones que pueden combinarse

Supongamos que alguien describe un objeto como «un sistema complejo de redes» y otra persona responde que en realidad se trata de «un sistema adaptativo». Las dos descripciones pueden ser compatibles. La primera especifica cómo se representan las relaciones. La segunda indica qué procesos de cambio ocurren en ellas o en los componentes.

Para evitar disputas de este tipo trabajaremos con preguntas separadas. Preguntaremos por la organización de las conexiones, por las reglas de evolución y por la posibilidad de que esas reglas se modifiquen. También examinaremos qué escalas hay que relacionar y qué comportamientos aparecen bajo condiciones concretas.

Con las respuestas puede construirse un perfil de complejidad de varias dimensiones. En la dimensión estructural interesa cómo se organizan las dependencias. En la dinámica interesan los patrones que esas dependencias producen y su respuesta a las perturbaciones. La dimensión de escala pregunta si una descripción agregada conserva las relaciones relevantes. La adaptativa pregunta si las propias reglas cambian. Un sistema puede exigir mucho análisis en una dimensión y admitir simplificaciones importantes en otra.

El perfil sugiere una estrategia de investigación que consiste en descomponer el problema y comprobar qué se pierde. Primero se construye una representación de partes independientes y después se añaden las interacciones que la pregunta requiere. Si esas interacciones no modifican las conclusiones dentro de la precisión buscada, quizá pueda prescindirse de ellas. Si producen diferencias relevantes, habremos identificado por qué la organización debe permanecer en el modelo. La complejidad pasa así de ser una declaración general a ser una pregunta sobre dependencias cuya importancia puede examinarse.

En el circuito de cuatro unidades las respuestas son inmediatas. Las conexiones son fijas, la actualización es simultánea, la regla es determinista y el comportamiento es periódico para la condición inicial elegida. No hay aprendizaje ni ruido. Esta descripción informa más que cualquier etiqueta general.

Cada modificación del modelo obliga a revisar esas respuestas. Si cada unidad copia con cierta probabilidad, la dinámica pasa a ser estocástica. Permitir que las unidades cambien de conexión modifica la organización, mientras que hacerlas responder conjuntamente a dos entradas mediante un umbral introduce otra clase de interacción. Las propiedades tampoco se transfieren de una modificación a otra. Añadir ruido, por ejemplo, no introduce aprendizaje. Del mismo modo, un umbral no basta para producir caos.

La separación permite formular con más precisión qué entendemos por simplicidad. Puede haber una estructura difícil de describir con una dinámica global sencilla, así como una regla breve cuya evolución es difícil de predecir. El mismo sistema admite además representaciones de distinta resolución. Habrá que justificar en cada caso cuál de ellas necesita la pregunta que se investiga.

De una lista clínica a una hipótesis sobre procesos

Volvamos a la psiquiatría con un caso deliberadamente hipotético. Una persona refiere dificultades de sueño, fatiga y reducción de la actividad. Una lista registra la presencia de esos fenómenos y una escala permite resumir su intensidad, aunque ninguna de las dos operaciones determina cómo se relacionan en el tiempo.

Caben al menos dos explicaciones. En la primera, una condición externa afecta a la vez al sueño y a la actividad. En la segunda, las dificultades de sueño contribuyen a la fatiga, la fatiga reduce la actividad y algún efecto de esa reducción contribuye a mantener el problema inicial.

Solo la segunda explicación incorpora retroalimentación. Ambas podrían ser compatibles con una observación transversal del mismo caso, porque la presencia conjunta de los síntomas no permite elegir entre ellas. La figura 1.3 muestra las dos explicaciones.

La teoría de redes de Borsboom (2017) propone que las interacciones entre síntomas pueden contribuir a la organización de los trastornos mentales. Cramer y colaboradores (2016) mostraron mediante simulaciones que ciertas reglas de interacción entre síntomas generan persistencia y transiciones entre estados. Estos trabajos permiten formular mecanismos posibles y derivar sus consecuencias. Afirmar que un conjunto de síntomas observado forma una red causal requiere evidencia adicional.

La formulación en términos de procesos permite hacer preguntas que una lista no formula. En el caso hipotético interesaría saber si las variaciones del sueño preceden a las de la actividad, si ambas responden a cambios compartidos del entorno y qué ocurre cuando una condición se modifica mientras las otras permanecen relativamente estables.

El orden temporal ayudaría, aunque sería insuficiente, porque un factor no observado podría producir cambios sucesivos. Una mejoría posterior a una intervención tampoco revelaría, sin otros datos, cuál de sus efectos produjo el resultado. Estas limitaciones obligan a diseñar mejores observaciones y dejan en pie la utilidad de la hipótesis.

El modelo tampoco respondería todas las preguntas clínicas. Aunque reprodujera una trayectoria sintomática, seguiría haciendo falta otra descripción para comprender el significado de la experiencia o para acordar objetivos de atención. Un modelo dinámico aporta información sobre una pregunta delimitada sin necesidad de contener toda la clínica.

La misma disciplina vale para el equipo del comienzo. «Mala coordinación» es todavía una explicación demasiado amplia. Hay que indicar qué información llega tarde y qué decisión queda bloqueada por esa demora. Solo entonces puede diseñarse un cambio de procedimiento que ponga a prueba la relación propuesta.

Consolidación de las distinciones en los cuatro ejemplos

Retomemos el millón de unidades que perdían la mitad de su contenido en cada paso. Aumentar el número de unidades no modificaba la regla del total, de modo que el tamaño no bastaba para exigir una descripción más compleja. Si las unidades empezaran a intercambiar sustancia, habría que comprobar de nuevo si la simplificación sigue siendo válida.

En las cuatro unidades binarias, cambiar las conexiones modificó el período mientras el número de unidades encendidas permanecía constante. La organización resulta necesaria para explicar cómo circula la actividad y prescindible para calcular ese total.

Una variación del mismo ejemplo añade otra lección. Si las cuatro unidades comenzaran encendidas, ambos modelos permanecerían en $(1,1,1,1)$ y la misma observación sería compatible con estructuras distintas. Observar un resultado no basta para reconstruir las relaciones que lo produjeron, porque también importan las condiciones desde las que se observa el sistema.

La moneda, por último, produce resultados que no pueden anticiparse uno a uno y que obedecen a una regla muy breve. La incertidumbre sobre cada resultado es compatible con una organización interna mínima.

Los cuatro ejemplos comparten una exigencia. Antes de afirmar que algo es complejo hay que precisar qué información requiere la pregunta. A veces bastarán los componentes y sus conexiones. Otras veces importarán también las condiciones iniciales, las reglas de adaptación o la historia observada. En ocasiones podrá eliminarse gran parte del detalle sin perder lo que se quiere explicar.

La fórmula según la cual el todo es más que la suma de las partes recuerda que las relaciones importan, aunque no dice cuáles son ni cómo actúan. En este libro intentaremos reemplazarla por explicaciones que especifiquen las conexiones, los cambios que producen, el resultado y la evidencia que permitiría atribuir ese mecanismo al fenómeno real.

El capítulo 2 introduce la representación de estados y reglas de evolución. Los capítulos 3 a 5 precisan las nociones de emergencia, escala y red.

Ejercicios

Ejercicio 1.1. Indique si cada afirmación es verdadera o falsa y justifique la respuesta con un ejemplo del capítulo. (a) Un sistema pequeño y determinista no puede tener propiedades colectivas. (b) Una regla lineal no puede definir un sistema dinámico. (c) Estudiar caos exige sistemas con miles de componentes. (d) La secuencia más impredecible es también la de mayor complejidad estadística. (e) Si un indicador agregado permanece constante, el sistema está en reposo. (f) En tiempo discreto, una sola variable puede bastar para producir caos.

Ejercicio 1.2. Con las reglas del experimento mínimo, calcule las trayectorias del circuito y de las dos parejas a partir de los estados $(1,1,0,0)$ y $(1,0,1,0)$. Indique el período de cada trayectoria. ¿Qué muestra el resultado sobre la posibilidad de identificar la organización a partir de la trayectoria observada?

Ejercicio 1.3. Cada organización tiene 16 estados posibles. Agrupe esos estados según el período de la trayectoria que parte de cada uno, primero en el circuito y después en las dos parejas. ¿Qué períodos admite cada organización y cuántos estados corresponden a cada período?

Ejercicio 1.4. A partir del estado $(1,0,0,0)$, el número de unidades encendidas no distingue las dos organizaciones. Proponga un indicador que dependa solo de algunas unidades y que sí las distinga. Proponga también otro indicador parcial que tampoco las distinga.

Ejercicio 1.5. (a) En el conjunto de un millón de unidades que conservan la mitad de su contenido en cada intervalo, ¿cuántos intervalos deben pasar para que el total quede por debajo del 1 % de su valor inicial? ¿Depende la respuesta del número de unidades o del reparto inicial de la sustancia? (b) Considere ahora cuatro unidades dispuestas en un anillo en el orden A, B, C, D, con contenidos entre 0 y 8. En cada intervalo, la unidad $i$ pierde una fracción de su contenido igual a $x_{i-1}/8$, donde $x_{i-1}$ es el contenido de la unidad que la precede en el anillo. Ninguna unidad recibe material de las otras. Calcule el total después de un intervalo para los estados $(4,0,0,0)$ y $(1,1,1,1)$. ¿Basta conocer el total actual para predecir el siguiente?

Ejercicio 1.6. Para cada regla, indique si describe una relación estática o una evolución temporal y si cumple el principio de superposición. (a) $y = 1000\,x$. (b) $x_{t+1} = 0{,}5\,x_t$. (c) $y = x^2$. (d) $x_{t+1} = x_t^2$. (e) $y = 3x + 2$. En el caso (e), compare $f(1+1)$ con $f(1) + f(1)$, donde $f(x) = 3x + 2$.

Ejercicio 1.7. Calcule la tasa de entropía y la complejidad estadística de los tres procesos binarios siguientes y agréguelos a la figura 1.2. (a) La secuencia periódica 001001001… (b) Una moneda sesgada que, en lanzamientos independientes, produce 1 con probabilidad 0,9 y 0 con probabilidad 0,1. (c) El proceso sin unos consecutivos, en el que después de un 1 viene siempre un 0 y después de un 0 el símbolo siguiente es 0 o 1 con probabilidad 1/2. Para (c), identifique los dos estados de memoria necesarios, calcule la fracción del tiempo que el proceso pasa en cada uno y use la entropía de Shannon $H = -\sum_i p_i \log_2 p_i$.

Ejercicio 1.8. Vuelva al caso clínico hipotético de dificultades de sueño, fatiga y reducción de la actividad. (a) Delimite el sistema para dos preguntas distintas, una sobre la evolución de los síntomas durante un mes y otra sobre la asistencia a las citas de seguimiento. Indique qué componentes quedan dentro de cada sistema y cuáles pasan al entorno. (b) Proponga un diseño de observación que permita distinguir las dos explicaciones de la figura 1.3. Indique qué resultado esperaría bajo cada una.

Referencias

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Cramer, A. O. J., van Borkulo, C. D., Giltay, E. J., van der Maas, H. L. J., Kendler, K. S., Scheffer, M. y Borsboom, D. (2016). Major depression as a complex dynamic system. PLOS ONE, 11(12), e0167490. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0167490

Crutchfield, J. P. y Young, K. (1989). Inferring statistical complexity. Physical Review Letters, 63(2), 105–108. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.63.105

Ladyman, J., Lambert, J. y Wiesner, K. (2013). What is a complex system? European Journal for Philosophy of Science, 3(1), 33–67. https://doi.org/10.1007/s13194-012-0056-8

Lorenz, E. N. (1963). Deterministic nonperiodic flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 20(2), 130–141. https://doi.org/10.1175/1520-0469(1963)020%3C0130:DNF%3E2.0.CO;2

May, R. M. (1976). Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature, 261(5560), 459–467. https://doi.org/10.1038/261459a0

Shalizi, C. R. y Moore, C. (2025). What is a macrostate? Subjective observations and objective dynamics. Foundations of Physics, 55, artículo 2. https://doi.org/10.1007/s10701-024-00814-1

Shannon, C. E. (1948). A mathematical theory of communication. Bell System Technical Journal, 27(3), 379–423. https://doi.org/10.1002/j.1538-7305.1948.tb01338.x

Strogatz, S. H. (2015). Nonlinear dynamics and chaos: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering (2.ª ed.). Westview Press.