Redes: representar relaciones sin confundirlas con mecanismos

Por qué una lista de componentes puede ser insuficiente

En los capítulos anteriores estudiamos estados, cambios, propiedades colectivas y escalas. Muchas propiedades de un sistema complejo dependen además de quién interactúa con quién. Una lista de componentes informa cuántas neuronas, personas, servicios o especies hay, sin mostrar cómo circula la información, qué elementos son vulnerables o por qué rutas se propaga una perturbación.

Consideremos cinco personas. Si solo conocemos el estado emocional de cada una, todavía ignoramos si alguna conecta a las demás, si hay subgrupos aislados o si un conflicto puede propagarse con rapidez. Las mismas cinco personas admiten muchas organizaciones distintas. Lo que cambia entre ellas es la estructura de relaciones.

Una red es una representación matemática de esa estructura. Su interés reside en convertir relaciones en objetos que pueden medirse, compararse y modelarse. La precisión importa porque en complejidad aparece con frecuencia la tentación de usar la palabra red como sinónimo vago de interconexión, un uso retórico que todavía no es una teoría.

Este capítulo mantiene separadas dos preguntas. La primera es cómo representar relaciones y la segunda qué permite concluir esa representación. Una red bien construida puede ser muy informativa sin demostrar que cada vínculo sea causal, estable o clínicamente relevante.

Grafos, vértices y aristas

La forma más elemental de red es un grafo. Un grafo $G = (V, E)$ se compone de un conjunto $V$ de vértices y de un conjunto $E$ de aristas. Los vértices se llaman también nodos y las aristas, enlaces. En el ejemplo que usaremos a lo largo del capítulo, $V = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ y las aristas unen los pares 1–2, 1–3, 2–3, 3–4 y 4–5, como muestra la figura 5.1.

Figura 5.1. Red no dirigida de cinco nodos usada como ejemplo en las secciones siguientes. El nodo 3 tiene el mayor grado. El nodo 4 une el nodo 5 con el resto de la red. Ampliar figura ↗

Una arista entre dos nodos indica que están relacionados según una regla definida de antemano. Esa regla es decisiva. Puede significar contacto, comunicación, coactivación, similitud estadística, derivación clínica o colaboración, entre otras relaciones.

En una red no dirigida la relación es simétrica, de modo que si el nodo 1 está conectado con el 3, el 3 está conectado con el 1. En una red dirigida, en cambio, un arco de $i$ hacia $j$ no implica el arco inverso. Una derivación desde un servicio de urgencia hacia psiquiatría tiene dirección, mientras que una amistad recíproca puede modelarse como no dirigida si esa simetría es aceptable para el problema.

Las redes pueden también ser ponderadas. Cada arista tiene entonces un valor que representa intensidad, frecuencia, capacidad o probabilidad. Una red de derivaciones podría asignar más peso a los pares de servicios que intercambian más pacientes. Elegir aristas binarias o ponderadas depende de qué información se considera relevante y de la confiabilidad de la medición.

La matriz de adyacencia

Una red de $n$ nodos puede representarse mediante una matriz de adyacencia $A$ de $n \times n$ . En este libro usamos una convención explícita. En una red dirigida, $A_{ij} \neq 0$ indica una arista desde el nodo $j$ hacia el nodo $i$ , de modo que la fila identifica al nodo que recibe la relación y la columna al nodo de origen. Con esta convención, la componente $i$ del vector $Ax$ suma la información que llega al nodo $i$ , lo que permite escribir modelos dinámicos de la forma $\dot{x} = f(x, Ax)$ . En una red no dirigida, $A_{ij} = A_{ji}$ y la distinción desaparece.

La matriz de la red de la figura 5.1, con los nodos en orden, es

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

La utilidad de la matriz va más allá del orden visual, porque permite aplicar herramientas algebraicas. Las potencias de $A$ , por ejemplo, cuentan recorridos. El elemento $(A^r)_{ij}$ es el número de recorridos de longitud $r$ desde el nodo $j$ hasta el nodo $i$ . Esa propiedad se desarrollará más adelante, al estudiar centralidad, conectividad y procesos dinámicos sobre redes.

En redes ponderadas, las entradas de $A$ contienen pesos. Una matriz con pesos supone decisiones adicionales sobre escala, normalización y significado de las intensidades.

El grado de un nodo

El grado $k_i$ de un nodo es el número de aristas que inciden en él. En la red de la figura 5.1, $k_1 = 2$ , $k_2 = 2$ , $k_3 = 3$ , $k_4 = 2$ y $k_5 = 1$ , de modo que el nodo 3 tiene el mayor grado. En una red no dirigida la suma de los grados es el doble del número $m$ de aristas, porque cada arista toca dos nodos,

\sum_{i=1}^{n} k_i = 2m .

En el ejemplo, $2 + 2 + 3 + 2 + 1 = 10 = 2 \cdot 5$ .

En redes dirigidas se distingue el grado de entrada del grado de salida. Con la convención de filas receptoras, el grado de entrada del nodo $i$ es la suma de su fila y el grado de salida es la suma de su columna,

k_i^{\mathrm{ent}} = \sum_j A_{ij}, \qquad k_i^{\mathrm{sal}} = \sum_j A_{ji}.

Un servicio clínico puede recibir muchas derivaciones y enviar pocas, mientras otro recibe poco y deriva mucho porque es la puerta de entrada del sistema. En una red ponderada, las mismas sumas se llaman fuerza de entrada y fuerza de salida.

El grado es útil aunque limitado. Un nodo con muchas conexiones puede estar unido a nodos periféricos o redundantes. Otro con pocas conexiones puede ser el único puente entre dos regiones de la red. La importancia estructural de un nodo depende de la pregunta formulada.

Caminos, distancia y conectividad

Un camino es una secuencia de nodos en la que cada par consecutivo está unido por una arista. En una red no ponderada, su longitud es el número de aristas recorridas. La distancia $d(i, j)$ entre dos nodos es la longitud del camino más corto que los une. En el ejemplo, $d(1, 5) = 3$ por el camino 1, 3, 4, 5, mientras que $d(1, 2) = 1$ . El diámetro de una red conexa es la mayor de las distancias entre pares de nodos. La distancia media $L$ promedia $d(i, j)$ sobre todos los pares. En el ejemplo, el diámetro es 3 y $L = 1{,}7$ .

Una red no dirigida es conexa si existe un camino entre todo par de nodos. En redes dirigidas un nodo puede alcanzar a otro sin que el recorrido inverso sea posible. Se distingue entonces la conectividad fuerte, cuando cada nodo alcanza a todos los demás respetando las direcciones, de la conectividad débil, cuando la red sería conexa al ignorar las direcciones.

Estas propiedades importan porque en una red conexa los efectos locales pueden, en principio, alcanzar regiones distantes. Si elimináramos la arista 3–4, la red se separaría en dos componentes, $\{1, 2, 3\}$ y $\{4, 5\}$ . Un cambio en el nodo 1 ya no podría llegar al nodo 5 a través de las relaciones representadas.

Las distancias permiten definir medidas de centralidad distintas del grado (Newman, 2003). La cercanía de un nodo es el inverso de su distancia media al resto de los nodos. La intermediación cuenta cuántos caminos más cortos entre otros pares de nodos pasan por él. En el ejemplo, el nodo 3 es el más central según las tres medidas, con cercanía 0,8 e intermediación 4. El nodo 4 tiene el mismo grado que los nodos 1 y 2, aunque su intermediación es 3 y la de ellos es 0, porque todo camino más corto hacia el nodo 5 pasa por él. Cada medida responde a una pregunta distinta sobre el papel del nodo.

Estructura de red y dinámica sobre la red

Una red es una estructura de relaciones y todavía no es un sistema dinámico. Para modelar dinámica hay que especificar estados en los nodos y reglas de cambio. Podemos asignar a cada nodo una variable $x_i(t)$ y postular que cambia según su propio estado y el de sus vecinos,

x_i(t+1) = F\Big(x_i(t), \sum_j A_{ij}\, x_j(t)\Big).

La matriz $A$ define quién influye sobre quién y la función $F$ define cómo esas influencias transforman el estado. Dos sistemas con la misma red pueden comportarse de maneras muy distintas si sus reglas locales difieren. A la inversa, una misma regla produce patrones diferentes sobre redes distintas.

Esta distinción evita atribuir a la estructura todo lo que ocurre en el sistema. Una red de contactos puede facilitar la transmisión de una infección, una idea o un rumor. El resultado depende también de las probabilidades de contagio, los tiempos de recuperación, la heterogeneidad individual y los cambios de la red en el tiempo.

La red depende de la escala y de la observación

Una misma realidad admite redes distintas según la unidad elegida como nodo. En un servicio de salud mental, los nodos pueden ser personas, profesionales, dispositivos asistenciales, instituciones o episodios de atención. Si los nodos son servicios, una arista puede indicar derivaciones. Si son profesionales, puede indicar coordinación directa. Ambas redes describen la misma organización sin ser equivalentes.

La agregación puede ocultar información. Supongamos cuatro profesionales, A1 y A2 en un servicio A, B1 y B2 en un servicio B. Si A1 se comunica con B1, A2 con B1 y A2 con B2, la red agregada por servicios muestra una sola arista entre A y B, con peso 3. Esa representación muestra la intensidad institucional del vínculo, aunque oculta que A2 y B1 concentran dos contactos cada uno y que A1 y B2 dependen de una única conexión.

La escala temporal también modifica la red. Con contactos registrados cada minuto, la red cambia de manera continua. Al agregar un año completo, casi todos los contactos esporádicos aparecen como relaciones estables. Ambas redes son correctas y responden a preguntas distintas. Esta dependencia conecta el estudio de redes con el problema de escala del capítulo anterior.

Aleatoriedad, mundo pequeño y heterogeneidad de grado

Ningún modelo único describe todas las redes complejas. Conviene comenzar con familias idealizadas que permiten comparar propiedades estructurales. Para ello hace falta una medida más, el agrupamiento, que registra en qué medida los vecinos de un nodo están conectados entre sí. Si el nodo $i$ tiene grado $k_i \geq 2$ y entre sus vecinos hay $T_i$ aristas, su coeficiente de agrupamiento local es

C_i = \frac{2\,T_i}{k_i(k_i - 1)},

la fracción de pares de vecinos que están conectados. En la figura 5.1, los vecinos del nodo 3 son 1, 2 y 4. Entre ellos solo existe la arista 1–2, de modo que $C_3 = 1/3$ . El agrupamiento medio $C$ promedia estos valores sobre los nodos.

La primera familia es la de las redes aleatorias. En el modelo $G(n, p)$ de Gilbert (1959), cada uno de los $n(n-1)/2$ pares de nodos se conecta con probabilidad $p$ , de manera independiente. En el modelo $G(n, m)$ de Erdős y Rényi (1959) se fija el número total $m$ de aristas y se elige al azar entre todas las redes con ese número. Ambos comparten la idea de que la presencia de un enlace no depende de propiedades de los nodos. El grado medio de $G(n, p)$ es $p(n-1)$ . En redes grandes y dispersas, la distribución de grados se aproxima a una distribución de Poisson concentrada alrededor de ese valor, mientras que el agrupamiento esperado es cercano a $p$ y, por tanto, muy bajo. Por eso estos modelos se usan como referencia para decidir si una red observada tiene más agrupamiento, más heterogeneidad o distancias distintas de las que produciría el azar.

La segunda familia es la de las redes de mundo pequeño. Watts y Strogatz (1998) partieron de una red regular en anillo, en que cada nodo se conecta con sus vecinos más cercanos. Luego reconectaron al azar una fracción $p$ de los enlaces. Pocos atajos bastan para reducir mucho la distancia media mientras la red conserva un agrupamiento alto. En una simulación con 1000 nodos, cada uno conectado inicialmente con sus 10 vecinos más cercanos, la red regular tiene un agrupamiento medio de 0,67 y una distancia media cercana a 50 pasos. Al reconectar el 1 % de los enlaces, la distancia media cae al 18 % de su valor inicial y el agrupamiento conserva el 97 % del suyo. Una red aleatoria con los mismos nodos y enlaces tiene una distancia media de 3,3 y un agrupamiento de apenas 0,009. La figura 5.2 muestra el intervalo intermedio en que coexisten ambas propiedades. Esta combinación ayuda a entender por qué sistemas con una estructura local densa pueden comunicar con rapidez regiones lejanas.

Figura 5.2. Modelo de Watts y Strogatz con 1000 nodos, cada uno conectado inicialmente con sus 10 vecinos más cercanos. Se muestran el agrupamiento medio y la distancia media, relativos a los de la red regular, en función de la probabilidad de reconexión. Cada punto promedia tres realizaciones. En la zona sombreada, la distancia media ya cayó a una fracción de su valor inicial mientras el agrupamiento se mantiene alto. Ampliar figura ↗

La tercera familia se caracteriza por una marcada heterogeneidad de grado. Barabási y Albert (1999) propusieron un modelo de crecimiento con conexión preferencial, en que cada nodo nuevo se une con mayor probabilidad a los nodos que ya tienen muchas conexiones. En redes grandes, la fracción de nodos con grado $k$ decae como $k^{-3}$ , una ley de potencia. La figura 5.3 compara una red de este tipo con una red aleatoria del mismo tamaño y grado medio. Con 10 000 nodos y grado medio 6, el nodo más conectado tiene 18 enlaces en la red aleatoria y 322 en la de conexión preferencial.

Figura 5.3. Distribución de grados de una red aleatoria y de una red de conexión preferencial, ambas con 10 000 nodos y grado medio 6. El eje vertical muestra, en escala logarítmica, la fracción de nodos con grado mayor o igual que k. Si la fracción de nodos con grado exactamente k decae como k⁻³, esta fracción acumulada decae como k⁻². Ampliar figura ↗

La expresión «red libre de escala» exige cautela. Unos pocos nodos muy conectados no bastan para afirmarla, porque hay que evaluar si una ley de potencia describe la distribución de grados, en qué intervalo y frente a qué alternativas, con métodos como los de Clauset, Shalizi y Newman (2009). Broido y Clauset (2019) aplicaron esas pruebas a casi mil redes sociales, biológicas, tecnológicas, de transporte y de información. La estructura libre de escala en sentido fuerte resultó rara. En la mayoría de las redes, una distribución lognormal se ajustaba tan bien o mejor que una ley de potencia. La advertencia continúa la del capítulo sobre fractales, porque un patrón visual en escala logarítmica no reemplaza una inferencia estadística cuidadosa.

Redes observadas y redes causales

Muchas redes empíricas se obtienen por estimación estadística. En genómica, neurociencia o psicología, una arista puede representar una correlación, una correlación parcial, una asociación temporal o una predicción estadística. Estas relaciones pueden ser informativas, aunque no equivalen automáticamente a influencias causales.

La distinción tiene especial importancia en las redes psicológicas. La teoría de redes de la psicopatología propone que los trastornos pueden entenderse, al menos en parte, como sistemas de síntomas que interactúan (Borsboom, 2017). Los modelos de variable latente atribuyen la covariación de los síntomas a una causa común. Los modelos de red la atribuyen a interacciones directas entre síntomas y existen además modelos híbridos que combinan ambas explicaciones. La teoría de redes no exige que los síntomas sean intercambiables ni niega la existencia de causas comunes, mecanismos biológicos o factores contextuales. Cada modelo debe evaluarse según sus compromisos explícitos y la evidencia disponible.

Una red estimada a partir de datos transversales entre personas no describe necesariamente la dinámica temporal de una persona particular. Molenaar (2004) mostró que las estructuras estimadas entre personas coinciden con las intraindividuales solo bajo condiciones muy restrictivas, como vimos en el capítulo 2.

Tampoco basta con calcular una centralidad y suponer que el nodo más central es el mejor blanco terapéutico. Bringmann y colaboradores (2019) examinaron el uso de las medidas de centralidad en redes psicológicas y mostraron que sus supuestos no siempre se cumplen en ese contexto. La pregunta decisiva es qué intervención cambiaría efectivamente el sistema y mediante qué mecanismo, algo que la posición de un nodo en un gráfico no responde.

Una red observada debe describirse con precisión, indicando el tipo de nodos y de relación, el método de estimación, la escala temporal, la población o persona estudiada y la incertidumbre. Solo después puede discutirse si la estructura sugiere una hipótesis causal.

Dos redes asistenciales con el mismo número de enlaces

Consideremos dos redes de cinco servicios, A, B, C, D y E, cada una con cinco enlaces. En la red 1 los enlaces forman un ciclo, A–B, B–C, C–D, D–E y E–A. En la red 2 son A–B, A–C, A–D, A–E y B–C. Las dos redes tienen el mismo número de nodos y de enlaces e incluso la misma distancia media, 1,5. Su organización, sin embargo, es diferente.

En la red 1 cada servicio tiene grado 2 y ninguno domina. Si se pierde un enlace, la red sigue conectada porque el ciclo conserva un camino alternativo.

En la red 2, el servicio A tiene grado 4, los servicios B y C tienen grado 2 y los servicios D y E tienen grado 1. A ocupa la posición central. Esa organización puede facilitar una coordinación rápida, aunque crea una vulnerabilidad. Si A deja de funcionar, la red se divide en tres componentes, $\{B, C\}$ , $\{D\}$ y $\{E\}$ . En la red 1, en cambio, la ausencia de A deja conectados a los otros cuatro servicios por el camino B, C, D, E. La figura 5.4 muestra ambos casos.

Figura 5.4. Dos redes de cinco servicios con cinco enlaces y la misma distancia media, 1,5. Al retirar el servicio A, la red 1 sigue conectada por el camino B, C, D, E. La red 2 se divide en tres componentes, {B, C}, {D} y {E}. Ampliar figura ↗

Ninguna de las dos redes es mejor en abstracto. La red 1 resiste mejor la pérdida de un único enlace o de un único servicio. La red 2 puede ser más eficiente si A coordina bien y tiene capacidad suficiente. La evaluación depende del objetivo, de la carga de cada nodo, de la calidad de las relaciones y de los procesos que circulan por la red.

El ejemplo muestra que contar componentes y enlaces es insuficiente para describir una organización, incluso cuando también coincide la distancia media. La disposición de los enlaces determina qué rutas existen y qué nodos se vuelven críticos.

Consolidación

Una red representa relaciones entre componentes. Construirla exige definir qué son los nodos, qué significa una arista, si las relaciones tienen dirección o peso y en qué escala temporal se observan.

La matriz de adyacencia convierte la red en un objeto algebraico. En este libro, $A_{ij} \neq 0$ indica una relación desde $j$ hacia $i$ en las redes dirigidas, convención que debe mantenerse para interpretar grados de entrada y de salida y modelos dinámicos.

El grado mide cuántas conexiones tiene un nodo sin agotar su importancia. Caminos, distancias, centralidades y componentes permiten estudiar cómo se conectan las regiones de la red. Una misma cantidad de nodos y enlaces puede corresponder a estructuras muy diferentes, aun con la misma distancia media.

Las redes aleatorias, las de mundo pequeño y las de alta heterogeneidad de grado son modelos de referencia, sin pretensión de describir universalmente los sistemas reales. Afirmar que una red empírica pertenece a una de estas clases requiere análisis estadístico y comparación con alternativas.

Una red estimada tampoco es necesariamente causal. En neurociencia, psiquiatría o ciencias sociales, esta distinción impide convertir un gráfico de asociaciones en una explicación mecanicista o en una recomendación terapéutica automática. El cuadro 5.1 reúne los conceptos del capítulo.

Cuadro 5.1. Conceptos de redes, su definición operativa y sus riesgos de interpretación.

Concepto	Definición operativa	Qué permite analizar	Riesgo de interpretación
Grafo	Conjunto de nodos y aristas definidos según una regla explícita	Estructura de relaciones	Olvidar qué representa realmente una arista
Matriz de adyacencia	Matriz A con A_ij ≠ 0 si existe una relación desde j hacia i en una red dirigida	Cálculo algebraico de conectividad y dinámica	Invertir la convención de dirección
Grado	Número de enlaces incidentes en un nodo	Conectividad local	Confundir mayor grado con mayor importancia en cualquier contexto
Camino y distancia	Secuencia de enlaces y longitud del camino más corto	Accesibilidad entre nodos	Ignorar dirección, pesos o cambios temporales
Centralidad	Medidas como grado, cercanía o intermediación	Papel estructural de un nodo según una pregunta definida	Suponer que el nodo más central es el mejor blanco de intervención
Mundo pequeño	Distancias cortas con agrupamiento local alto	Comunicación entre regiones de la red	Usar la etiqueta sin comparar con modelos de referencia
Heterogeneidad de grado	Diferencias marcadas en el número de conexiones	Existencia de nodos muy conectados	Declarar una red libre de escala sin inferencia estadística
Red estimada	Red construida a partir de asociaciones o modelos estadísticos	Hipótesis estructurales	Interpretar asociaciones como influencias causales

Las redes reaparecerán con mayor formalidad en los capítulos 91 a 100, dedicados a la teoría espectral de grafos, los procesos sobre redes, las redes multicapa y los problemas avanzados de inferencia estructural.

Ejercicios

Ejercicio 5.1. Tres servicios se derivan pacientes. La atención primaria deriva a urgencia y a psiquiatría, urgencia deriva a psiquiatría y psiquiatría devuelve pacientes a la atención primaria. (a) Escriba la matriz de adyacencia con la convención del libro, en el orden atención primaria, urgencia, psiquiatría. (b) Calcule los grados de entrada y de salida de cada servicio. (c) Compruebe que la suma de los grados de entrada coincide con la de los grados de salida y explique por qué. (d) ¿Es la red fuertemente conexa?

Ejercicio 5.2. Para la red de la figura 5.1, (a) calcule $A^2$ e interprete su diagonal, (b) determine cuántos recorridos de longitud 2 unen el nodo 1 con el nodo 4 y (c) calcule la traza de $A^3$ y relaciónela con el número de triángulos de la red.

Ejercicio 5.3. Para la misma red, (a) calcule el coeficiente de agrupamiento local de cada nodo, asignando 0 a los nodos de grado menor que 2, (b) calcule su promedio y (c) calcule la transitividad global, definida como tres veces el número de triángulos dividido por el número de tripletes conectados. (d) Explique por qué difieren los dos resultados.

Ejercicio 5.4. Considere el modelo $G(n, p)$ con $n = 100$ y $p = 0{,}05$ . (a) Calcule el número esperado de aristas y (b) el grado medio. (c) Calcule la probabilidad de que un nodo dado quede aislado y el número esperado de nodos aislados. (d) Una red observada tiene 100 nodos, 248 aristas, agrupamiento medio 0,30 y una distancia media semejante a la de la referencia aleatoria. ¿Qué sugiere ese resultado y qué habría que comprobar antes de llamarla red de mundo pequeño?

Ejercicio 5.5. Dos servicios, A y B, tienen dos profesionales cada uno, A1 y A2 en el primero, B1 y B2 en el segundo. (a) Construya dos redes de profesionales con exactamente dos enlaces entre servicios que produzcan la misma red agregada, una arista entre A y B con peso 2. (b) En cada una, ¿la ausencia de qué profesional deja incomunicados a los servicios? (c) ¿Qué oculta la red agregada?

Ejercicio 5.6. Un estudio transversal con 500 pacientes estima una red de correlaciones parciales entre nueve síntomas depresivos. El insomnio aparece con la mayor centralidad. El equipo concluye que tratar primero el insomnio es la mejor intervención para cada paciente. (a) ¿Qué representa una arista en esa red? (b) ¿Qué conclusiones no están justificadas y por qué? (c) ¿Qué diseño permitiría poner a prueba mejor la hipótesis?

Consultar las soluciones de los ejercicios

Soluciones de los ejercicios

Solución 5.1. (a) Con las filas como receptoras,

M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

La primera fila indica que la atención primaria recibe pacientes de psiquiatría. La tercera indica que psiquiatría recibe de la atención primaria y de urgencia. (b) Los grados de entrada, sumas de las filas, son 1, 1 y 2. Los grados de salida, sumas de las columnas, son 2, 1 y 1. (c) Ambas sumas valen 4, el número de arcos, porque cada arco aporta una unidad al grado de entrada de su destino y otra al grado de salida de su origen. (d) Sí. El ciclo atención primaria, urgencia, psiquiatría, atención primaria recorre los tres servicios respetando las direcciones, de modo que cada uno alcanza a los otros dos.

Solución 5.2. (a) El cálculo da

A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

La diagonal reproduce los grados, porque un recorrido cerrado de longitud 2 va a un vecino y vuelve. (b) El elemento $(A^2)_{14}$ vale 1, correspondiente al recorrido que pasa por el nodo 3. (c) La traza de $A^3$ vale 6. Cada triángulo produce seis recorridos cerrados de longitud 3, uno por cada nodo de partida y cada sentido de giro, de modo que la red tiene un único triángulo, el formado por los nodos 1, 2 y 3.

Solución 5.3. (a) Los nodos 1 y 2 tienen dos vecinos conectados entre sí, de modo que $C_1 = C_2 = 1$ . El nodo 3 tiene una arista entre sus tres pares de vecinos, $C_3 = 1/3$ . El nodo 4 tiene dos vecinos no conectados, de modo que $C_4 = 0$ . Al nodo 5 se le asigna 0. (b) El promedio es $7/15 \approx 0{,}467$ . (c) Los tripletes conectados centrados en cada nodo son 1, 1, 3, 1 y 0, en total 6. La transitividad es $3 \cdot 1/6 = 0{,}5$ . (d) El promedio da el mismo peso a todos los nodos, incluido el nodo 5 cuyo valor es una convención. La transitividad pondera cada nodo por su número de tripletes, de modo que el nodo 3 pesa más. Un informe debe declarar qué definición usa.

Solución 5.4. (a) El número esperado de aristas es $0{,}05 \cdot 100 \cdot 99/2 = 247{,}5$ . (b) El grado medio es $0{,}05 \cdot 99 = 4{,}95$ . (c) Un nodo queda aislado con probabilidad $(0{,}95)^{99} \approx 0{,}0062$ , cercana a la aproximación de Poisson $e^{-4{,}95} \approx 0{,}0071$ . El número esperado de nodos aislados es cercano a 0,6. (d) En la referencia aleatoria el agrupamiento esperado es cercano a $p = 0{,}05$ . Un valor de 0,30 con una distancia media semejante es compatible con una estructura de mundo pequeño. Antes de afirmarlo habría que estimar la variabilidad de la referencia simulando muchas redes con los mismos $n$ y $m$ , comparar también con una referencia que conserve la secuencia de grados, revisar cómo se definieron las aristas y declarar qué medida de agrupamiento se usó.

Solución 5.5. (a) En la red I, A1 se comunica con B1 y con B2. En la red II, A1 se comunica con B1 y A2 con B2. Ambas producen una arista entre A y B con peso 2. (b) En la red I, la ausencia de A1 corta toda comunicación entre los servicios. En la red II ninguna ausencia individual la corta, porque cada una elimina solo uno de los dos enlaces. (c) La red agregada oculta cómo se reparten los enlaces entre las personas y, con ello, la redundancia de la comunicación y su vulnerabilidad ante la ausencia de alguien.

Solución 5.6. (a) Una arista representa una asociación condicional entre dos síntomas en la población estudiada, dados los demás síntomas. Es una relación estadística entre personas, distinta de una influencia causal directa o de la dinámica de un paciente. (b) No está justificado concluir que el insomnio causa los demás síntomas, porque la asociación puede deberse a causas comunes, a solapamiento entre ítems o a la selección de la muestra. Tampoco lo está suponer que el patrón vale para cada paciente, porque una estructura estimada entre personas puede diferir de la dinámica intraindividual (Molenaar, 2004). Menos aún se justifica identificar el nodo más central con el mejor blanco terapéutico (Bringmann y colaboradores, 2019). (c) Un estudio longitudinal intensivo dentro de cada persona permitiría examinar si los cambios en el sueño preceden a cambios en otros síntomas. La prueba más directa sería un ensayo aleatorizado de tratamiento del insomnio que midiera sus efectos sobre los demás síntomas.

Referencias

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Bringmann, L. F., Elmer, T., Epskamp, S., Krause, R. W., Schoch, D., Wichers, M., Wigman, J. T. W. y Snippe, E. (2019). What do centrality measures measure in psychological networks? Journal of Abnormal Psychology, 128(8), 892–903. https://doi.org/10.1037/abn0000446

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