Mapa logístico
Una ecuación, muchos regímenes dinámicos.
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Qué representa
El estado siguiente se obtiene a partir del presente. Al cambiar r aparecen puntos fijos, ciclos y regímenes caóticos. El diagrama reúne órbitas de muchos valores de r; la curva inferior muestra una sola órbita después del transitorio.
Qué observar
Compara r = 2,8; 3,2; 3,5; 3,8 y 3,83. En el último caso reaparece un ciclo: aumentar el parámetro no implica aumentar el caos de forma monótona.
Ecuaciones y reglas
xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) λₙ = (1/N) Σ log |r(1 − 2xₙ)|
Método y condiciones
Aritmética IEEE 754 · transitorio descartado: 1.600 iteraciones · estimación de λ: 2.048 iteraciones · logaritmo natural.
Límites de interpretación
λ es una estimación sobre una órbita finita, no una prueba general del régimen. Cerca de bifurcaciones los transitorios pueden ser largos. Las condiciones iniciales excepcionales también importan.
Lecturas que aportan fundamentos
Explora la estabilidad, las bifurcaciones y el caos del mapa logístico, junto con los límites del cálculo numérico.
El mapa logístico
El mapa logístico conecta dominio, puntos fijos y el primer ciclo de período dos. Compararlo con la logística continua y con Euler permite reconocer qué dinámica pertenece a cada modelo.
Mapas e iteraciones
Una regla iterada define órbitas, puntos fijos y ciclos dentro de un dominio. El mapa afín y el duplicador permiten separar la dinámica matemática de su ejecución en aritmética finita.
Estabilidad de mapas y ciclos
El multiplicador determina la estabilidad local de muchos puntos fijos y ciclos. Su módulo, su signo y los casos de módulo uno exigen interpretaciones distintas de las usadas en tiempo continuo.
Duplicación de período
La pérdida de estabilidad de ciclos organiza una cascada de duplicaciones. Las constantes de Feigenbaum describen relaciones de escala compartidas por familias de mapas bajo condiciones precisas.
Exponentes de Lyapunov
El exponente de Lyapunov resume una tasa media de expansión a lo largo de una órbita. El mapa logístico permite comparar valores exactos, estimaciones de tiempo finito y condiciones iniciales excepcionales.
Ventanas e intermitencia
Las ventanas periódicas, la intermitencia y la coexistencia de atractores responden a preguntas distintas. Separar el espacio de parámetros del de estados evita confundir estos fenómenos.
Auditar un diagrama de bifurcación
Transitorios, resolución de parámetros, condiciones iniciales y precisión cambian lo que muestra un diagrama. Un protocolo explícito permite distinguir evidencia numérica, artefactos y propiedades demostradas.
Horizonte de predicción
Dos órbitas del mapa logístico conectan precisión inicial, tolerancia y expansión. El horizonte depende del criterio de error y de las fluctuaciones de tiempo finito, además de la tasa media de Lyapunov.