Conexiones homoclínicas y heteroclínicas

C65 mostró que las direcciones estable e inestable de una silla hiperbólica se prolongan en variedades invariantes. Localmente, esas variedades son tangentes a los subespacios propios del jacobiano. Globalmente, pueden curvarse, plegarse y recorrer regiones alejadas del equilibrio. El paso siguiente consiste en preguntar si una rama inestable puede llegar a una variedad estable. Cuando eso ocurre aparecen las conexiones homoclínicas y heteroclínicas.

La diferencia parece terminológica, aunque organiza dos situaciones geométricas distintas. Una conexión homoclínica abandona un objeto invariante y regresa asintóticamente al mismo objeto. Una conexión heteroclínica enlaza dos objetos invariantes diferentes. En ambos casos la conexión depende de la geometría global del flujo o del mapa. Los autovalores locales pueden decir que existen direcciones estables e inestables, aunque no determinan si esas direcciones terminarán encontrándose.

Este punto será importante durante el resto del módulo. Una conexión exacta puede actuar como separatriz y desaparecer bajo una perturbación pequeña. Una intersección transversal entre variedades, en cambio, puede persistir y generar una estructura repetida de estiramiento y plegamiento. Por ello no basta con preguntar si dos variedades «se cruzan» en una figura, ya que importa qué variedades son, qué conjuntos conectan, cómo se encuentran y si el encuentro es robusto.

El capítulo desarrollará estas ideas con dos sistemas resolubles. Primero se obtendrá una órbita homoclínica exacta en el oscilador de Duffing conservativo. Después se construirá una conexión heteroclínica exacta entre dos sillas. Estos ejemplos permitirán separar la existencia de una conexión de la presencia de caos. Finalmente se introducirá la diferencia entre intersección transversal y tangencia, que prepara la herradura de Smale de C67.

66.1. Formulación mediante límites asintóticos

Sea un flujo autónomo

con solución $\Phi_t(z_0)$. Para una trayectoria completa, su conjunto omega-límite $\omega(z_0)$ contiene los puntos a los que la órbita se aproxima mediante alguna sucesión de tiempos $t_n\to+\infty$. El conjunto alfa-límite $\alpha(z_0)$ se define de forma análoga cuando $t_n\to-\infty$.

Si $p$ es un equilibrio hiperbólico, entonces

y

Una órbita no trivial $\gamma(t)$ es homoclínica a $p$ si

Equivalentemente, la órbita pertenece simultáneamente a

sin reducirse al propio punto fijo.

Una órbita es heteroclínica de $p$ a $q$, con $p\neq q$, si

Entonces

La orientación temporal importa. Una misma curva geométrica puede describir conexiones opuestas si el sistema posee ramas con sentidos contrarios, aunque cada órbita tiene un alfa-límite y un omega-límite definidos por la dinámica.

Las definiciones se extienden a mapas invertibles y a objetos invariantes más generales. Un punto puede ser homoclínico a una órbita periódica, no solo a un equilibrio. En un mapa, si $p$ es un punto fijo hiperbólico, un punto $q\neq p$ es homoclínico cuando

y

Por tanto, la noción no depende de una imagen cerrada con forma de lazo. Su contenido es asintótico y geométrico.

66.2. Una órbita homoclínica exacta en el Duffing conservativo

Considérese el sistema

Equivale a

El origen es un equilibrio. Su jacobiano es

con autovalores

Por tanto, el origen es una silla hiperbólica.

El sistema es conservativo. Definamos

A lo largo de una trayectoria,

Así, cada órbita permanece sobre una curva de nivel de $H$. En la silla, $H(0,0)=0.$

La curva de energía $H=0$ satisface

de donde

Las ramas reales existen para $|x|\le\sqrt2$. El nivel $H=0$ forma dos lazos que salen del origen y regresan a él. Puede obtenerse incluso una parametrización exacta,

La segunda rama se obtiene cambiando simultáneamente los signos de $x_h$ e $y_h$.

La comprobación es directa. Como

se cumple $\dot x_h=y_h$. Una segunda derivación da

Además,

por lo que

tanto en el pasado como en el futuro. La órbita es, por definición, homoclínica al origen.

Este ejemplo también conecta la geometría global con la linealización local. Para $t\to+\infty$,

de modo que la aproximación a la silla ocurre con tasa exponencial $e^{-t}$, consistente con el autovalor estable $-1$. Hacia el pasado aparece la tasa asociada con el autovalor inestable $+1$.

66.3. Una conexión homoclínica no implica por sí sola caos

La figura anterior contiene un lazo homoclínico perfectamente definido, aunque el sistema no se vuelve caótico por ello. Es un sistema planar autónomo, integrable mediante la energía $H$. Sus trayectorias están confinadas a curvas de nivel. Dentro de los lazos aparecen órbitas periódicas alrededor de los centros $(\pm1,0)$; fuera de ellos existen otras curvas de energía. La homoclínica actúa como separatriz entre tipos distintos de movimiento.

Este contraejemplo es importante porque en la literatura sobre caos aparece con frecuencia la relación entre puntos homoclínicos e irregularidad. La formulación correcta requiere información adicional. Una conexión homoclínica por coincidencia en un flujo planar no es lo mismo que una intersección homoclínica transversal de variedades en un mapa. El segundo caso posee consecuencias mucho más fuertes y se estudiará más adelante en este capítulo.

Por tanto, la afirmación de que la existencia de una órbita homoclínica implica caos resulta falsa sin hipótesis adicionales. El problema es el mismo que apareció varias veces en capítulos anteriores, donde una figura geométrica no sustituye la estructura matemática que la produce.

66.4. Fragilidad de una conexión exacta

El ejemplo de Duffing permite estudiar también qué ocurre bajo una perturbación simple. Introduzcamos amortiguamiento,

La misma función $H$ ya no es constante. Ahora

Toda trayectoria no estacionaria pierde energía. Esta identidad basta para demostrar que la antigua órbita homoclínica $H=0$ no puede sobrevivir sin cambios. Una trayectoria que saliera de la silla con energía asintótica cero y luego regresara a ella debería terminar nuevamente con $H=0$. Sin embargo, durante cualquier tramo en el que $y\neq0$, la energía disminuiría estrictamente. No puede regresar al mismo valor.

Numéricamente, la rama inestable positiva de la silla ya no retorna al origen. Para $\varepsilon=0.2$ termina aproximándose al equilibrio cercano a $(1,0)$, que con amortiguamiento actúa como atractor.

Este ejemplo muestra por qué muchas conexiones en flujos planares son fenómenos de bifurcación global. Ningún autovalor de la silla tiene que cruzar el eje imaginario para que la conexión desaparezca. La silla puede seguir siendo hiperbólica y conservar sus variedades locales, mientras cambia la forma en que esas variedades se conectan lejos del equilibrio. El sistema perturbado se parece al anterior en las vecindades de los equilibrios, mientras que la organización global de sus trayectorias resulta distinta.

66.5. Una conexión heteroclínica exacta

Consideremos ahora

Los equilibrios son

En $(\pm1,0)$, el jacobiano es

cuyos autovalores son

Los dos extremos son por tanto sillas hiperbólicas. En el origen aparecen autovalores imaginarios puros $\pm i$. En este sistema conservativo el origen es un centro.

Una solución exacta es

Cuando $t\to-\infty$,

mientras que cuando $t\to+\infty$,

Por tanto, la órbita pertenece a

y constituye una conexión heteroclínica de la silla izquierda a la derecha.

El sistema conserva

En ambas sillas,

y la órbita heteroclínica permanece exactamente sobre ese mismo nivel. Existe además una rama inferior con orientación opuesta, que conecta $(1,0)$ con $(-1,0)$. La unión de ambas conexiones forma un ciclo heteroclínico alrededor del centro.

Una red heteroclínica más general puede incluir varias sillas y múltiples conexiones. En sistemas de mayor dimensión, estas redes pueden organizar recorridos complejos entre vecindades de estados invariantes. Sin embargo, la mera presencia de varias sillas no garantiza que la red exista, porque las ramas globales deben encontrarse de la manera requerida.

66.6. Por qué estas conexiones son propiedades globales

Supongamos que conocemos completamente el jacobiano en dos sillas $p$ y $q$. Podemos obtener las dimensiones de $W^u(p)$ y $W^s(q)$, junto con sus tangentes locales. Sin embargo, esa información no especifica si

es vacío.

La razón es geométrica. Los autovalores controlan el comportamiento infinitesimal en vecindades de los equilibrios. Una conexión depende de lo que ocurre después de que una rama abandona una de esas vecindades, atraviesa el espacio de estados y eventualmente entra en otra. Dos sistemas pueden ser idénticos cerca de sus equilibrios y diferir lejos de ellos; uno puede contener una conexión heteroclínica y el otro no.

La misma distinción explica por qué estas transiciones se denominan con frecuencia bifurcaciones globales. Una bifurcación local de un equilibrio puede diagnosticarse a partir del comportamiento de la linealización y de términos no lineales cercanos. Una conexión global exige seguir las variedades a distancias finitas.

Tampoco debe confundirse una aproximación muy cercana con una conexión exacta. Una rama de $W^u(p)$ puede pasar arbitrariamente cerca de $W^s(q)$ y después desviarse. En una figura de resolución limitada, ambos casos pueden parecer idénticos.

66.7. Intersección transversal y tangencia

En mapas bidimensionales aparece una distinción que conviene fijar con cuidado. Sea $F$ un difeomorfismo y $p$ un punto fijo hiperbólico con variedades unidimensionales $W^s(p)$ y $W^u(p)$. Supongamos que existe

El punto $q$ es homoclínico. La intersección es transversal si $T_qW^s(p)+T_qW^u(p)=T_qM.$

En un espacio bidimensional esto significa simplemente que las dos curvas tienen tangentes no paralelas en $q$. Si las tangentes coinciden, existe una tangencia homoclínica.

La transversalidad tiene una consecuencia de robustez. Si dos subvariedades se intersectan transversalmente, una perturbación suficientemente pequeña del sistema suele conservar una intersección cercana. La posición exacta cambia, aunque el cruce no desaparece por un desplazamiento infinitesimal.

Una tangencia carece de esa protección. Una perturbación pequeña puede separar las curvas, mantener la tangencia en un valor paramétrico especial o producir dos intersecciones transversales. Por ello las tangencias aparecen como mecanismos importantes de bifurcación global.

Existe aquí una sutileza específica de los flujos planares. Si dos variedades unidimensionales contienen la misma órbita de un sistema autónomo bidimensional, sus tangentes a lo largo de esa órbita están dadas por el propio campo vectorial. Por unicidad, no pueden cruzarse transversalmente como dos trayectorias distintas en el plano. Las intersecciones homoclínicas transversales que conducen al escenario clásico de Smale se estudian naturalmente en mapas bidimensionales o en mapas de Poincaré asociados a flujos de dimensión mayor.

66.8. Dimensión y posibilidad geométrica del encuentro

La transversalidad permite hacer un conteo geométrico útil. Sean dos subvariedades suaves $A$ y $B$ de dimensiones $a$ y $b$ dentro de un espacio de dimensión $n$. Si se intersectan transversalmente, la dimensión esperada de la intersección es

La fórmula no garantiza que exista una intersección, aunque indica qué forma tendría si ocurre transversalmente. Para un difeomorfismo bidimensional con una silla ordinaria,

y por tanto $1+1-2=0.$

Las intersecciones transversales son puntos aislados. Esto coincide con la imagen geométrica de dos curvas que se cruzan con ángulo no nulo.

En un mapa tridimensional, dos variedades bidimensionales pueden intersectarse transversalmente a lo largo de una curva, porque $2+2-3=1.$

En cambio, dos curvas unidimensionales en tres dimensiones tienen dimensión esperada $1+1-3=-1,$ lo que expresa que un encuentro no es genérico y obliga a ajustar parámetros o a imponer restricciones adicionales para forzar la coincidencia.

Para flujos autónomos existe una cautela adicional. Una órbita de conexión aporta por sí misma la dirección del campo vectorial, compartida por las variedades que contienen esa trayectoria. Por ello el conteo se formula con mayor claridad después de introducir una sección de Poincaré transversal al flujo. La sección elimina la dirección trivial del tiempo y convierte la órbita periódica o la conexión recurrente en un problema de intersección para un mapa de menor dimensión. Esta es una de las razones por las que los mapas de retorno de C61 exceden lo gráfico, ya que permiten trasladar problemas globales de un flujo al lenguaje geométrico de difeomorfismos.

Conexiones asociadas a órbitas periódicas

Las definiciones tampoco se restringen a equilibrios. Sea $\Gamma$ una órbita periódica hiperbólica de un flujo. Puede poseer variedades $W^s(\Gamma)$ y $W^u(\Gamma)$. Una trayectoria es homoclínica a $\Gamma$ si se aproxima a esa misma órbita periódica en ambos sentidos temporales, aunque la fase sobre el ciclo pueda ser distinta. De manera análoga, una conexión heteroclínica puede enlazar dos órbitas periódicas diferentes o una órbita periódica con otro conjunto hiperbólico.

Al elegir una sección de Poincaré, $\Gamma$ se convierte en un punto fijo del mapa de retorno. Sus variedades continuas intersectan la sección en variedades estables e inestables del punto fijo. Así, un problema aparentemente más complicado del flujo puede estudiarse mediante la misma geometría de intersecciones usada para mapas. Esta correspondencia será importante en C67 y, más adelante, cuando se estudien conexiones homoclínicas mediante técnicas perturbativas.

66.9. Del punto homoclínico transversal a una dinámica mucho más rica

La diferencia anterior explica por qué un lazo homoclínico planar y un punto homoclínico transversal no deben tratarse como sinónimos.

Para un difeomorfismo suficientemente regular, la existencia de un punto homoclínico transversal asociado a un punto periódico hiperbólico tiene consecuencias fuertes. En términos del teorema de Birkhoff–Smale, alguna iteración del mapa contiene un conjunto hiperbólico invariante cuya dinámica puede representarse mediante un corrimiento simbólico sobre un número finito de símbolos. En particular, aparecen órbitas periódicas de períodos arbitrariamente grandes y una estructura de intersecciones repetidas entre variedades.

La idea geométrica puede anticiparse sin desarrollar todavía la construcción completa. Si $W^u(p)$ cruza transversalmente $W^s(p)$, la invariancia obliga a que las imágenes y preimágenes de ese cruce sigan perteneciendo a las mismas variedades. La expansión a lo largo de una dirección y la contracción en otra reproducen el patrón a escalas sucesivas. La intersección inicial no queda aislada.

Sin embargo, deben evitarse dos exageraciones. Primero, el teorema no dice que todo el espacio de estados sea caótico. Identifica un conjunto invariante con dinámica simbólica compleja. Segundo, no toda conexión homoclínica posee la transversalidad necesaria. El Duffing conservativo de este capítulo es el contraejemplo elemental.

C67 hará explícita la geometría de esta repetición mediante la herradura de Smale.

66.10. Conexiones heteroclínicas, ciclos y redes

Una sola conexión heteroclínica enlaza dos conjuntos invariantes distintos. Si además existe una segunda conexión que permite regresar, puede formarse un ciclo heteroclínico. Si participan más objetos y más ramas, se habla de red heteroclínica.

Estas estructuras pueden organizar trayectorias durante tiempos muy largos. Una órbita puede acercarse a una silla siguiendo su variedad estable, permanecer cerca mientras la componente inestable es todavía pequeña y salir después siguiendo una rama de $W^u$. Si otra silla recibe esa rama, el proceso puede repetirse.

El tiempo de permanencia cerca de cada silla depende de sus tasas locales de contracción y expansión y de la distancia con la que la trayectoria entra en su vecindad. Por ello una secuencia de visitas a distintos estados no implica que exista un oscilador periódico subyacente. Puede ser una dinámica organizada por conexiones entre conjuntos invariantes.

No obstante, las redes heteroclínicas suelen requerir estructuras adicionales para persistir, por ejemplo simetrías o subespacios invariantes que obliguen a ciertas ramas a coincidir. Sin esas restricciones, pequeñas perturbaciones pueden romper algunas conexiones. La robustez debe evaluarse en cada clase de sistema y no atribuirse por el nombre de la estructura.

66.11. Cómo detectar una conexión numéricamente

La simulación plantea un problema delicado. Una conexión exacta se define mediante límites cuando $t\to\pm\infty$, mientras que un computador observa intervalos finitos. Además, las variedades inestables amplifican errores hacia el futuro y las estables hacen lo mismo al integrarlas en la dirección temporal contraria.

Para un mapa bidimensional puede organizarse un procedimiento razonable. Se localiza y verifica primero el punto fijo hiperbólico, junto con los autovalores y autovectores de su jacobiano. Con esa información se inician segmentos cortos en las direcciones estable e inestable, se prolonga $W^u$ mediante iteración hacia adelante y $W^s$ mediante el mapa inverso, para después buscar candidatos a intersección. Cada candidato se refina con interpolación o resolviendo una ecuación de cruce; luego se comprueban sus tangentes locales y el ángulo de intersección. El cálculo completo se repite con un segmento inicial menor, mayor resolución y tolerancias diferentes.

Una distancia pequeña entre dos nubes de puntos no demuestra una intersección. Tampoco basta que dos curvas se crucen en una proyección bidimensional de un espacio tridimensional. La igualdad debe establecerse en el espacio de estados completo.

Para flujos, los métodos de disparo pueden buscar una trayectoria que salga de una vecindad de una silla en una dirección inestable y alcance una condición compatible con la variedad estable de otra. Los problemas de contorno ofrecen una alternativa más robusta en muchos casos. En ambos enfoques, el resultado numérico debe acompañarse de análisis de convergencia y de las hipótesis que hacen plausible la conexión.

66.12. Qué demuestra y qué no demuestra una figura

Las figuras de este capítulo cumplen funciones distintas. Las dos primeras corresponden a sistemas con soluciones exactas, de modo que la conexión no depende de la apariencia del gráfico. La tercera muestra numéricamente la consecuencia de una identidad analítica, $\dot H=-\varepsilon y^2$. La cuarta es un esquema conceptual que diferencia transversalidad de tangencia.

En problemas sin solución exacta, una figura puede sugerir una conexión, aunque no debe presentarse automáticamente como prueba. Una trayectoria muy larga cerca de una separatriz puede dar la impresión de converger a una silla y después alejarse. Dos ramas pueden pasar a una distancia menor que el grosor del trazo. Una integración hacia atrás puede acumular error justo en la dirección que se intenta reconstruir.

La comprobación adecuada depende de la afirmación. Si se afirma que una trayectoria es homoclínica, deben examinarse ambos límites asintóticos. Si se afirma transversalidad, debe estimarse el ángulo o comprobarse la independencia de los espacios tangentes. Si se afirma persistencia bajo perturbaciones, hay que variar el parámetro y reconstruir la geometría.

Esta disciplina es especialmente importante porque la geometría global produce imágenes convincentes. Una imagen compleja puede ser informativa y, al mismo tiempo, insuficiente como demostración.

66.13. Verificación computacional

El paquete reproducible contiene tres bloques principales.

Para el Duffing conservativo se verifica que

y su derivada satisfacen las ecuaciones diferenciales. Se comprueba además que $H(x_h(t),y_h(t))=0$ a lo largo de toda la órbita y que la integración con DOP853 reproduce la solución analítica dentro de la tolerancia establecida. Las tasas asintóticas obtenidas numéricamente concuerdan con los autovalores $\pm1$ de la silla.

Para la conexión heteroclínica se comprueba por sustitución la solución

se verifica el nivel de energía $H=1/4$ y se compara nuevamente la expresión cerrada con una integración numérica. Los extremos de la trayectoria se aproximan a las sillas $(-1,0)$ y $(1,0)$, con la tasa esperada a partir de los autovalores locales.

Finalmente se perturba el Duffing con amortiguamiento. El código verifica que la energía no aumenta, contrasta la derivada numérica con

y comprueba que la rama inestable positiva deja de regresar a la silla y termina cerca de $(1,0)$.

Se ejecutaron 25 comprobaciones y todas resultaron satisfactorias. Estas pruebas verifican las soluciones exactas, los balances de energía, las tasas asintóticas y el ejemplo de ruptura de la conexión. No constituyen una demostración computacional general de los teoremas sobre intersecciones transversales.

66.14. De la conexión a la herradura

C65 permitió construir variedades invariantes. C66 ha mostrado que su encuentro puede adoptar formas dinámicamente muy distintas. Una coincidencia homoclínica planar puede ser una separatriz integrable y frágil. Una conexión heteroclínica puede enlazar estados distintos y formar ciclos. Una intersección transversal en un mapa posee una robustez y una capacidad de reproducción geométrica mucho mayores.

El paso siguiente consiste en entender por qué una intersección transversal puede generar una colección infinita de estiramientos, plegamientos e itinerarios simbólicos. C67 estudiará la herradura de Smale como modelo geométrico explícito de ese mecanismo. Allí el lenguaje simbólico introducido para los mapas del Módulo 6 reaparecerá dentro de una construcción bidimensional global.

Referencias

Guckenheimer, J., & Holmes, P. (1983). Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1140-2

Hirsch, M. W., Pugh, C. C., & Shub, M. (1977). Invariant Manifolds. Lecture Notes in Mathematics, 583. Springer. https://doi.org/10.1007/BFb0092042

Smale, S. (1967). Differentiable dynamical systems. Bulletin of the American Mathematical Society, 73(6), 747–817. https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1967-11798-1

Wiggins, S. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos (2nd ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/b97481

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