Dependencia de trayectoria, memoria e irreversibilidad

Estado presente e historia

En el capítulo 2 definimos el estado de un sistema como la información suficiente para determinar, junto con las entradas y los parámetros pertinentes, su evolución posterior dentro del modelo. Esa definición permite formular con precisión algo que el lenguaje cotidiano expresa de manera vaga cuando dice que un sistema recuerda lo que le ocurrió. La pregunta científica es si la descripción que llamamos estado contiene toda la información necesaria para predecir la dinámica futura.

Consideremos dos trayectorias que llegan al mismo valor observable $x = 5$ en el instante $t$. En la primera, los valores anteriores fueron 9, 7 y 5. En la segunda fueron 1, 3 y 5. Si la regla de evolución depende solo del valor actual, ambas trayectorias son equivalentes para el modelo desde ese instante. El pasado fue diferente, aunque ya no tiene consecuencias adicionales una vez conocido $x = 5$. Si el siguiente valor depende también de la dirección reciente del cambio, en cambio, las dos historias dejan de ser equivalentes. La figura 9.1 muestra ambos casos.

Esta distinción evita un uso demasiado amplio de expresiones como dependencia histórica o dependencia de trayectoria. Todo sistema dinámico evoluciona desde condiciones anteriores, lo que no hace que toda dinámica dependa de la trayectoria en un sentido fuerte. Un modelo puede depender por completo de su condición inicial y tener, al mismo tiempo, un estado presente que resume toda la información relevante del pasado.

El capítulo separa cuatro ideas relacionadas y diferentes, la memoria, la dependencia de trayectoria, la histéresis y la irreversibilidad. Veremos además que la existencia de memoria depende en parte de cómo se define el estado. Una variable observada puede parecer no markoviana porque se omitieron variables que almacenan información del pasado. En otros casos, la historia solo puede eliminarse introduciendo nuevas variables o una regla con retardo.

Memoria y propiedad de Markov

Un proceso tiene la propiedad de Markov, respecto de una representación dada del estado, cuando el futuro condicionado al presente no requiere información adicional del pasado. Para una secuencia $X_0, X_1, \dots$ se escribe

En un sistema determinista la idea es aún más directa. Si $x_t$ contiene el estado completo y la regla es $x_{t+1} = f(x_t)$, conocer $x_t$ basta para calcular el paso siguiente. La trayectoria anterior puede ser necesaria para explicar cómo se llegó allí, aunque no para continuar la evolución.

Consideremos ahora una regla con memoria explícita,

Si solo se conoce $x_t$, el valor siguiente queda indeterminado, porque hace falta $x_{t-1}$. Con las dos historias de la sección anterior, $x_t = 5$ en ambos casos. Si $x_{t-1} = 7$ se obtiene $x_{t+1} = 5{,}1$ y si $x_{t-1} = 3$ se obtiene $x_{t+1} = 3{,}9$. El mismo valor actual conduce a futuros diferentes.

El estado puede redefinirse, sin embargo, como un vector de dos componentes, $z_t = (x_t, x_{t-1})$. Con esa ampliación, el modelo vuelve a ser una dinámica de primer orden,

La memoria no desapareció, porque quedó incorporada a una representación del estado más rica. El ejemplo muestra que decir que un sistema tiene memoria puede significar que la variable observada no basta como estado. En series temporales, neurociencia y psicopatología, una señal que parece depender del pasado puede reflejar variables latentes, retardos, integración temporal o mecanismos genuinamente históricos. Distinguir esas posibilidades requiere modelos y observaciones adicionales.

Ampliar el estado no siempre produce un vector finito. En una ecuación con retardo continuo, como $dx/dt = f\big(x(t), x(t - \tau)\big)$, conocer $x(t)$ y $x(t - \tau)$ no basta para continuar la solución, porque se necesita toda la función de historia en el intervalo $[t - \tau, t]$. El estado natural es entonces esa función, un objeto de dimensión infinita. Ciertos núcleos de memoria admiten, en cambio, realizaciones exactas con pocas variables auxiliares. Una memoria que pondera la entrada pasada con un núcleo exponencial, $y(t) = \int_{-\infty}^{t} e^{-(t-s)/\tau}\,u(s)\,ds$, equivale a una sola variable que cumple $dy/dt = -y/\tau + u$. Que la ampliación sea finita debe demostrarse para cada modelo.

Dependencia de las condiciones iniciales y dependencia de trayectoria

Un sistema puede ser muy sensible a sus condiciones iniciales sin necesitar información anterior una vez fijado su estado presente. El mapa logístico $x_{t+1} = r\,x_t(1 - x_t)$ usa solo $x_t$ y $r$. Para $0 \le r \le 4$ conserva el intervalo $[0, 1]$. En algunos regímenes es sensible a las condiciones iniciales, aunque su regla sigue siendo de primer orden. El determinismo puede entenderse aquí como un caso particular de transición de Markov concentrada en un único estado siguiente.

La dependencia de trayectoria, en su uso más informativo, exige algo más que la afirmación general de que el pasado influye en el presente. Page (2006) advirtió que el concepto pierde valor analítico cuando se usa como sinónimo de que la historia importa. En los modelos clásicos de rendimientos crecientes, las decisiones o perturbaciones tempranas modifican las opciones posteriores porque el propio proceso cambia los incentivos, los costos o las probabilidades de transición. El camino recorrido altera el conjunto de posibilidades que queda disponible.

Conviene distinguir tres preguntas. La primera es si el futuro depende del estado actual, algo que ocurre en casi todo modelo dinámico. La segunda es si pequeñas diferencias iniciales pueden producir trayectorias divergentes, lo que remite a la sensibilidad dinámica y, en ciertos regímenes, al caos. La tercera es si la secuencia de acontecimientos modifica las reglas efectivas, los costos de cambio o las configuraciones accesibles. Solo esta última se acerca al núcleo de la dependencia de trayectoria.

La diferencia será importante al estudiar los sistemas adaptativos. Si una red modifica sus conexiones mientras opera, dos trayectorias que producen por un tiempo el mismo patrón de actividad pueden haber transformado de manera distinta la estructura subyacente. Igualar solo el estado observable puede ocultar entonces diferencias relevantes en la capacidad futura de respuesta.

La urna de Pólya como modelo de autorrefuerzo

La urna de Pólya es un ejemplo elemental de dependencia histórica por autorrefuerzo. Una urna contiene al principio una bola roja y una azul. En cada paso se extrae una bola al azar, se devuelve y se añade otra del mismo color. La probabilidad del color siguiente depende de la composición actual de la urna, que es consecuencia de todos los resultados anteriores. Si hay $R$ bolas rojas y $B$ azules, la probabilidad de extraer una roja es $R/(R + B)$.

Supongamos que las tres primeras extracciones son rojas, una secuencia cuya probabilidad es $\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{3}{4} = \tfrac{1}{4}$. La urna pasa de (1, 1) a (4, 1) y la probabilidad de rojo en la cuarta extracción es 4/5. Si las tres primeras hubieran sido azules, la composición sería (1, 4) y esa probabilidad, 1/5. Las contingencias tempranas no quedan simplemente registradas, porque alteran las probabilidades posteriores mediante una regla de refuerzo.

El mecanismo ayuda a comprender los modelos de bloqueo, en inglés lock-in, que Arthur (1989) desarrolló en economía. Con rendimientos crecientes, una tecnología que obtiene una ventaja inicial puede volverse más atractiva a medida que aumenta su adopción. La historia temprana puede seleccionar entre varios resultados posibles. Revertir después la situación puede ser costoso. Arthur mostró que el resultado seleccionado no tiene por qué ser el único posible ni el más eficiente según todos los criterios.

La urna permite una precisión adicional. Si dos historias distintas produjeron la misma composición actual, por ejemplo cuatro bolas rojas y tres azules, la probabilidad del resultado siguiente es la misma en ambas. La historia relevante quedó comprimida en el estado presente, $R = 4$ y $B = 3$. El proceso es markoviano respecto de esa composición, aunque ella sea el resultado acumulado de contingencias anteriores. Dependencia de trayectoria y propiedad de Markov no se oponen, porque un proceso histórico puede estar completamente representado por un estado que codifica las consecuencias de su trayectoria.

La urna clásica tampoco produce una fijación inevitable en un solo color. Con una bola de cada color al inicio y una bola de refuerzo por extracción, la proporción de rojas converge casi seguramente a un límite aleatorio con distribución uniforme en $[0, 1]$. La probabilidad de que ese límite sea exactamente 0 o 1 es nula. El orden de una secuencia con los mismos conteos no modifica su probabilidad, porque las extracciones son intercambiables. Hay acumulación y contingencia del resultado, sin absorción inevitable ni dependencia de cada detalle del orden. Otras reglas de refuerzo pueden comportarse de manera distinta (Pemantle, 2007). La figura 9.2 muestra veinte urnas simuladas y la distribución de la proporción final en diez mil.

La urna precisa qué significa afirmar que la historia importa. El modelo no necesita conservar la lista completa de los acontecimientos pasados. Basta que esos acontecimientos hayan modificado alguna variable que persiste y altera las transiciones posteriores. En la urna, esa variable es la composición. En una organización podría ser una infraestructura instalada, en una red adaptativa una matriz de conexiones y en un sistema biológico una modificación persistente de parámetros o de estructura. La tarea científica consiste en identificar qué variable cumple esa función y medirla. Invocar la historia como explicación residual no reemplaza esa tarea.

La conclusión no debe trasladarse automáticamente a otros dominios. El bloqueo requiere un mecanismo de autorrefuerzo o costos de cambio que deben especificarse. Que una práctica haya persistido durante años no demuestra dependencia de trayectoria, porque podría persistir por seguir siendo superior, por restricciones externas constantes o por falta de alternativas viables. La explicación histórica exige identificar qué acontecimientos alteraron realmente las transiciones posteriores.

Histéresis

La histéresis es una forma más específica de memoria. La salida de un sistema depende del valor actual de la entrada y también del recorrido previo de esa entrada, lo que puede producir lazos en la relación entre entrada y salida. Al aumentar y luego disminuir la entrada, el sistema no sigue necesariamente el mismo camino de regreso.

Un modelo mínimo es el relé con dos umbrales. Sea $u$ la entrada y $y$ la salida, que vale $+1$ o $-1$, con umbrales $\beta < \alpha$. La salida pasa a $+1$ si $u \ge \alpha$, pasa a $-1$ si $u \le \beta$ y conserva su valor previo si $\beta < u < \alpha$. Tomemos $\beta = -1$ y $\alpha = 1$. Si se parte de $y = -1$ y $u$ aumenta de −2 a 0, la salida sigue en −1 y solo cambia a +1 cuando $u$ llega a 1. Si luego $u$ disminuye desde 2, al pasar de nuevo por $u = 0$ la salida permanece en +1 y no vuelve a −1 hasta que $u$ llega a −1. Con la misma entrada $u = 0$ puede observarse $y = -1$ o $y = +1$ según la trayectoria anterior, como muestra el panel a de la figura 9.3.

El recorrido sugiere una prueba para el mecanismo de doble umbral, que consiste en controlar la entrada, comparar barridos ascendentes y descendentes y evaluar la repetibilidad. Eso no define la histéresis en general ni exige que todo sistema histerético tenga exactamente dos umbrales. La relación entre entrada y salida puede ser continua y depender de numerosos extremos previos. Una respuesta distinta ante la misma entrada tampoco basta para identificar el mecanismo, porque también deben examinarse los cambios de parámetros, la observación parcial y la velocidad del barrido.

En el relé, el valor presente de la entrada no determina la salida. Basta conservar el estado binario anterior o el último umbral cruzado. En otras realizaciones la información necesaria es más extensa. Los modelos de Preisach representan memorias selectivas mediante una superposición de muchos relés con umbrales distintos (Mayergoyz, 1991).

Conviene distinguir la histéresis independiente de la velocidad de los lazos que produce un desfase dinámico. En un sistema de relajación lineal, $dy/dt = (u - y)/\tau$, una entrada periódica $u = \sin(\omega t)$ genera un lazo elíptico cuya área vale $\pi\,\omega\tau/\big(1 + (\omega\tau)^2\big)$. El área disminuye hasta desaparecer cuando el barrido se hace suficientemente lento. En el relé ideal, el lazo persiste aunque el barrido sea arbitrariamente lento, porque depende de la historia de la entrada con independencia de la rapidez con que se recorre. Algunas disciplinas llaman también histéresis dependiente de la velocidad a esas respuestas dinámicas. Por eso debe declararse la acepción que se usa, sin llamar histéresis a cualquier retardo ni excluir por definición todos los lazos dinámicos.

Varias nociones de irreversibilidad

La irreversibilidad también requiere precisión, porque puede referirse a propiedades distintas. Una primera noción es matemática. Una dinámica no es invertible si varios estados anteriores pueden conducir al mismo estado posterior. En el mapa $x_{t+1} = x_t^2$, los estados $x_t = 2$ y $x_t = -2$ producen ambos $x_{t+1} = 4$. Si solo se conoce el valor posterior, el estado anterior no puede reconstruirse de manera única, porque la información sobre el signo se perdió. El mapa es de muchos a uno y carece de una inversa global única.

El mapa $x_{t+1} = 0{,}5\,x_t$ contrae las trayectorias hacia cero y es, sin embargo, invertible en los números reales, con $x_t = 2\,x_{t+1}$. Reconstruir hacia atrás puede ser, con todo, extremadamente sensible al error. Un error de 0,01 en una observación, multiplicado por dos en cada uno de veinte pasos hacia atrás, se convierte en un error cercano a 10 500. Una dinámica puede ser invertible en teoría y difícil de revertir en la práctica.

La invertibilidad tampoco equivale a la simetría frente a la inversión temporal. La primera pregunta si un estado anterior puede reconstruirse de manera unívoca dentro del dominio. La segunda pregunta si una transformación temporal definida conserva las leyes, lo que puede incluir cambios de variables como invertir las velocidades. Incluso el mapa $x \mapsto x^2$ cambia de clasificación según su dominio, porque no es inyectivo en los números reales y sí lo es en $[0, \infty)$. Antes de hablar de irreversibilidad matemática hay que especificar el espacio de estados y el criterio.

Una tercera noción proviene de la termodinámica. Muchas leyes microscópicas fundamentales admiten la inversión temporal en condiciones apropiadas, mientras que los procesos macroscópicos muestran una flecha temporal asociada al aumento típico de la entropía desde estados iniciales especiales. El problema requiere física estadística y el paso a descripciones más gruesas, de modo que no lo desarrollaremos aquí. Basta evitar la conclusión simplista de que irreversible significa siempre que las ecuaciones fundamentales prohíben recorrer el camino contrario.

Invertir una ecuación y restaurar un sistema son operaciones distintas. Para revertir matemáticamente una trayectoria hay que reconstruir los estados anteriores a partir de los posteriores. Para restaurar un sistema basta alcanzar de nuevo alguna configuración que satisfaga un criterio elegido. La recuperación funcional puede ocurrir por otra trayectoria y terminar en una configuración microscópica diferente. La distinción será relevante al estudiar la resiliencia, porque volver a la misma función no borra la historia del sistema.

Existe también una irreversibilidad operacional. Una institución puede, en principio, volver a una configuración anterior, aunque hacerlo puede requerir recursos o condiciones que ya no están disponibles. Un organismo puede recuperar una función sin reconstruir exactamente su estado previo. Una trayectoria clínica puede mejorar sin volver al mismo conjunto de condiciones biográficas, sociales o fisiológicas de meses anteriores. Estas afirmaciones deben evaluarse respecto de variables y escalas especificadas y no son ejemplos automáticos de irreversibilidad termodinámica.

Memoria, histéresis, bloqueo y multiestabilidad

Los conceptos anteriores se solapan en parte sin que ninguno contenga a todos los demás. La memoria es la noción más general, porque indica que cierta información del pasado sigue siendo relevante para la evolución futura. Esa información puede almacenarse en una variable interna, en la estructura de una red o en una configuración del entorno.

La histéresis es una forma de dependencia histórica que aparece al variar una entrada y observar respuestas distintas para un mismo valor de ella según el recorrido previo. El bloqueo describe situaciones en que un autorrefuerzo o unos costos de cambio mantienen una alternativa seleccionada por la historia. La multiestabilidad indica que el sistema tiene varios atractores o estados estables con los mismos parámetros. Puede facilitar la histéresis, aunque no la garantiza.

Un sistema multiestable puede presentar histéresis si, al modificar un parámetro, las transiciones entre estados ocurren en umbrales diferentes según la dirección del cambio. Un sistema puede quedar bloqueado en una configuración por costos de transición sin que se haya medido un lazo de histéresis. Un proceso puede conservar información del pasado sin multiestabilidad ni bloqueo, como la regla con $x_t$ y $x_{t-1}$.

Estos conceptos también deben separarse de la irreversibilidad. Un relé ideal puede pasar de +1 a −1 y regresar, de modo que tiene memoria y un lazo de histéresis con estados accesibles en ambas direcciones. Un mapa de muchos a uno, en cambio, puede ser irreversible sin histéresis. La coincidencia frecuente de memoria, disipación e irreversibilidad en los sistemas físicos no autoriza a tratarlas como propiedades idénticas. El cuadro 9.1 resume las diferencias.

Cuadro 9.1. Conceptos relacionados con la historia de un sistema.

Mismo puntaje, distinto estado dinámico

Consideremos dos personas con el mismo puntaje total en una escala de síntomas el décimo día. En la primera, los puntajes de los cuatro días previos fueron 18, 15, 12 y 10. En la segunda fueron 4, 6, 8 y 10. Si el estado es solo el puntaje del décimo día, ambas personas son indistinguibles dentro del modelo. Si el futuro depende de la tendencia reciente, esa representación es insuficiente.

Una corrección mínima incorpora dos variables, el nivel actual y la pendiente reciente. Una regla como $x_{t+1} = x_t + 0{,}5\,(x_t - x_{t-1})$ predice 9 para la primera persona y 11 para la segunda. Otra opción consiste en modelar los factores que generan la tendencia. El ejemplo no supone que la pendiente tenga un significado clínico universal. Muestra cómo una memoria aparente puede revelar que la variable elegida no contiene un estado suficiente.

Cabe una segunda posibilidad. Las intervenciones previas pueden haber modificado rutinas, expectativas o condiciones ambientales que siguen influyendo en la trayectoria. La historia estaría entonces almacenada en variables del sistema o del entorno que la escala no registra. El mismo puntaje observable podría corresponder a configuraciones distintas y, por tanto, a distribuciones futuras distintas.

Este razonamiento no autoriza a concluir que la psicopatología presenta histéresis en sentido formal. Cramer y colaboradores (2016) simularon redes de síntomas en que la probabilidad de que un síntoma se active depende de la actividad de sus vecinos. Las redes con conexiones fuertes, sometidas a estrés externo, tenían más probabilidad de terminar en un estado depresivo, mientras que las de conexiones débiles tendían a permanecer en un estado no depresivo o a regresar a él. El resultado muestra cómo podría surgir una dependencia de la historia en un modelo de síntomas, aunque pertenece al modelo simulado.

Demostrar histéresis en pacientes exigiría definir una entrada o variable de control, especificar el resultado, recorrer esa variable en ambas direcciones y mostrar una dependencia sistemática de la historia en condiciones comparables. En clínica, un diseño así solo es aceptable si no exige provocar daño. Los registros longitudinales y las intervenciones indicadas pueden aportar evidencia, condicionada por sus supuestos, sin que la dificultad de manipular la entrada convierta una analogía en demostración.

La aplicación útil consiste en formular preguntas empíricas. Interesa saber qué información histórica mejora la predicción después de conocer el estado actual, si esa información corresponde a variables latentes identificables, si existen umbrales distintos de entrada y de salida de un régimen y qué perturbaciones permiten discriminar entre modelos. Esas preguntas mantienen separada la intuición clínica de la evidencia necesaria para sostener un mecanismo dinámico.

Dependencia de trayectoria en organizaciones y sistemas sociotécnicos

Los sistemas organizacionales son otro dominio en que la dependencia de trayectoria puede ser relevante. Una institución adopta un programa informático, capacita al personal, crea interfaces y reorganiza procedimientos en torno a esa tecnología. Con el tiempo, migrar a una alternativa exige cambiar bases de datos, contratos y rutinas, además de adquirir otro programa. La persistencia puede provenir de los costos de coordinación acumulados, con independencia de la calidad del producto inicial.

La explicación debe especificar el mecanismo. Decir que una organización siempre ha funcionado así describe una continuidad sin explicar por qué se mantiene. Mahoney (2000) propuso que un análisis de dependencia de trayectoria identifique acontecimientos contingentes iniciales y los mecanismos que después los refuerzan o desencadenan cadenas de reacciones. En una organización, eso significa reconstruir qué decisiones tempranas alteraron costos o capacidades posteriores, qué mecanismos reforzaron la configuración y qué alternativas quedaron cada vez menos accesibles.

La misma precisión importa en los sistemas que combinan personas y herramientas de IA. Una herramienta que empieza como ayuda opcional puede cambiar la forma en que se documentan los datos. Esos datos pueden usarse después para entrenar o evaluar versiones posteriores. Si la infraestructura llega a depender del formato que produce la herramienta, reemplazarla puede volverse cada vez más costoso. El ejemplo describe un mecanismo posible y su evaluación requeriría medir las dependencias técnicas, los incentivos y los costos de transición.

En todos estos casos, la dependencia de trayectoria es una hipótesis sobre procesos, que no se infiere de la sola existencia de una historia. Su valor reside en imponer una pregunta más precisa sobre qué ocurrió, cómo cambió la estructura de opciones y por qué ese cambio persiste.

Consolidación

Todo estado presente tiene una historia causal, aunque un modelo solo necesita memoria adicional cuando el estado elegido no contiene toda la información relevante para continuar la evolución. A veces esa insuficiencia se resuelve ampliando el vector de estado. Otras veces requiere retardos, que pueden exigir un estado de dimensión infinita, o reglas explícitamente históricas.

La sensibilidad a las condiciones iniciales estudia cómo las diferencias iniciales modifican las trayectorias bajo una regla dada. La dependencia de trayectoria, en su sentido más informativo, implica que la secuencia recorrida modifica probabilidades, costos, reglas o estados internos que condicionan lo que puede ocurrir después. La urna de Pólya mostró que un proceso con dependencia de trayectoria puede ser markoviano respecto de un estado que acumula su historia.

Sostener que hay histéresis exige más que observar que un sistema tarda en volver o que no es el mismo después de una crisis. Hay que demostrar que, para valores comparables de una entrada, la respuesta depende del recorrido previo. También hay que distinguir ese lazo de los que produce un simple desfase dinámico.

La irreversibilidad tiene varias acepciones. Una transformación puede no ser invertible, otra puede ser invertible aunque inestable hacia atrás, un proceso macroscópico puede ser termodinámicamente irreversible y una organización puede encontrar prohibitivo reconstruir su configuración anterior. Esas afirmaciones no deben intercambiarse sin especificar el nivel y el criterio de reversión.

En los capítulos siguientes estas distinciones servirán para estudiar la resiliencia, la adaptación y las transiciones entre regímenes. Ante la afirmación de que un sistema recuerda, la pregunta apropiada será operacional. Hay que identificar qué variable conserva la información, cómo modifica la dinámica y qué observación permitiría distinguir ese mecanismo de una explicación alternativa.

Ejercicios

Ejercicio 9.1. Considere la regla $x_{t+1} = 0{,}6\,x_t + 0{,}3\,x_{t-1}$. (a) Calcule $x_{t+1}$ y $x_{t+2}$ para las historias 9, 7, 5 y 1, 3, 5. (b) Calcule los valores propios de la matriz del texto e indique si la diferencia entre ambas historias se mantiene a largo plazo. (c) ¿En qué sentido tiene memoria este sistema y en qué sentido no la tiene?

Ejercicio 9.2. En la urna de Pólya que parte con una bola de cada color, escriba R para rojo y A para azul. (a) Calcule la probabilidad de las secuencias RRA, RAR y ARR. (b) Calcule la probabilidad de obtener 0, 1, 2 y 3 rojas en tres extracciones. (c) ¿Qué sugiere el resultado de (b) sobre la distribución del límite? (d) Después de observar RRRA, o bien ARRR, ¿qué probabilidad tiene el rojo en la quinta extracción?

Ejercicio 9.3. Considere el relé con umbrales $\beta = -1$ y $\alpha = 1$, que parte de $y = -1$. (a) Calcule las salidas para la secuencia de entradas 0; 1,2; 0; −1,5; 0. (b) ¿Qué información mínima hace falta, además de $u$, para predecir $y$? (c) Si $u$ oscila entre −2 y 2, ¿qué área tiene el lazo en el plano de entrada y salida? ¿Depende de la velocidad del barrido?

Ejercicio 9.4. Considere $dy/dt = (u - y)/\tau$ con $u = \sin(\omega t)$. (a) Verifique que la respuesta estacionaria es $y = A \sin(\omega t - \varphi)$ con $A = 1/\sqrt{1 + (\omega\tau)^2}$ y $\varphi = \arctan(\omega\tau)$. (b) Calcule el área del lazo para $\omega\tau$ igual a 1; 0,3 y 0,05. (c) ¿Qué ocurre con el área cuando $\omega\tau$ tiende a cero y cuando tiende a infinito? ¿Por qué este lazo no es histéresis en el sentido del relé?

Ejercicio 9.5. (a) ¿Es invertible el mapa $x_{t+1} = x_t^2$ en los números reales? ¿Lo es en $[0, \infty)$? (b) Para $x_{t+1} = 0{,}5\,x_t$, se observa $x_{20} = 0{,}001$ con un error de 0,01. ¿Qué error tiene la reconstrucción de $x_0$? (c) Diga qué noción de irreversibilidad corresponde a cada caso. Un hospital cierra una unidad y reasigna a su personal, de modo que reabrirla exige contratar y capacitar. Un paciente recupera una función después de un accidente cerebrovascular mediante estrategias compensatorias. Dos gases se mezclan en un recipiente.

Ejercicio 9.6. Considere a las dos personas del ejemplo clínico. (a) Calcule las predicciones de la regla $x_{t+1} = x_t + 0{,}5\,(x_t - x_{t-1})$. (b) Proponga un estado ampliado para esa regla. (c) ¿Cómo podría comprobarse con datos que la pendiente reciente mejora la predicción? (d) ¿Demostraría histéresis una diferencia entre las trayectorias futuras de ambas personas?

Referencias

Arthur, W. B. (1989). Competing technologies, increasing returns, and lock-in by historical events. The Economic Journal, 99(394), 116–131. https://doi.org/10.2307/2234208

Cramer, A. O. J., van Borkulo, C. D., Giltay, E. J., van der Maas, H. L. J., Kendler, K. S., Scheffer, M. y Borsboom, D. (2016). Major depression as a complex dynamic system. PLOS ONE, 11(12), e0167490. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0167490

Mahoney, J. (2000). Path dependence in historical sociology. Theory and Society, 29(4), 507–548. https://doi.org/10.1023/A:1007113830879

Mayergoyz, I. D. (1991). Mathematical models of hysteresis. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-3028-1

Page, S. E. (2006). Path dependence. Quarterly Journal of Political Science, 1(1), 87–115. https://doi.org/10.1561/100.00000006

Pemantle, R. (2007). A survey of random processes with reinforcement. Probability Surveys, 4, 1–79. https://doi.org/10.1214/07-PS094