75.1. No existe una única «dimensión fractal»

Los cuatro capítulos anteriores construyeron objetos geométricos que desafían la identificación intuitiva entre dimensión, longitud y ocupación del espacio. Cantor tiene longitud cero y cardinalidad del continuo. Koch es una curva continua de longitud infinita. Los sistemas de funciones iteradas producen conjuntos autosimilares como puntos fijos de transformaciones sobre compactos. El conteo de cajas asigna un exponente a la velocidad con que aumenta el número de celdas necesarias al mejorar la resolución.

Hasta este punto, los ejemplos canónicos han sido demasiado bien comportados. Para Cantor, Koch y Sierpiński, la dimensión de similitud y la dimensión por conteo de cajas coinciden. Esa concordancia puede inducir una conclusión incorrecta, la de suponer que existe una única cantidad llamada «dimensión fractal» y que los distintos métodos son solo formas prácticas de calcular el mismo número.

No es así.

La dimensión de Hausdorff se construye desde una idea distinta. En lugar de imponer cajas de un mismo tamaño, permite coberturas con piezas de tamaños diferentes y optimiza la suma de potencias de sus diámetros. Esa libertad produce una noción más fina y con propiedades matemáticas diferentes.

El objetivo de C75 es comprender esa diferencia. No se trata de decidir que una dimensión sea siempre «mejor» que otra. Cada definición responde a una estructura. La pregunta correcta es qué dimensión se está utilizando, qué propiedad cuantifica y bajo qué hipótesis coincide con otras.

75.2. Del largo de una cobertura a una medida dependiente de ss

Sea AA un subconjunto de un espacio métrico.

Una cobertura de AA es una familia de conjuntos

{Ui}i=1∞\{U_i\}_{i=1}^{\infty}

tal que

A⊆⋃iUi.A\subseteq \bigcup_i U_i.

Para estudiar estructura fina imponemos que cada pieza tenga diámetro pequeño,

diam⁡(Ui)≤δ.\operatorname{diam}(U_i)\leq\delta.

En lugar de sumar simplemente los diámetros, elegimos un exponente

s≥0s\geq0

y calculamos

∑idiam⁡(Ui)s.\sum_i \operatorname{diam}(U_i)^s.

El exponente modifica el costo relativo de usar muchas piezas pequeñas.

Si ss es grande, reducir el diámetro hace que cada término disminuya rápidamente. Si ss es pequeño, subdividir no abarata tanto la cobertura.

La dimensión de Hausdorff aparecerá como el valor crítico de ss en que cambia el comportamiento óptimo de esta suma.

75.3. Contenido de Hausdorff a escala δ\delta

Definimos

Hδs(A)=inf⁡{∑idiam⁡(Ui)s:A⊆⋃iUi, diam⁡(Ui)≤δ}.\mathcal H_\delta^s(A) = \inf \left\{ \sum_i \operatorname{diam}(U_i)^s : A\subseteq\bigcup_iU_i,\ \operatorname{diam}(U_i)\leq\delta \right\}.

El ínfimo recorre todas las coberturas finitas o numerables admisibles.

Esta optimización es la diferencia esencial respecto del conteo de cajas. No se exige que todos los UiU_i tengan el mismo diámetro. Una región complicada puede cubrirse con piezas grandes donde conviene y piezas pequeñas donde hace falta.

Cuando δ\delta disminuye, la colección de coberturas permitidas se restringe. Por tanto,

Hδs(A)\mathcal H_\delta^s(A)

es no decreciente cuando δ→0\delta\to0.

Podemos tomar el límite,

Hs(A)=lim⁡δ→0Hδs(A).\mathcal H^s(A) = \lim_{\delta\to0} \mathcal H_\delta^s(A).

Esta cantidad es la medida de Hausdorff ss-dimensional, salvo convenciones de normalización geométrica que no afectan la dimensión.

75.4. El exponente crítico

Una propiedad central es que el comportamiento de

Hs(A)\mathcal H^s(A)

cambia de forma monótona con ss.

Si para cierto ss

Hs(A)<∞,\mathcal H^s(A)<\infty,

entonces para todo t>st>s,

Ht(A)=0.\mathcal H^t(A)=0.

La razón se ve en una cobertura con diámetros menores que δ\delta,

diam⁡(Ui)t=diam⁡(Ui)sdiam⁡(Ui)t−s≤δt−sdiam⁡(Ui)s.\operatorname{diam}(U_i)^t = \operatorname{diam}(U_i)^s \operatorname{diam}(U_i)^{t-s} \leq \delta^{t-s} \operatorname{diam}(U_i)^s.

Al hacer

δ→0,\delta\to0,

el factor δt−s\delta^{t-s} elimina la suma si la medida de orden ss es finita.

Recíprocamente, si

Hs(A)>0,\mathcal H^s(A)>0,

entonces para t<st<s la medida de orden tt no puede ser finita bajo las mismas condiciones regulares; en el umbral típico pasa a infinito.

La dimensión de Hausdorff se define por ese punto crítico,

dim⁡HA=inf⁡{s≥0:Hs(A)=0}.\dim_H A = \inf\{s\geq0:\mathcal H^s(A)=0\}.

Equivalentemente,

dim⁡HA=sup⁡{s≥0:Hs(A)=∞}.\dim_H A = \sup\{s\geq0:\mathcal H^s(A)=\infty\}.

En el valor crítico puede ocurrir que

Hs(A)=0,0<Hs(A)<∞oHs(A)=∞.\mathcal H^s(A)=0,\quad 0<\mathcal H^s(A)<\infty \quad\text{o}\quad \mathcal H^s(A)=\infty.

La dimensión no exige que la medida crítica sea siempre finita y positiva.

75.5. Un punto y un conjunto finito

Sea

A={x}.A=\{x\}.

Para cualquier

s>0s>0

podemos cubrir el punto con un conjunto de diámetro arbitrariamente pequeño δ\delta. Entonces

Hδs(A)≤δs.\mathcal H_\delta^s(A) \leq \delta^s.

Al hacer

δ→0,\delta\to0,

obtenemos

Hs(A)=0\mathcal H^s(A)=0

para todo s>0s>0.

Por tanto,

dim⁡H{x}=0.\dim_H\{x\}=0.

Una unión finita de puntos también tiene dimensión de Hausdorff cero.

Hasta aquí la respuesta coincide con casi cualquier intuición razonable de dimensión.

75.6. Todo conjunto numerable tiene dimensión de Hausdorff cero

El resultado se extiende mucho más.

Sea

A={x1,x2,…}A=\{x_1,x_2,\ldots\}

numerable.

Fijemos

s>0s>0

y un número ε>0\varepsilon>0. Cubrimos xjx_j con un conjunto cuyo diámetro sea

dj=ε 2−j/s.d_j = \varepsilon\,2^{-j/s}.

Entonces djs=εs2−j.d_j^s = \varepsilon^s2^{-j}.

La suma total satisface

∑j=1∞djs=εs∑j=1∞2−j=εs.\sum_{j=1}^{\infty}d_j^s = \varepsilon^s \sum_{j=1}^{\infty}2^{-j} = \varepsilon^s.

Como ε\varepsilon puede hacerse arbitrariamente pequeño,

Hs(A)=0\mathcal H^s(A)=0

para todo s>0s>0.

Por tanto,

dim⁡HA=0\dim_H A=0

para cualquier conjunto numerable.

Esta propiedad se denomina estabilidad numerable de la dimensión de Hausdorff,

dim⁡H(⋃n=1∞An)=sup⁡ndim⁡HAn.\dim_H\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) = \sup_n\dim_H A_n.

Será determinante para diferenciarla de la dimensión de cajas.

75.7. El intervalo tiene dimensión de Hausdorff uno

Consideremos [0,1].[0,1].

Para obtener una cota superior, lo cubrimos por aproximadamente

1/δ1/\delta

intervalos de diámetro δ\delta. Entonces

Hδs([0,1])≲1δδs=δs−1.\mathcal H_\delta^s([0,1]) \lesssim \frac1\delta\delta^s = \delta^{s-1}.

Si

s>1,s>1,

la expresión tiende a cero. Por tanto,

dim⁡H[0,1]≤1.\dim_H[0,1]\leq1.

Para la cota inferior, cualquier cobertura por intervalos debe poseer suma de longitudes al menos uno,

∑idiam⁡(Ui)≥1.\sum_i \operatorname{diam}(U_i)\geq1.

En s=1s=1, el costo no puede colapsar a cero.

Por tanto,

dim⁡H[0,1]≥1.\dim_H[0,1]\geq1.

Concluimos

dim⁡H[0,1]=1.\dim_H[0,1]=1.

En dimensiones enteras, la medida de Hausdorff apropiadamente normalizada recupera las nociones usuales de longitud, área y volumen.

75.8. La cota superior de Cantor aparece inmediatamente

Para el conjunto ternario de Cantor, C,C, la etapa nn proporciona una cobertura por 2n2^n intervalos de diámetro 3−n.3^{-n}.

Entonces

H3−ns(C)≤2n3−ns=(2 3−s)n.\mathcal H_{3^{-n}}^s(C) \leq 2^n3^{-ns} = \left(2\,3^{-s}\right)^n.

Sea

d=log⁡2log⁡3.d=\frac{\log2}{\log3}.

Si

s>d,s>d,

entonces

2 3−s<1,2\,3^{-s}<1,

y por tanto

(2 3−s)n→0.\left(2\,3^{-s}\right)^n\to0.

Esto demuestra

dim⁡HC≤log⁡2log⁡3.\dim_H C\leq\frac{\log2}{\log3}.
Comportamiento de la suma de potencias de diámetros en Cantor por debajo, en y por encima del exponente crítico.
Figura 75.1. Comportamiento de la suma de potencias de diámetros en Cantor por debajo, en y por encima del exponente crítico. Ampliar figura ↗

La figura 75.1 muestra el cambio. Por debajo del exponente crítico la suma natural crece, en el valor crítico permanece constante y por encima disminuye hacia cero.

Esta figura no prueba por sí sola la cota inferior. Para ello hace falta demostrar que ninguna cobertura más ingeniosa puede reducir demasiado el costo cuando s<ds<d.

75.9. La cota inferior mediante distribución de masa sobre Cantor

Una estrategia estándar consiste en construir una medida de probabilidad μ\mu soportada sobre CC.

Asignamos masa 1/21/2 a cada rama en la primera etapa y 1/41/4 a cada intervalo de la segunda. En general corresponde 2−n2^{-n} a cada intervalo básico de nivel nn.

Como

2−n=(3−n)d2^{-n} = (3^{-n})^d

cuando

d=log⁡2log⁡3,d=\frac{\log2}{\log3},

la masa de un intervalo básico escala como su diámetro elevado a dd.

Puede demostrarse que existe una constante KK tal que, para todo intervalo suficientemente pequeño II,

μ(I)≤K ∣I∣d.\mu(I)\leq K\,|I|^d.

Esta desigualdad es un caso del principio de distribución de masa.

Si

C⊆⋃iUi,C\subseteq\bigcup_i U_i,

entonces

1=μ(C)≤∑iμ(Ui)≤K∑idiam⁡(Ui)d.1=\mu(C) \leq \sum_i\mu(U_i) \leq K\sum_i\operatorname{diam}(U_i)^d.

Por tanto,

∑idiam⁡(Ui)d≥1K.\sum_i\operatorname{diam}(U_i)^d \geq \frac1K.

Ninguna cobertura fina puede hacer desaparecer el costo en dimensión dd. Así,

Hd(C)>0\mathcal H^d(C)>0

y

dim⁡HC≥d.\dim_H C\geq d.

Combinando ambas cotas,

dim⁡HC=log⁡2log⁡3.\dim_H C = \frac{\log2}{\log3}.

En Cantor, Hausdorff, cajas y similitud coinciden.

75.10. Por qué la optimización sobre coberturas cambia el problema

El conteo de cajas obliga a observar el conjunto a una escala común ε\varepsilon.

Hausdorff permite que una misma cobertura mezcle diámetros,

diam⁡(U1)≠diam⁡(U2)≠⋯ .\operatorname{diam}(U_1)\neq \operatorname{diam}(U_2)\neq\cdots.

Esta libertad permite adaptarse a conjuntos muy heterogéneos.

Puede cubrirse una parte concentrada con una pieza relativamente grande y regiones dispersas con piezas pequeñas. El costo total depende de la potencia ss.

La dimensión de cajas pregunta esencialmente cuántas piezas de una resolución uniforme hacen falta. Hausdorff pregunta cuál es el costo mínimo de cubrir el conjunto si puede asignarse resolución de forma adaptativa.

Esta diferencia explica por qué Hausdorff puede ser menor que la dimensión de cajas.

75.11. Relación general con dimensión de cajas

Para muchos conjuntos acotados se cumple

dim⁡HA≤dim⁡‾BA≤dim⁡‾BA.\dim_H A \leq \underline{\dim}_B A \leq \overline{\dim}_B A.

La intuición es directa. Toda cobertura por cajas de tamaño uniforme es una cobertura admisible para Hausdorff, mientras que Hausdorff puede usar muchas más coberturas.

Una optimización sobre una clase más amplia no puede producir un costo crítico mayor por la mera restricción de escala uniforme.

Cuando la dimensión de cajas existe,

dim⁡HA≤dim⁡BA.\dim_H A\leq\dim_B A.

La desigualdad puede ser estricta.

C75 se centra en esos casos.

75.12. Los racionales del intervalo como ejemplo determinante

Considérese

A=Q∩[0,1].A=\mathbb Q\cap[0,1].

Es numerable. Por el resultado anterior,

dim⁡HA=0.\dim_H A=0.

Sin embargo, AA es denso en [0,1][0,1]. Su clausura es

A‾=[0,1].\overline A=[0,1].

A cualquier escala positiva, toda región del intervalo contiene racionales. El conteo de cajas necesario para cubrir AA crece como el del intervalo completo,

Nε(A)≍ε−1.N_\varepsilon(A)\asymp\varepsilon^{-1}.

Por tanto,

dim⁡BA=1.\dim_B A=1.

Tenemos así

dim⁡H(Q∩[0,1])=0,dim⁡B(Q∩[0,1])=1.\dim_H(\mathbb Q\cap[0,1])=0, \qquad \dim_B(\mathbb Q\cap[0,1])=1.

La diferencia no es pequeña ni técnica. Ambas nociones producen extremos diferentes.

Hausdorff «ve» que el conjunto puede cubrirse asignando a cada punto una escala individual extremadamente pequeña. El conteo de cajas «ve» que, a cualquier resolución uniforme, los racionales están repartidos por todo el intervalo.

75.13. La secuencia {0}∪{1/n}\{0\}\cup\{1/n\}

Existe un ejemplo menos extremo y muy instructivo,

A={0}∪{1,12,13,…}.A= \{0\} \cup \left\{ 1,\frac12,\frac13,\ldots \right\}.

El conjunto es numerable, por lo que

dim⁡HA=0.\dim_H A=0.

Sin embargo, su dimensión de cajas es

dim⁡BA=12.\dim_B A=\frac12.

La razón puede entenderse estimando el conteo a escala ε\varepsilon.

Los primeros términos de la secuencia están separados aproximadamente por

1n−1n+1∼1n2.\frac1n-\frac1{n+1} \sim \frac1{n^2}.

La separación se vuelve comparable a ε\varepsilon cuando

n∼ε−1/2.n\sim\varepsilon^{-1/2}.

Hasta ese índice hay del orden de ε−1/2\varepsilon^{-1/2} puntos individualmente resolubles.

El resto de la cola se concentra en el intervalo [0,O(ε1/2)].[0,O(\varepsilon^{1/2})].

Cubrir esa cola con cajas de longitud ε\varepsilon requiere nuevamente del orden de

ε1/2ε=ε−1/2\frac{\varepsilon^{1/2}}{\varepsilon} = \varepsilon^{-1/2}

cajas.

Por tanto,

Nε(A)≍ε−1/2N_\varepsilon(A)\asymp\varepsilon^{-1/2}

y

dim⁡BA=12.\dim_B A=\frac12.
Conteo de cajas para una aproximación finita de la secuencia, con la pendiente un medio antes de la saturación.
Figura 75.2. Conteo de cajas para una aproximación finita de la secuencia, con la pendiente un medio antes de la saturación. Ampliar figura ↗

La figura 75.2 recupera numéricamente esa pendiente en una aproximación finita antes de que aparezca saturación.

75.14. Una familia completa de ejemplos

El argumento anterior se generaliza.

Considérese

Ap={0}∪{n−p:n∈N},p>0.A_p= \{0\} \cup \{n^{-p}:n\in\mathbb N\}, \qquad p>0.

Todos estos conjuntos son numerables, de modo que

dim⁡HAp=0.\dim_H A_p=0.

La diferencia entre términos consecutivos satisface

n−p−(n+1)−p∼p n−(p+1).n^{-p}-(n+1)^{-p} \sim p\,n^{-(p+1)}.

La separación alcanza el orden ε\varepsilon cuando

n∼ε−1/(p+1).n \sim \varepsilon^{-1/(p+1)}.

El mismo balance entre parte resoluble y cola conduce a

dim⁡BAp=1p+1.\dim_B A_p = \frac{1}{p+1}.

Así obtenemos un continuo de dimensiones de cajas positivas para conjuntos cuya dimensión de Hausdorff es siempre cero.

Esto deja claro que la diferencia entre ambas nociones no es una rareza aislada.

75.15. Dimensión de similitud

En un IFS de similitudes con razones

r1,…,rN,r_1,\ldots,r_N,

aparece el exponente ss que resuelve

∑i=1Nris=1.\sum_{i=1}^N r_i^s=1.

Este número se denomina dimensión de similitud.

Para Cantor, 2(1/3)s=1.2(1/3)^s=1.

Para Koch, 4(1/3)s=1.4(1/3)^s=1.

Para Sierpiński, 3(1/2)s=1.3(1/2)^s=1.

Ahora bien, la dimensión de similitud es una cantidad asociada al sistema de transformaciones y no una definición universal de dimensión del conjunto.

Bajo condiciones de separación apropiadas, en particular la condición de conjunto abierto en el marco clásico de Hutchinson, la dimensión de Hausdorff del atractor autosimilar coincide con la dimensión de similitud.

Sin esas hipótesis, el solapamiento puede reducir la dimensión efectiva.

Por tanto,

resolver ∑ris=1\text{resolver }\sum r_i^s=1

no basta para cualquier IFS.

75.16. La condición de conjunto abierto

Una formulación clásica exige la existencia de un conjunto abierto no vacío OO tal que

fi(O)⊂Of_i(O)\subset O

para todas las ramas y

fi(O)∩fj(O)=∅f_i(O)\cap f_j(O)=\varnothing

cuando i≠j.i\neq j.

Esta es la open set condition.

La condición impide solapamientos excesivos entre copias a pequeña escala. Cantor y Sierpiński satisfacen versiones naturales de ella.

Bajo esta condición, para un IFS de similitudes,

dim⁡HA=s\dim_H A=s

donde ss resuelve

∑iris=1.\sum_i r_i^s=1.

Además, la medida de Hausdorff ss-dimensional del atractor es positiva y finita.

El resultado muestra por qué los ejemplos canónicos son tan limpios. La ecuación de similitud funciona porque existe una teoría que especifica cuándo funciona.

75.17. Solapamiento y caída de dimensión

Consideremos dos mapas idénticos,

f1(x)=x3,f2(x)=x3.f_1(x)=\frac{x}{3}, \qquad f_2(x)=\frac{x}{3}.

Si tratamos formalmente las dos ramas como si fueran copias distintas, la ecuación de similitud sería

2(1/3)s=1,2(1/3)^s=1,

y produciría

s=log⁡2log⁡3.s=\frac{\log2}{\log3}.

Ambas imágenes coinciden, sin embargo, exactamente. El atractor real es simplemente el punto fijo

{0}.\{0\}.

Su dimensión de Hausdorff es 0.0.

La dimensión de similitud calculada desde la multiplicidad formal de ramas no describe el conjunto cuando el solapamiento es total.

El ejemplo es deliberadamente extremo y deja clara la función de las hipótesis de separación.

75.18. Dimensión topológica

Existe además una noción cualitativamente distinta, la dimensión topológica.

Una curva simple tiene dimensión topológica uno. Una región del plano tiene dimensión topológica dos. El conjunto de Cantor tiene dimensión topológica cero.

La dimensión topológica es invariante bajo homeomorfismos. Describe estructura de vecindades y separación, no leyes métricas de escala.

La curva de Koch es homeomorfa a un intervalo. Por tanto, su dimensión topológica es 1.1.

Sin embargo,

dim⁡HK=log⁡4log⁡3>1.\dim_H K = \frac{\log4}{\log3} > 1.

Para Cantor,

dim⁡topC=0,\dim_{\mathrm{top}}C=0,

mientras

dim⁡HC=log⁡2log⁡3>0.\dim_H C = \frac{\log2}{\log3} > 0.

La dimensión de Hausdorff puede así refinar la dimensión topológica mediante información métrica.

75.19. Dimensión no entera no significa «entre objetos euclídeos»

Decir que Koch tiene dimensión aproximadamente 1.2621.262 puede sugerir que es «un 26,2 % de superficie añadido a una línea». Esa interpretación carece de fundamento.

La dimensión no es una mezcla lineal de tipos geométricos.

El exponente DD describe cómo cambia una cantidad de cobertura con la escala. En Koch, N(ε)N(\varepsilon) crece más rápido que en una curva rectificable y más lento que en una región bidimensional.

Eso no convierte al objeto en una combinación porcentual de curva y área.

Esta cautela conceptual importa porque las dimensiones fraccionarias suelen convertirse, fuera de matemáticas, en metáforas de «grado de complejidad». El número tiene significado solo respecto de la definición utilizada.

75.20. Conjuntos con medida positiva

Si un conjunto

A⊂RdA\subset\mathbb R^d

tiene medida de Lebesgue dd-dimensional positiva, entonces

dim⁡HA=d.\dim_H A=d.

La inversa, en cambio, no es cierta.

Puede existir un conjunto con

dim⁡HA=d\dim_H A=d

y medida de Lebesgue cero.

La dimensión detecta el exponente crítico de escala, no el valor de la medida en esa dimensión.

Esto repite desde otro ángulo una idea ya vista en Cantor, según la cual dimensión y medida son cantidades relacionadas aunque no equivalentes.

75.21. Invariancia bi-Lipschitz

La dimensión de Hausdorff, al igual que la dimensión de cajas bajo condiciones apropiadas, se conserva bajo transformaciones bi-Lipschitz.

Si

c d(x,y)≤d(f(x),f(y))≤C d(x,y)c\,d(x,y) \leq d(f(x),f(y)) \leq C\,d(x,y)

con

0<c≤C<∞,0<c\leq C<\infty,

entonces los diámetros de coberturas cambian solo por factores constantes.

Esos factores producen multiplicadores

cs, Csc^s,\ C^s

en los costos de Hausdorff, sin modificar el exponente crítico.

Por tanto,

dim⁡Hf(A)=dim⁡HA.\dim_H f(A)=\dim_H A.

La dimensión es insensible a cambios de escala regulares, aunque puede cambiar bajo transformaciones más singulares.

75.22. Aplicaciones Hölder y cambio posible de dimensión

Supongamos que una aplicación satisface una condición Hölder,

d(f(x),f(y))≤C d(x,y)α,0<α≤1.d(f(x),f(y)) \leq C\,d(x,y)^\alpha, \qquad 0<\alpha\leq1.

Entonces una cobertura de AA con diámetros rir_i produce una cobertura de f(A)f(A) con diámetros del orden de riα.r_i^\alpha.

Esto conduce a la cota

dim⁡Hf(A)≤1αdim⁡HA.\dim_H f(A) \leq \frac{1}{\alpha}\dim_H A.

Cuando α=1,\alpha=1, recuperamos el caso Lipschitz, donde la dimensión no aumenta.

Cuando α<1,\alpha<1, una transformación puede incrementar la dimensión.

Esta propiedad ayuda a entender por qué la dimensión es una característica métrica y no puramente topológica. Una deformación continua puede alterar fuertemente escalas pequeñas si no es bi-Lipschitz.

75.23. La clausura como diferencia estructural entre Hausdorff y cajas

C74 mostró que, para conjuntos acotados,

dim⁡BA=dim⁡BA‾\dim_B A = \dim_B \overline A

cuando la dimensión de cajas existe. A escala positiva, añadir puntos límite no cambia esencialmente qué cajas están ocupadas.

La dimensión de Hausdorff no posee esa invariancia frente a clausura.

El ejemplo más claro vuelve a ser

A=Q∩[0,1].A=\mathbb Q\cap[0,1].

Como AA es numerable,

dim⁡HA=0.\dim_H A=0.

Su clausura, en cambio, es

A‾=[0,1],\overline A=[0,1],

y por tanto

dim⁡HA‾=1.\dim_H\overline A=1.

Así,

dim⁡HA≠dim⁡HA‾\dim_H A \neq \dim_H\overline A

en general.

¿Por qué ocurre esta diferencia?

El conteo de cajas trabaja con resolución uniforme. Si AA es denso en su clausura, cualquier caja que intersecta A‾\overline A también contiene puntos de AA a escalas arbitrariamente pequeñas. Desde el punto de vista de ocupación de una malla, ambos conjuntos resultan indistinguibles.

Hausdorff, en cambio, permite adaptar la escala a cada parte del conjunto. Un conjunto numerable puede cubrirse punto por punto con diámetros decrecientes tan rápidamente que el costo total a cualquier potencia positiva sea arbitrariamente pequeño. Esa posibilidad desaparece al tomar la clausura, porque aparecen todos los puntos irracionales intermedios.

La clausura puede, por tanto, añadir una cantidad enorme de estructura para Hausdorff sin cambiar el exponente de ocupación uniforme de cajas.

Este contraste es especialmente importante en datos. Una nube de puntos finita tiene dimensión de Hausdorff exactamente cero. Su clausura es la misma nube, de modo que sigue teniendo dimensión cero. Si esa nube pretende aproximar un atractor continuo o fractal, la dimensión que interesa científicamente pertenece al objeto subyacente y no al conjunto literal de observaciones.

La estimación dimensional siempre contiene entonces una hipótesis de reconstrucción, la de que los puntos observados son muestras de un soporte con estructura más rica que la muestra finita.

75.24. Medida crítica y dimensión no son la misma información

La dimensión de Hausdorff identifica el exponente crítico dd, aunque no determina por sí sola el valor de

Hd(A).\mathcal H^d(A).

Dos conjuntos pueden tener la misma dimensión de Hausdorff y medidas dd-dimensionales muy diferentes.

En algunos conjuntos autosimilares regulares,

0<Hd(A)<∞.0<\mathcal H^d(A)<\infty.

Este es el comportamiento particularmente limpio de Cantor bajo su dimensión natural.

Existen también conjuntos con

dim⁡HA=d\dim_H A=d

y

Hd(A)=0,\mathcal H^d(A)=0,

así como conjuntos con la misma dimensión y

Hd(A)=∞.\mathcal H^d(A)=\infty.

Por tanto, el par

(dim⁡HA,Hdim⁡HA(A))\left( \dim_H A,\mathcal H^{\dim_H A}(A) \right)

contiene más información que la dimensión aislada.

La analogía con geometría euclídea ayuda. Dos curvas rectificables pueden tener dimensión uno y longitudes diferentes. Dos regiones planas pueden tener dimensión dos y áreas diferentes. La dimensión identifica el tipo de escala; la medida cuantifica cuánto objeto existe en esa escala.

En fractales ocurre lo mismo, aunque la dimensión pueda ser no entera.

Esta diferencia evita interpretar una dimensión mayor como «más cantidad» de forma automática. Un conjunto de dimensión 1.51.5 no contiene necesariamente «más» puntos o masa que otro de dimensión 1.21.2 en cualquier sentido absoluto. La comparación depende de la medida y del contexto geométrico.

75.25. Dimensión del soporte y dimensión de una medida

Hasta ahora todas las dimensiones del capítulo se han aplicado a conjuntos.

Sin embargo, sobre un mismo conjunto pueden existir muchas medidas de probabilidad diferentes.

Consideremos el conjunto de Cantor. Puede equiparse con la medida simétrica que asigna probabilidad

12\frac12

a cada rama. También podemos asignar probabilidades

py1−pp \quad\text{y}\quad 1-p

con

p≠12.p\neq\frac12.

El soporte geométrico sigue siendo el mismo conjunto CC, siempre que ambas probabilidades sean positivas. Por tanto,

dim⁡HC=log⁡2log⁡3\dim_H C = \frac{\log2}{\log3}

no cambia.

La distribución de masa, en cambio, sí cambia. Algunas regiones reciben una fracción mucho mayor de probabilidad que otras.

Esto prepara una distinción importante,

dimensioˊn del soporte≠dimensioˊn asociada a la distribucioˊn de masa.\text{dimensión del soporte} \neq \text{dimensión asociada a la distribución de masa}.

Existen dimensiones de información, correlación y dimensiones generalizadas que incorporan explícitamente cómo se reparte una medida sobre el soporte.

No se desarrollarán aquí porque C78 está dedicado a dimensión de atractores y distribución de visitas. En C75 basta fijar el límite conceptual, ya que Hausdorff y cajas describen primariamente la geometría del conjunto y no la frecuencia con que una dinámica visita sus regiones.

Esta diferencia es especialmente relevante en sistemas dinámicos. Dos atractores con el mismo soporte geométrico podrían portar medidas invariantes distintas. Incluso sobre un único atractor, cambiar el mecanismo de muestreo puede alterar la nube observada sin modificar el conjunto matemático subyacente.

Por eso una figura de puntos «más densa» en ciertos lugares no demuestra que esas zonas tengan una dimensión geométrica mayor. Puede significar simplemente que reciben más masa probabilística.

75.26. La dimensión de Hausdorff no es un estimador sencillo

La definición de Hausdorff optimiza sobre todas las coberturas suficientemente finas. Esa fortaleza teórica vuelve difícil su estimación directa en datos.

En una nube finita, la dimensión de Hausdorff del conjunto observado literalmente es cero porque una nube finita es un conjunto finito.

Cuando se habla de «estimar la dimensión de Hausdorff» desde datos, normalmente se está intentando inferir la dimensión de un soporte o proceso subyacente, no calcular la dimensión exacta del archivo de datos.

Esta diferencia es crítica.

El conteo de cajas aplicado a una nube también termina saturándose y, a escalas suficientemente finas, su pendiente cae. Posee, en cambio, una región intermedia que puede utilizarse como estimador.

Hausdorff, por su definición adaptativa, no se obtiene simplemente reemplazando cajas por bolas y realizando la misma regresión.

Por eso, en análisis de datos, muchas cantidades llamadas «dimensiones fractales» son en realidad dimensiones de cajas, de correlación o generalizadas. El nombre del estimador debe especificarse.

75.27. Una jerarquía, no una identidad

Para un conjunto acotado bien definido podemos encontrar relaciones como

dim⁡topA≤dim⁡HA≤dim⁡‾BA≤dim⁡‾BA\dim_{\mathrm{top}}A \leq \dim_H A \leq \underline{\dim}_B A \leq \overline{\dim}_B A

bajo los marcos usuales donde estas cantidades están definidas.

Esta cadena no afirma que todas sean iguales.

Cantor muestra

0=dim⁡topC<dim⁡HC=dim⁡BC.0 = \dim_{\mathrm{top}}C < \dim_H C = \dim_B C.

Koch muestra

1=dim⁡topK<dim⁡HK=dim⁡BK.1 = \dim_{\mathrm{top}}K < \dim_H K = \dim_B K.

Los racionales muestran

dim⁡H(Q∩[0,1])=0<1=dim⁡B(Q∩[0,1]).\dim_H(\mathbb Q\cap[0,1])=0 < 1 = \dim_B(\mathbb Q\cap[0,1]).

La secuencia {0}∪{1/n}\{0\}\cup\{1/n\} muestra una separación intermedia,

0=dim⁡HA<12=dim⁡BA.0 = \dim_H A < \frac12 = \dim_B A.
Comparación de las cuatro nociones de dimensión sobre los ejemplos del capítulo.
Figura 75.3. Comparación de las cuatro nociones de dimensión sobre los ejemplos del capítulo. Ampliar figura ↗

No existe una sola «dimensión verdadera» que todas las definiciones intenten aproximar imperfectamente. Son invariantes diferentes.

75.28. El umbral de Hausdorff para Cantor

Reunamos el argumento del conjunto de Cantor.

Sea

d=log⁡2log⁡3.d=\frac{\log2}{\log3}.

Cota superior

En la etapa nn, cubrimos CC mediante 2n2^n intervalos de diámetro 3−n3^{-n}, de modo que

H3−ns(C)≤2n3−ns.\mathcal H_{3^{-n}}^s(C) \leq 2^n3^{-ns}.

Si

s>d,s>d,

entonces

2 3−s<12\,3^{-s}<1

y

Hs(C)=0.\mathcal H^s(C)=0.

Por tanto,

dim⁡HC≤d.\dim_H C\leq d.

Cota inferior

Construimos la medida de Cantor μ\mu asignando masa 2−n2^{-n} a cada intervalo básico de nivel nn.

Existe una constante KK tal que μ(I)≤K∣I∣d\mu(I)\leq K|I|^d para intervalos suficientemente pequeños.

Para cualquier cobertura,

1=μ(C)≤∑iμ(Ui)≤K∑idiam⁡(Ui)d.1 = \mu(C) \leq \sum_i\mu(U_i) \leq K\sum_i\operatorname{diam}(U_i)^d.

Entonces

∑idiam⁡(Ui)d≥K−1.\sum_i\operatorname{diam}(U_i)^d \geq K^{-1}.

Por tanto,

Hd(C)>0\mathcal H^d(C)>0

y

dim⁡HC≥d.\dim_H C\geq d.

Concluimos

dim⁡HC=log⁡2log⁡3.\dim_H C = \frac{\log2}{\log3}.

El mismo valor había aparecido en similitud y en conteo de cajas, aunque ahora la igualdad está justificada por una definición distinta.

75.29. Verificación computacional

El paquete reproducible no intenta calcular la medida de Hausdorff mediante búsqueda sobre todas las coberturas. Verifica consecuencias finitas de las derivaciones.

Para Cantor calcula

Sn(s)=2n3−ns=(2 3−s)nS_n(s) = 2^n3^{-ns} = \left(2\,3^{-s}\right)^n

para tres exponentes, uno menor que el valor crítico, el valor crítico y uno mayor.

Se comprueba que

s<d⇒Sn(s) crece,s<d \Rightarrow S_n(s)\ \text{crece},
s=d⇒Sn(s)=1,s=d \Rightarrow S_n(s)=1,
s>d⇒Sn(s) decrece.s>d \Rightarrow S_n(s)\ \text{decrece}.

Para la secuencia

{0}∪{1/n},\{0\}\cup\{1/n\},

se genera una aproximación grande y se verifica numéricamente un régimen de conteo compatible con pendiente 1/21/2.

También se comprueba constructivamente que un conjunto numerable puede cubrirse, para cualquier s>0s>0, con suma de diámetros a la potencia ss arbitrariamente pequeña.

Se ejecutaron 22 comprobaciones automáticas y todas resultaron satisfactorias.

Las verificaciones numéricas ilustran los mecanismos. Las dimensiones exactas se obtienen mediante los argumentos matemáticos.

75.30. Cuándo coinciden las dimensiones

En fractales autosimilares clásicos que satisfacen condiciones de separación adecuadas, encontramos

dim⁡sim=dim⁡H=dim⁡B.\dim_{\mathrm{sim}} = \dim_H = \dim_B.

Este es el caso de Cantor, Koch y Sierpiński.

La igualdad es valiosa porque permite calcular la dimensión mediante la ecuación sencilla

∑iris=1.\sum_i r_i^s=1.

La coincidencia, sin embargo, es un resultado bajo hipótesis y no una identidad definicional.

En objetos no autosimilares, conjuntos densos numerables, secuencias acumulativas o IFS con solapamiento, las cantidades pueden separarse.

La disciplina conceptual es, por tanto, la misma que en todo el proyecto. Primero se identifica la estructura y después se escoge el teorema apropiado.

75.31. Por qué esta diferencia importa para datos

Supongamos que una serie temporal reconstruida produce una nube de puntos y un algoritmo informa «dimensión fractal 2,37».

Esa frase es incompleta.

Hay que preguntar si se trata de dimensión de cajas, de correlación, de información o de una estimación de Hausdorff bajo algún modelo; si se refiere al soporte o a una medida; qué rango de escalas cubre; qué incertidumbre tiene; y qué efecto ejerce el tamaño de muestra.

Dos estimadores pueden producir números diferentes sin que uno sea necesariamente un error.

La diferencia puede reflejar que cuantifican objetos distintos.

C78 retomará esta cuestión para atractores y distribuciones de visitas. Allí una misma geometría puede portar medidas no uniformes y aparecerán dimensiones que dependen explícitamente de cómo se distribuye la masa.

75.32. Qué debe conservarse como conclusión

La dimensión de Hausdorff introduce una idea general, la de medir un conjunto permitiendo coberturas adaptativas y observar el exponente en que el costo cambia de infinito a cero.

Su fuerza proviene de propiedades que la dimensión de cajas no comparte plenamente, entre ellas la estabilidad numerable, la sensibilidad fina a conjuntos densos y una teoría de medidas que conecta geometría con probabilidad.

La dimensión de cajas, por su parte, es operacionalmente más simple y muy útil en cómputo.

La dimensión de similitud puede ser extraordinariamente eficiente cuando conocemos la estructura generadora.

La dimensión topológica responde a otra pregunta.

Por tanto,

dimensioˊn\text{dimensión}

no es una magnitud que pueda mencionarse sin apellido cuando el contexto admite varias definiciones.

75.33. Hacia autosimilitud, autoafinidad y escalamiento estadístico

Cantor, Koch y Sierpiński son modelos casi ideales, porque la misma geometría reaparece mediante similitudes exactas.

Muchos objetos relevantes no funcionan así.

Una gráfica puede necesitar escalas distintas en los ejes horizontal y vertical. Una superficie puede mostrar regularidad estadística sin reproducirse exactamente. Una señal puede poseer leyes de escala en distribución aunque ninguna parte sea una copia literal del todo.

C76 distinguirá autosimilitud, autoafinidad y escalamiento estadístico.

La diferencia será determinante para evitar que la palabra «fractal» se convierta en sinónimo informal de «irregular». Después de C75 ya contamos con una condición mínima, según la cual cualquier afirmación dimensional debe indicar qué noción de dimensión utiliza y qué estructura de escala la justifica.

Referencias

Hausdorff, F. (1919). Dimension und äußeres Maß. Mathematische Annalen, 79(1-2), 157–179. https://doi.org/10.1007/BF01457179

Falconer, K. (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (2nd ed.). Wiley. https://doi.org/10.1002/0470013850

Tricot, C. Jr. (1982). Two definitions of fractional dimension. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 91(1), 57–74. https://doi.org/10.1017/S0305004100059119

Hutchinson, J. E. (1981). Fractals and self-similarity. Indiana University Mathematics Journal, 30(5), 713–747. https://doi.org/10.1512/iumj.1981.30.30055

Recursos reproducibles

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