Construcción del conjunto de Cantor y su estructura a todas las escalas

71.1. De la dinámica a la geometría

Los módulos anteriores estudiaron sistemas a través de trayectorias, retornos, bifurcaciones y atractores. El paso al estudio de fractales cambia la pregunta. Ya no interesa solamente cómo evoluciona un estado, sino qué estructura puede tener el conjunto sobre el que vive la dinámica o el conjunto que la propia dinámica genera.

El conjunto de Cantor es el ejemplo más limpio para introducir esta transición, porque casi todas sus propiedades esenciales pueden obtenerse desde una construcción elemental. Parte del intervalo $[0,1]$, elimina repetidamente intervalos abiertos y termina produciendo un conjunto que parece, a primera vista, extremadamente pobre, sin ningún intervalo y con longitud total nula. Sin embargo, contiene tantos puntos como todo el intervalo real $[0,1]$, no posee puntos aislados y reproduce su estructura bajo ampliaciones exactas.

Ese contraste obliga a separar varias nociones que en geometría intuitiva suelen confundirse, entre ellas tamaño lineal, cardinalidad, densidad local, conectividad y dimensión. El conjunto de Cantor tiene longitud cero y no es finito ni numerable; está totalmente desconectado y cada uno de sus puntos es punto de acumulación; puede descomponerse en copias reducidas de sí mismo, aunque esa autosimilitud no autoriza por sí sola a extrapolar cualquier ley de escala a datos empíricos.

El objetivo de este capítulo es construir esas afirmaciones desde la definición. La dimensión de Hausdorff y las diferencias entre nociones de dimensión se reservarán para C75. Aquí aparecerá ya el exponente de similitud

porque surge inevitablemente de la construcción, aunque su identificación rigurosa con una dimensión geométrica se contextualizará y no se utilizará todavía como sustituto de una teoría general de dimensión.

71.2. La construcción por eliminación sucesiva

Comenzamos con $C_0=[0,1].$

Eliminamos el tercio central abierto,

y obtenemos

En cada uno de esos dos intervalos eliminamos nuevamente su tercio central abierto. Resulta

El procedimiento continúa indefinidamente. En la etapa $n$, el conjunto $C_n$ está formado por $2^n$ intervalos cerrados, cada uno de longitud $3^{-n}.$

El conjunto de Cantor se define como la intersección de todas las aproximaciones,

Esta definición importa. $C$ no es «la etapa después de infinitas operaciones» en un sentido temporal. Es el conjunto de puntos que sobreviven a todas las etapas finitas. Un punto $x\in[0,1]$ pertenece a $C$ si y solo si nunca cae en uno de los tercios centrales abiertos eliminados.

La secuencia es anidada,

Cada $C_n$ es compacto. Como la intersección de conjuntos cerrados es cerrada y todos están contenidos en el compacto $[0,1]$, $C$ es también compacto.

La figura 71.1 muestra las siete primeras etapas. La imagen es útil, aunque debe interpretarse con cuidado, porque cualquier pantalla tiene resolución finita y una figura solo representa $C_n$ para algún $n$, nunca el conjunto límite completo.

71.3. Conteo exacto de intervalos y escalas

La construcción tiene una combinatoria simple. En cada paso, cada intervalo superviviente produce dos hijos. Si $N_n$ es el número de intervalos en la etapa $n$,

por lo que $N_n=2^n.$

Simultáneamente, cada longitud se divide por tres. Si $\ell_n$ es la longitud de cada intervalo,

y entonces

La longitud total de $C_n$ es

Este cálculo ya anticipa una propiedad sorprendente,

No debemos interpretar esta igualdad como si el conjunto desapareciera. Lo que tiende a cero es la longitud total de las aproximaciones finitas.

También podemos sumar directamente la longitud eliminada. En la primera etapa se elimina $1/3$. En la segunda se eliminan dos intervalos de longitud $1/9$. En la tercera, cuatro intervalos de longitud $1/27$. Hasta la etapa $n$,

Al tomar el límite,

Se elimina longitud total uno, exactamente la longitud del intervalo inicial. Sin embargo, quedan infinitos puntos. Esta es la primera señal de que «longitud» y «cantidad de puntos» son nociones enteramente distintas.

71.4. Medida de Lebesgue cero

La afirmación de que el conjunto de Cantor tiene longitud cero puede formularse rigurosamente mediante la medida de Lebesgue $m$.

Como

para toda etapa,

La desigualdad vale para todo $n$. Dado cualquier $\varepsilon>0$, podemos elegir $n$ suficientemente grande para que

Entonces $m(C)<\varepsilon.$

Como ninguna medida no negativa puede ser menor que todo $\varepsilon>0$ sin ser cero, $m(C)=0.$

Este argumento es más limpio que decir simplemente «se eliminó longitud total uno». La suma de longitudes eliminadas también conduce al resultado, aunque la cota mediante $C_n$ muestra directamente que el conjunto límite puede cubrirse por una colección de intervalos cuya longitud total es tan pequeña como se quiera.

Medida cero no significa inexistencia, rareza topológica ni cardinalidad pequeña. El conjunto de números racionales en $[0,1]$ también tiene medida cero, aunque es numerable y denso. El conjunto de Cantor tiene medida cero y no es numerable. Dos conjuntos pueden compartir medida y diferir profundamente en estructura.

71.5. Representación ternaria

La estructura se vuelve especialmente transparente mediante expansiones en base tres. Todo $x\in[0,1]$ admite una representación ternaria

con dígitos

La primera eliminación retira los números cuya primera cifra ternaria es $1$, salvo los extremos que admiten una segunda representación. Por ejemplo,

La segunda eliminación retira, entre los supervivientes, los números cuyo segundo dígito relevante es $1$. Repitiendo el argumento se obtiene la caracterización buscada, según la cual un punto pertenece al conjunto de Cantor si posee al menos una expansión ternaria que utiliza únicamente los dígitos $0$ y $2$.

Por tanto,

Esta fórmula hace visible una codificación binaria escondida en una geometría ternaria. Cada secuencia infinita

selecciona sucesivamente izquierda o derecha en cada etapa de la construcción.

La ambigüedad de algunas expansiones posicionales debe tratarse explícitamente. Los extremos de intervalos pueden tener dos representaciones ternarias, del mismo modo que $0.999\ldots=1$ en base diez. Esta duplicidad afecta una colección numerable de puntos y no destruye la correspondencia estructural entre secuencias binarias y puntos de $C$.

71.6. El conjunto no es numerable

La codificación anterior permite demostrar que $C$ es no numerable.

Considérese el espacio de todas las secuencias binarias infinitas,

A cada secuencia $b=(b_1,b_2,\ldots)$ asociamos

Este número pertenece a $C$. Salvo la precaución sobre representaciones dobles en extremos, la secuencia determina un punto.

Puede compararse con las expansiones binarias de los números de $[0,1]$. La aplicación que reemplaza cada dígito binario $0$ por ternario $0$ y cada $1$ por ternario $2$ muestra que la colección de elecciones infinitas tiene cardinalidad del continuo.

Por tanto, $|C|=|[0,1]|.$

Esto es compatible con $m(C)=0.$

La cardinalidad ignora longitudes. El intervalo y el conjunto de Cantor poseen el mismo número cardinal de puntos y medidas de Lebesgue distintas.

Esta separación será esencial en todo el módulo. Un objeto geométrico no queda caracterizado por una sola noción de tamaño.

71.7. Ningún punto está aislado

Un punto $x\in C$ es aislado si existe algún radio $r>0$ tal que

El conjunto de Cantor no posee puntos aislados.

Para verlo, fijemos $x\in C$ y una vecindad de radio $\varepsilon>0$. La construcción asigna a $x$ una secuencia de intervalos anidados,

donde $I_n\subset C_n$, $x\in I_n$ y $|I_n|=3^{-n}.$

Elegimos $n$ tan grande que $3^{-n}<\varepsilon.$

El intervalo $I_n$ contiene extremos que pertenecen a $C$. Al menos uno puede elegirse distinto de $x$ y está a distancia menor que $\varepsilon$.

Por tanto, toda vecindad de $x$ contiene otro punto de $C$. Cada punto es punto de acumulación.

Un conjunto cerrado sin puntos aislados se denomina perfecto. Como ya sabemos que $C$ es cerrado,

Esta propiedad evita una interpretación equivocada del dibujo. Aunque las aproximaciones parezcan fragmentos cada vez más separados, el conjunto límite no está formado por «puntos sueltos».

71.8. Interior vacío y frontera

Otra propiedad fundamental es que $C$ no contiene ningún intervalo abierto no trivial.

Supongamos, por contradicción, que existe

con $a<b$. Elegimos $n$ tan grande que $3^{-n}<b-a.$

Ahora bien, cada componente de $C_n$ tiene longitud $3^{-n}$. Un intervalo de longitud $b-a$ no puede quedar contenido en una única componente de $C_n$. Tendría que cruzar alguno de los huecos eliminados antes o en la etapa $n$, contradiciendo que todos sus puntos pertenezcan a $C$.

Por tanto,

Como $C$ es cerrado, su clausura es él mismo. Entonces

Cada punto del conjunto de Cantor es punto de frontera.

Esta propiedad es más fuerte que tener medida cero. Existen conjuntos de medida cero con estructuras muy distintas. También existen conjuntos de interior vacío con medida positiva. Las nociones no deben intercambiarse.

71.9. Total desconexión

Dos puntos distintos $x,y\in C$ terminan separados en alguna etapa finita de la construcción.

Como $x\neq y$, existe una escala suficientemente fina en la que no pertenecen al mismo intervalo básico de $C_n$. Entre esos intervalos existe un intervalo abierto eliminado. Esa brecha separa a $x$ de $y$.

En particular, el único subconjunto conectado de $C$ que contiene a ambos sería imposible. Las componentes conexas de $C$ son puntos individuales.

Se dice que $C$ es totalmente desconectado.

Perfecto y totalmente desconectado pueden parecer propiedades opuestas si se piensa solo con intuición euclídea elemental. No lo son. La perfección describe acumulación local, donde ningún punto está solo. La desconexión total describe conectividad, donde no existe una curva o intervalo interno que una puntos diferentes.

El conjunto de Cantor es ambas cosas a la vez.

71.10. Autosimilitud exacta

La construcción completa puede escribirse mediante dos transformaciones,

La primera lleva $[0,1]$ al tercio izquierdo; la segunda, al tercio derecho.

El conjunto de Cantor satisface

Cada copia es una versión reducida de $C$ por un factor $1/3$.

Esta igualdad es mucho más precisa que decir que el objeto «se parece a sí mismo». Es una ecuación de conjuntos.

Aplicándola repetidamente,

A escala $3^{-n}$ aparecen $2^n$ copias.

La autosimilitud aquí es exacta. En objetos naturales o datos empíricos, en cambio, la similitud suele ser estadística, aproximada y válida solo en un rango finito de escalas. Confundir ambos casos es una de las fuentes más frecuentes de afirmaciones excesivas sobre «fractalidad».

71.11. El exponente de similitud

Si un conjunto está formado por $N$ copias de sí mismo, cada una reducida por un factor lineal $r$, la ecuación de similitud sugiere buscar un exponente $s$ tal que $Nr^s=1.$

Para el conjunto de Cantor,

Entonces

Tomando logaritmos,

Este número está entre cero y uno y tiene sentido geométrico, ya que el conjunto es más rico que una colección numerable de puntos sin llegar a llenar un intervalo.

Para el conjunto de Cantor, bajo las condiciones de separación que aquí se cumplen, este exponente coincide con su dimensión de Hausdorff y con otras dimensiones usuales. Sin embargo, esa coincidencia no debe generalizarse sin hipótesis. C74 introducirá la dimensión por conteo de cajas y C75 estudiará de forma explícita por qué distintas nociones de dimensión pueden coincidir en ejemplos regulares y diferir en otros.

71.12. Estructura a todas las escalas

El término «estructura a todas las escalas» debe interpretarse con precisión.

Tomemos cualquier intervalo básico de la etapa $n$. Su intersección con $C$, después de reescalar linealmente ese intervalo a $[0,1]$, es una copia exacta del conjunto completo.

No existe una etapa final en la que la construcción se vuelva lisa. Después de ampliar cualquier intervalo superviviente, reaparece la misma regla de dos tercios supervivientes y un tercio central ausente.

Este carácter multiescala no significa que cada vecindad arbitraria sea literalmente idéntica al conjunto completo. La afirmación exacta se refiere a las copias generadas por las similitudes de la construcción. Cerca de determinados puntos y con recortes arbitrarios, la geometría local puede verse truncada por los bordes.

La precisión en esta frase importa porque más adelante distinguiremos autosimilitud exacta, autoafinidad y escalamiento estadístico.

71.13. Medida cero y distribución no trivial

Aunque la medida de Lebesgue de $C$ sea cero, puede definirse una probabilidad concentrada enteramente sobre $C$.

Una construcción natural asigna probabilidad $1/2$ a cada rama izquierda o derecha en cada etapa. Una secuencia aleatoria de elecciones

genera

Entonces $P(X\in C)=1,$ aunque $m(C)=0.$

La distribución resultante es la distribución de Cantor. Su función de distribución es continua, mientras que la medida está concentrada sobre un conjunto de longitud nula.

Este ejemplo prepara una distinción que reaparecerá en C78, entre la geometría del soporte y la distribución de visitas sobre ese soporte. Un conjunto puede tener cierta dimensión mientras una medida sobre él distribuye masa de manera uniforme o muy desigual.

71.14. La función de Cantor

La codificación ternaria-binaria permite construir la función de Cantor.

Si

tiene expansión

se define $F(x)$ reemplazando los dígitos ternarios $0,2$ por los dígitos binarios $0,1$. La función se extiende de forma constante sobre cada intervalo eliminado.

El resultado es una función continua y no decreciente que va de cero a uno y cuya variación se concentra, en sentido de medida, sobre el conjunto de Cantor.

Este objeto muestra otra vez por qué «medida cero» no equivale a irrelevancia analítica. Puede existir una función continua que cambie de cero a uno aunque su derivada clásica sea cero casi en todas partes.

No desarrollaremos aquí la teoría de medidas singulares, aunque el ejemplo será útil cuando más adelante aparezcan distribuciones sobre atractores fractales.

71.15. Contraejemplos donde no todas las propiedades vienen juntas

Supongamos un conjunto construido eliminando intervalos centrales con razones distintas en cada etapa. Puede seguir siendo cerrado, perfecto, totalmente desconectado y de medida cero, sin satisfacer una relación simple

con factores constantes.

Por tanto, «tipo Cantor» y «autosimilar exacto» no son sinónimos.

También puede construirse un conjunto de Cantor grueso, o fat Cantor set, eliminando intervalos cuya longitud total sea menor que uno. El resultado puede ser perfecto y totalmente desconectado, con medida de Lebesgue positiva.

Esto proporciona un contraejemplo importante,

Las propiedades del conjunto ternario clásico provienen de detalles concretos de su construcción. No deben agruparse como si una implicara automáticamente a todas las demás.

71.16. La jerarquía de huecos del complemento

Hasta ahora hemos descrito $C$ a partir de lo que permanece. Resulta igualmente informativo describir lo que falta.

El complemento relativo dentro de $[0,1]$ es

Por construcción, está formado exactamente por todos los intervalos abiertos eliminados,

después

y así sucesivamente.

En la etapa $n\geq1$ se eliminan $2^{n-1}$ intervalos, cada uno de longitud $3^{-n}.$

Por tanto, el complemento es una unión numerable de intervalos abiertos disjuntos. Es abierto en la topología relativa de $[0,1]$.

Más interesante es que este complemento resulta denso en $[0,1]$, ya que todo intervalo abierto no vacío contiene algún punto que fue eliminado en una etapa finita. De manera equivalente, $C$ es nowhere dense, o de interior vacío incluso después de tomar clausura. Como $C$ ya es cerrado,

La expresión inglesa nowhere dense a veces se traduce como «denso en ninguna parte». No significa que los puntos de $C$ estén aislados o escasos en sentido cardinal. De hecho, ya demostramos lo contrario, puesto que cada punto de $C$ es punto de acumulación y el conjunto es no numerable.

La propiedad describe otra cosa. Ninguna región abierta contiene un trozo del conjunto que, tras tomar clausura, adquiera interior. A cualquier escala aparece algún hueco.

Este punto permite distinguir dos usos diferentes de la palabra «denso». El conjunto de Cantor es denso en sí mismo porque no tiene puntos aislados, aunque no es denso en $[0,1]$. Su complemento, en cambio, sí es denso en el intervalo.

La jerarquía de huecos también posee estructura de escala. Existen huecos de longitudes

y la multiplicidad asociada a la longitud $3^{-n}$ es $2^{n-1}.$

Esto genera una relación exacta entre escala y número de huecos. Sin embargo, todavía no debemos convertir automáticamente esa relación en una «dimensión estimada». En el conjunto ideal conocemos la regla generadora. En datos finitos, encontrar aproximadamente más huecos pequeños que grandes puede deberse a múltiples mecanismos, incluidos ruido, resolución y muestreo.

La construcción de Cantor proporciona así un patrón de referencia, una ley de escala matemática exacta contra la cual más adelante podremos comparar las dificultades de inferir fractalidad empírica.

71.17. El conjunto como espacio de secuencias y puente con la dinámica simbólica

C67 introdujo la dinámica simbólica mediante secuencias de símbolos que codifican itinerarios. El conjunto de Cantor permite ver que esa codificación excede lo abstracto y puede materializarse como una geometría concreta en la recta.

Cada punto de $C$, salvo la ambigüedad numerable de ciertas expansiones ternarias, queda descrito por una secuencia

El prefijo

identifica exactamente uno de los $2^n$ intervalos básicos de la etapa $n$. Agregar un símbolo selecciona uno de sus dos hijos. Por tanto, conocer más dígitos equivale a localizar el punto a una escala espacial más fina.

Si dos secuencias coinciden en sus primeros $n$ símbolos, sus puntos asociados pertenecen al mismo intervalo básico de longitud $3^{-n}.$

La coincidencia simbólica inicial controla proximidad geométrica.

Recíprocamente, cuando aparece el primer símbolo diferente, ambos puntos se separan en ramas distintas de la construcción. Esta relación permite introducir una métrica natural sobre secuencias. Si $N(b,c)$ es la primera posición en que dos secuencias difieren, puede definirse, por ejemplo,

Bajo una convención adecuada, esta métrica simbólica reproduce la escala de la construcción geométrica.

No debemos afirmar que la distancia euclídea entre los puntos sea siempre exactamente $3^{-N}$, porque los extremos de los intervalos y los tamaños de los huecos introducen constantes y casos de borde. Lo importante es la equivalencia de escala, dado que compartir un prefijo largo significa estar geométricamente cerca.

Esta correspondencia explica por qué conjuntos tipo Cantor aparecen con tanta frecuencia en dinámica caótica. Cuando una órbita puede elegir repetidamente entre ramas y cada historia infinita define un estado compatible, el espacio de historias posee la estructura de una sucesión infinita de decisiones discretas.

En la herradura de Smale de C67, el conjunto invariante contiene una geometría de tipo Cantor en direcciones estables e inestables. Aquí vemos el ingrediente geométrico aislado, sin necesidad de la dinámica completa de la herradura.

Hay además una advertencia conceptual. Que un conjunto pueda codificarse por secuencias binarias no significa que posea por sí mismo una dinámica caótica. El conjunto de Cantor, considerado únicamente como subconjunto de $[0,1]$, es un objeto geométrico. Para hablar de caos hace falta especificar una aplicación que actúe sobre él. La geometría del espacio y la dinámica definida en ese espacio son objetos diferentes.

Esta distinción será útil en todo el resto del proyecto. Un atractor puede tener estructura fractal, aunque la fractalidad no es una definición de caos; un sistema puede ser caótico sobre un conjunto geométricamente simple; y un conjunto fractal puede existir sin que se haya definido sobre él evolución temporal alguna.

71.18. Aproximación finita y objeto límite

Toda simulación del conjunto de Cantor produce una etapa finita $C_n$.

Para $n=20$, existirían

intervalos, cada uno de longitud $3^{-20}.$

Representarlos todos en una pantalla no produce conocimiento adicional si el tamaño de los intervalos está por debajo de la resolución de píxel. Un gráfico puede dejar de distinguir etapas aunque matemáticamente la construcción continúe.

La diferencia entre $C_n$ y $C$ es conceptual, porque

para todo $n$ finito, mientras que $m(C)=0.$

Ninguna etapa finita tiene exactamente todas las propiedades del límite.

Este ejemplo resume un tema transversal del proyecto. Una aproximación computacional puede converger a un objeto cuya propiedad cualitativa no aparece literalmente en ninguna aproximación finita. La medida cero se obtiene en el límite y no en una imagen concreta.

71.19. Demostración de las propiedades esenciales

Podemos reunir las principales propiedades en una cadena de argumentos.

La compacidad se obtiene porque cada $C_n$ es una unión finita de intervalos cerrados y acotados. Como

el conjunto $C$ es cerrado y acotado, por tanto compacto en $\mathbb R$.

La medida cero se sigue de

para todo $n$. Al tomar $n\to\infty$, $m(C)=0.$

La no numerabilidad se sigue de que cada secuencia binaria infinita determina una expansión ternaria con dígitos $0$ y $2$. El espacio de secuencias binarias tiene cardinalidad del continuo, así que $C$ no es numerable.

La perfección se demuestra tomando $x\in C$ y $\varepsilon>0$. Existe una etapa $n$ con $3^{-n}<\varepsilon.$

El intervalo básico de nivel $n$ que contiene a $x$ contiene otro punto de $C$ a distancia menor que $\varepsilon$, de modo que no hay puntos aislados.

El interior vacío se sigue de que ningún intervalo abierto puede sobrevivir a todas las etapas, porque las longitudes de los intervalos básicos tienden a cero,

La total desconexión resulta de que dos puntos distintos terminan separados por un hueco eliminado en alguna etapa, así que ninguna componente conexa contiene más de un punto.

La autosimilitud queda expresada por la ecuación exacta

Estas siete propiedades no son siete maneras de decir lo mismo. Describen aspectos diferentes del conjunto.

71.20. Verificación computacional

El paquete reproducible no intenta «demostrar por simulación» propiedades infinitas como no numerabilidad o perfección. Verifica las identidades finitas que sostienen la construcción.

Para etapas $n=0,\ldots,10$ se comprueba automáticamente

También se verifica la suma de longitudes eliminadas,

junto con la correspondencia entre palabras binarias finitas y extremos izquierdos de los intervalos básicos y la ecuación $2(1/3)^s=1.$

Se ejecutaron 60 comprobaciones automáticas y todas resultaron satisfactorias.

Estas pruebas verifican el código y las identidades finitas. Las propiedades del conjunto límite se establecen mediante los argumentos matemáticos del texto.

71.21. Qué enseña el conjunto de Cantor

El conjunto de Cantor es importante porque obliga a abandonar equivalencias intuitivas falsas.

Puede existir un conjunto que tenga medida de longitud cero, posea cardinalidad del continuo, no contenga ningún intervalo, no tenga puntos aislados, sea totalmente desconectado y reproduzca exactamente su geometría bajo cambios de escala.

No hay contradicción entre esas propiedades porque cada una responde una pregunta diferente.

Este ejemplo también establece una disciplina para el resto del módulo. Cuando se hable de fractalidad habrá que especificar qué se está afirmando, sea autosimilitud exacta, ley de escala, dimensión no entera, irregularidad geométrica, estructura estadística o alguna combinación de ellas.

71.22. Hacia curvas y dimensiones

El conjunto de Cantor tiene una geometría construida mediante sustracción, donde se eliminan intervalos y queda un polvo no numerable de puntos.

El siguiente capítulo estudiará la curva de Koch. Allí ocurrirá algo complementario. En vez de eliminar longitud hasta llegar a medida cero, una regla iterativa añadirá detalle de manera que la longitud de las aproximaciones crezca sin límite mientras la curva permanece dentro de una región acotada.

La comparación Cantor–Koch permitirá separar aún mejor longitud, escala y dimensión. Más adelante, C74 y C75 convertirán esas intuiciones en definiciones cuantitativas y mostrarán por qué no existe una única noción de dimensión que deba usarse sin atender a las hipótesis.

Referencias

Falconer, K. (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (2nd ed.). Wiley. https://doi.org/10.1002/0470013850

Hutchinson, J. E. (1981). Fractals and self-similarity. Indiana University Mathematics Journal, 30(5), 713–747. https://doi.org/10.1512/iumj.1981.30.30055

Cantor, G. (1984). Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Arbeiten zur Mengenlehre aus den Jahren 1872–1884. Springer Vienna. Reimpresión de trabajos originales de 1872–1884. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-9516-1

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