74.1. Medir complejidad geométrica mediante resolución
Cantor, Koch y Sierpiński han mostrado que la intuición euclídea ordinaria puede resultar insuficiente para describir conjuntos multiescala. Un intervalo tiene longitud finita; Cantor tiene longitud cero con una estructura no numerable; Koch tiene longitud infinita dentro de una región acotada; Sierpiński reproduce huecos a escalas sucesivas.
La dimensión por conteo de cajas transforma una pregunta geométrica en una pregunta operacional. ¿Cuántas celdas de tamaño hacen falta para cubrir el conjunto?
Si al disminuir el número de celdas ocupadas crece aproximadamente como
entonces el exponente cuantifica la velocidad a la que aparece nueva estructura cuando aumenta la resolución.
Esta definición es especialmente útil porque puede aplicarse tanto a conjuntos matemáticos como a imágenes, nubes de puntos y atractores numéricos. Esa facilidad práctica es también una fuente de errores. Un ajuste lineal en coordenadas logarítmicas puede producir una pendiente incluso cuando no existe una ley de escala asintótica. En datos finitos aparecen saturación, efectos de borde, dependencia de la malla y rangos de escala demasiado estrechos.
El objetivo de C74 es por ello doble. Primero, definir con precisión la dimensión por conteo de cajas y calcularla en ejemplos donde el resultado es conocido. Segundo, estudiar qué ocurre cuando la definición matemática se convierte en un estimador computacional.
74.2. Coberturas a escala
Sea un conjunto acotado.
Una forma de medir su complejidad a resolución consiste en superponer una malla de cajas de lado y contar cuántas cajas intersectan .
Denotemos ese número por
La idea puede formularse también mediante el número mínimo de bolas, cubos u otros conjuntos de diámetro comparable a necesarios para cubrir . Estas variantes pueden diferir por factores constantes, aunque bajo condiciones estándar producen el mismo exponente asintótico.
La dimensión no se define a partir de un único valor de . Interesa cómo cambia el conteo cuando
Si
tomamos logaritmos,
Por tanto, aparece como pendiente en el límite de pequeña escala.
74.3. Dimensión de cajas superior e inferior
El límite
no tiene por qué existir.
Por ello se definen dos cantidades,
y
Se llaman dimensión inferior y superior por conteo de cajas.
Si ambas coinciden,
decimos que la dimensión de cajas existe y escribimos
La distinción entre liminf y limsup evita esconder oscilaciones de escala. Una pendiente aparente puede cambiar repetidamente al refinar . En ese caso no existe una única dimensión de cajas en sentido estricto.
74.4. El intervalo tiene dimensión uno
Consideremos
Con cajas de longitud , se necesitan aproximadamente
Más precisamente,
para una cobertura alineada apropiadamente.
Entonces
Por tanto,
La dimensión coincide con la intuición euclídea, porque al reducir la escala lineal por un factor el número de piezas necesarias crece aproximadamente como .
74.5. El cuadrado tiene dimensión dos
Para
una malla de lado requiere aproximadamente
celdas.
Entonces
y
La diferencia entre intervalo y cuadrado muestra la lógica general,
para regiones euclídeas regulares de dimensión .
En un objeto fractal puede aparecer un exponente no entero.
74.6. Conteo exacto de Cantor en escalas triádicas
Retomemos el conjunto ternario de Cantor.
En la etapa , existen intervalos básicos de longitud
Si escogemos cada intervalo básico requiere una caja de esa escala. Por tanto,
Entonces
El valor es
Para demostrar que el resultado no depende solo de la subsecuencia , pueden compararse escalas intermedias con las dos escalas triádicas vecinas. Si
el número de cajas queda acotado, salvo constantes independientes de , entre cantidades proporcionales a y
Al dividir logaritmos por , esas constantes desaparecen en el límite.
Así se obtiene
74.7. La misma lógica en Koch con cuatro copias
La curva de Koch tiene cuatro copias de sí misma a escala .
A resolución la estructura contiene del orden de piezas relevantes.
Por tanto,
El símbolo indica igualdad hasta factores multiplicativos acotados independientes de .
Entonces
Así,
El resultado coincide con el exponente de similitud obtenido en C72.
Esa coincidencia no es una definición automática. Ocurre porque la curva de Koch posee autosimilitud exacta y separación geométrica apropiada. C75 estudiará por qué diferentes dimensiones pueden coincidir en estos ejemplos y divergir en otros.
74.8. Sierpiński con tres copias a mitad de escala
El triángulo de Sierpiński de C73 está formado por tres copias de sí mismo, cada una reducida por un factor
A escala el número de piezas crece como
Por tanto,
Este valor está entre uno y dos.
La figura 74.3 estima la pendiente mediante una nube finita obtenida por iteración del IFS. El resultado se aproxima al valor teórico, sin coincidir exactamente en todas las escalas, porque la muestra y la malla son finitas.
Ese desacuerdo es lo que interesa estudiar en la segunda mitad del capítulo.
74.9. De definición matemática a estimador
En datos finitos no disponemos del límite
Tenemos una colección de escalas
y conteos observados
El procedimiento más habitual es construir
y estimar una pendiente mediante regresión lineal en un intervalo seleccionado.
Si se interpreta como estimación de dimensión de cajas.
Esta operación parece elemental, aunque contiene varias decisiones. Hay que fijar qué escalas incluir, qué origen usar para la malla, cómo tratar los puntos situados sobre bordes, qué resolución mínima considerar fiable, cuánto error de muestreo existe, si la nube representa un conjunto o una medida y si hay suficiente rango dinámico para hablar de escalamiento.
La dimensión matemática es un límite. La pendiente de una regresión es un estimador finito.
74.10. El problema del rango de escalas
Un gráfico log-log puede parecer aproximadamente lineal durante pocas escalas incluso cuando no existe una ley de potencia asintótica.
Para afirmar escalamiento debe existir un rango donde la pendiente sea relativamente estable y donde los mecanismos de distorsión de escalas gruesas y finas estén controlados.
En escalas demasiado gruesas,
solo existen unas pocas cajas. El conteo contiene poca información.
En escalas intermedias puede aparecer el régimen de interés.
En escalas demasiado finas, los datos discretos dejan de resolver el conjunto y aparece saturación.
Por tanto, el gráfico suele contener al menos tres regiones,
Ajustar una única recta a todas ellas mezcla fenómenos distintos.
74.11. Saturación por muestra finita
Supongamos que la muestra contiene puntos distintos.
Ningún conteo de cajas puede superar
Cuando se hace suficientemente pequeña para que cada caja contenga a lo sumo un punto,
Entonces
deja de crecer mientras
continúa aumentando.
La pendiente local tiende a cero.
La figura 74.2 usa una aproximación finita del conjunto de Cantor con puntos. En las escalas estructurales iniciales aparece el crecimiento esperado. Por debajo de la separación mínima entre puntos, el conteo se satura en .
Por tanto,
no demuestra que la dimensión real sea pequeña. Puede ser solo un límite de muestreo.
74.12. El origen de la malla
El número de cajas ocupadas depende, a escala finita, de dónde se coloca la malla.
Si desplazamos una cuadrícula una fracción de , algunos puntos cambian de caja. El conteo puede aumentar o disminuir.
En la definición asintótica, diferentes convenciones razonables producen la misma dimensión bajo hipótesis estándar porque las diferencias quedan controladas por factores constantes.
En una estimación con pocas escalas, esos factores pueden afectar apreciablemente la pendiente.
El paquete reproducible repite el conteo del triángulo de Sierpiński con distintos desplazamientos aleatorios de la malla. Las pendientes no son idénticas y forman una distribución alrededor del valor esperado.
Esta variabilidad debe informarse o controlarse.
Una estrategia práctica es repetir el conteo con varios orígenes y utilizar el mínimo, la mediana o un intervalo de estimaciones según el objetivo. Lo importante es especificar el procedimiento.
74.13. Rotación y anisotropía
Una cuadrícula cartesiana privilegia direcciones horizontales y verticales.
Rotar un conjunto finito respecto de la malla puede cambiar los conteos a escalas concretas. El efecto se reduce asintóticamente en muchos conjuntos regulares, aunque puede ser visible en datos limitados.
Este problema es distinto del origen de la malla.
También debe distinguirse de la autoafinidad. Un objeto autoafín puede escalar con factores diferentes en distintas direcciones. En ese caso, una única caja isotrópica puede ocultar información importante sobre anisotropía.
C76 estudiará explícitamente autosimilitud y autoafinidad. En C74 basta con reconocer que el conteo de cajas isotrópicas produce una medida escalar de ocupación y no una descripción completa de la geometría direccional.
74.14. El ruido produce una dimensión artificialmente alta
Supongamos que observamos puntos de una curva unidimensional en el plano y añadimos ruido bidimensional de pequeña amplitud.
A escalas mayores que el ruido, la nube puede parecer una curva,
A escalas menores que el grosor producido por el ruido, la nube empieza a ocupar área,
hasta que aparece la saturación de muestra.
El mismo conjunto de datos puede mostrar pendientes distintas en escalas distintas.
No existe una contradicción matemática. Estamos observando una geometría efectiva que cambia con la resolución.
En aplicaciones empíricas, una pendiente no entera debe interpretarse dentro de un rango de escalas físicamente defendible. Extrapolarla indefinidamente hacia
puede ser injustificado porque, a escalas suficientemente finas, dominan ruido instrumental, granularidad o discretización.
74.15. Una recta log-log no demuestra una ley de potencia
La transformación logarítmica puede hacer que muchas curvas suaves parezcan aproximadamente lineales en un intervalo estrecho.
Un coeficiente de determinación alto no resuelve este problema. Con pocas escalas, incluso modelos no fractales pueden producir cercano a uno.
La pregunta relevante no se agota en si la regresión es lineal. Conviene preguntar además qué mecanismo produce el rango de escala, cuántas décadas cubre, si la pendiente es estable al mover los extremos del ajuste, qué ocurre al refinar el muestreo, si existen modelos alternativos con igual o mejor ajuste y si la resolución instrumental alcanza el rango declarado.
La dimensión por conteo de cajas es simple de calcular. Por eso mismo es fácil sobreinterpretarla.
74.16. Dimensión local de pendiente y curvatura del gráfico
En lugar de ajustar una única recta, puede estudiarse una pendiente local,
En datos discretos se aproxima mediante diferencias finitas entre escalas vecinas.
Si existe un régimen de escala claro, debería presentar una meseta aproximadamente estable.
Si la pendiente cambia de forma sistemática con , el gráfico contiene curvatura. Esa curvatura puede indicar una transición entre regímenes, efectos de borde, ruido, saturación o ausencia de una ley de potencia simple.
La pendiente local no elimina la necesidad de juicio metodológico, aunque hace visible información que una regresión global puede ocultar.
74.17. Una propiedad de conjunto, no de frecuencia de visitas
El conteo de cajas pregunta si una caja contiene al menos un punto del conjunto.
No pregunta cuántas veces es visitada.
Dos medidas muy diferentes pueden compartir el mismo soporte y, por tanto, la misma dimensión de cajas del soporte.
En el juego del caos de C73, cambiar las probabilidades de las ramas modifica la densidad de visitas sobre Sierpiński. Si todas las ramas conservan probabilidad positiva, el soporte geométrico puede seguir siendo el mismo.
El conteo de cajas binario
ignora esa heterogeneidad.
C78 introducirá dimensiones relacionadas con distribución de visitas. C74 se limita a la geometría del conjunto.
74.18. Invariancia bajo cambios regulares de escala
La dimensión por conteo de cajas se conserva bajo transformaciones bi-Lipschitz.
Supongamos que
satisface
con
La transformación puede estirar o contraer distancias, aunque solo por factores acotados.
Una caja de escala en se relaciona entonces con escalas proporcionales a en . Como multiplicar por una constante solo añade una cantidad acotada a
el cociente asintótico conserva el mismo exponente.
Por tanto,
cuando la dimensión existe y es bi-Lipschitz.
Esta propiedad muestra que la dimensión captura escala geométrica más que unidades particulares de longitud.
74.19. Las vecindades de Minkowski como formulación alternativa
El conteo de cajas tiene una interpretación geométrica equivalente en muchos contextos.
Para un conjunto acotado , definimos su vecindad de radio ,
Es decir, engrosamos el conjunto por una distancia .
Si es una curva lisa en el plano, el área de es aproximadamente proporcional a porque estamos formando una banda de ancho del orden de alrededor de un objeto unidimensional.
Si ocupa una región bidimensional con área positiva, el área de tiende a una constante no nula.
Para un conjunto cuya dimensión de cajas es , la heurística general es
cuando existe un escalamiento suficientemente regular.
La conexión con el conteo de cajas es sencilla. Si hacen falta cajas de lado , cada caja tiene volumen
Por tanto, el volumen total de una cobertura de esa escala es del orden de
Si
entonces
Esta relación explica por qué la dimensión por cajas también recibe nombres relacionados con Minkowski o Minkowski–Bouligand.
La formulación mediante vecindades resulta útil cuando el conjunto está representado como una curva, superficie o nube de puntos y es más natural estudiar cuánto volumen ocupa al «engrosarlo» que contar explícitamente celdas.
Sin embargo, el mismo principio de cautela se mantiene. En datos rasterizados, el engrosamiento se implementa con píxeles y elementos estructurantes discretos. Una ley aparente de
puede estar limitada por resolución y bordes exactamente igual que el conteo de cajas.
La dimensión sigue siendo un comportamiento asintótico y no el resultado de una única dilatación morfológica.
74.20. Clausura, uniones y una diferencia importante con Hausdorff
La dimensión de cajas depende fuertemente de cómo un conjunto ocupa el espacio a resolución finita.
Una propiedad útil es
cuando la dimensión existe. A escala positiva, un conjunto y su clausura intersectan esencialmente las mismas cajas. Añadir puntos límite no cambia el exponente de crecimiento del conteo.
Esta propiedad explica el ejemplo de los racionales. Como
la dimensión de cajas de los racionales del intervalo es uno.
Para una unión finita,
el número de cajas satisface
Si ambas dimensiones de cajas existen, estas desigualdades llevan a
La multiplicación por una constante finita no altera el exponente logarítmico.
La estabilidad frente a uniones numerables, en cambio, falla de manera espectacular.
Cada punto individual tiene dimensión de cajas cero. Los racionales del intervalo son una unión numerable de puntos,
Si la dimensión de cajas fuera numerablemente estable como máximo de las dimensiones de las piezas, obtendríamos cero. En realidad,
Por tanto,
no está determinada en general por
Esta diferencia será una de las razones para introducir la dimensión de Hausdorff en C75. La dimensión de Hausdorff sí posee una estabilidad mucho más fuerte frente a uniones numerables.
El punto conceptual es importante. Dos nociones llamadas «dimensión» pueden coincidir en fractales autosimilares clásicos y, sin embargo, responder de manera distinta a operaciones básicas sobre conjuntos.
74.21. Imágenes digitales, píxeles, umbrales y dimensión aparente
Muchas aplicaciones del conteo de cajas no parten de un conjunto matemático, sino de una imagen.
Una imagen binaria puede representarse como una matriz
Se considera ocupado un píxel cuando y se agrupan píxeles en bloques de tamaño creciente para contar cajas ocupadas.
Este procedimiento introduce decisiones adicionales que no existen en el objeto matemático ideal.
Primero está la rasterización. Una curva de grosor cero se convierte en una banda de uno o varios píxeles. A escalas cercanas al tamaño del píxel, el conteo refleja el algoritmo de dibujo tanto como la geometría original.
Segundo está el umbral. Si la imagen es en escala de grises, hay que decidir qué intensidad pertenece al objeto. Cambiar ese umbral puede añadir o eliminar pequeñas regiones y modificar los conteos finos.
Tercero está la resolución de adquisición. Una fotografía de píxeles no contiene información sobre escalas menores que un píxel. Calcular cajas menores no recupera estructura física; solo subdivide una discretización ya existente.
Cuarto está la interpolación. Ampliar digitalmente una imagen puede crear nuevos píxeles, aunque no nuevas observaciones. Si el algoritmo de conteo trata esos píxeles interpolados como evidencia de escalas adicionales, puede fabricar un rango aparente de escalamiento.
Quinto está el campo de visión. Si el objeto se recorta, las cajas grandes están condicionadas por los bordes de la ventana. La dimensión estimada puede cambiar al analizar regiones de tamaño diferente.
Por estas razones, en análisis de imágenes debería informarse al menos la resolución original, el método de segmentación, los tamaños de caja en píxeles y, si existe calibración, en unidades físicas, el tratamiento de bordes, el rango de escalas usado, la sensibilidad al umbral y el número de orientaciones o desplazamientos de malla considerados.
Una dimensión con tres decimales calculada desde cinco tamaños de caja y una imagen sin descripción del procesamiento no es una medición de precisión milésimal. Es una pendiente condicionada por una cadena de decisiones.
El problema no invalida el método. Define el nivel de evidencia que el método puede proporcionar.
74.22. Una advertencia sobre conjuntos densos
La dimensión por conteo de cajas puede comportarse de manera sorprendente en conjuntos no cerrados.
Considérese
El conjunto es numerable. Sin embargo, es denso en .
Toda caja que intersecta el intervalo contiene puntos racionales. Por tanto, el número de cajas necesarias para cubrir a escala es esencialmente el mismo que para cubrir ,
Así,
La cardinalidad es numerable, mientras que la dimensión de cajas es uno.
Esto contrasta con la dimensión de Hausdorff, que para un conjunto numerable es cero. C75 desarrollará este tipo de divergencia.
El ejemplo ya basta para una conclusión,
74.23. No siempre existe una única dimensión de cajas
Puede construirse un conjunto cuya estructura alterne entre escalas con diferentes tasas de crecimiento.
En una secuencia de escalas puede comportarse aproximadamente como un objeto de dimensión ; en otra, como uno de dimensión .
Entonces
mientras
Si la dimensión de cajas ordinaria no existe.
Esta posibilidad es la razón matemática para mantener separadas las dimensiones superior e inferior desde el comienzo, aunque en Cantor, Koch y Sierpiński ambas coincidan.
74.24. De a
El cálculo puede resumirse en cuatro ejemplos.
Intervalo
Por tanto,
Cuadrado
Entonces,
Cantor
Con
se obtiene
Sierpiński
Con
resulta
El patrón general para un objeto autosimilar con copias de razón es
Entonces
Esta fórmula es consecuencia de la ley exacta de escala. No debe aplicarse sin más cuando las razones varían, las ramas se solapan o la geometría no es autosimilar.
74.25. Verificación computacional
El paquete reproducible ejecuta tres niveles de comprobación.
Primero, para el intervalo y el cuadrado verifica que las pendientes de
frente a
son exactamente uno y dos en las escalas utilizadas.
Segundo, para una aproximación profunda del conjunto de Cantor verifica que en las escalas triádicas
y recupera
Tercero, estima la pendiente de una muestra finita de Sierpiński y repite el cálculo bajo cuarenta desplazamientos aleatorios de la malla.
También se comprueba la saturación de una muestra finita de Cantor, ya que al alcanzar escalas menores que su separación mínima el conteo queda limitado por el número de puntos disponibles.
Se ejecutaron 18 comprobaciones automáticas y todas resultaron satisfactorias.
Las pruebas de la dimensión exacta pertenecen a los argumentos analíticos. Las regresiones numéricas ilustran cómo se comporta un estimador finito.
74.26. Protocolo mínimo para una estimación empírica
Una estimación seria de dimensión por conteo de cajas debería especificar, como mínimo, el objeto analizado y cómo fue discretizado, las escalas utilizadas, el origen y la orientación de la malla, el rango seleccionado para estimar la pendiente, la sensibilidad a mover ese rango, la variación entre desplazamientos de malla, la resolución mínima de los datos, la presencia de saturación por tamaño muestral, la incertidumbre de la pendiente y las explicaciones alternativas a una ley de escala.
No todos los problemas exigirán exactamente el mismo protocolo, aunque omitir estas decisiones convierte una cifra aparentemente precisa en una cantidad difícil de interpretar.
La dimensión de cajas es robusta como definición matemática. Su estimación empírica puede ser frágil si el rango de escalas es estrecho.
74.27. Incertidumbre y falsa precisión
Una dimensión estimada a partir de datos finitos debería presentarse como una cantidad incierta.
La regresión lineal produce un error estándar formal de la pendiente, aunque ese error solo refleja dispersión alrededor de la recta bajo el modelo de regresión. No incorpora automáticamente incertidumbre por elección del rango de escalas, desplazamiento de la malla, resolución, umbral, ruido ni dependencia entre conteos sucesivos.
Por eso informar sin análisis de sensibilidad puede transmitir una precisión inexistente.
Una estrategia más informativa consiste en repetir el cálculo bajo decisiones razonables y registrar una distribución de pendientes,
Pueden variar el origen de la malla, los extremos del rango de ajuste o muestras bootstrap cuando el diseño de datos lo permita. El resultado puede resumirse mediante una estimación central y un intervalo de variación.
Este intervalo no es necesariamente un intervalo de confianza clásico para una «verdadera dimensión fractal». Su significado depende del procedimiento. Puede representar sensibilidad metodológica, variación muestral o ambas.
La distinción debe declararse.
En un conjunto matemático ideal como Cantor no necesitamos este lenguaje, porque conocemos la ley exacta y podemos demostrar el límite. En datos empíricos, en cambio, una dimensión calculada es una inferencia a partir de un rango finito. La incertidumbre forma parte del resultado y no es un defecto opcional que pueda ocultarse detrás de más decimales.
74.28. Qué aporta y qué no aporta la dimensión por cajas
La dimensión por conteo de cajas cuantifica cómo crece el número de celdas necesarias al aumentar la resolución.
Puede distinguir un intervalo de un cuadrado y asignar valores intermedios a Cantor, Koch y Sierpiński.
No determina automáticamente la medida de Lebesgue, la cardinalidad, la conectividad, la dinámica que generó el conjunto, la distribución de probabilidad sobre el soporte, la dimensión de Hausdorff ni la existencia de una ley de escala empírica fuera del rango observado.
Dos conjuntos con la misma dimensión de cajas pueden ser geométricamente muy diferentes.
Una dimensión es un descriptor. No es una teoría completa del objeto.
74.29. Hacia nociones no equivalentes de dimensión
En los ejemplos canónicos de C71–C73, el exponente de similitud y la dimensión de cajas producen el mismo número. Esa concordancia podría sugerir que existe una única «dimensión fractal».
No es así.
El conjunto de racionales del intervalo ya ofrece una advertencia, ya que su dimensión de cajas es uno mientras otra noción fundamental, la dimensión de Hausdorff, vale cero.
C75 estudiará esta separación de forma explícita. Introducirá medidas de Hausdorff, comparará definiciones y mostrará por qué distintas dimensiones responden a preguntas diferentes.
El objetivo no será elegir una dimensión universalmente «correcta», sino comprender qué estructura cuantifica cada una y bajo qué hipótesis pueden coincidir.
Referencias
Falconer, K. (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (2nd ed.). Wiley. https://doi.org/10.1002/0470013850
Tricot, C. Jr. (1982). Two definitions of fractional dimension. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 91(1), 57–74. https://doi.org/10.1017/S0305004100059119
Theiler, J. (1990). Estimating fractal dimension. Journal of the Optical Society of America A, 7(6), 1055–1073. https://doi.org/10.1364/JOSAA.7.001055
Recursos reproducibles
Descargar recursos del capítulo (ZIP, 225 kB).
3 archivos CSV · 4 figuras · 1 programa Python.
El programa ilustra cálculos del capítulo. Las figuras y los CSV están incluidos, pero el script no vuelve a guardar todos esos archivos.