72.1. Una frontera acotada con longitud infinita

El conjunto de Cantor mostró que una construcción puede conservar una cantidad no numerable de puntos y, al mismo tiempo, ocupar longitud de Lebesgue cero. La curva de Koch introduce una tensión geométrica diferente. Parte de un segmento de longitud finita y aplica una regla local extremadamente simple. Después de cada iteración la curva permanece dentro de una región acotada, mientras su longitud aumenta. En el límite, la longitud diverge.

La importancia del ejemplo no está en la espectacularidad de la figura. Está en que obliga a precisar qué se mide cuando se habla de «tamaño» o «detalle» de una frontera. La curva tiene diámetro finito, puede formar parte de una frontera que encierra un área finita y, sin embargo, no posee longitud finita. Estas propiedades no son contradictorias porque pertenecen a magnitudes distintas.

El capítulo desarrollará la construcción desde la regla generadora, demostrará la divergencia de la longitud y analizará el copo de Koch para mostrar cómo un perímetro infinito puede coexistir con un área convergente. También aparecerá el exponente de similitud

s=log⁡4log⁡3,s=\frac{\log 4}{\log 3},

aunque la teoría general de dimensión se reservará para C74 y C75. Aquí el objetivo es más básico, a saber, comprender por qué una frontera puede ganar detalle a todas las escalas sin «salirse» de una región acotada.

72.2. La regla generadora

Comenzamos con un segmento unitario. Dividimos el segmento en tres partes iguales. Sustituimos el tercio central por los dos lados de un triángulo equilátero de lado 1/31/3, eliminando su base.

Un segmento produce así cuatro segmentos nuevos, cada uno con longitud igual a un tercio de la longitud original.

Si el segmento inicial va de P0P_0 a P1P_1, definimos

v=P1−P03.v=\frac{P_1-P_0}{3}.

Los puntos intermedios son

A=P0+v,B=P0+2v.A=P_0+v, \qquad B=P_0+2v.

El vértice del saliente se obtiene rotando vv un ángulo de 60∘60^\circ,

C=A+Rπ/3v,C=A+R_{\pi/3}v,

donde

Rπ/3=(cos⁡(π/3)−sin⁡(π/3)sin⁡(π/3)cos⁡(π/3)).R_{\pi/3} = \begin{pmatrix} \cos(\pi/3) & -\sin(\pi/3)\\ \sin(\pi/3) & \cos(\pi/3) \end{pmatrix}.

El segmento original queda reemplazado por

P0→A→C→B→P1.P_0\to A\to C\to B\to P_1.

La misma regla se aplica a cada segmento nuevo.

Primeras etapas de la construcción de la curva de Koch a partir de la regla de sustitución.
Figura 72.1. Primeras etapas de la construcción de la curva de Koch a partir de la regla de sustitución. Ampliar figura ↗

Este modo de escribir la construcción separa claramente la geometría del dibujo. No necesitamos «imaginar un pico». Necesitamos una división, una rotación y una concatenación.

72.3. Número de segmentos

Sea NnN_n el número de segmentos después de nn iteraciones.

En la etapa inicial, N0=1.N_0=1.

Cada segmento produce cuatro, Nn+1=4Nn.N_{n+1}=4N_n.

Por inducción, Nn=4n.N_n=4^n.

El número de piezas aumenta exponencialmente. Esta proliferación, sin embargo, no basta para concluir nada sobre la longitud total, porque al mismo tiempo cada pieza se hace más pequeña.

Sea ℓn\ell_n la longitud de cada segmento. Como cada iteración divide la escala lineal por tres,

ℓ0=1,ℓn+1=13ℓn,\ell_0=1, \qquad \ell_{n+1}=\frac13\ell_n,

de donde

ℓn=3−n.\ell_n=3^{-n}.

Número de piezas y tamaño de cada pieza evolucionan en direcciones opuestas,

Nn=4n,ℓn=3−n.N_n=4^n, \qquad \ell_n=3^{-n}.

La longitud total surge de su producto.

72.4. La longitud de las aproximaciones

La longitud de la curva poligonal de etapa nn es

Ln=Nnℓn.L_n=N_n\ell_n.

Sustituyendo,

Ln=4n3−n=(43)n.L_n = 4^n3^{-n} = \left(\frac43\right)^n.

Como

43>1,\frac43>1,

se obtiene

lim⁡n→∞Ln=∞.\lim_{n\to\infty}L_n=\infty.

La divergencia no depende de un detalle numérico ni de una imagen. Es consecuencia exacta de la regla de sustitución.

Para un segmento inicial de longitud L0L_0,

Ln=L0(43)n.L_n=L_0\left(\frac43\right)^n.

Cada etapa incrementa la longitud en un factor 4/34/3, es decir, un 33,3%33{,}3\% respecto de la etapa anterior.

Crecimiento de la longitud de las aproximaciones poligonales con el número de etapas.
Figura 72.2. Crecimiento de la longitud de las aproximaciones poligonales con el número de etapas. Ampliar figura ↗

La figura 72.2 muestra este crecimiento. Su carácter aparentemente moderado durante las primeras iteraciones puede engañar, porque el proceso es exponencial en nn. Ninguna etapa finita tiene longitud infinita. La infinitud aparece en el límite.

72.5. El objeto límite no es una poligonal muy larga

Sería incorrecto describir la curva de Koch como una poligonal con «infinitos segmentos minúsculos». Una poligonal es, por definición usual, una concatenación finita o al menos tratable como sucesión de segmentos con una estructura determinada. La curva límite es el límite uniforme de una sucesión de aproximaciones poligonales.

En cada etapa se modifica la curva anterior a una escala más pequeña. La distancia máxima entre etapas consecutivas tiende a cero. Esto permite construir una parametrización continua límite.

La continuidad del límite no implica suavidad. El detalle angular persiste a escalas arbitrariamente pequeñas. En la construcción clásica, la curva no adquiere una tangente ordinaria estable cuando se amplía localmente. Este era el tipo de fenómeno que motivó a von Koch a comienzos del siglo XX, esto es, construir mediante geometría elemental una curva continua sin tangente en el sentido clásico.

La conclusión importante para este capítulo es más modesta y segura. La aproximación por segmentos cada vez más pequeños no converge a una curva rectificable, ya que sus longitudes divergen.

72.6. Longitud infinita no significa región infinita

La curva de Koch permanece dentro de una región acotada.

Esto ya puede verse por construcción. Cada saliente aparece sobre un segmento de escala 3−n3^{-n}. Las alturas de los nuevos triángulos decrecen geométricamente. La suma de posibles desplazamientos transversales está dominada por una serie geométrica convergente.

Por tanto, el diámetro del conjunto límite es finito.

Aquí aparece una distinción fundamental,

longitud de una curva≠diaˊmetro del conjunto.\text{longitud de una curva} \neq \text{diámetro del conjunto}.

Una línea recta de longitud uno tiene diámetro uno. La curva de Koch puede tener diámetro finito y longitud infinita porque retrocede, gira y añade estructura a escalas cada vez menores.

La longitud acumula todo el recorrido de la frontera. El diámetro solo pregunta por la mayor distancia entre dos puntos.

72.7. Del segmento al copo de Koch

La variante más conocida parte de un triángulo equilátero. Aplicamos la regla de Koch a cada uno de sus tres lados, orientando los salientes hacia el exterior. Repetimos el proceso sobre todos los segmentos de la frontera.

El resultado límite se denomina copo de Koch.

Si el triángulo inicial tiene lado aa, su perímetro es P0=3a.P_0=3a.

Después de nn etapas,

Pn=3a(43)n.P_n = 3a\left(\frac43\right)^n.

Por tanto,

Pn→∞.P_n\to\infty.

El copo está contenido en una región acotada, mientras su frontera tiene longitud infinita.

Esto prepara la pregunta central siguiente. ¿Qué ocurre con el área encerrada?

72.8. Área añadida en la primera etapa

Sea

A0=34a2A_0=\frac{\sqrt3}{4}a^2

el área del triángulo equilátero inicial.

En la primera iteración se añaden tres triángulos equiláteros, cada uno con lado

a3.\frac{a}{3}.

El área de cada triángulo añadido es

A09,\frac{A_0}{9},

porque el área escala con el cuadrado de la longitud.

La primera contribución añadida es entonces

ΔA1=3A09=A03.\Delta A_1 = 3\frac{A_0}{9} = \frac{A_0}{3}.

El área total después de una iteración es

A1=A0+A03=43A0.A_1 = A_0+\frac{A_0}{3} = \frac43A_0.

Hasta aquí tanto el perímetro como el área aumentan. La diferencia aparecerá en las tasas.

72.9. Área añadida en la etapa nn

En la etapa n≥1n\geq1, el número de triángulos nuevos es 3⋅4n−1.3\cdot 4^{n-1}.

Cada uno tiene lado

a3n.\frac{a}{3^n}.

Como el área depende del cuadrado del lado, cada nuevo triángulo tiene área

A09n.\frac{A_0}{9^n}.

Por tanto,

ΔAn=3⋅4n−1A09n.\Delta A_n = 3\cdot4^{n-1}\frac{A_0}{9^n}.

Podemos escribir

ΔAn=A03(49)n−1.\Delta A_n = \frac{A_0}{3} \left(\frac49\right)^{n-1}.

Ahora aparece la diferencia determinante. Para el perímetro, el factor iterativo era

43>1.\frac43>1.

Para el área añadida, el factor entre contribuciones sucesivas es

49<1.\frac49<1.

La serie de áreas añadidas converge.

72.10. Área límite del copo

El área después de infinitas iteraciones es

A∞=A0+∑n=1∞ΔAn.A_\infty = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\Delta A_n.

Sustituyendo,

A∞=A0+A03∑n=1∞(49)n−1.A_\infty = A_0 + \frac{A_0}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac49\right)^{n-1}.

La serie geométrica tiene suma

11−4/9=95.\frac{1}{1-4/9} = \frac95.

Entonces

A∞=A0+A0395=A0+35A0=85A0.A_\infty = A_0 + \frac{A_0}{3}\frac95 = A_0+\frac35A_0 = \frac85A_0.

El resultado central queda así demostrado,

P∞=∞,A∞=85A0<∞.P_\infty=\infty, \qquad A_\infty=\frac85A_0<\infty.
Perímetro divergente y área convergente del copo de Koch a lo largo de las etapas.
Figura 72.3. Perímetro divergente y área convergente del copo de Koch a lo largo de las etapas. Ampliar figura ↗

No existe contradicción. Perímetro y área escalan con potencias diferentes de la longitud característica.

72.11. Por qué la diferencia entre longitud y área es inevitable

La regla generadora produce cuatro copias lineales de escala 1/31/3.

Una magnitud proporcional a la longitud recibe aproximadamente un factor

4(13)=43.4\left(\frac13\right) = \frac43.

Una magnitud proporcional al área recibe un factor

4(13)2=49.4\left(\frac13\right)^2 = \frac49.

La primera crece; la segunda decrece.

La clave está en el exponente de la escala lineal.

Este razonamiento no es todavía una teoría general de dimensión, aunque anticipa su lógica. Una cantidad que escala como rdr^d responde de manera diferente según el exponente dd.

En la curva de Koch, existe un valor intermedio ss para el cual

4(13)s=1.4\left(\frac13\right)^s=1.

Resolviendo,

s=log⁡4log⁡3.s=\frac{\log4}{\log3}.

Ese exponente es aproximadamente s≈1.2618595071.s\approx 1.2618595071.

Se encuentra entre uno y dos. El objeto es «más complejo» que una curva rectificable unidimensional, sin llegar a llenar área bidimensional.

Esta formulación será precisada en C74 y C75.

72.12. Autosimilitud exacta

La curva límite puede dividirse en cuatro partes, cada una similar a la curva completa y reducida por un factor 1/31/3.

Esquemáticamente,

K=S1(K)∪S2(K)∪S3(K)∪S4(K),K= S_1(K)\cup S_2(K)\cup S_3(K)\cup S_4(K),

donde cada SiS_i es una similitud con razón 1/31/3, acompañada de una traslación y, para las ramas centrales, una rotación.

Esta igualdad exacta explica por qué el mismo patrón angular reaparece a escalas sucesivas.

No todas las fronteras rugosas poseen esta propiedad. Una costa real, una nube, una interfaz turbulenta o una superficie biológica pueden mostrar escalamiento aproximado durante cierto rango, sin estar compuestas literalmente por cuatro copias perfectas a escala 1/31/3.

El ejemplo de Koch debe utilizarse como modelo matemático de autosimilitud y no como argumento automático de que toda frontera irregular sea fractal en el mismo sentido.

72.13. Detalle infinito y resolución finita

Supongamos que medimos una aproximación de Koch con una regla cuya resolución es ε\varepsilon.

Si

3−(n+1)<ε≤3−n,3^{-(n+1)}<\varepsilon\leq3^{-n},

la regla no resuelve de manera estable el detalle introducido más allá de aproximadamente la etapa nn.

La longitud observada dependerá entonces de la resolución.

A escalas gruesas, la frontera parece cercana al segmento inicial. Al mejorar la resolución, aparecen salientes adicionales y la longitud estimada aumenta.

Esta dependencia de escala fue convertida por Mandelbrot en una de las intuiciones centrales de la geometría fractal, especialmente en el conocido problema de medir costas. El caso de Koch es más limpio, porque aquí conocemos exactamente la regla generadora y podemos derivar la relación entre escala y longitud.

Para el segmento de Koch,

εn=3−n,Ln=(43)n.\varepsilon_n=3^{-n}, \qquad L_n=\left(\frac43\right)^n.

Eliminando nn,

n=−log⁡εnlog⁡3.n= -\frac{\log\varepsilon_n}{\log3}.

Por tanto,

Ln=(43)−log⁡εn/log⁡3.L_n = \left(\frac43\right)^{-\log\varepsilon_n/\log3}.

Esto puede escribirse como

L(ε)∝ε1−s,L(\varepsilon) \propto \varepsilon^{1-s},

con

s=log⁡4log⁡3.s=\frac{\log4}{\log3}.

Como s>1s>1, el exponente 1−s1-s es negativo y la longitud estimada crece cuando ε\varepsilon disminuye.

72.14. La convergencia uniforme de las aproximaciones y la existencia de la curva límite

Hasta ahora hemos hablado de «la curva límite» como si su existencia fuera automática. Conviene justificar al menos la idea central.

Sea KnK_n la aproximación poligonal de etapa nn, parametrizada de manera compatible con la sustitución. Al pasar de KnK_n a Kn+1K_{n+1}, cada segmento de longitud 3−n3^{-n} se reemplaza por cuatro segmentos cuya desviación máxima respecto del segmento padre es proporcional a la altura de un triángulo equilátero de lado 3−(n+1)3^{-(n+1)}.

Esa altura es

hn+1=32 3−(n+1).h_{n+1} = \frac{\sqrt3}{2}\,3^{-(n+1)}.

Por tanto, la modificación máxima introducida en una nueva etapa decrece geométricamente.

Si comparamos dos etapas m>nm>n, la distancia máxima entre sus parametrizaciones puede acotarse por una cola de serie geométrica,

∥Km−Kn∥∞≤C∑j=n+1m3−j\|K_m-K_n\|_\infty \leq C\sum_{j=n+1}^{m}3^{-j}

para alguna constante geométrica CC.

La serie

∑j=1∞3−j\sum_{j=1}^{\infty}3^{-j}

converge. Por ello, las aproximaciones forman una sucesión de Cauchy en la norma uniforme y convergen a una aplicación continua límite.

Este argumento explica cómo pueden coexistir dos hechos,

Kn→Kuniformemente,K_n\to K \quad\text{uniformemente},

mientras

L(Kn)→∞.L(K_n)\to\infty.

Convergencia uniforme de curvas no implica convergencia de sus longitudes. La funcional «longitud» no es continua respecto de la convergencia uniforme sin hipótesis adicionales.

Este es un punto matemático general. Una sucesión de objetos puede converger muy bien en posición mientras alguna propiedad derivada, sensible a oscilaciones cada vez más finas, diverge.

72.15. Direcciones a todas las escalas y ausencia de una tangente estable

La regla generadora no solo aumenta la longitud. También introduce cambios de dirección en todas las escalas.

Si un segmento tiene dirección angular θ\theta, sus cuatro descendientes poseen, según la orientación escogida, direcciones

θ,θ+π3,θ−π3,θ.\theta,\qquad \theta+\frac{\pi}{3},\qquad \theta-\frac{\pi}{3},\qquad \theta.

En la etapa siguiente, cada una de esas direcciones vuelve a ramificarse mediante el mismo patrón.

Para que existiera una tangente clásica en un punto, las direcciones de las secantes suficientemente pequeñas alrededor de ese punto tendrían que converger hacia una dirección única. En la curva de Koch, la construcción introduce giros de 60∘60^\circ a escalas arbitrariamente pequeñas. La geometría local no se estabiliza como lo haría en una curva suave.

La afirmación completa de ausencia de tangentes en todos los puntos requiere tratar con cuidado los distintos tipos de puntos y las posibles expansiones de su dirección simbólica. Von Koch construyó este tipo de curva continua sin tangente. Para el objetivo actual basta destacar el mecanismo geométrico, ya que el refinamiento no elimina las esquinas y crea nuevas esquinas a escalas menores.

Esto distingue la curva de una aproximación poligonal ordinaria a una circunferencia. En un polígono regular inscrito con cada vez más lados, los ángulos exteriores individuales tienden a cero y las direcciones locales convergen hacia la tangente de la circunferencia. En Koch, el ángulo característico de la regla no disminuye y sigue siendo de 60∘60^\circ. Lo que disminuye es la escala espacial a la que aparece.

Por tanto, «segmentos cada vez más cortos» no implica «curva cada vez más suave».

72.16. Una ley exacta de resolución al medir con una regla

La relación entre detalle y longitud puede formularse como un experimento de medición.

Supongamos que utilizamos una regla cuyo tamaño coincide con la longitud de los segmentos de la etapa nn, εn=3−n.\varepsilon_n=3^{-n}.

Para recorrer la aproximación necesitamos exactamente N(εn)=4nN(\varepsilon_n)=4^n segmentos de esa escala.

La longitud medida es

L(εn)=N(εn)εn=4n3−n=(43)n.L(\varepsilon_n) = N(\varepsilon_n)\varepsilon_n = 4^n3^{-n} = \left(\frac43\right)^n.

Como

n=−log⁡εnlog⁡3,n= -\frac{\log\varepsilon_n}{\log3},

obtenemos

N(εn)=εn−s,s=log⁡4log⁡3.N(\varepsilon_n) = \varepsilon_n^{-s}, \qquad s=\frac{\log4}{\log3}.

Entonces

L(εn)=εn1−s.L(\varepsilon_n) = \varepsilon_n^{1-s}.

Como

s>1,s>1,

el exponente 1−s1-s es negativo y

L(ε)→∞L(\varepsilon)\to\infty

cuando la resolución ε→0\varepsilon\to0.

Esta relación es exacta en las escalas discretas 3−n3^{-n} de la construcción. Entre esas escalas, una medición concreta puede depender del algoritmo utilizado, de la orientación de la regla y de cómo se aproximen los extremos. La ley ideal no debe confundirse con cualquier procedimiento práctico de medición.

El resultado proporciona, sin embargo, una conexión limpia entre tres cantidades,

resolucioˊn,nuˊmero de piezas,longitud observada.\text{resolución}, \qquad \text{número de piezas}, \qquad \text{longitud observada}.

Cuando en C74 se introduzca el conteo de cajas, la misma lógica reaparecerá con una definición más general y menos dependiente de una regla adaptada al objeto.

72.17. Longitud de aproximación y longitud geométrica

Hay dos afirmaciones que conviene no mezclar. La primera es que

Ln→∞L_n\to\infty

para las aproximaciones poligonales naturales. La segunda es que la curva límite no es rectificable, es decir, que su longitud geométrica es infinita.

En este ejemplo ambas son coherentes, aunque en problemas más generales una secuencia arbitraria de aproximaciones puede producir longitudes engañosas. Para hablar de longitud de una curva debe utilizarse una definición geométrica independiente de una única discretización.

Una definición clásica de longitud para una parametrización continua γ:[0,1]→R2\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2 considera todas las particiones

0=t0<t1<⋯<tm=10=t_0<t_1<\cdots<t_m=1

y las sumas

∑j=1m∥γ(tj)−γ(tj−1)∥.\sum_{j=1}^m \|\gamma(t_j)-\gamma(t_{j-1})\|.

La longitud es el supremo de estas sumas.

En la curva de Koch pueden escogerse particiones que contienen los vértices de las aproximaciones KnK_n. Para esas particiones, la suma es exactamente

(43)n.\left(\frac43\right)^n.

Como esas cantidades no están acotadas, el supremo es infinito.

Así se conecta la divergencia de las aproximaciones naturales con la definición geométrica de longitud.

72.18. Continuidad no implica rectificabilidad

En cursos elementales, muchas curvas habituales son simultáneamente continuas, diferenciables por tramos y de longitud finita. Esa convivencia puede crear una intuición falsa de equivalencia.

La curva de Koch es continua y tiene longitud infinita.

La continuidad significa que puntos cercanos del parámetro producen puntos cercanos de la curva. No impone una cota sobre cuánto recorrido geométrico puede acumularse al refinar la escala.

La rectificabilidad exige mucho más, ya que pide que el supremo de las longitudes poligonales sea finito.

Por tanto,

continua⇏rectificable.\text{continua} \not\Rightarrow \text{rectificable}.

Del mismo modo,

acotada⇏longitud finita.\text{acotada} \not\Rightarrow \text{longitud finita}.

Estas distinciones serán importantes más adelante cuando se estudien trayectorias o fronteras reconstruidas desde datos.

72.19. El área finita tampoco implica frontera regular

El copo de Koch muestra que una región puede tener área bien definida y finita aunque su frontera no tenga longitud finita.

Esto evita otra equivalencia intuitiva,

aˊrea finita⇏perıˊmetro finito.\text{área finita} \not\Rightarrow \text{perímetro finito}.

En geometría clásica muchas figuras simples, como discos y polígonos, poseen ambas cantidades finitas. Una propiedad no fuerza la otra en conjuntos más generales.

La razón vuelve a ser de escala. Cada detalle nuevo aporta longitud de primer orden en la escala lineal y área de segundo orden. El número de detalles crece lo bastante rápido para hacer divergir la primera suma y no lo bastante rápido para hacer divergir la segunda.

El ejemplo anticipa una idea que reaparecerá en sistemas espaciales, donde una interfaz puede ser geométricamente muy compleja sin ocupar una fracción grande del volumen o área del sistema.

72.20. Qué significa «frontera» en el copo de Koch

En el copo de Koch, la curva límite es la frontera topológica de la región encerrada.

Esto significa que cada vecindad de un punto de la curva contiene puntos interiores y exteriores a la región.

La frontera no debe confundirse con una banda de grosor finito. Cuando se dibuja en una pantalla, la línea tiene píxeles y por tanto área visual. Matemáticamente, la curva ideal no posee ese grosor.

Este detalle será importante al estimar dimensiones por conteo de cajas. Si la resolución de una imagen introduce un grosor artificial, el número de cajas ocupadas puede reflejar tanto la geometría real como el proceso de rasterización.

El modelo matemático y su representación digital son objetos distintos.

72.21. Una frontera autosimilar no es una frontera aleatoria

La curva de Koch es determinista. Dada la etapa anterior, la siguiente está completamente fijada.

Su irregularidad geométrica no proviene de ruido.

Esto es relevante porque «irregular», «fractal» y «aleatorio» suelen mezclarse. Un objeto puede ser exactamente autosimilar y totalmente determinista. También puede existir una frontera aleatoria que no posea autosimilitud exacta.

La geometría fractal estudia estructuras de escala. La aleatoriedad describe incertidumbre o distribución probabilística. Pueden coexistir, aunque ninguna implica la otra.

C76 distinguirá autosimilitud, autoafinidad y escalamiento estadístico. Koch representa el caso ideal de autosimilitud determinista exacta.

72.22. Un contraejemplo donde aumentar el número de segmentos no basta

Supongamos que una construcción reemplaza cada segmento por cuatro segmentos, cada uno con longitud 1/51/5 del original.

La longitud total se multiplicaría por

45<1.\frac45<1.

Aumentaría el número de piezas y disminuiría la longitud.

Si cada nuevo segmento tuviera longitud 1/41/4, la longitud total permanecería constante.

Solo cuando el producto NrN r supera uno aumenta la longitud total bajo una regla uniforme de NN copias de escala rr.

Por tanto,

maˊs piezas⇏maˊs longitud.\text{más piezas} \not\Rightarrow \text{más longitud}.

Debe considerarse simultáneamente el número de piezas y su escala.

Este contraejemplo evita interpretar el detalle como una propiedad puramente combinatoria.

72.23. No toda rugosidad produce dimensión no entera

Una curva puede ser muy irregular visualmente y seguir siendo rectificable. También puede contener oscilaciones a muchas escalas sin satisfacer una ley de autosimilitud simple.

La dimensión de similitud de Koch surge porque la construcción posee una regla exacta, con

N=4,r=13.N=4, \qquad r=\frac13.

Si los factores cambian de una etapa a otra, la ecuación Nrs=1Nr^s=1 ya no describe necesariamente el objeto.

En datos empíricos, estimar una pendiente en un gráfico log-log no basta para demostrar una estructura fractal universal. Será necesario especificar rango de escalas, incertidumbre, resolución y alternativas.

Koch es un ejemplo canónico porque las hipótesis están bajo control.

72.24. Comparación estructural con el conjunto de Cantor

C71 y C72 presentan dos construcciones autosimilares que utilizan escalas ternarias y producen comportamientos geométricos muy diferentes.

En Cantor, cada intervalo se reemplaza por dos copias de razón 1/31/3. La longitud total de las aproximaciones se multiplica por

2(13)=23<1.2\left(\frac13\right)=\frac23<1.

Por eso la medida unidimensional disponible disminuye hasta cero.

En Koch, cada segmento se reemplaza por cuatro copias de razón 1/31/3. La longitud total se multiplica por

4(13)=43>1.4\left(\frac13\right)=\frac43>1.

Por eso la longitud diverge.

La diferencia no depende de que una construcción «quite» y la otra «añada» detalle en un sentido visual. Depende del balance cuantitativo entre multiplicidad y escala.

También difieren topológicamente. El conjunto de Cantor es totalmente desconectado. La curva de Koch, en cambio, es la imagen continua de un intervalo y permanece conectada. Ambas son autosimilares, aunque la autosimilitud no determina conectividad.

El exponente de similitud refleja esta diferencia, ya que

log⁡2log⁡3<1\frac{\log2}{\log3}<1

para Cantor y

log⁡4log⁡3>1\frac{\log4}{\log3}>1

para Koch.

Esto anticipa una interpretación útil de la dimensión. Es una respuesta cuantitativa a cómo crece el número de piezas necesarias al refinar la escala, más que una etiqueta genérica de «complejidad».

La comparación también muestra por qué no debemos hablar de «el comportamiento de los fractales» como si todos compartieran las mismas propiedades. Cantor tiene medida lineal cero; Koch tiene longitud infinita; ambos son autosimilares. Las propiedades métricas dependen de la construcción concreta.

C73 abstraerá el elemento común, ya que en ambos casos existe una familia finita de contracciones cuya unión reconstruye el objeto completo.

72.25. Longitud divergente y área convergente

Reunamos el argumento completo.

Curva de Koch

En etapa nn,

Nn=4n,N_n=4^n,
ℓn=3−nL0.\ell_n=3^{-n}L_0.

Por tanto,

Ln=Nnℓn=L0(43)n.L_n = N_n\ell_n = L_0\left(\frac43\right)^n.

Como 4/3>14/3>1,

Ln→∞.L_n\to\infty.

Copo de Koch

Partimos de un triángulo de área A0A_0.

En etapa n≥1n\geq1, se añaden

3⋅4n−13\cdot4^{n-1}

triángulos de área

A09n.\frac{A_0}{9^n}.

Entonces

ΔAn=A03(49)n−1.\Delta A_n = \frac{A_0}{3} \left(\frac49\right)^{n-1}.

La suma total añadida es

∑n=1∞ΔAn=A0311−4/9=35A0.\sum_{n=1}^{\infty}\Delta A_n = \frac{A_0}{3} \frac{1}{1-4/9} = \frac35A_0.

Finalmente,

A∞=A0+35A0=85A0.A_\infty = A_0+\frac35A_0 = \frac85A_0.

Por tanto,

P∞=∞,A∞=85A0P_\infty=\infty, \qquad A_\infty=\frac85A_0

para el copo clásico.

El resultado no es paradójico. La frontera y la región interior responden a leyes de escala diferentes.

72.26. Verificación computacional

El paquete reproducible genera las aproximaciones geométricas y comprueba automáticamente sus identidades.

Para la curva de Koch se verifican, en etapas n=0,…,7n=0,\ldots,7,

Nn=4n,N_n=4^n,
ℓn=3−n,\ell_n=3^{-n},
Ln=(43)n.L_n=\left(\frac43\right)^n.

Para el copo se verifican el perímetro

Pn=3(43)nP_n=3\left(\frac43\right)^n

y el área obtenida mediante la fórmula geométrica de polígonos frente a la suma analítica de áreas añadidas.

También se comprueba

A∞=85A0A_\infty=\frac85A_0

y la ecuación de similitud 4(1/3)s=1.4(1/3)^s=1.

Se ejecutaron 40 comprobaciones automáticas y todas resultaron satisfactorias.

Las verificaciones computacionales confirman la implementación de las identidades finitas. La divergencia de la longitud y la convergencia del área se establecen mediante las series analíticas del capítulo.

72.27. Qué enseña la curva de Koch

El ejemplo permite separar al menos cinco nociones. La acotación indica que el conjunto permanece dentro de una región finita. La longitud es infinita, de modo que la frontera no es rectificable. El área encerrada por el copo es finita. La autosimilitud descompone la curva en cuatro copias reducidas exactas. La dimensión de escala aporta un exponente situado entre uno y dos.

Ninguna de estas propiedades debe utilizarse como sinónimo de las demás.

La intuición geométrica clásica funciona bien con objetos lisos porque muchas magnitudes cambian de forma coordinada. Las construcciones fractales separan esas magnitudes y obligan a medirlas explícitamente.

72.28. De Koch a sistemas de transformaciones

En C71 el conjunto de Cantor pudo escribirse como unión de dos copias reducidas. En C72 la curva de Koch puede escribirse como unión de cuatro copias transformadas.

Ambos ejemplos comparten una arquitectura. Existe un conjunto de transformaciones contractivas, cada transformación genera una parte del objeto y el conjunto completo reaparece como unión de esas partes.

El capítulo siguiente formalizará esta idea mediante los sistemas de funciones iteradas. Allí la autosimilitud dejará de ser una propiedad observada caso por caso y se convertirá en el punto fijo de una transformación que actúa sobre conjuntos.

Ese paso permitirá generar fractales mucho más generales y demostrar por qué una colección de contracciones puede seleccionar un único conjunto invariante.

Referencias

von Koch, H. (1904). Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire. Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, 1, 681–702.

von Koch, H. (1906). Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes. Acta Mathematica, 30, 145–174.

Falconer, K. (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (2nd ed.). Wiley. https://doi.org/10.1002/0470013850

Peitgen, H.-O., Jürgens, H., & Saupe, D. (2004). Chaos and Fractals: New Frontiers of Science (2nd ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/b97624

Recursos reproducibles

Descargar recursos del capítulo (ZIP, 184 kB).

2 archivos CSV · 3 figuras · 1 programa Python.

El programa ilustra cálculos del capítulo. Las figuras y los CSV están incluidos, pero el script no vuelve a guardar todos esos archivos.

Ver instrucciones y contenido del paquete.