Redes dirigidas, ponderadas y con signo

COMPLEXA · Ciencias de la Complejidad y Teoría del Caos
Módulo 19. Arquitecturas de redes y modelos generativos

181.1. Qué información debe conservar una conexión

Una red de derivaciones entre servicios de salud puede dibujarse con puntos unidos por líneas. El dibujo permite reconocer qué establecimientos participan y dónde hay relaciones, pero deja sin resolver preguntas operativas elementales. Un servicio puede enviar pacientes a otro sin recibirlos de vuelta. Dos establecimientos conectados pueden intercambiar cinco personas al mes o quinientas. Un enlace puede representar una derivación efectivamente realizada, una autorización administrativa o una correlación entre sus cargas de trabajo. Esas diferencias cambian lo que puede calcularse a partir del grafo.

La dirección, el peso y el signo contienen información distinta. La dirección indica la orientación de una relación; el peso cuantifica algún atributo del enlace; el signo distingue efectos, valoraciones o asociaciones de sentido opuesto. No hay una traducción universal entre estas tres propiedades. Una transferencia de dinero es dirigida y puede tener una magnitud positiva aunque quien paga considere desfavorable la operación. Una correlación negativa entre dos señales es simétrica, pero no describe necesariamente una influencia inhibidora entre los procesos que las generan.

Lo primero es definir qué significa una arista. Si dos personas aparecen conectadas porque intercambiaron mensajes durante una semana, el enlace es una relación agregada sobre ese intervalo. Si el peso cuenta mensajes, describe actividad registrada. Llamarlo confianza exige una hipótesis adicional sobre cómo se relacionan frecuencia de comunicación y confianza. Esa hipótesis puede fallar precisamente en las relaciones conflictivas, donde la actividad es intensa sin que haya cooperación.

También debe definirse qué significa la ausencia de enlace. Puede indicar que la relación no existe, que no se observó durante la ventana o que el instrumento no pudo detectarla. En una red construida mediante encuestas, una respuesta omitida no equivale a una respuesta negativa. Guardar ambas como cero borra una diferencia que después ninguna centralidad puede recuperar. Una representación útil mantiene separadas la matriz de valores y la máscara que indica qué pares fueron observados.

En este capítulo usaremos redes finitas y una convención explícita para las matrices. El objetivo es seguir una transformación desde el registro original hasta una predicción concreta. Veremos cómo cambia la accesibilidad al eliminar direcciones, por qué sumar pesos con signos puede ocultar actividad y qué ocurre al normalizar una matriz para obtener probabilidades de transición. Un ejemplo de tres nodos permitirá comprobar varias de estas operaciones sin recurrir a una simulación.

Newman (2004) estudia las redes ponderadas como un marco para extender medidas originalmente binarias. Esa extensión requiere revisar el significado de cada operación. Una fórmula que funciona con el número de vecinos puede necesitar una interpretación completamente diferente cuando recibe horas, personas, probabilidades o coeficientes de regresión. De esa interpretación depende qué parte del fenómeno queda representada.

181.2. Matrices, orientaciones y sumas que deben coincidir

Sea una red con nodos numerados de uno a $n$. Adoptaremos la convención $A_{ij}>0$ cuando hay una conexión desde el nodo $i$ hacia el nodo $j$. La fila corresponde al origen y la columna al destino. En otras áreas se usa la convención traspuesta; ambas son válidas, pero mezclarlas invierte las conclusiones sobre entradas y salidas. Antes de multiplicar matrices conviene escribir en palabras qué representa una entrada concreta.

Para una red binaria dirigida, cada elemento vale uno o cero. Si no se admiten bucles, la diagonal es nula. El grado de salida cuenta los destinos conectados y el grado de entrada, los orígenes que llegan al nodo. Una relación recíproca equivale a dos aristas dirigidas, una en cada sentido.

Cada arista tiene exactamente un origen y un destino, por lo que ambas sumas globales coinciden con el número de aristas $m$. Esta identidad detecta errores de orientación o registros duplicados, aunque no garantiza que los enlaces representen correctamente el fenómeno. Si se admite más de una arista entre el mismo par ordenado, la matriz puede contar multiplicidades; entonces los grados cuentan incidencias, que pueden superar el número de vecinos distintos.

En una red ponderada escribiremos $W$ para la matriz de pesos y $B_{ij}=\mathbf 1_{\{W_{ij}\ne0\}}$ para su soporte, cuando cero signifique realmente ausencia. El grado se calcula con $B$, mientras que la fuerza suma los pesos. Con pesos positivos, una fuerza alta puede proceder de muchos enlaces moderados o de uno muy intenso. Estas configuraciones tienen igual suma y distinta exposición a la pérdida de un vecino.

Las unidades de la fuerza son las de los pesos. Si cada enlace registra viajes diarios, la fuerza saliente se expresa en viajes diarios, de modo que no es una medida adimensional de importancia. Dividir por el tiempo de observación permite comparar ventanas de distinta duración solo si el proceso y la cobertura hacen razonable esa comparación. Una tasa media tampoco conserva las horas en que ocurrieron los viajes.

En una red no dirigida, $W_{ij}=W_{ji}$. Sumar todos los elementos cuenta dos veces cada arista entre nodos distintos. Este factor dos aparece en definiciones de densidad, modularidad y normalización probabilística. Los bucles requieren una convención adicional porque contribuyen dos incidencias al grado usual de un multigrafo no dirigido. En los ejemplos mantendremos la diagonal nula para que esa contabilidad no interfiera con la distinción principal entre origen, destino y magnitud.

181.3. Una red pequeña que cambia al perder sus flechas

Consideremos tres estaciones y la matriz siguiente. Los pesos son las unidades transferidas durante un intervalo común (dos de la primera estación a la segunda, una de la segunda a la primera, tres de la segunda a la tercera y cuatro de la tercera a la primera). Los demás pares no registran transferencias.

Los grados salientes son uno, dos y uno; los entrantes, dos, uno y uno. Las fuerzas salientes son dos, cuatro y cuatro, mientras que las entrantes son cinco, dos y tres. Ambas fuerzas globales suman diez. El primer nodo recibe la mayor cantidad durante la ventana, pero no es el que distribuye más ni el que alcanza más destinos con una sola transferencia. Una clasificación única de «nodos principales» escondería estas diferencias.

La accesibilidad depende de respetar las flechas. Hay una ruta de la primera estación a la tercera a través de la segunda, mientras que el regreso de la tercera a la primera es directo. Las tres estaciones pertenecen a una misma componente fuertemente conexa porque cada una puede alcanzar a las demás por caminos dirigidos. Si elimináramos el enlace de la tercera a la primera, el soporte seguiría conectado al ignorar las flechas, pero la conexión fuerte desaparecería.

La diferencia entre conectividad débil y fuerte es decisiva para el transporte. Una componente débilmente conexa asegura que hay una secuencia de enlaces si se permite recorrerlos en cualquier sentido, secuencia que puede ser imposible para el proceso real. En una cadena dirigida que termina en un sumidero, el dibujo sin flechas sugiere comunicación entre todos los nodos; la dinámica solo permite avanzar hacia el sumidero, sin regreso.

La multiplicación matricial reúne recorridos de longitud fijada. Con nuestra convención, la entrada $ij$ de $W^2$ suma productos de pesos de todos los recorridos de dos pasos desde $i$ hasta $j$. En el ejemplo,

El valor seis en la posición primera-tercera procede del producto de dos por tres. No significa que se hayan observado seis personas que hicieron ambas etapas; para afirmarlo necesitaríamos identificar trayectorias individuales. Si los pesos fueran factores de una transformación lineal, el producto sí describiría la composición de efectos bajo ese modelo. Si fueran probabilidades condicionales compatibles, sería una probabilidad de recorrido. Multiplicar conteos produce unidades cuadradas y exige otra interpretación.

Simetrizar mediante $W+W^{\mathsf T}$ registra el intercambio total de cada pareja y elimina su orientación. Usar $(W+W^{\mathsf T})/2$ da la media de ambos sentidos. Tomar el máximo conserva el mayor valor; tomar el mínimo privilegia la reciprocidad. Estas operaciones responden a preguntas diferentes. Conviene elegirlas después de formular la pregunta, porque ninguna conserva toda la información de la matriz original.

Un recorrido matricial puede repetir nodos y aristas. Por ejemplo, salir de la primera estación hacia la segunda y regresar contribuye a un elemento diagonal de la matriz al cuadrado. Un camino simple, en cambio, no repite nodos. Las entradas de una potencia alta suman todas las secuencias permitidas de esa longitud, incluidas vueltas repetidas. Contar rutas sin repeticiones requiere otra restricción, que la misma potencia no impone directamente.

181.4. Intensidad, longitud y capacidad son pesos diferentes

Una conexión puede llevar varios atributos simultáneos. Entre dos ciudades, la distancia geográfica, el tiempo de viaje, la cantidad de pasajeros y la capacidad máxima de la vía son pesos posibles. Un enlace con muchos pasajeros puede ser lento; una ruta corta puede tener poca capacidad. Representar todos esos atributos con una única matriz requiere decidir cuál de ellos interviene en la operación que se quiere hacer.

Para un problema de caminos mínimos, el costo de una ruta suele ser la suma de los costos de sus tramos. Esa aditividad es razonable para distancias recorridas y, bajo condiciones específicas, para tiempos de desplazamiento. Si el peso mide intensidad de intercambio, sumarlo y minimizar favorece rutas débiles. A veces se transforma la intensidad mediante su inverso, pero esa elección incorpora la hipótesis de que la resistencia o el costo decrecen de esa manera particular cuando aumenta el intercambio.

En el ejemplo anterior, usar $\ell_{ij}=1/W_{ij}$ asigna al trayecto primero-segundo-tercero longitud $1/2+1/3=5/6$. El trayecto inverso directo tiene longitud $1/4$. Estas cantidades son costos derivados del modelo. Si el peso original cuenta unidades por día, su inverso tiene unidades de días por unidad y no se convierte automáticamente en la duración observada del viaje de una persona.

Las capacidades se combinan de otra manera. Una ruta con tramos de capacidad dos y tres puede transportar como máximo dos unidades por intervalo cuando ambos deben atravesarse consecutivamente y no hay almacenamiento adicional relevante; el tramo de menor capacidad es el cuello de botella. En una red con rutas paralelas, el flujo máximo requiere además considerar cómo se comparten los tramos y se conservan las cantidades en cada nodo.

Si los pesos son probabilidades de éxito de etapas independientes, la probabilidad de completar una ruta es su producto. Aplicar menos el logaritmo transforma ese producto en una suma de costos. La independencia, o una especificación condicional que permita factorizar la probabilidad, sostiene la transformación. Cuando las fallas comparten una causa ambiental, multiplicar probabilidades marginales puede sobreestimar seriamente la fiabilidad del recorrido.

Los pesos también pueden depender del estado. El tiempo de viaje aumenta con la congestión; la capacidad efectiva de un servicio disminuye cuando faltan recursos; la probabilidad de transmisión cambia con la duración del contacto. Una matriz fija describe entonces una condición particular o un promedio. Un algoritmo estático aplicado a ella ignora la retroalimentación entre el proceso y los enlaces; para estudiarla hay que especificar la regla que actualiza los pesos.

181.5. Del intercambio observado a una cadena de Markov

Una matriz no negativa puede normalizarse por filas para construir probabilidades de transición. Si la fuerza saliente es positiva, definimos $P_{ij}=W_{ij}/s_i^{\mathrm{sal}}$. Cada fila suma uno. El procedimiento interpreta los pesos como proporciones relativas de elección entre destinos. Con ello deja de tratarlos como cantidades conservadas durante una evolución temporal y descarta la magnitud total de actividad de cada origen.

Para nuestra red se obtiene

Una caminata en la primera estación pasa necesariamente a la segunda. Desde allí regresa a la primera con probabilidad un cuarto o visita la tercera con probabilidad tres cuartos. Desde la tercera vuelve a la primera. Los retornos de dos y tres pasos hacen que la cadena irreducible sea aperiódica. Su distribución estacionaria, escrita como vector fila, satisface $\pi P=\pi$.

Las ecuaciones dan $\pi_2=\pi_1$ y $\pi_3=3\pi_2/4$. Al normalizar resulta $\pi=(4/11,4/11,3/11)$. Las estaciones primera y segunda tienen igual frecuencia asintótica de visita, pese a que sus fuerzas entrantes son cinco y dos. La ocupación de una caminata dirigida depende, además de la fuerza entrante, del origen de cada enlace y de cómo se reparten las salidas de esos orígenes.

Puede construirse otro proceso con los mismos números como tasas de transición en tiempo continuo. En ese caso, los elementos fuera de la diagonal del generador son $Q_{ij}=W_{ij}$ y la diagonal es la suma saliente cambiada de signo. El tiempo medio de permanencia es el inverso de esa suma. La primera estación retiene al caminante más tiempo porque su tasa total de salida es dos, frente a cuatro en las otras estaciones.

La cadena de saltos tiene las probabilidades $P$ anteriores, pero la fracción de tiempo estacionaria cambia a $\rho=(8/15,4/15,3/15)$. Puede obtenerse ponderando la frecuencia de visita de cada estación por su tiempo medio de permanencia y normalizando. Contar visitas y medir tiempo ocupado son dos observaciones distintas del mismo recorrido. Confundirlas produciría una contradicción aparente entre registros que en realidad son compatibles.

Si una fila no tiene salidas, la normalización queda indefinida. Convertir ese nodo en absorbente, añadir una redistribución artificial o excluirlo del análisis genera procesos diferentes. La decisión debe corresponder al problema. Una estación terminal puede ser un destino real; un registro sin salidas puede reflejar censura al final de la ventana. Corregir ambos casos con la misma regla computacional elimina una distinción física relevante.

181.6. Separar actividad positiva y negativa

En una red con signo, $W_{ij}$ puede ser positivo o negativo. El signo requiere una definición local (apoyo y oposición declarados, efecto excitador o inhibidor, beneficio o perjuicio, asociación positiva o negativa). Estas interpretaciones no son intercambiables. La misma persona puede confiar en otra para una tarea y desconfiar para otra; agregar ambas relaciones sin registrar el contexto produce un signo que no representa ninguna de ellas.

Una descomposición útil conserva por separado las magnitudes positivas y negativas,

Ambas matrices son no negativas y sus sumas permiten distinguir actividad total y balance neto. Un nodo con dos entradas de valor diez y menos diez tiene suma con signo cero y actividad absoluta veinte. Un nodo aislado también tiene suma con signo cero. Si solo retenemos ese resultado, una compensación intensa se vuelve indistinguible de la ausencia de interacción.

La suma absoluta informa cuánto intercambio se registra sin considerar su orientación evaluativa; la diferencia, el balance según la escala elegida. Para comparar nodos también puede ser útil la proporción de magnitud negativa sobre el total absoluto, siempre que el denominador sea positivo. Esa proporción debe acompañarse de la actividad total, porque una relación negativa de magnitud mínima y cien relaciones negativas intensas pueden producir el mismo cociente.

Un peso negativo no puede normalizarse como una probabilidad ordinaria de transición. Dividir una fila con signos por su suma puede producir probabilidades negativas, valores superiores a uno o una división por cero. Es posible definir procesos sobre estados ampliados que transporten también una etiqueta de signo, pero ese procedimiento añade una estructura específica. Tomar valores absolutos da otra representación, que conserva la magnitud y pierde la oposición.

En una matriz de correlaciones, los signos describen covariación lineal bajo una distribución observada. Una correlación negativa puede surgir por un recurso compartido, una variable omitida, una restricción de suma o una selección de la muestra. Tampoco el signo de una regresión garantiza el de un efecto causal fuera de sus supuestos. Un grafo de influencias requiere definir la intervención o el mecanismo que permite interpretar así sus coeficientes.

Las redes con signo suelen construirse después de estimar coeficientes inciertos. Si un intervalo compatible con los datos incluye cero, imponer un signo definitivo exagera la información disponible. Puede conservarse la distribución estimada del peso o repetirse el análisis sobre realizaciones plausibles. Así se distingue una propiedad robusta de la red de una conclusión que depende de pequeñas variaciones en enlaces débilmente determinados.

181.7. Balance estructural y consistencia de los signos

El balance estructural estudia si los signos de un grafo pueden organizarse de manera coherente. Para un grafo no dirigido, un ciclo es positivo cuando el producto de los signos de sus aristas es positivo. La definición clásica exige que todos los ciclos sean positivos. En un triángulo, esto ocurre con tres enlaces positivos o con uno positivo y dos negativos. Un triángulo con un solo enlace negativo incumple la condición.

La formulación de Harary (1953) identifica esta condición con una partición de los nodos en dos grupos, uno de los cuales puede quedar vacío. Dentro de cada grupo los enlaces presentes son positivos; entre grupos, negativos. El teorema trata de una estructura de signos y no afirma que una población real deba dividirse espontáneamente de esa manera. Tampoco supone que todas las parejas estén conectadas.

Si la red tiene varias componentes, el argumento siguiente se aplica por separado a cada una. Podemos entender la equivalencia eligiendo un nodo de referencia y asignando a cada nodo el producto de signos a lo largo de un camino que lo une con la referencia. Si todos los ciclos son positivos, la etiqueta obtenida no depende del camino escogido. Los nodos con igual etiqueta forman un grupo. Una arista positiva conecta etiquetas iguales y una negativa, etiquetas distintas. Si dos caminos dieran etiquetas diferentes, su combinación revelaría un ciclo negativo.

En notación matricial, sean $d_i\in\{-1,1\}$ esas etiquetas y $D=\operatorname{diag}(d_i)$. Una red balanceada satisface $DWD=|W|$, donde el valor absoluto se aplica elemento a elemento. Cambiar la orientación de las variables de ciertos nodos convierte en positivos los acoplamientos con signo. Esta transformación será útil al estudiar dinámicas, pero su significado depende de que sea razonable invertir la variable representada en un grupo.

Comprobar únicamente triángulos puede ser insuficiente cuando hay ciclos más largos que no se descomponen en triángulos presentes. Un cuadrado sin diagonales con tres enlaces positivos y uno negativo no contiene triángulos, aunque su único ciclo es negativo. En grafos incompletos deben examinarse los ciclos pertinentes o usarse un procedimiento equivalente de asignación de etiquetas.

También hay formulaciones de balance débil que permiten más de dos grupos y modifican qué configuraciones se consideran compatibles. No conviene cambiar entre ellas durante una comparación. La fracción de ciclos negativos, el número mínimo de signos que habría que modificar y el costo ponderado de eliminar incompatibilidades responden a preguntas distintas. En aplicaciones sociales, ninguna de esas cantidades sustituye una explicación de cómo se forman o cambian las relaciones.

181.8. El signo del enlace no determina una única dinámica

Para observar cómo interviene la definición dinámica, consideremos una red simétrica con signo. Construyamos la matriz $L_s=D_{|W|}-W$, donde $D_{|W|}$ contiene en su diagonal las sumas de magnitudes de cada fila. La evolución $\dot x=-L_sx$ aproxima estados iguales a través de enlaces positivos y estados opuestos a través de enlaces negativos. Es una elección de mecanismo que conserva una disipación local determinada por la magnitud del acoplamiento.

Su forma cuadrática puede escribirse como una suma sobre aristas no dirigidas,

Por ello, la norma cuadrática no aumenta bajo esta dinámica. Cada enlace penaliza una discrepancia definida por su signo. En una red conexa balanceada hay una configuración no nula que anula todas las discrepancias, en la que los nodos de un grupo comparten un valor y los del otro, su opuesto. El cambio de variables mediante las etiquetas transforma el problema en consenso sobre una red de pesos positivos.

Para dos nodos unidos por un enlace negativo de magnitud $a>0$, la matriz es $L_s=a\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$. Desde la preparación $x(0)=(1,0)$, la solución converge a $(1/2,-1/2)$. El modo que suma ambos estados se amortigua y el modo que los diferencia permanece. La oposición final tiene igual magnitud, como consecuencia de esta simetría particular y de la preparación.

Si, en cambio, se usa como diagonal la suma con signo de los pesos, aparece otra matriz. Para los mismos dos nodos, la evolución resultante amplifica exponencialmente la diferencia. El enlace negativo es entonces una repulsión sin la compensación estabilizadora anterior. Ambas ecuaciones pueden escribirse sobre el mismo dibujo; sus predicciones divergen porque asignan mecanismos distintos a la arista.

En un triángulo con tres enlaces negativos de magnitud unitaria, la primera construcción produce una matriz con diagonal dos y elementos fuera de la diagonal iguales a uno. Sus autovalores son cuatro, uno y uno, todos positivos; los estados convergen a cero. No existe una asignación de valores opuestos que satisfaga simultáneamente los tres enlaces. El resultado pertenece al modelo lineal y muestra que la frustración estructural no basta para producir oscilaciones, caos o conflicto persistente.

Altafini (2013) estudia problemas de consenso con interacciones antagonistas y muestra el papel del balance bajo condiciones precisas de conectividad y dinámica. Las extensiones dirigidas requieren distinguir pesos recibidos, estructura de accesibilidad y posibles cambios temporales. El cálculo simétrico presentado aquí permite reconocer el mecanismo sin trasladar automáticamente sus conclusiones a cualquier red social, neuronal o económica que contenga signos negativos.

181.9. Umbrales, escalas y resultados sensibles al procesamiento

Una matriz estimada suele convertirse en grafo conservando solo los pesos superiores a un umbral. Esa operación puede responder a límites de detección, a un criterio estadístico o al deseo de simplificar la visualización. Sus consecuencias son diferentes. Un umbral aplicado al valor absoluto conserva relaciones positivas y negativas intensas; aplicado al valor con signo puede eliminar todas las negativas, aunque sean grandes y estén bien estimadas.

Al elevar el umbral disminuye el número de enlaces y pueden desaparecer caminos, ciclos y componentes fuertemente conexas. Una red que parecía integrada puede fragmentarse por una decisión del análisis. Otra comparación conserva el mismo número de enlaces en todas las muestras (densidad fija), aunque así impone igual densidad incluso cuando una diferencia real de conectividad forma parte del fenómeno. El criterio debe justificarse por el objetivo y por la forma de medición.

La transformación de pesos también modifica resultados. Multiplicar todos los pesos por una constante positiva conserva los caminos mínimos definidos mediante inversos, salvo por una escala global del costo. Una transformación no lineal puede cambiar qué ruta resulta preferible, porque altera el equilibrio entre pocos enlaces intensos y muchos moderados. Una clasificación que cambia al pasar del peso a su cuadrado depende de una decisión de escala que hay que explicar.

Cuando los datos provienen de varias ventanas temporales, conviene examinar tanto la suma agregada como su variabilidad. Dos redes con los mismos pesos totales pueden tener secuencias de actividad incompatibles. Un contacto que ocurre antes de que llegue la información no puede transmitirla retroactivamente. La red estática conserva posibilidades estructurales y pierde restricciones de orden temporal; algunas preguntas pueden resolverse con ella y otras necesitan el registro de eventos.

Una comprobación útil es mantener el registro original y reexaminar las conclusiones bajo un conjunto acotado de decisiones justificables (ventanas comparables, umbrales compatibles con la precisión e interpretaciones alternativas del peso). El propósito es identificar qué resultados permanecen y cuáles dependen de información que los datos no determinan, sin elegir la variante que produzca la imagen más convincente. Esa distinción permite orientar una nueva medición hacia los enlaces que realmente cambian la respuesta.

181.10. Reconstruir una conclusión desde el registro

Volvamos a las tres estaciones. Supongamos que se pregunta dónde se concentra la actividad y qué establecimiento convendría reforzar. El registro de transferencias permite contestar que la primera estación recibe cinco unidades durante la ventana y que la segunda distribuye hacia dos destinos. No informa cuántos recursos necesita cada transferencia, cuánto tiempo permanecen las personas ni qué ocurre con quienes no fueron registrados.

Si la pregunta trata de las visitas de una caminata ideal, la normalización por filas conduce a frecuencias de cuatro onceavos, cuatro onceavos y tres onceavos. Si trata del tiempo ocupado bajo tasas continuas iguales a los pesos, las proporciones son ocho quinceavos, cuatro quinceavos y tres quinceavos. Ambos cálculos son exactos dentro de sus modelos. Elegir uno exige saber si los números son intensidades relativas o tasas con un reloj definido.

La decisión de reforzar un nodo requiere todavía un criterio de desempeño. Reducir esperas, aumentar cobertura y evitar sobrecarga pueden favorecer intervenciones diferentes. Una fuerza entrante elevada identifica concentración de transferencias observadas. Cuantificar el beneficio de añadir capacidad exige incorporar demanda, tiempos de servicio, restricciones y cómo cambian las rutas cuando se modifica la capacidad de un establecimiento.

Si además se registran valoraciones positivas y negativas de las derivaciones, esas respuestas deberían conservarse en otra capa o atributo. Restarlas del número de pacientes carece de sentido dimensional. Incluso dentro de la misma escala evaluativa, conviene mantener las magnitudes de ambos signos para distinguir desacuerdo intenso de indiferencia. La estructura de balance puede describir compatibilidades entre valoraciones, pero establecer la calidad clínica de una ruta exige información adicional.

Una conclusión trazable conserva la definición de nodos, la orientación de las aristas, las unidades de los pesos y la cobertura temporal. Explica después la transformación aplicada y la pregunta que responde cada cantidad. Con ese recorrido es posible localizar una discrepancia, que quizá proceda del registro, de una normalización, de la interpretación dinámica o del objetivo de la decisión. El grafo pasa así de ilustración autosuficiente a representación cuyos alcances pueden examinarse.

Referencias

Altafini, C. (2013). Consensus problems on networks with antagonistic interactions. IEEE Transactions on Automatic Control, 58(4), 935–946. DOI.

Harary, F. (1953). On the notion of balance of a signed graph. Michigan Mathematical Journal, 2(2), 143–146. DOI.

Newman, M. E. J. (2004). Analysis of weighted networks. Physical Review E, 70, 056131. DOI.