Rössler, plegamiento del retorno y comparación de atractores

63.1. Otra geometría para el caos disipativo después de Lorenz

El sistema de Lorenz mostró que un flujo tridimensional determinista puede combinar contracción global de volumen, expansión local y recurrencia irregular dentro de una región acotada. Su geometría clásica, con dos lóbulos relacionados por una simetría exacta, es tan reconocible que resulta fácil convertirla en una imagen mental demasiado general, como si un atractor caótico tridimensional debiera alternar entre dos regiones y su irregularidad naciera de esa alternancia. El sistema de Rössler resulta útil porque rompe esa intuición.

Otto Rössler propuso en 1976 un sistema continuo de tres variables diseñado como un prototipo particularmente simple de caos. Su estructura contiene una sola no linealidad cuadrática explícita, frente a los dos términos bilineales del sistema de Lorenz. La dinámica resultante parece, durante gran parte del tiempo, una rotación casi planar. La irregularidad aparece cuando esa rotación se expande hasta alcanzar una región en la que la tercera variable crece con rapidez, desvía la trayectoria y la reinserta cerca del plano principal. El resultado es una sucesión de vueltas de amplitud cambiante con un mecanismo geométrico de estiramiento y plegamiento.

El sistema es

donde $a$, $b$ y $c$ son parámetros reales. Trabajaremos principalmente con los valores clásicos

Estas ecuaciones se tratarán como un sistema dinámico adimensional. Más que atribuirles una interpretación física concreta, buscamos estudiar cómo un flujo suave de baja dimensión puede organizar un retorno plegado. La comparación con Lorenz se hará en términos matemáticos, mediante el número y tipo de equilibrios, la divergencia, la geometría del flujo, la sección de Poincaré y la estructura del retorno.

Hay una precaución metodológica que debe mantenerse desde C56 y C59. Un retrato con apariencia irregular no demuestra por sí solo caos; dos figuras parecidas tampoco implican mecanismos equivalentes. En este capítulo derivaremos propiedades exactas del campo de Rössler y las separaremos de las observaciones obtenidas mediante simulación. La existencia de una estructura atractora en los parámetros clásicos será estudiada numéricamente, sin intentar aquí una demostración global de existencia ni una clasificación topológica completa.

63.2. Una sola no linealidad no significa una dinámica simple

El jacobiano del sistema es

La única entrada no lineal del campo original es el producto $xz$ en la tercera ecuación. Sin embargo, la complejidad dinámica no depende de contar términos no lineales. La pregunta relevante es cómo esos términos reorganizan el flujo global y, en particular, cómo modifican las direcciones locales de expansión y contracción a lo largo de una trayectoria.

La divergencia es

Esta expresión introduce una diferencia inmediata con Lorenz. Allí la divergencia era constante y negativa para parámetros positivos. En Rössler, el signo depende del estado. Con los parámetros clásicos,

Por tanto, una región con $x<5.5$ contrae infinitesimalmente volumen, mientras que una región con $x>5.5$ lo expande instantáneamente. Esto no contradice que una trayectoria de largo plazo pueda permanecer en un conjunto disipativo, ya que la variación de un pequeño volumen depende de la integral temporal de la divergencia,

donde $\Phi$ es la matriz fundamental de la ecuación variacional. Una divergencia localmente positiva puede coexistir con una tasa media negativa si los intervalos de contracción dominan en el tiempo.

Esta observación también evita una simplificación conceptual. La disipación no es necesariamente uniforme. En Rössler, la misma trayectoria atraviesa zonas localmente expansivas y contractivas. La estructura atractora surge de esa alternancia junto con el retorno global. La contracción media reduce volúmenes, aunque no impide que ciertas separaciones se amplifiquen ni explica por sí sola el plegamiento.

La simulación reproducible del capítulo estima, después de descartar un transitorio largo, una divergencia media negativa para la trayectoria clásica. Esa estimación pertenece al experimento numérico y depende del parámetro, la condición inicial, el horizonte y el integrador. No sustituye una demostración global sobre todas las trayectorias.

63.3. Los dos equilibrios del sistema clásico

Los equilibrios satisfacen

De la primera ecuación, $y=-z.$

La segunda da $x=a z.$

Sustituyendo en la tercera, $b+z(az-c)=0,$ de modo que $a z^2-cz+b=0.$

Si $a\neq0$, los equilibrios reales existen cuando

y sus coordenadas son

Para $a=b=0.2$ y $c=5.7$, se obtienen aproximadamente

Los valores propios del jacobiano en $E_1$ son aproximadamente

El primer equilibrio posee por tanto una pareja compleja con parte real positiva y una dirección real fuertemente estable. Localmente es un foco-silla con una variedad inestable bidimensional y una dirección estable. El segundo equilibrio tiene aproximadamente

de modo que presenta una dirección real inestable y una pareja compleja casi neutra pero ligeramente estable para estos parámetros.

Estos datos ayudan a entender el flujo local sin construir el atractor. C35 ya estableció el límite de la linealización, puesto que los valores propios describen la dinámica suficientemente cerca de un equilibrio hiperbólico y no la organización global de una trayectoria que realiza grandes excursiones. El atractor clásico de Rössler no puede deducirse solo mirando el espectro de $E_1$ o $E_2$.

La comparación con Lorenz es instructiva. En los parámetros clásicos de Lorenz existen tres equilibrios inestables y una simetría exacta intercambia los dos no triviales. En Rössler hay dos equilibrios para los parámetros considerados, aunque el sistema carece de la simetría $(x,y,z)\mapsto(-x,-y,z)$ que organizaba los dos lóbulos de Lorenz. La asimetría geométrica que veremos en el retrato de fase pertenece a la estructura de las ecuaciones.

63.4. Rotación casi planar y crecimiento radial

La geometría del sistema se vuelve más transparente si examinamos primero el régimen en el que $z$ es pequeño. Ignorando temporalmente el término $-z$ en la primera ecuación, las variables $x$ e $y$ satisfacen aproximadamente

La matriz de este subsistema es

cuyos valores propios son

cuando $|a|<2$. Para $a=0.2$, la parte real vale $0.1$, de modo que el movimiento aproximado es una espiral de amplitud creciente. Esta aproximación explica por qué la trayectoria puede realizar varias vueltas en el plano $x$-$y$ mientras su radio aumenta.

La tercera ecuación introduce el mecanismo que interrumpe ese crecimiento,

Si $z>0$ y $x<c$, el término $z(x-c)$ es negativo. En buena parte de la rotación, $z$ permanece pequeño porque esa contribución compensa el término constante $b$. Cuando la trayectoria alcanza valores suficientemente grandes de $x$, el factor $x-c$ se vuelve positivo y $z$ puede crecer con rapidez. Ese crecimiento modifica inmediatamente la primera ecuación porque

Un aumento brusco de $z$ empuja $x$ hacia valores menores, termina la excursión exterior y contribuye a reinyectar la trayectoria hacia la región de la espiral. Después, cuando $x<c$, $z$ vuelve a disminuir.

Esta descripción separa dos partes del mecanismo. La primera es una expansión rotacional casi planar. La segunda es una desviación tridimensional asociada al crecimiento de $z$ y a la reinyección. Ambas son aproximaciones a regiones distintas del mismo flujo y no dos sistemas independientes. El valor pedagógico de la separación está en mostrar que el plegamiento global puede surgir de una ecuación localmente sencilla.

La figura 63.1 muestra una trayectoria larga después de descartar el transitorio inicial.

El retrato tiene una banda espiralada dominante. La trayectoria gira alrededor de una región central y, cada cierto tiempo, realiza una excursión asociada a valores altos de $z$, sin alternar entre dos lóbulos aproximadamente simétricos. La figura no demuestra por sí sola que el conjunto sea un atractor extraño, aunque sí permite relacionar la estructura visual con los términos de las ecuaciones.

63.5. Las excursiones en $z$ como parte del mecanismo de reinyección

Una proyección tridimensional puede ocultar la secuencia temporal. La figura 63.2 muestra simultáneamente $x(t)$ y $z(t)$ durante una ventana posterior al transitorio.

La variable $x$ mantiene una oscilación amplia y relativamente suave. La variable $z$, en cambio, permanece baja durante buena parte del tiempo y presenta picos breves cuando la trayectoria entra en la región donde $x-c$ permite crecimiento. La irregularidad no consiste en que cada variable fluctúe de cualquier manera. Hay una organización temporal reconocible, formada por giro, expansión, excursión y retorno.

Esa organización importa para interpretar el término plegamiento. En un mapa unidimensional, el plegamiento puede verse directamente cuando una función ascendente alcanza un máximo y vuelve a descender. En un flujo tridimensional no existe una curva estática que «doble» físicamente el espacio. Lo que ocurre es que el flujo transporta regiones de estados, las estira y las devuelve hacia una zona ya visitada con una orientación distinta. Al observar una sección transversal, esa reinyección puede aparecer como una relación de retorno doblada.

El término no debe confundirse con intersección de trayectorias. Por unicidad, dos trayectorias distintas de un sistema autónomo suave no pueden cruzarse en el espacio de estados y continuar con futuros diferentes. El plegamiento describe la geometría de una banda material de condiciones iniciales o de un conjunto invariante, no el cruce de soluciones individuales.

63.6. Una sección de Poincaré para Rössler

Definamos la sección

Como

en $y=0$ la condición de orientación se reduce a $x>0.$

Cada vez que una trayectoria cruza $y=0$ con $x>0$, registramos las coordenadas $(x,z)$. Si los cruces son transversales y la trayectoria regresa, el flujo define localmente un mapa de primer retorno

La sección tiene dimensión dos porque el flujo original tiene dimensión tres. El mapa de Poincaré completo es, por tanto, una transformación bidimensional entre puntos de la sección y no una función escalar $x_{n+1}=G(x_n)$. La figura 63.3 muestra los cruces obtenidos numéricamente después de descartar el transitorio.

Los puntos se concentran en una banda estrecha y curvada. Esa geometría explica por qué puede ser útil proyectar el retorno sobre una sola coordenada, aunque no autoriza automáticamente a identificar el sistema con un mapa unidimensional exacto. Una proyección puede superponer estados distintos, eliminar una dirección estable o introducir aparentes coincidencias que no existen en el mapa completo.

La reducción a una coordenada resulta justificable solo cuando la contracción transversal hacia una curva de retorno es suficientemente fuerte para la pregunta considerada. En ese caso, una coordenada puede aproximar el orden de los retornos. Si la banda tiene espesor dinámicamente relevante, la reducción escalar pierde información.

63.7. De máximos sucesivos a un mapa de retorno plegado

Para hacer visible el plegamiento podemos registrar los máximos locales de $x(t)$. Un máximo ocurre cuando

y el cruce se produce desde $\dot x>0$ hacia $\dot x<0$. Denotemos por $m_n$ el valor del $n$-ésimo máximo de $x$. La nube $(m_n,m_{n+1})$ no es el mapa de Poincaré completo, aunque funciona como un observable de retorno muy informativo.

La figura 63.4 muestra esa relación para la trayectoria simulada.

La nube se organiza alrededor de una curva con un máximo interior. En una parte del dominio, aumentar $m_n$ aumenta $m_{n+1}$; después del pliegue, un aumento adicional de $m_n$ reduce el máximo siguiente. Un ajuste cuadrático usado únicamente como diagnóstico descriptivo alcanza una concordancia alta con los puntos de esta simulación y sitúa el vértice dentro del intervalo observado. Eso cuantifica la forma doblada de la proyección sin convertir el ajuste en una ley dinámica fundamental.

Este retorno enlaza con el módulo anterior. El mapa logístico, el mapa tienda y otros mapas unimodales combinan expansión y plegamiento de manera explícita. En Rössler, una geometría parecida emerge de un flujo continuo tridimensional. La correspondencia dista de ser exacta, porque el tiempo entre retornos varía, la sección es bidimensional y el observable $m_n$ descarta información. Aun así, la similitud estructural ayuda a entender por qué los mapas discretos son modelos útiles de retorno para sistemas continuos.

El artículo original de Rössler ya destacaba la posibilidad de una aplicación de Poincaré plegada. La utilidad de esa idea no depende de que cada punto del atractor pueda reducirse a un único número, sino de que el retorno concentre la dinámica relevante en una geometría de menor dimensión.

63.8. Semejanzas y diferencias entre Rössler y Lorenz

Los dos sistemas son flujos autónomos tridimensionales, suaves y deterministas. Ambos presentan, para parámetros clásicos, trayectorias acotadas con retorno irregular y estructuras atractoras que combinan contracción con expansión local. Las semejanzas terminan ahí si se examina la geometría con más detalle.

La tabla compara organizaciones y no grados de «caoticidad». Carece de sentido afirmar que uno de los dos sistemas es más caótico por tener dos lóbulos, una divergencia más negativa o una figura visualmente más intrincada. Esas propiedades responden a preguntas distintas.

En Lorenz, la simetría exacta organiza dos regiones equivalentes y la vecindad del equilibrio en el origen tiene un papel singular en la estructura de retorno. En Rössler, la rotación principal permite seguir visualmente una fase aproximada durante varios giros, mientras la reinyección modifica la amplitud de los retornos. Esta diferencia hace que Rössler resulte muy útil para estudiar cómo una oscilación aparentemente simple puede adquirir irregularidad mediante estiramiento y plegamiento.

También difiere la disipación. En Lorenz, todo pequeño volumen se contrae a una tasa exponencial fija. En Rössler, la tasa instantánea puede cambiar de signo. El experimento numérico de este capítulo encuentra una divergencia media negativa en la trayectoria clásica, aunque aproximadamente un 18 % de las muestras posteriores al transitorio se sitúan en regiones de divergencia positiva. Este porcentaje no es un invariante universal y depende del muestreo y de la medida visitada por la trayectoria. Su función aquí es mostrar que «disipativo» no significa «localmente contractivo en cada instante».

63.9. Expansión, contracción y plegamiento como mecanismo compuesto

Un atractor caótico disipativo requiere más que una trayectoria que regrese. Si cada retorno contrajera todas las direcciones, las órbitas terminarían acercándose a un punto fijo o a un ciclo estable. Si existiera expansión sin reinyección, las trayectorias podrían escapar. La persistencia de una dinámica irregular acotada exige una combinación más específica.

En Rössler, la rotación amplificada del plano $x$-$y$ produce estiramiento, mientras que la excursión en $z$ desvía la trayectoria y la reinserta. La disipación neta mantiene el volumen visitado bajo control. La proyección del retorno muestra un pliegue porque estados que se separan durante una parte del giro pueden regresar a una misma región de la sección desde posiciones diferentes.

Esta explicación es geométrica y no equivale a una prueba de herradura de Smale. C67 introducirá el modelo formal de estiramiento y plegamiento que permite construir dinámica simbólica. Aquí basta reconocer las piezas del mecanismo en un sistema concreto y distinguirlas de la afirmación topológica más fuerte.

Tampoco debe confundirse plegamiento con no monotonicidad de cualquier gráfico. La forma de la figura 63.4 depende del observable elegido. Otro observable podría producir una proyección menos clara o incluso multivaluada. La propiedad dinámica relevante pertenece al retorno completo en la sección y no a la estética de una coordenada particular.

Antes de pasar a las limitaciones numéricas conviene precisar otra diferencia respecto del sistema de Lorenz. La geometría de Rössler hace tentador hablar de una «fase» de la oscilación. Esa noción puede ser útil porque la proyección sobre el plano $x,y$ gira de manera relativamente ordenada, aunque no debe confundirse con la fase de un ciclo límite estable. En un ciclo límite, la fase parametriza una órbita periódica bien definida y avanza, salvo reparametrizaciones, de manera regular. En el régimen caótico de Rössler no existe un período único que cierre la trayectoria. Puede definirse una fase geométrica mediante $\theta=\operatorname{atan2}(y,x)$ y estudiar sus incrementos, aunque la amplitud y el tiempo de retorno fluctúan de vuelta en vuelta. La fase geométrica es entonces un observable útil y no una coordenada exacta que reduzca toda la dinámica.

Esta precaución también aclara por qué el retorno de máximos contiene información que una frecuencia media no puede conservar. Dos intervalos pueden acumular una variación angular parecida y, sin embargo, terminar con máximos siguientes distintos porque la excursión en $z$ ha modificado la amplitud. La irregularidad consiste en una reorganización determinista del retorno entre vueltas sucesivas, distinta de un ruido superpuesto a una oscilación.

63.10. Qué puede y qué no puede concluirse de una simulación larga

La integración numérica para los parámetros clásicos produce una trayectoria que permanece acotada durante el intervalo estudiado, una sección recurrente y un retorno escalar doblado. Esas observaciones son reproducibles bajo el protocolo adjunto, aunque cada una tiene un alcance limitado.

Una única trayectoria acotada no demuestra que todas las condiciones iniciales sean acotadas ni que exista un atractor global. El sistema de Rössler no dispone aquí de una demostración simple de confinamiento análoga a la función cuadrática utilizada para Lorenz en C62. Hablar del «atractor de Rössler» en los parámetros clásicos es apropiado para la estructura numéricamente observada y ampliamente estudiada, aunque no debe convertirse en una afirmación universal sobre todo el espacio de estados.

El retorno proyectado tampoco demuestra que el mapa completo sea unidimensional. Los puntos de la sección ocupan una banda estrecha y no una curva matemática de espesor exactamente cero. El grado de reducción necesario depende de la precisión de la pregunta.

Una sucesión aparentemente no periódica durante miles de retornos no prueba aperiodicidad infinita. Con precisión finita, el computador dispone de un conjunto finito de estados. El integrador introduce además redondeo y error de truncamiento. El propósito de una simulación larga es estudiar propiedades estadísticas y geométricas robustas, no certificar que una órbita matemática jamás se repetirá.

Por último, una similitud visual con otra figura caótica no establece equivalencia dinámica. Lorenz y Rössler pueden compartir rasgos generales sin ser topológicamente conjugados en las regiones consideradas. Una comparación seria debe especificar qué propiedad se conserva, sea la estructura de retorno, el número de ramas, los exponentes, la dimensión, las medidas invariantes, las variedades o la equivalencia topológica.

63.11. Verificación computacional

El paquete reproducible integra el sistema clásico con DOP853 y genera cuatro figuras. La trayectoria larga se calcula con tolerancia relativa $10^{-10}$, tolerancia absoluta $10^{-12}$ y paso máximo $0.03$. Se descarta un transitorio de 100 unidades de tiempo antes de construir las secciones y los retornos.

Las verificaciones incluyen los residuos de los dos equilibrios analíticos, el discriminante $c^2-4ab$, los valores propios de ambos jacobianos y la identidad exacta

en puntos aleatorios del espacio de estados. También se integra la ecuación variacional junto con la integral de la divergencia y se comprueba la fórmula de Liouville

en un horizonte corto.

DOP853 y Radau se comparan sobre un intervalo en el que la coincidencia puntual todavía es un criterio razonable. Para la sección $y=0$ se comprueba que los eventos guardados satisfacen $y=0$ dentro de tolerancia y que $x>0$, equivalente a $\dot y>0$ en la sección. Para los máximos de $x$ se verifica que $-y-z$ es aproximadamente cero en cada evento y que el cruce tiene la orientación correspondiente a un máximo.

El retorno entre máximos se caracteriza además mediante un ajuste cuadrático puramente descriptivo. El coeficiente cuadrático es negativo, el vértice queda dentro del rango muestreado y el coeficiente de determinación supera 0.98 para el conjunto de retornos usado. Estas comprobaciones documentan la geometría de la simulación y no demuestran que exista una reducción unidimensional exacta.

En total, el script ejecuta 84 comprobaciones automáticas. Todas deben pasar para considerar reproducible la salida incluida en el paquete. El archivo verificaciones.txt registra los valores numéricos principales, incluida la divergencia media posterior al transitorio, la fracción de muestras con divergencia positiva, el número de cruces de Poincaré y el número de máximos utilizados en el mapa de retorno.

63.12. Qué aporta la comparación de atractores

Lorenz y Rössler muestran dos maneras distintas de realizar una misma arquitectura abstracta, hecha de retorno, expansión local, contracción neta y plegamiento. Esa arquitectura es más general que la forma visual de cualquiera de los dos atractores. El aprendizaje relevante está en reconocer qué mecanismos matemáticos producen recurrencia irregular, más allá de memorizar mariposas o espirales.

En Lorenz, la dinámica se organiza alrededor de dos lóbulos y una simetría que permite alternancias entre regiones equivalentes. En Rössler, una rotación casi planar facilita la identificación de un ciclo geométrico básico, mientras la variable $z$ introduce una excursión que cambia el siguiente retorno. El primer sistema enseña que una estructura fuertemente tridimensional puede producir un retorno irregular. El segundo muestra cómo una oscilación visualmente simple puede esconder un mapa de retorno plegado.

La comparación también prepara una distinción importante entre flujo y mapa. En ambos casos el sistema fundamental es continuo en el tiempo. El mapa aparece al observar cruces sucesivos de una sección. La elección de la sección y del observable puede hacer visible o esconder la organización del retorno. Una reducción adecuada conserva la pregunta relevante, mientras que una reducción mal escogida fabrica simplicidad al eliminar variables necesarias.

63.13. Del retorno continuo a un mapa bidimensional explícito

El sistema de Rössler proporciona un puente natural entre los mapas del Módulo 6 y la geometría global del caos disipativo. Sus ecuaciones muestran que una única no linealidad puede bastar para organizar una dinámica tridimensional irregular. El análisis local muestra dos focos-silla, mientras que la estructura global surge de la combinación entre rotación, crecimiento, excursión en $z$, reinyección y contracción media.

La sección de Poincaré transforma el flujo en una sucesión de retornos. Esa sucesión se concentra cerca de una banda estrecha y su proyección mediante máximos sucesivos produce una curva plegada. La semejanza con un mapa unimodal es útil, aunque debe conservarse la distinción entre el mapa bidimensional exacto de la sección y su representación escalar aproximada.

El capítulo siguiente hará explícito ese paso. C64 estudiará el mapa de Hénon, una transformación bidimensional que puede entenderse como un modelo abstracto de retorno disipativo. Allí el estiramiento, el plegamiento y la contracción dejarán de estar ocultos dentro de un flujo continuo y aparecerán directamente en una regla iterativa sobre el plano.

Referencias

Rössler, O. E. (1976). An equation for continuous chaos. Physics Letters A, 57(5), 397–398. https://doi.org/10.1016/0375-9601(76)90101-8

Lorenz, E. N. (1963). Deterministic nonperiodic flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 20(2), 130–141. https://doi.org/10.1175/1520-0469(1963)020%3C0130:DNF%3E2.0.CO;2

Ott, E. (2002). Chaos in Dynamical Systems (2nd ed.). Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9780511803260

Amaral, G. F. V., Letellier, C., & Aguirre, L. A. (2006). Piecewise affine models of chaotic attractors: The Rössler and Lorenz systems. Chaos, 16, 013115. https://doi.org/10.1063/1.2149527