Lorenz, de tres ecuaciones a una dinámica irregular

62.1. Del mapa de retorno a un flujo tridimensional

El capítulo anterior mostró que una sección de Poincaré permite observar un flujo continuo mediante una sucesión discreta de retornos. Esa reducción resulta especialmente útil cuando el espacio de estados tiene tres dimensiones, porque una sección transversal es entonces bidimensional y parte de la geometría del flujo puede estudiarse mediante puntos sucesivos sobre una superficie. El sistema de Lorenz es el primer ejemplo del curso en el que esta idea deja de ser una construcción auxiliar y pasa a ser una herramienta para comprender una dinámica irregular sostenida.

El interés del modelo no está en que tres ecuaciones sean «complicadas». Cada ecuación es polinómica de grado como máximo dos, el campo vectorial es suave y el problema de valor inicial tiene solución local única para cualquier estado inicial. Tampoco hay ruido, parámetros aleatorios ni cambios explícitos de reglas. La dificultad aparece porque la no linealidad organiza el flujo de manera que coexistirán contracción global de volumen, expansión en ciertas direcciones, plegamiento y retornos repetidos. La irregularidad que resulta es determinista.

Conviene fijar desde el comienzo una precaución conceptual. Una trayectoria numérica con aspecto irregular no demuestra por sí sola caos. C56 distinguió varias definiciones formales y C59 mostró que una figura puede depender de decisiones numéricas. En este capítulo se derivarán propiedades exactas del sistema, se estudiará su geometría local y se producirán simulaciones reproducibles para los parámetros clásicos. La existencia rigurosa del atractor de Lorenz es un resultado matemático más profundo que no se demostrará aquí.

El sistema es

con parámetros positivos $\sigma,\rho,\beta$. En su origen histórico, estas variables y parámetros surgieron de una truncación de un modelo de convección. Para nuestro propósito, el sistema se tratará como un modelo dinámico adimensional. Las conclusiones matemáticas que obtengamos pertenecen al sistema de ecuaciones; cualquier interpretación física adicional requiere volver a las aproximaciones que llevaron a esa reducción.

62.2. Tres ecuaciones, una geometría no trivial

Es útil leer las ecuaciones antes de integrarlas. La primera fuerza a $x$ hacia $y$ con una escala determinada por $\sigma$. La segunda contiene el producto $xz$, mientras que la tercera contiene $xy$. Esos términos bilineales son el origen de la no linealidad. Si se eliminaran, el sistema sería lineal y su dinámica global estaría completamente determinada por valores y vectores propios.

El jacobiano es

Su traza es independiente del estado,

Como los parámetros son positivos,

Esta igualdad tiene una consecuencia global. Si un pequeño elemento de volumen inicial $\Delta V(0)$ se transporta por el flujo, la fórmula de Liouville para el determinante del flujo linealizado da

Para los parámetros clásicos

la tasa de contracción es

Por tanto, los volúmenes tridimensionales se contraen exponencialmente. Esto no implica que todas las distancias entre puntos disminuyan. Un sistema puede contraer volumen mientras expande una dirección y contrae con mayor intensidad las restantes. Esa combinación será esencial. Confundir «disipativo» con «todas las perturbaciones decrecen» borraría el mecanismo que queremos estudiar.

El sistema tiene además una simetría exacta. Si definimos $S(x,y,z)=(-x,-y,z),$ entonces $f(SX)=S f(X).$

Por unicidad de las soluciones, si $X(t)$ es una trayectoria, $SX(t)$ también lo es. La dinámica no privilegia uno de los dos lados del plano $x=0$. Esta simetría explica la aparición de dos regiones geométricamente equivalentes en el retrato de fase, aunque no obliga a una trayectoria a alternar entre ellas de manera periódica.

62.3. Equilibrios y cambio de estabilidad

Los equilibrios satisfacen

De la primera ecuación se obtiene $y=x$. Existe siempre el equilibrio $O=(0,0,0).$

Si $x\neq0$, la segunda ecuación exige $z=\rho-1,$ y la tercera da $x^2=\beta(\rho-1).$

Para $\rho>1$ aparecen por tanto dos equilibrios adicionales,

La simetría intercambia $C_+$ y $C_-$.

En el origen, el jacobiano es

Uno de los valores propios es $-\beta$. Los otros dos satisfacen

Si $0<\rho<1$, ambos tienen parte real negativa y el origen es localmente asintóticamente estable. En $\rho=1$ aparece un valor propio nulo. Para $\rho>1$, el término independiente del polinomio cuadrático es negativo, por lo que uno de esos valores propios es positivo y otro negativo. El origen se convierte en una silla.

Con los parámetros clásicos $(10,28,8/3)$, sus valores propios son aproximadamente

Hay entonces una dirección local inestable y dos estables.

La estabilidad de $C_\pm$ requiere un cálculo adicional. El polinomio característico puede escribirse como

Para $\sigma>\beta+1$, el criterio de Routh-Hurwitz conduce al umbral

Con $\sigma=10$ y $\beta=8/3$,

Para $1<\rho<\rho_H$, los dos equilibrios no nulos son localmente estables. Al superar ese umbral pierden estabilidad. En $\rho=28$, los valores propios de cualquiera de ellos son aproximadamente

La parte real positiva del par complejo muestra que una pequeña perturbación transversal puede crecer mientras la tercera dirección contrae con fuerza. El análisis local, sin embargo, no determina por sí solo la dinámica global. Saber que los tres equilibrios son inestables en $\rho=28$ no demuestra que exista un atractor caótico, ni excluye por principio órbitas periódicas inestables u otras estructuras.

62.4. Contracción de volumen y acotación de las trayectorias

Un campo con divergencia negativa puede contraer volúmenes y aun así permitir trayectorias que se alejen indefinidamente. Para estudiar un atractor necesitamos además controlar la posibilidad de escape. En el sistema de Lorenz puede construirse una función cuadrática que muestra que las trayectorias terminan confinadas en una región acotada.

Consideremos

Derivando a lo largo de las soluciones,

Al sustituir las ecuaciones de Lorenz, los términos cruzados se cancelan y queda

En particular,

cuando

Fuera del elipsoide definido por la igualdad correspondiente, $V$ decrece. Esta desigualdad permite construir una región absorbente compacta, dentro de la cual las trayectorias no pueden aumentar indefinidamente su distancia en el espacio de estados. El argumento no localiza con precisión el atractor ni demuestra su estructura fractal. Solo establece una propiedad previa y necesaria para hablar con sentido de dinámica asintótica confinada.

Tenemos así dos resultados exactos que deben mantenerse conceptualmente separados. El flujo contrae volúmenes a una tasa constante y las trayectorias terminan en una región acotada. Ninguno de los dos implica caos. Un sistema disipativo y acotado admite también un punto fijo estable. La cuestión pendiente es qué hace el flujo dentro de esa región.

62.5. Los parámetros clásicos y el retrato de fase

Integramos ahora el sistema con

partiendo de $X_0=(1,1,1).$

La figura 62.1 muestra la trayectoria después de descartar un transitorio inicial.

La órbita permanece confinada en una región con dos lóbulos. Cada lóbulo se organiza alrededor de uno de los equilibrios $C_\pm$, aunque esos equilibrios sean inestables. La trayectoria puede girar varias veces alrededor de una región antes de pasar a la otra. El número de giros no sigue una periodicidad evidente.

La forma visual es sugerente y no debe convertirse en una explicación. El sistema no salta entre dos «atractores» distintos. La trayectoria observada pertenece a una sola organización global del flujo. Los puntos $C_+$ y $C_-$ ayudan a organizar localmente la rotación en cada lóbulo, mientras que la geometría asociada al origen y sus variedades estables e inestables participa en la redistribución global de las trayectorias. El estudio detallado de esas variedades se reservará para C65 y el de las conexiones homoclínicas para C66.

La serie temporal de $x(t)$ muestra la misma dinámica desde otra representación.

Los intervalos en que $x$ conserva el signo corresponden, aproximadamente, a vueltas alrededor de uno de los lóbulos. Un cambio de signo suele acompañar el paso al otro. Esta representación deja claro que una señal irregular puede proceder de un sistema autónomo determinista de solo tres variables. También muestra por qué «irregular» y «aleatorio» no son sinónimos, ya que la serie está completamente determinada por el estado inicial y las ecuaciones.

62.6. Una sección de Poincaré para el flujo de Lorenz

C61 preparó la herramienta adecuada para mirar la recurrencia. Elegimos la sección

con cruces ascendentes, es decir,

Como $27=\rho-1$ para $\rho=28$, el plano pasa por los dos equilibrios no nulos. Los cruces que registramos pertenecen a la trayectoria y satisfacen la condición de orientación, sin corresponder a los equilibrios mismos.

Después de descartar las primeras veinte unidades de tiempo, la integración reproducible registra 131 cruces hasta $t=120$. La figura 62.3 muestra las coordenadas $(x,y)$ de esos eventos.

Los puntos no llenan arbitrariamente la sección bidimensional. Se concentran sobre dos bandas estrechas relacionadas por la simetría. Ese es el rendimiento de una sección informativa, que elimina una dimensión continua de la trayectoria y deja visible la geometría de los retornos.

El mapa completo tiene la forma

Reducir todavía más esa relación a un único número, por ejemplo graficar $x_{n+1}$ frente a $x_n$, exige justificar que la coordenada descartada está funcionalmente determinada o que la proyección conserva la estructura relevante. Una curva aparente en una proyección no autoriza a afirmar que el mapa de retorno sea realmente unidimensional. En estudios avanzados del sistema de Lorenz se construyen modelos geométricos de retorno con una dirección fuertemente contraída, aunque esa reducción contiene hipótesis que aquí no debemos ocultar.

La sección permite, no obstante, conectar el flujo con los mapas del módulo anterior. Una órbita periódica estable aparecería como un conjunto finito de puntos recurrentes en una sección adecuada. La nube estructurada que obtenemos es incompatible con una órbita periódica simple durante el intervalo observado, aunque una simulación finita no puede descartar por sí sola toda periodicidad futura de una trayectoria matemática exacta.

62.7. Expansión local dentro de un flujo disipativo

La contracción de volumen podría sugerir, erróneamente, que dos trayectorias cercanas deberían permanecer cercanas. Para mostrar por qué esa intuición falla, integramos dos estados iniciales separados solo en $x$,

Definimos

La figura 62.4 muestra la evolución de esa distancia.

La separación no crece de manera monótona. Hay intervalos de acercamiento y de expansión porque las direcciones locales estables e inestables cambian a lo largo de la trayectoria. Aun así, una diferencia inicial de $10^{-8}$ alcanza magnitud macroscópica dentro del intervalo simulado. Este comportamiento es compatible con sensibilidad a condiciones iniciales, aunque no utilizaremos una única pareja de órbitas como demostración formal de esa propiedad.

La aparente paradoja se resuelve recordando que la divergencia controla el producto de los factores de expansión en las tres direcciones infinitesimales, no cada factor por separado. Si una dirección se expande por un factor grande y otras dos se contraen todavía más, el volumen total disminuye. En capítulos posteriores, el espectro de exponentes de Lyapunov cuantificará esas tasas direccionales.

62.8. Irregularidad, aperiodicidad y caos

A esta altura tenemos resultados de naturaleza distinta. Por vía exacta sabemos que el campo posee la simetría $(x,y,z)\mapsto(-x,-y,z)$ y que su divergencia es constante y negativa. También hemos establecido que existen uno o tres equilibrios según el valor de $\rho$, que el origen cambia de estabilidad en $\rho=1$, que los tres equilibrios son inestables para los parámetros clásicos y que el flujo posee una región absorbente acotada.

Otros resultados proceden de la simulación reproducible. La trayectoria calculada permanece en una estructura de dos lóbulos, produce retornos no periódicos durante la ventana observada y dos condiciones iniciales próximas desarrollan una separación macroscópica. Estas observaciones son evidencia numérica sobre el comportamiento de la solución calculada bajo el protocolo especificado.

Ninguna de ellas equivale a una demostración de que el sistema clásico posee un atractor extraño. Esa afirmación requirió un desarrollo matemático mucho más profundo. Lorenz presentó en 1963 el comportamiento numérico no periódico del sistema y relacionó la inestabilidad respecto de pequeños cambios del estado con los límites de predicción. Décadas después, Warwick Tucker proporcionó una demostración asistida por computador de la existencia del atractor de Lorenz y de su robustez para el sistema clásico.

Este punto tiene valor metodológico. Una computadora puede participar en una demostración rigurosa, pero solo cuando los errores están controlados de manera certificada, por ejemplo mediante aritmética de intervalos y cotas que cubren todos los casos pertinentes. Eso es distinto de integrar una trayectoria con tolerancias pequeñas y observar una figura convincente. Nuestro script pertenece a la segunda categoría, ya que es una simulación verificada internamente y no una prueba asistida por computador de la existencia de un atractor extraño.

62.9. Verificación numérica sin exigir coincidencia imposible

Los sistemas sensibles obligan a modificar la manera de comprobar un integrador. Si dos métodos numéricos precisos se ejecutan durante un tiempo suficientemente largo, sus trayectorias puntuales pueden separarse aunque ambos aproximen de manera válida el flujo durante horizontes más cortos. Exigir coincidencia punto a punto durante tiempos arbitrariamente largos sería un criterio equivocado.

El paquete reproducible realiza por eso comprobaciones en varios niveles. Primero verifica identidades estructurales que no dependen de una trayectoria particular, entre ellas la simetría, los residuos de los equilibrios, la divergencia y los umbrales de estabilidad. Después integra la ecuación variacional

y compara su determinante con la predicción exacta de Liouville,

También comprueba directamente la identidad para $\dot V$ y que esta es negativa en puntos elegidos fuera del elipsoide de confinamiento.

En el plano numérico se comparan DOP853 y Radau solo en un horizonte corto, $0\le t\le5$, donde la comparación puntual todavía es informativa. El error máximo entre ambas soluciones fue inferior a la tolerancia establecida en las pruebas. Para la sección de Poincaré se comprueba que cada evento satisface $z=27$ dentro de tolerancia, que todos los cruces guardados tienen $\dot z>0$ y que los tiempos de retorno son positivos.

Este protocolo separa tres preguntas. La primera es si las ecuaciones implementadas son las correctas; la segunda, si el integrador reproduce propiedades conocidas; la tercera, si la dinámica calculada mantiene coherencia bajo comprobaciones numéricas razonables. Ninguna sustituye a las otras.

62.10. Qué enseña el sistema de Lorenz

El sistema de Lorenz reúne varios temas desarrollados desde C31. Es un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales suaves con unicidad local. Sus equilibrios se estudian mediante jacobianos y valores propios. La pérdida de estabilidad de soluciones estacionarias conecta con las bifurcaciones de C43 a C46. La existencia de una región absorbente remite a la lógica de Lyapunov y LaSalle, aunque aquí la función cuadrática se usa principalmente para demostrar confinamiento. La sección de Poincaré enlaza el flujo con los mapas discretos de C51 a C60.

La novedad está en que ninguna de esas herramientas describe por sí sola la organización completa. El análisis local explica qué ocurre cerca de los equilibrios y no predice la sucesión global de visitas entre los dos lóbulos. La disipación demuestra contracción de volumen sin determinar la geometría del conjunto límite. La simulación muestra irregularidad, aunque no proporciona una clasificación topológica. La sección reduce la dimensión y deja pendiente el estudio del flujo que genera los retornos.

Esa combinación es una buena introducción a la geometría global del caos disipativo. Un atractor extraño es una estructura invariante que organiza muchas trayectorias, combina atracción global con expansión local y contiene recurrencia no periódica. Llamarlo «trayectoria complicada» pierde toda esa organización. En el sistema clásico de Lorenz, la presencia de un equilibrio singular dentro de la organización del atractor añade una dificultad que lo diferencia de un ciclo límite deformado o de una colección regular de toros.

Un punto adicional es necesario para interpretar correctamente la palabra atractor. Una trayectoria individual no es el atractor. Si un conjunto cerrado e invariante $A$ atrae una región de condiciones iniciales, lo que se exige es que la distancia entre $\phi_t(X_0)$ y $A$ tienda a cero para los estados iniciales de su cuenca, sin que una sola órbita deba recorrer cada punto de $A$ en tiempo finito. La figura 62.1 es por tanto una muestra de una trayectoria larga dentro de la región atractora. Su parecido con la representación canónica del atractor de Lorenz no convierte los segmentos calculados en el conjunto matemático completo.

Esta distinción evita otro error frecuente. Si una integración de longitud $T$ no regresa exactamente a un estado previo, solo sabemos que no observamos una repetición exacta bajo la precisión y el intervalo considerados. En aritmética de punto flotante, el computador dispone de un número finito de estados representables. Un algoritmo determinista aplicado indefinidamente a un conjunto finito de estados termina entrando en una órbita periódica computacional, aunque el flujo matemático continuo no sea periódico. El tiempo necesario puede ser enorme, si bien el principio lógico importa, ya que la afirmación «nunca se repite» no puede demostrarse ejecutando más iteraciones con precisión fija.

También conviene distinguir atracción de estabilidad orbital. Un conjunto puede atraer trayectorias desde un entorno y, dentro de él, permitir separación de estados próximos. En un ciclo límite estable, la contracción transversal convive con una dirección neutra asociada al avance de fase. En un atractor caótico la geometría es más exigente, porque existe atracción hacia el conjunto al mismo tiempo que ciertas perturbaciones internas se amplifican. La contracción de volumen del sistema de Lorenz es compatible con esa combinación porque actúa sobre el producto de los factores locales, no sobre cada uno por separado.

Finalmente, la cuenca de atracción es una propiedad global. La integración desde $(1,1,1)$ no informa por sí sola de todas las condiciones iniciales posibles. El argumento de confinamiento garantiza que las trayectorias terminan en una región acotada, aunque determinar qué conjunto límite corresponde a cada parámetro y a cada zona de la cuenca requiere análisis adicional. Esta diferencia entre propiedades de una órbita, del atractor y de su cuenca será importante en C65 y C66, cuando aparezcan variedades invariantes y separatrices.

62.11. Límites de la interpretación física

El sistema nació de un problema de convección, pero su éxito como ejemplo matemático puede inducir una extrapolación excesiva. El modelo de tres variables resulta de una reducción severa de un sistema espacialmente distribuido. Las variables no describen toda la estructura del fluido y los parámetros clásicos no convierten automáticamente cada trayectoria del modelo en una predicción meteorológica cuantitativa.

La lección general tampoco es que «el clima es el atractor de Lorenz». El modelo muestra una posibilidad matemática concreta. Un sistema determinista, disipativo y de baja dimensión puede producir evolución aperiódica sensible dentro de una región acotada. Para trasladar esa estructura a otro fenómeno se necesitaría demostrar que las variables, escalas, mecanismos y observaciones del nuevo sistema justifican una dinámica equivalente o suficientemente próxima.

Esta precaución será recurrente en ciencias de la complejidad. Reconocer una forma geométrica parecida no identifica un mecanismo. Un retrato con dos lóbulos, una serie irregular o un exponente positivo pueden orientar una hipótesis, pero la validación del modelo exige más que semejanza visual.

62.12. Verificación computacional

El paquete reproducible genera cuatro figuras y tres archivos CSV. La trayectoria principal se integra entre $t=0$ y $t=100$ con DOP853, tolerancia relativa $10^{-10}$, tolerancia absoluta $10^{-12}$ y paso máximo $0.05$. La sección de Poincaré se calcula mediante detección de eventos en $z=27$ con dirección positiva.

Se ejecutaron 77 comprobaciones automáticas y todas resultaron satisfactorias. Entre ellas se verificaron la simetría del campo en doce estados aleatorios, los residuos de los equilibrios para varios valores de $\rho$, el cambio de estabilidad del origen, el valor

la estabilidad de $C_\pm$ en $\rho=20$ y su inestabilidad en $\rho=28$, ocho evaluaciones de la divergencia constante y cuatro comprobaciones de la fórmula de Liouville mediante la ecuación variacional.

La función cuadrática de confinamiento se comprobó por dos vías independientes en ocho puntos y su derivada resultó negativa en cuatro estados elegidos fuera del elipsoide correspondiente. DOP853 y Radau se compararon sobre $[0,5]$, donde la coincidencia puntual sigue siendo un criterio útil. La simetría se verificó también a nivel de trayectorias.

Tras descartar $t\le20$, la sección de Poincaré registró 131 cruces ascendentes. Se controlaron residuos de la superficie y signo de $\dot z$ en los primeros eventos, además del orden estricto de los tiempos de retorno. Finalmente, dos condiciones iniciales separadas por $10^{-8}$ alcanzaron una separación máxima superior a 24 durante la ventana de 35 unidades de tiempo. Ese último dato describe el experimento numérico y no se usa como demostración independiente de caos.

62.13. De Lorenz a Rössler

El sistema de Lorenz muestra cómo tres ecuaciones deterministas pueden producir una dinámica acotada y sostenidamente irregular. La arquitectura matemática puede reconstruirse por capas. La divergencia negativa demuestra contracción de volumen y una función cuadrática establece el confinamiento en una región acotada. Los equilibrios y sus valores propios describen la organización local, mientras que la simetría explica la duplicación de los dos lóbulos. La sección de Poincaré muestra una estructura recurrente de menor dimensión y el experimento con trayectorias próximas indica que disipación global y expansión local resultan compatibles.

El paso siguiente será comparar esta geometría con otro sistema tridimensional. C63 introduce el sistema de Rössler, cuya estructura de retorno es visualmente distinta y permite estudiar con mayor claridad la combinación de giro, expansión y plegamiento. La comparación será útil porque evita convertir al atractor de Lorenz en una plantilla universal de lo que «debe parecer» el caos.

Referencias

Lorenz, E. N. (1963). Deterministic nonperiodic flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 20(2), 130–141. https://doi.org/10.1175/1520-0469(1963)020%3C0130:DNF%3E2.0.CO;2

Sparrow, C. (1982). The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Applied Mathematical Sciences, vol. 41. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5767-7

Tucker, W. (2002). A rigorous ODE solver and Smale's 14th problem. Foundations of Computational Mathematics, 2(1), 53–117. https://doi.org/10.1007/s002080010018