Integrales y ecuaciones de balance

Del cambio instantáneo a la acumulación

En los capítulos anteriores construimos un lenguaje para representar estados, transformaciones locales y aproximaciones. Las derivadas describen cómo cambia una magnitud en un instante o en un entorno muy pequeño. Muchos problemas de sistemas dinámicos exigen, sin embargo, la operación inversa, que consiste en reconstruir cuánto se acumuló durante un intervalo a partir de una tasa de cambio. Esa relación introduce la integral.

La distinción parece elemental y es estructural para el resto del libro. Una tasa no es una cantidad acumulada. Si un depósito recibe agua a 3 L/min, ese número no informa cuánta agua contiene, porque hace falta conocer el estado inicial y acumular el flujo durante el tiempo considerado. Del mismo modo, contar los ingresos por hora a un servicio no equivale a saber cuántas personas esperan atención. La primera magnitud es un flujo y la segunda, un stock o variable de estado (Sterman, 2000).

La diferencia permite formular ecuaciones de balance, que expresan cómo cambia una cantidad almacenada cuando hay entradas, salidas, producción interna o destrucción. Una ecuación de balance no es todavía una teoría causal completa. Puede ser una identidad contable muy general que cualquier mecanismo compatible debe respetar. Su utilidad proviene justamente de que separa las restricciones estructurales de los detalles del mecanismo que produce cada término.

Este capítulo trata la integral definida como acumulación, el teorema fundamental del cálculo, los balances en sistemas abiertos y cerrados, las leyes locales de conservación y el paso entre las formas integral y diferencial. Termina con ejemplos dinámicos que preparan el estudio de las ecuaciones diferenciales.

La integral definida como acumulación

Sea $r(t)$ una tasa, medida por ejemplo en unidades por hora. Si $r(t)$ es aproximadamente constante durante un intervalo pequeño $\Delta t$, la cantidad añadida en ese intervalo es cercana a $r(t)\,\Delta t$. Al dividir un intervalo largo en muchos subintervalos y sumar esas contribuciones se obtiene una aproximación de la acumulación total, $\sum_i r(t_i)\,\Delta t_i$. La integral definida formaliza el límite de ese procedimiento cuando la partición se hace cada vez más fina,

Las unidades ayudan a interpretar la expresión. Si $r$ se mide en personas por día y $dt$ en días, la integral se mide en personas. Si una potencia se mide en julios por segundo, su integral temporal se mide en julios. La variable de integración indica qué dimensión se acumula. El signo también importa, porque una tasa negativa contribuye negativamente a la acumulación neta. Una integral puede representar así un cambio neto, que no es necesariamente una cantidad física no negativa. Si una variable sube durante parte del intervalo y baja durante otra, las contribuciones se compensan.

La interpretación geométrica como área bajo una curva es útil en una dimensión, aunque no conviene convertirla en la definición conceptual única. En los sistemas dinámicos, la integral será sobre todo una operación de acumulación y una herramienta para relacionar tasas con estados.

La definición mediante sumas aclara también qué ocurre cuando no se conoce una fórmula continua para la tasa, algo habitual en investigación y en la práctica, donde casi siempre se observan valores en tiempos discretos. Con valores $r_0, r_1, \dots, r_n$ en intervalos uniformes de longitud $\Delta t$, la regla del trapecio da

Esta aproximación introduce una hipótesis sobre lo que ocurrió entre las observaciones. Si la tasa cambia rápidamente entre mediciones, dos series con los mismos valores observados pueden ocultar acumulaciones distintas. Una tasa de llegadas $r(t) = 5 + 4\sin^2(\pi t)$ personas por hora oscila con un período de una hora. Si se mide cada hora, en los instantes enteros, todas las mediciones valen 5 y la regla del trapecio estima 20 personas en cuatro horas, cuando la acumulación real es 28. Con mediciones cada media hora, la estimación coincide con el valor real. La resolución temporal puede modificar, por tanto, la cantidad integrada, un problema que reaparecerá al estudiar el muestreo, el aliasing y las series temporales. El panel a de la figura 18.1 muestra el ejemplo.

Teorema fundamental del cálculo

Supongamos que se define una cantidad acumulada desde un tiempo inicial $t_0$ mediante

Si $r$ es suficientemente regular, el teorema fundamental del cálculo establece que la derivada de $X$ recupera la tasa, $dX/dt = r(t)$. La relación permite pasar entre dos descripciones del mismo proceso. La forma diferencial especifica la tasa instantánea de cambio y la forma integral, el estado actual como estado inicial más la acumulación de cambios. Ninguna es más verdadera que la otra. La diferencial facilita el análisis local y la integral explicita mejor las condiciones iniciales, las discontinuidades y la contabilidad de entradas y salidas.

Conviene separar la integral indefinida de la definida. Escribir $\int f(x)\,dx$ sin límites suele designar la familia de primitivas $F(x) + C$ cuya derivada es $f$. Una integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$ es, en cambio, una cantidad determinada por los límites y por la función. En los sistemas dinámicos se usan ambas ideas, aunque la forma definida es especialmente importante porque conserva de manera explícita el intervalo y el estado inicial.

El paso de la acumulación a la derivada depende de la regularidad. Si la tasa es continua, la acumulación es diferenciable y su derivada coincide con la tasa en cada punto interior. Si la tasa es integrable en el sentido de Lebesgue en cada intervalo finito, la acumulación es absolutamente continua y la igualdad vale casi en todas partes. Las llegadas individuales, los saltos o los impulsos exigen una formulación integral con incrementos o medidas apropiadas, porque una derivada ordinaria continua no los representa exactamente. Estas precisiones delimitan el paso entre un balance de eventos y su aproximación fluida.

Balance macroscópico de una cantidad almacenada

Sea $X(t)$ la cantidad almacenada de una magnitud dentro de un sistema. Si hay entradas $I(t)$, salidas $O(t)$, producción interna $P(t)$ y consumo o destrucción $C(t)$, el balance escalar es

Cada término debe tener las mismas unidades que $dX/dt$. Si $X$ es una masa, todos los términos son masa por tiempo. Si es un número de personas, son personas por tiempo. Esta homogeneidad dimensional es una primera prueba de coherencia. Al integrar entre $t_0$ y $t$ se obtiene la forma acumulativa,

La ecuación no determina cómo dependen los flujos del estado. La salida podría ser constante, proporcional a $X$, saturarse cuando la demanda es alta o depender de otra variable. Elegir una de esas relaciones añade contenido mecanicista al balance. La estructura contable y la ley constitutiva son niveles distintos del modelo.

Los balances pueden ser también vectoriales. Si un sistema almacena varias cantidades $X_1, \dots, X_n$, se reúnen en un vector $x$ y se escribe $\dot x = B(x, t)$, donde cada componente de $B$ contiene las entradas, salidas y transformaciones pertinentes. Una transformación interna puede disminuir una cantidad y aumentar otra sin modificar cierto total. Si $X_1$ se convierte en $X_2$ a una tasa $kX_1$, los términos $-kX_1$ y $+kX_1$ aparecen con signos opuestos y la suma $X_1 + X_2$ se conserva aunque cada componente cambie.

Conservar puede referirse, por tanto, a una combinación de variables y no a cada coordenada por separado. Encontrar una combinación conservada revela una restricción. Reducir la dimensión local exige, además, que las restricciones sean independientes en la región considerada, como vimos en el capítulo 12, porque una ecuación redundante no elimina otro grado de libertad.

La distinción entre contabilidad y mecanismo tiene también un alcance epistemológico. Una ecuación puede ser verdadera por la definición de las cantidades registradas, mientras que otra expresa una hipótesis sobre el mecanismo. Confundir ambos niveles lleva a atribuir evidencia causal a una identidad contable. La distinción afecta también a la falsabilidad. Si una identidad de balance no se cumple con los datos registrados, puede haber un error de medición, una frontera mal definida o un flujo omitido. Si la contabilidad cierra y la trayectoria prevista por una ley de salida no coincide con la observada, el problema apunta a la hipótesis constitutiva. Separar ambos niveles permite diagnosticar por qué falla un modelo sin desecharlo como un bloque.

Depósito con entrada constante y salida proporcional

Consideremos un depósito cuyo contenido $X(t)$ recibe una entrada constante $q$ y pierde material a una tasa proporcional al contenido, $kX$,

Si $X$ se mide en litros y $q$ en litros por minuto, $k$ se mide en minutos inversos y $kX$ vuelve a tener unidades de litros por minuto. El equilibrio, que se obtiene de $dX/dt = 0$, es $X^* = q/k$. Con $Y = X - X^*$ la ecuación se convierte en $dY/dt = -kY$, cuya solución es $Y(t) = Y(0)\,e^{-kt}$ (Strogatz, 2015). Por tanto,

La solución reúne conceptos ya estudiados. El equilibrio depende del cociente $q/k$ y la constante $1/k$ fija la escala temporal de relajación. Si $X(0)$ está bajo el equilibrio, el contenido aumenta. Si está sobre él, disminuye. La misma ecuación produce ambas conductas porque el signo de $q - kX$ depende del estado actual.

Con $q = 10$ L/min, $k = 0{,}2$ min⁻¹ y $X(0) = 20$ L, el equilibrio es de 50 L y, tras 5 minutos, $X(5) = 50 - 30\,e^{-1} \approx 38{,}96$ L. Desde $X(0) = 80$ L se obtendría 61,04 L. La figura 18.2 muestra ambas trayectorias junto con los flujos. La solución cerrada integra el balance de manera continua sin sumar a mano pequeñas entradas y salidas. Cuando no haya una solución analítica útil, la integración numérica recuperará esa misma lógica.

Sistemas abiertos, cerrados y la palabra conservación

Un sistema cerrado respecto de una magnitud no intercambia esa magnitud con el entorno. Si además no hay producción ni destrucción interna, el balance da $dX/dt = 0$ y $X$ permanece constante, lo que se llama conservación de la cantidad total. Un sistema abierto puede mantener un estado aproximadamente constante sin conservar cada componente, siempre que las entradas y salidas se compensen. El depósito anterior alcanza un estado estacionario cuando $q = kX^*$, aunque el material siga entrando y saliendo. Un estado estacionario y un equilibrio termodinámico no son, por tanto, lo mismo, porque el primero puede requerir flujos sostenidos.

En biología y en las organizaciones, el término conservación debe usarse con cautela. La energía y la masa están sujetas a leyes físicas de conservación. Afirmar que se conserva la atención, la motivación o la información clínica exige, en cambio, definir una cantidad y una regla de contabilidad. Una metáfora de conservación no adquiere validez por escribirse con una ecuación.

La frontera del sistema también importa. Un flujo que es salida de un subsistema puede ser entrada de otro. Al ampliar la frontera, algunos términos externos se vuelven transferencias internas. La clasificación entre abierto y cerrado es siempre relativa a una magnitud y a una frontera explícitas.

La palabra flujo designa, además, magnitudes diferentes según el campo. En la ecuación local de conservación, $J$ suele ser un flujo por unidad de área, con unidades como masa por área y por tiempo. Al integrar $J \cdot n$ sobre una superficie se obtiene un caudal total, con unidades de masa por tiempo. Confundir ambos niveles produce errores dimensionales y conceptuales. En las redes asistenciales ocurre algo análogo, porque una tasa de derivación puede ser un número por unidad de tiempo, una proporción de pacientes o una intensidad por vínculo. El modelo debe fijar qué cantidad representa cada símbolo.

La frontera puede incluso moverse o deformarse. En la mecánica de medios continuos, el teorema de transporte de Reynolds describe cómo cambia la cantidad contenida en una región móvil combinando la variación local, el movimiento de la frontera y el flujo relativo (Aris, 1962). Aunque no se desarrollará aquí, recuerda una precaución. Si la región observada cambia con el tiempo, la derivada de una integral sobre esa región no se obtiene derivando simplemente el integrando. La idea será importante al distinguir los cambios del sistema de los cambios del marco de observación.

De un balance global a una ley local de conservación

Cuando la cantidad está distribuida en el espacio, una sola variable $X(t)$ puede no bastar. Se introduce entonces una densidad $\rho(x, t)$, cantidad por unidad de volumen en la posición $x$ y el tiempo $t$. La cantidad total dentro de una región fija $\Omega$ con frontera regular es $X_\Omega(t) = \int_\Omega \rho(x, t)\,dV$. Puede cambiar por un flujo $J$ a través de la frontera $\partial\Omega$ o por fuentes y sumideros internos descritos por $s(x, t)$, lo que da el balance integral

El vector $n$ apunta hacia fuera, de modo que un flujo en la dirección de $n$ representa material que abandona la región y aparece con signo negativo. La expresión separa el cambio interno, el intercambio por la frontera y la creación o destrucción dentro de la región.

Si las funciones son suficientemente regulares y la región es fija, el teorema de la divergencia transforma la integral de superficie en una de volumen, $\oint_{\partial\Omega} J \cdot n\,dA = \int_\Omega \nabla \cdot J\,dV$, de modo que

Si la igualdad vale para regiones arbitrarias, se obtiene la forma local, llamada ecuación de continuidad (Bird, Stewart y Lightfoot, 2002),

La ecuación convierte una restricción global de balance en una relación local entre la acumulación, el flujo y las fuentes. Será la base del estudio de la difusión, el transporte y la formación de patrones.

Si no hay fuentes y el flujo sigue la ley de Fick, $J = -D\,\nabla\rho$, con $D$ escalar, no negativo y espacialmente constante, se obtiene la ecuación de difusión $\partial\rho/\partial t = D\,\nabla^2\rho$. Si $D$ depende de la posición, la forma correcta es $\partial\rho/\partial t = \nabla \cdot (D\,\nabla\rho)$, porque $D$ no puede sacarse de la divergencia sin añadir el término correspondiente. En medios anisótropos, $D$ puede ser un tensor. El balance aporta la conservación y la ley de Fick añade una hipótesis constitutiva. Junto con las condiciones iniciales y de frontera, definen el problema de difusión considerado.

Acumulación, memoria y dependencia de trayectoria

Las integrales permiten también representar la historia. Si una variable actual depende de la acumulación de una señal pasada, puede escribirse $M(t) = \int_0^t u(s)\,ds$. Dos sistemas con el mismo valor instantáneo $u(t)$ pueden tener valores distintos de $M(t)$ porque recorrieron historias diferentes. Como vimos en el capítulo 9, esta dependencia histórica puede incorporarse al estado. Si $M$ se incluye como variable, su evolución cumple $dM/dt = u(t)$. El sistema ampliado recupera así una forma markoviana aunque una variable observada aislada no baste.

En problemas más generales, la historia entra con pesos distintos,

donde $K$ es un núcleo de memoria. Un núcleo que decae rápidamente asigna más peso al pasado reciente y otros producen memorias más prolongadas. Este tipo de integral reaparecerá al estudiar los retardos y los procesos con memoria. Una integral temporal expresa una dependencia matemática de la historia que debe interpretarse según el fenómeno modelado, sin demostrar que el sistema real tenga memoria en sentido psicológico.

Algunos núcleos permiten una ampliación finita del estado. Con $K(t - s) = e^{-\alpha(t - s)}$, $M$ satisface $dM/dt = u - \alpha M$ con $M(0) = 0$. Para un núcleo general no hay garantía de una representación exacta con un número finito de variables y puede hacer falta conservar una función de la historia. Incorporar la memoria al estado no siempre se logra con una o dos variables nuevas.

Una cola asistencial como ecuación de balance

Sea $N(t)$ el número de personas que esperan atención, $\lambda(t)$ la tasa de llegada y $\mu(t)$ la tasa efectiva de salida. Mientras $N > 0$, un balance agregado es $dN/dt = \lambda(t) - \mu(t)$. Si durante cuatro horas $\lambda = 8$ y $\mu = 6$ personas por hora, el incremento neto es de 2 personas por hora y, desde $N(0) = 5$, el modelo continuo da $N(4) = 13$.

El modelo se vuelve más interesante cuando $\mu$ depende del estado. Una cola larga puede aumentar temporalmente la productividad, saturarla o reducirla por congestión. Cada opción corresponde a una función $\mu(N)$ diferente. El balance $dN/dt = \lambda - \mu(N)$ se mantiene, mientras que las trayectorias cambian porque cambió la ley de salida.

Aparece también una restricción, porque $N$ no puede ser negativa. Sea $c(t) \ge 0$ la capacidad potencial de atención y $\mu(t)$ la salida efectiva, ambas en personas por unidad de tiempo. En una aproximación fluida sin otras limitaciones, $\mu = c$ si $N > 0$, mientras que $\mu = \min(\lambda, c)$ si $N = 0$, de modo que en la frontera $dN/dt = \max(\lambda - c, 0)$. Para un registro exacto de eventos se escribe $N(t) = N(0) + A(t) - D(t)$, donde $A$ y $D$ cuentan las llegadas y salidas acumuladas y $D$ no puede superar a las personas disponibles. El modelo continuo aproxima ese registro sin sustituirlo como identidad entre números enteros.

Los balances son un buen punto de partida que rara vez forma el modelo completo. Conservan la contabilidad y obligan a explicitar las fronteras. El contenido científico adicional está en las funciones que determinan los flujos y en la evidencia que justifica usarlas.

La farmacocinética ofrece un ejemplo de gran claridad matemática. Sea $A(t)$ la cantidad de un fármaco en un compartimento idealizado, con una infusión $R(t)$ y una eliminación lineal de primer orden $kA$,

Si el volumen aparente $V$ es constante y $C = A/V$, se obtiene $dC/dt = R(t)/V - kC$. La concentración es una variable derivada de la cantidad y del volumen supuesto. La distinción evita errores, porque una tasa en mg/h no puede sumarse directamente a una concentración en mg/L. Si $V$ varía de manera diferenciable, la regla del cociente añade un término, $dC/dt = R/V - kC - C\,(dV/dt)/V$, de modo que la constancia de $V$ es un supuesto del modelo.

Con una infusión constante $R_0$, la solución tiene la misma estructura que la del depósito, $A(t) = R_0/k + [A(0) - R_0/k]\,e^{-kt}$. El estado estacionario es $A^* = R_0/k$. Con $R_0 = 10$ mg/h y $k = 0{,}1$ h⁻¹, $A^* = 100$ mg y la vida media es $\ln 2/k \approx 6{,}9$ h. Alcanzar el 90 % del estado estacionario toma $\ln 10/k \approx 23$ h, unas 3,3 vidas medias. Llegar al 97 % toma unas cinco vidas medias. Es el origen de la conocida regla de que el estado estacionario se alcanza tras cuatro o cinco vidas medias.

El ejemplo omite la absorción, la distribución entre varios compartimentos, los metabolitos, las no linealidades y la variabilidad entre personas, de modo que no justifica ajustes clínicos de dosis. Muestra que una ecuación farmacocinética básica puede leerse primero como un balance y enriquecerse después con mecanismos adicionales.

Distinciones necesarias

Una integral no es automáticamente una media. Para obtener el promedio temporal de $f$ en $[a, b]$ hay que dividir la integral por la longitud del intervalo,

Una acumulación tampoco es una tasa. Saber que se administraron 60 mg en seis horas no indica cuándo. Dos entradas con igual integral pueden producir estados finales distintos incluso en un sistema lineal con eliminación. Para $dx/dt = -kx + u(t)$, con $k > 0$, la fórmula de variación de las constantes (Hirsch, Smale y Devaney, 2013) da

La entrada temprana pesa menos en $x(T)$ porque estuvo sometida a eliminación durante más tiempo. Con $k = 0{,}2$ h⁻¹ y $x(0) = 0$, un bolo de 60 mg al inicio deja 18,1 mg a las seis horas, una infusión de 10 mg/h deja 34,9 mg y un bolo de 60 mg a las cinco horas deja 49,1 mg, como muestra el panel b de la figura 18.1. Solo si $k = 0$ el estado final depende únicamente de la integral no ponderada y del estado inicial. La diferencia no requiere ninguna no linealidad.

La conservación no equivale a la constancia de cada componente, porque la cantidad total puede conservarse mientras sus partes cambian. Una ecuación de balance tampoco garantiza la estabilidad. Si una entrada crece con el estado más rápido que la salida, el stock puede aumentar sin límite aunque la contabilidad sea correcta. Una igualdad de balance, por último, no establece causalidad entre todos sus términos. Puede describir cómo se contabilizan las cantidades sin explicar qué proceso genera cada flujo. Las hipótesis causales aparecen al especificar leyes de transición, mecanismos o intervenciones capaces de modificar esos términos de manera contrastable.

Consolidación

El contenido del capítulo forma una cadena de representaciones. Una tasa $r(t)$ produce una acumulación mediante la integración. Una cantidad almacenada $X$ cambia según el balance entre entradas, salidas, fuentes y sumideros. La misma relación admite una forma diferencial y una integral. Cuando la cantidad está distribuida en el espacio, el balance global conduce, con la regularidad adecuada, a una ley local de continuidad.

Estas herramientas permiten reconocer qué parte de un modelo es contabilidad y qué parte incorpora hipótesis mecanicistas. En el depósito, $dX/dt = q - kX$ combina un balance con una ley específica de salida proporcional. En la cola asistencial, $dN/dt = \lambda - \mu$ es una estructura general, mientras que elegir $\mu(N)$ es una hipótesis sobre cómo responde la capacidad al estado de la cola. El capítulo conectó además la integración con la memoria, porque una dependencia acumulativa del pasado puede formalizarse con una integral y, en ciertos casos, convertirse en una nueva variable de estado. El cuadro 18.1 reúne las distinciones principales.

Cuadro 18.1. Distinciones principales entre tasas, acumulaciones y balances.

El capítulo 19 introduce la optimización con restricciones. Más adelante, al llegar a las ecuaciones diferenciales, los balances de este capítulo reaparecerán constantemente. Muchos modelos de poblaciones, transporte, farmacocinética, recursos y sistemas asistenciales pueden leerse primero como ecuaciones de balance y solo después como sistemas que deben resolverse.

Ejercicios

Ejercicio 18.1. La tasa neta de ingreso a un servicio es $r(t) = 6 - t$ personas por hora, con $t$ entre 0 y 8 horas. (a) Calcule el cambio neto en el número de personas. (b) Separe las contribuciones de los intervalos $[0, 6]$ y $[6, 8]$. (c) Calcule la tasa media. (d) Interprete la parte negativa.

Ejercicio 18.2. Para $r(t) = 5 + 4\sin^2(\pi t)$ personas por hora, (a) calcule la acumulación exacta entre 0 y 4 horas. (b) Estímela con la regla del trapecio usando mediciones cada hora y (c) cada media hora. (d) ¿Qué supuesto introduce la regla del trapecio sobre la tasa entre mediciones?

Ejercicio 18.3. En el depósito del texto, con $q = 10$ L/min y $k = 0{,}2$ min⁻¹, parta de $X(0) = 80$ L. (a) Calcule $X(5)$. (b) ¿Cuánto tarda el contenido en quedar a menos de 1 L del equilibrio? (c) Calcule la entrada, la salida y $dX/dt$ en $t = 0$.

Ejercicio 18.4. Considere $dX_1/dt = -kX_1$ y $dX_2/dt = kX_1 - mX_2$, con $k > 0$ y $m \ge 0$. (a) Muestre que $X_1 + X_2$ se conserva si $m = 0$. (b) Calcule $d(X_1 + X_2)/dt$ si $m > 0$. (c) ¿Qué representa la cantidad conservada en el primer caso?

Ejercicio 18.5. Un compartimento con eliminación de primer orden, $k = 0{,}2$ h⁻¹, parte vacío y recibe 60 mg en seis horas. Calcule la cantidad a las seis horas si la entrada es (a) un bolo al inicio, (b) una infusión de 10 mg/h y (c) un bolo a las cinco horas. (d) Explique por qué los resultados difieren si el sistema es lineal.

Ejercicio 18.6. Una infusión constante de 10 mg/h entra en un compartimento con $k = 0{,}1$ h⁻¹. (a) Calcule el estado estacionario y la vida media. (b) ¿Cuánto tarda en alcanzar el 90 % y el 97 % del estado estacionario, en horas y en vidas medias? (c) Si la infusión se suspende en el estado estacionario, ¿cuánto tarda la cantidad en bajar a 10 mg?

Ejercicio 18.7. En una cola con $N(0) = 5$, durante las primeras cuatro horas llegan 8 personas por hora y la capacidad es de 6 por hora. Después, las llegadas bajan a 4 por hora y la capacidad sigue en 6. (a) Calcule $N(4)$. (b) ¿Cuándo se vacía la cola? (c) ¿Qué salida efectiva tiene el sistema después de vaciarse?

Referencias

Aris, R. (1962). Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics. Prentice-Hall.

Bird, R. B., Stewart, W. E. y Lightfoot, E. N. (2002). Transport phenomena (2.ª ed.). Wiley.

Hirsch, M. W., Smale, S. y Devaney, R. L. (2013). Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos (3.ª ed.). Academic Press.

Sterman, J. D. (2000). Business dynamics: Systems thinking and modeling for a complex world. McGraw-Hill.

Strogatz, S. H. (2015). Nonlinear dynamics and chaos: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering (2.ª ed.). Westview Press.