97.1. Dos escalas que no tienen por qué coincidir
Los capítulos anteriores separaron varias propiedades de una red.
C93 mostró que las distancias son globales, porque dependen de cómo se encadenan las aristas a lo largo de toda la estructura.
C94 mostró que el agrupamiento es local, ya que describe hasta qué punto los vecinos de un nodo también se conectan entre sí.
Una red puede combinar:
y al mismo tiempo
También puede presentar:
junto con
La idea de mundo pequeño aparece cuando una red combina, de manera no trivial, cierre local elevado con distancias globales relativamente cortas.
La palabra «pequeño» se refiere a la cantidad de pasos necesarios para conectar nodos lejanos respecto de una referencia apropiada, antes que al número de nodos de la red.
97.2. El punto de partida es una red regular sobre un anillo
Tomemos nodos distribuidos conceptualmente sobre un círculo.
Cada nodo se conecta con sus tres vecinos más próximos a la izquierda y sus tres vecinos más próximos a la derecha.
Por tanto, para todos los nodos.
El número total de aristas es
La red es completamente regular, sin nodos de mayor o menor grado.
Esta estructura será el extremo ordenado del modelo de Watts y Strogatz.
97.3. Agrupamiento del anillo regular
Para un anillo regular de Watts-Strogatz con grado par , el coeficiente de agrupamiento local es
Con
obtenemos
El cálculo directo del grafo reproducible entrega exactamente el mismo valor.
El agrupamiento es alto porque los vecinos próximos de un nodo también tienden a estar próximos entre sí sobre el anillo.
La estructura local contiene numerosos triángulos.
97.4. Distancias del anillo regular
La misma regularidad que produce alto agrupamiento limita los atajos globales.
Para viajar entre regiones opuestas del anillo debemos avanzar por conexiones locales sucesivas.
En el ejemplo:
para la longitud media de camino.
El diámetro es
Estos valores no son grandes en términos absolutos, pero sí lo son en comparación con una red aleatoria de igual tamaño y número de aristas.
La estructura reticular es localmente cerrada y globalmente lenta.
97.5. Una referencia aleatoria con el mismo y
Siguiendo C96, construiremos una referencia
con
La probabilidad marginal de que un par concreto esté conectado es
Para comparar longitudes medias de camino sin introducir infinitos, el paquete utiliza realizaciones condicionadas en conectividad.
Esta decisión es parte del modelo de referencia y queda registrada.
No debe confundirse con un incondicional.
97.6. Agrupamiento de la referencia aleatoria
En una red aleatoria de aristas aproximadamente independientes, la probabilidad de que dos vecinos de un nodo estén también conectados es del orden de la densidad.
En el ensamble conectado utilizado aquí,
El valor es cercano a
Por tanto, el anillo regular tiene un agrupamiento unas veinte veces mayor:
El cierre local es extraordinariamente fuerte respecto de esta referencia.
97.7. Distancias de la referencia aleatoria
Las mismas 600 aristas, distribuidas globalmente sin la geometría local del anillo, producen muchos vínculos de largo alcance.
La longitud media de camino del ensamble conectado es aproximadamente
Comparada con el anillo:
La red aleatoria conecta regiones distantes con muy pocos pasos.
Su costo es perder buena parte del agrupamiento local.
97.8. Dos extremos
Tenemos así dos arquitecturas límite.
El anillo presenta:
La referencia aleatoria presenta:
La pregunta de Watts y Strogatz fue si podía existir un régimen intermedio con:
pero
La respuesta depende de cómo unos pocos vínculos de largo alcance alteran la geometría global.
97.9. El modelo de Watts-Strogatz
El modelo comienza con el anillo regular.
Para cada conexión local elegida según el procedimiento estándar, se considera una reconexión con probabilidad
Si se reconecta, uno de los extremos se dirige hacia un nodo distinto, evitando lazos y duplicados en la implementación utilizada.
El número total de aristas permanece
La distribución espacial de esas aristas, en cambio, sí cambia.
El parámetro satisface
El parámetro expresa una probabilidad de reconexión respecto de la red inicial, distinta de la probabilidad de arista de .
97.10. Los dos límites de
Cuando no se reconecta ninguna arista.
Recuperamos el anillo regular.
Cuando todas las aristas candidatas son reconectadas según el algoritmo.
La red resultante es altamente desordenada y tiene distancias similares a las de una red aleatoria comparable.
Sin embargo, no produce exactamente un uniforme.
El procedimiento conserva huellas de la construcción original y genera otra distribución sobre grafos.
Esta diferencia será importante al utilizar modelos de referencia.
97.11. Cuántas aristas esperamos reconectar
El anillo contiene aristas.
En el algoritmo estándar se someten a posible reconexión las aristas seleccionadas del anillo original.
De forma aproximada, el número esperado de reconexiones es
Para esperamos del orden de seis aristas reconectadas.
Para unas dieciocho.
Para unas sesenta.
Estas cifras son pequeñas respecto del total de 600 aristas.
Sin embargo, su impacto sobre las distancias puede ser desproporcionado.
97.12. Por qué un atajo puede afectar muchos pares
Una arista local sustituida por una conexión de largo alcance no acorta únicamente la distancia entre sus extremos.
Puede entrar en los caminos mínimos de muchos otros pares.
Una sola conexión que une dos regiones distantes crea una nueva ruta para toda una familia de nodos cercanos a cada extremo.
El efecto sobre es por tanto global.
En cambio, el agrupamiento depende de triángulos y vecindarios locales.
Una reconexión destruye algunas relaciones locales, pero la mayoría de los vecindarios pueden permanecer intactos cuando es pequeño.
Esta diferencia de escalas explica el régimen de mundo pequeño.
97.13. Experimento con un único atajo
Para aislar el mecanismo, el paquete añade al anillo una única arista adicional:
Los nodos 0 y 100 se encuentran aproximadamente en posiciones opuestas del círculo.
Antes del atajo, la distancia entre ellos requiere muchos pasos.
Después,
La red pasa de 600 a 601 aristas.
El agrupamiento medio apenas cambia:
La longitud media de camino, en cambio, disminuye de a
97.14. Un atajo no tiene que reducir el diámetro
El mismo experimento permite una precisión importante.
El diámetro del anillo es
Después de añadir el atajo permanece en
El atajo acorta muchas rutas, pero todavía existen pares cuyo camino mínimo máximo no mejora.
Desde el nodo 0, aproximadamente el
de los destinos quedan más cerca.
La reducción media de distancia desde 0 es aproximadamente pasos.
Por tanto:
no implica necesariamente
97.15. Barrer en vez de mirar una sola red
Una realización aleatoria aislada puede ser atípica.
El paquete genera múltiples redes para cada valor:
Para cada realización calcula el agrupamiento medio , la transitividad, la longitud media , el diámetro, la varianza del grado, el número de triángulos y la conectividad. Después resume la distribución entre realizaciones.
El objeto de interés es la tendencia del ensamble, no una figura particularmente atractiva.
97.16. Las distancias caen pronto
En el anillo:
Con la media ya desciende a aproximadamente
Con cae a
Con alcanza
Esto corresponde a solo
de la longitud media del anillo.
Un número relativamente pequeño de reconexiones transforma rápidamente la geometría global.
97.17. El agrupamiento cae más lentamente
Mientras las distancias se acortan, el clustering conserva gran parte de su valor inicial.
Con
equivalente a
del agrupamiento del anillo.
Con
todavía alrededor del
del valor inicial.
Con
aproximadamente el
del anillo.
97.18. El régimen intermedio
En la red ya está lejos de ambos extremos.
Tenemos:
Respecto del anillo:
mientras
La distancia media ha perdido aproximadamente tres cuartas partes de su exceso reticular, mientras el clustering conserva cerca de tres cuartas partes de su valor original.
Esta es la separación de escalas que caracteriza el régimen pequeño-mundo del modelo.
97.19. Comparación directa con la referencia aleatoria
Para el mismo
comparado con conectado:
El agrupamiento sigue siendo más de quince veces el de la referencia.
En cambio,
La longitud media es solo un 40 % mayor que la de una red aleatoria globalmente mezclada.
Esta es una descripción cuantitativa mucho más informativa que decir simplemente que la red «parece pequeña».
97.20. El extremo
Al aumentar la reconexión a la longitud media cae hasta aproximadamente muy cerca de de la referencia aleatoria.
El agrupamiento, en cambio, también desciende:
Sigue siendo varias veces superior al aleatorio, aunque ya conserva solo alrededor del 36 % del clustering del anillo.
El régimen intermedio abarca una transición continua entre orden local y aleatoriedad global, antes que un único punto.
97.21. El extremo
Con reconexión completa,
prácticamente igual a la longitud media de la referencia conectada:
El agrupamiento cae a
también del mismo orden que
La red se vuelve aleatoria en el sentido de estas métricas.
Eso no significa que su distribución exacta sobre grafos coincida con , porque la semejanza métrica no prueba equivalencia de modelos.
97.22. Reconectar también introduce heterogeneidad de grado
El anillo comienza con
El procedimiento de reconexión conserva el número total de aristas, pero no el grado de cada nodo.
Por eso aparece heterogeneidad.
En las simulaciones:
crece gradualmente con .
Para la media de esa varianza es cercana a
La transición de Watts-Strogatz modifica simultáneamente la geometría de los caminos, el cierre local y la distribución de grados, de modo que atribuir todos sus efectos a una única propiedad sería un error.
97.23. Qué significa «mundo pequeño»
Una formulación operacional razonable requiere al menos dos comparaciones:
y
La primera expresa agrupamiento local superior a una referencia aleatoria.
La segunda expresa recorridos globales próximos al régimen aleatorio.
No existe una igualdad exacta universal para decidir cuándo «» o «» son suficientes.
La evaluación depende de tamaño, densidad, referencia y objetivo del análisis.
97.24. El mundo pequeño aparece en redes esparsas
Una red completa tiene:
y
Llamar «mundo pequeño» a cualquier red casi completa, sin embargo, trivializaría el concepto.
La propiedad interesante aparece en redes esparsas donde pocos vínculos de largo alcance producen rutas globales cortas sin eliminar la estructura local.
En nuestro ejemplo solo existen aristas de las posibles.
La densidad es alrededor de
El fenómeno no depende de saturar la red con conexiones.
97.25. El diámetro pequeño es condición insuficiente
Una red puede tener diámetro pequeño y clustering bajo.
Una estrella es un ejemplo elemental.
Con un nodo central conectado a todos los demás:
Entre las hojas, en cambio, no hay triángulos, por lo que el agrupamiento es cero.
Por tanto,
no bastan.
La estructura pequeño-mundo combina una propiedad global con una propiedad local.
97.26. El clustering alto también es condición insuficiente
Dos cliques desconectados tienen clustering uno dentro de cada grupo.
Sin embargo, no existe camino entre los cliques.
La red carece de accesibilidad global.
Incluso si conectamos ambos cliques mediante una cadena larga, el clustering puede seguir alto mientras las distancias globales permanecen grandes.
Por tanto,
tampoco basta.
C93 y C94 eran necesarios antes de introducir C97.
97.27. El índice
Una medida propuesta para cuantificar small-worldness es
Si
es grande y
cercano a uno, entonces será mayor que uno.
Para el ejemplo produce
La cifra resume en un cociente las dos normalizaciones.
97.28. Por qué no basta
El propio anillo regular produce
Sin embargo, su longitud media es más de cinco veces la aleatoria:
El valor alto de
compensa aritméticamente ese exceso de distancia.
Por tanto, la regla puede clasificar como «small-world» una red que sigue siendo claramente reticular en términos de caminos.
Un índice agregado no debe reemplazar la inspección de sus componentes.
97.29. El índice alternativo
Telesford y colaboradores propusieron otra medida:
donde
es el clustering de una referencia reticular comparable.
La interpretación idealizada es:
para una red tipo lattice, para un régimen de mundo pequeño, y para una red aleatoria.
La fórmula compara simultáneamente los dos extremos.
97.30. en el ejemplo
Para el anillo:
Para
Para
En este ejemplo, la métrica organiza razonablemente la transición:
Eso no la convierte en una definición universal, porque su valor depende de las referencias utilizadas.
97.31. El modelo de referencia forma parte del resultado
C96 mostró que no existe un nulo único.
Aquí elegimos un
conectado para estimar
y
Podríamos haber usado una referencia que preservara la secuencia de grados.
Los valores normalizados cambiarían.
También cambiarían y
Decir que una red es de mundo pequeño sin declarar contra qué red aleatoria y qué red reticular se compara deja incompleta la afirmación.
97.32. Condicionar en conectividad también importa
Con grado medio seis y no todas las realizaciones fueron conectadas.
Para obtener 120 referencias conectadas, la fracción aceptada fue aproximadamente
Eso significa que nuestra distribución de comparación es
La condición elimina las realizaciones donde la longitud media clásica no sería finita.
Otra estrategia podría utilizar eficiencia global y conservar redes desconectadas.
Las dos decisiones responden a comparaciones diferentes.
97.33. Eficiencia global como alternativa para desconexión
C93 introdujo la dificultad de promediar distancias infinitas.
Una medida alternativa es la eficiencia global:
con
La eficiencia permanece definida si existen componentes separadas.
En el experimento del atajo único, aumenta desde aproximadamente hasta
El aumento concuerda con la reducción de muchas distancias aunque el diámetro no cambie.
97.34. Escalamiento con el tamaño de la red
La diferencia entre red regular y red aleatoria se vuelve más clara al aumentar .
Para un anillo local con grado fijo, la distancia media crece aproximadamente de forma lineal con :
En redes aleatorias suficientemente conectadas con grado medio mayor que uno, la distancia típica puede crecer aproximadamente como
El fenómeno de mundo pequeño consiste en obtener distancias mucho más cercanas a esta escala corta sin sacrificar totalmente la organización local.
Las constantes y las condiciones importan. Estas expresiones son escalas asintóticas antes que identidades exactas para toda red finita.
97.35. «Seis grados de separación» como referencia popular
La expresión popular «seis grados de separación» se relaciona históricamente con experimentos sociales sobre cadenas de conocidos.
Una red, sin embargo, no necesita tener distancia media exactamente seis para ser considerada de mundo pequeño.
El número depende de:
La propiedad relevante es la coexistencia relativa de clustering elevado y caminos cortos.
Convertir el concepto en un umbral absoluto de seis pasos sería metodológicamente incorrecto.
97.36. Un grafo pequeño no es necesariamente un mundo pequeño
Si una red tiene solo diez nodos, sus distancias estarán acotadas por construcción.
Eso no demuestra una arquitectura pequeño-mundo.
El concepto resulta más informativo cuando se compara la longitud observada con la que tendría una red aleatoria y con una estructura local ordenada de tamaño y densidad comparables.
La escala absoluta de debe interpretarse en relación con el espacio de redes posibles.
97.37. El modelo de Watts-Strogatz no es una explicación universal
Una red empírica puede mostrar alta agrupación y distancias cortas.
Eso no implica que haya sido generada mediante reconexión aleatoria de un anillo.
El modelo de Watts-Strogatz demuestra un mecanismo suficiente para producir la combinación, sin acreditar que sea el mecanismo real de una red social, cerebral, metabólica o tecnológica. Otros procesos pueden generar estructuras similares.
La diferencia entre patrón y mecanismo vuelve a aparecer.
97.38. Los atajos pueden tener costos
En el modelo, una arista de largo alcance no tiene un costo adicional por existir.
En sistemas físicos eso puede ser irrealista.
Una conexión neuronal larga consume material y energía, una carretera que atraviesa una gran distancia cuesta más que una calle local y una relación social distante puede requerir mantenimiento.
Una red real puede entonces enfrentar un compromiso entre:
y
El modelo pequeño-mundo básico no optimiza explícitamente ese compromiso.
97.39. Redes ponderadas y mundo pequeño
Si las aristas tienen costos o tiempos, contar cada una como longitud uno puede ocultar diferencias esenciales.
Un atajo topológico puede ser muy lento o muy costoso.
La distancia ponderada podría entonces no disminuir. Del mismo modo, un vínculo débil puede existir estructuralmente y ser poco relevante para el proceso de interés.
Antes de trasladar el concepto a una red ponderada debemos definir:
y
No existe una traducción automática desde el caso binario.
97.40. Redes dirigidas y temporales
En una red dirigida, un atajo puede funcionar en un solo sentido.
En una red temporal, dos conexiones pueden no estar disponibles en el orden necesario.
La longitud de camino estático puede entonces subestimar el costo real de propagación.
Una red puede parecer pequeño-mundo después de agregar direcciones o tiempos y dejar de serlo cuando respetamos la secuencia temporal.
Por eso las afirmaciones de mundo pequeño heredan todas las decisiones de representación de C91.
97.41. Clustering alto no implica comunidad
Una red de mundo pequeño puede presentar fuerte cierre local.
Eso no implica necesariamente que existan comunidades bien definidas.
El clustering mide triángulos alrededor de nodos.
La modularidad, que aparecerá en C99, compara densidad interna y externa de grupos respecto de una referencia.
Podemos tener muchos triángulos sin una partición comunitaria clara, o comunidades con clustering moderado. Las dos escalas de organización deben mantenerse separadas.
97.42. Distancias cortas no implican difusión rápida
Un proceso dinámico puede depender de más que la geodesia.
La velocidad real puede depender de las probabilidades de transmisión, de los tiempos de espera, de la capacidad, de los estados de nodo, de la dirección o de la congestión.
Una red con pequeño tiene rutas topológicas cortas.
Eso no garantiza que un contagio, señal o innovación recorra esas rutas con rapidez.
La estructura condiciona las posibilidades, mientras la dinámica determina qué rutas se utilizan.
97.43. El mundo pequeño frente a la eficiencia óptima
Combinar clustering y distancias cortas puede resultar ventajoso para ciertos procesos.
Una red óptima, en cambio, depende de la función objetivo.
Puede interesar minimizar costo, maximizar robustez, limitar propagación, preservar modularidad o evitar fallos sistémicos.
Un alto índice de small-worldness describe una arquitectura respecto de métricas y referencias específicas, sin ordenar universalmente las redes de mejor a peor.
La evaluación funcional necesita un modelo adicional.
97.44. Incertidumbre en la red observada
Los atajos tienen un impacto global considerable.
Por eso errores de observación en unas pocas aristas de largo alcance pueden cambiar mucho
Una falsa arista interregional puede hacer parecer pequeña una red que no lo es.
Un falso negativo puede ocultar justamente el vínculo que acorta muchos caminos.
Si la reconstrucción de aristas es incierta, conviene repetir las métricas bajo redes plausibles.
La precisión computacional de y sobre un único grafo no representa incertidumbre sobre el grafo latente.
97.45. El número de atajos relevante depende del tamaño
Decir que una red contiene «pocos atajos» necesita una escala.
En una red de 200 nodos, sesenta reconexiones corresponden a porque existen 600 aristas sometidas al procedimiento.
En una red mucho mayor con el mismo grado local, el mismo valor de produciría un número absoluto de reconexiones proporcional a .
Por tanto, no deberíamos trasladar una cifra como «sesenta atajos» entre tamaños diferentes.
Lo relevante es cómo cambia la escala característica entre atajos respecto de la extensión de la red.
En el anillo, el espaciamiento típico entre extremos de conexiones de largo alcance disminuye al crecer el número de reconexiones. Cuando esa nueva escala se vuelve suficientemente pequeña, grandes regiones dejan de depender exclusivamente de trayectorias locales.
El régimen pequeño-mundo es así una propiedad de escalas relativas, no de un conteo absoluto universal de enlaces especiales.
97.46. Variabilidad entre realizaciones
Para cada , el modelo genera una distribución de redes.
Por ello, y son variables aleatorias, no curvas deterministas.
Dos redes producidas con el mismo , y pueden contener atajos en posiciones diferentes y mostrar longitudes medias distintas.
El paquete conserva todas las réplicas y reporta medias y desviaciones estándar.
Una figura basada únicamente en una realización podría exagerar o esconder la transición.
Esta consideración pesa más en redes pequeñas, donde la ubicación concreta de unas pocas reconexiones puede modificar fuertemente las rutas globales.
La incertidumbre entre realizaciones pertenece al modelo generativo. Es distinta de la incertidumbre sobre las aristas de una red empírica ya observada.
97.47. Los umbrales del régimen son decisiones analíticas
Podríamos fijar criterios como
y
En nuestro ejemplo, los cumpliría.
Esos números, sin embargo, serían decisiones analíticas antes que leyes de la naturaleza.
Otra aplicación podría exigir distancias aún más próximas a la referencia o aceptar un menor exceso de clustering.
La práctica más transparente es reportar las dos razones, la referencia utilizada y, si se emplea un índice agregado, su definición exacta.
Así el lector puede ver si la conclusión depende de una frontera arbitraria.
El concepto de mundo pequeño es más informativo como comparación estructural de escalas que como etiqueta binaria obtenida mediante una única cifra.
97.48. Verificación computacional
El paquete construye un anillo de 200 nodos y grado seis.
Verifica exactamente:
y grado constante.
La longitud media del anillo es con diámetro 34.
La referencia conectada produce:
El barrido de muestra que la distancia media cae con mucha mayor rapidez que el clustering.
En
con
y
El índice vale aproximadamente 11.10, mientras
El script también demuestra que un único atajo reduce la distancia media sin reducir necesariamente el diámetro.
Se ejecutaron 30 comprobaciones automáticas y las 30 resultaron satisfactorias.
97.49. Qué queda establecido
Una red de mundo pequeño combina dos escalas estructurales:
y
El modelo de Watts-Strogatz muestra cómo pocas reconexiones de largo alcance pueden reducir rápidamente la longitud media de camino mientras gran parte del clustering local permanece.
El parámetro interpola entre una red reticular ordenada y una red altamente aleatorizada, pero el extremo no es idéntico a un uniforme.
La clasificación debe hacerse respecto de referencias explícitas.
Índices agregados como pueden ser útiles, pero no sustituyen la inspección separada de
y
El ejemplo muestra incluso que puede ocurrir en un anillo con caminos claramente largos. La medida ofrece otra perspectiva, pero también depende de las referencias elegidas.
Finalmente, una estructura pequeño-mundo es descriptiva. No identifica el mecanismo generador ni demuestra automáticamente eficiencia funcional.
C98 estudiará las redes libres de escala, sus mecanismos y las exigencias de evidencia que imponen. Allí volverá una lección ya conocida desde C79 y C88: observar una distribución amplia o una recta aparente en escala log-log no basta para establecer una ley de potencia.
Referencias
- Humphries, M. D., & Gurney, K. (2008). Network 'small-world-ness': A quantitative method for determining canonical network equivalence. PLoS ONE, 3(4), e0002051. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0002051
- Latora, V., & Marchiori, M. (2001). Efficient behavior of small-world networks. Physical Review Letters, 87(19), 198701. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.87.198701
- Newman, M. E. J. (2010). Networks: An Introduction. Oxford University Press.
- Telesford, Q. K., Joyce, K. E., Hayasaka, S., Burdette, J. H., & Laurienti, P. J. (2011). The ubiquity of small-world networks. Brain Connectivity, 1(5), 367–375. https://doi.org/10.1089/brain.2011.0038
- Watts, D. J., & Strogatz, S. H. (1998). Collective dynamics of 'small-world' networks. Nature, 393, 440–442. https://doi.org/10.1038/30918
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