85.1. Tres operaciones que producen distribuciones nuevas

C84 mostró que elegir una familia probabilística equivale a aceptar restricciones sobre soporte, momentos, memoria y colas. Esa decisión rara vez termina el modelamiento. Una distribución observada puede surgir porque transformamos una variable, porque combinamos subpoblaciones o porque algún parámetro varía entre realizaciones.

Estas posibilidades son matemáticamente distintas.

En una transformación partimos de una variable aleatoria XX y definimos Y=g(X).Y=g(X).

La misma realización cambia de representación mediante una regla determinista.

En una mezcla introducimos un estado latente ZZ. Primero se selecciona una componente y después se genera la observación desde la distribución correspondiente:

Z∼{π1,…,πm},X∣Z=j∼Fj.Z\sim\{\pi_1,\ldots,\pi_m\}, \qquad X\mid Z=j\sim F_j.

Al ignorar ZZ, observamos una distribución marginal que combina las componentes.

La heterogeneidad puede modelarse haciendo aleatorio un parámetro. Por ejemplo,

N∣Λ=λ∼Poisson⁡(λ),N\mid\Lambda=\lambda \sim \operatorname{Poisson}(\lambda),

mientras la tasa Λ\Lambda varía entre unidades según otra distribución.

Las tres operaciones pueden producir asimetría, colas amplias o varianzas inesperadas. Identificar cuál se está utilizando evita confundir una forma observada con su mecanismo generador.

85.2. Una transformación es una medida imagen

C81 definió la distribución de una variable como la medida imagen del espacio probabilístico. La misma idea permite estudiar transformaciones.

Si Y=g(X),Y=g(X), entonces, para cualquier conjunto medible BB, PY(B)=P(Y∈B)=P(g(X)∈B).P_Y(B) = P(Y\in B) = P(g(X)\in B).

Equivalentemente, PY(B)=PX(g−1(B)).P_Y(B) = P_X(g^{-1}(B)).

La distribución de YY se obtiene transportando la masa de probabilidad de XX a través de gg.

La operación difiere de una mezcla. Cada valor de XX produce un único valor g(X)g(X), aunque distintos valores de XX puedan terminar en el mismo YY si gg no es inyectiva.

85.3. Cambio de variable en una transformación monótona

Supongamos que XX tiene densidad fXf_X y que Y=g(X),Y=g(X), donde gg es estrictamente monótona y diferenciable, con inversa g−1g^{-1}.

Para un intervalo infinitesimal, P(y<Y<y+dy)P(y<Y<y+dy) debe coincidir con la probabilidad de su preimagen en el espacio de XX.

El resultado es

fY(y)=fX(g−1(y))∣ddyg−1(y)∣.f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right|.

El factor derivativo es el jacobiano unidimensional de la transformación inversa.

Su función es conservar probabilidad cuando una transformación comprime o expande distancias. Sustituir xx por g−1(y)g^{-1}(y) en la densidad, sin más, da un resultado incorrecto.

85.4. De normal a lognormal

Tomemos

X∼N(0,1)X\sim N(0,1)

y definamos Y=eX.Y=e^X.

La transformación es estrictamente creciente y su inversa es

x=log⁡y,y>0.x=\log y, \qquad y>0.

Además,

dxdy=1y.\frac{dx}{dy} = \frac1y.

Como

fX(x)=12πe−x2/2,f_X(x) = \frac1{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2},

obtenemos

fY(y)=1y2πexp⁡[−(log⁡y)22],y>0.f_Y(y) = \frac1{y\sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\frac{(\log y)^2}{2} \right], \qquad y>0.

Esta es una distribución lognormal.

La transformación exponencial ha cambiado el soporte:

X∈R⟶Y∈(0,∞),X\in\mathbb R \quad\longrightarrow\quad Y\in(0,\infty),

y ha producido una distribución asimétrica con cola derecha.

Transformación de normal a lognormal.
Transformación de normal a lognormal Ampliar figura ↗

85.5. Los momentos también cambian de forma no lineal

Para una normal general

X∼N(μ,σ2),X\sim N(\mu,\sigma^2),

si

Y=eX,Y=e^X,

entonces

E[Y]=eμ+σ2/2.\mathbb E[Y] = e^{\mu+\sigma^2/2}.

En el caso estándar,

E[Y]=e1/2≈1.64872.\mathbb E[Y] = e^{1/2} \approx1.64872.

La mediana, en cambio, es

Med⁡(Y)=eμ=1.\operatorname{Med}(Y) = e^\mu = 1.

La media es mayor que la mediana por la asimetría de la cola derecha.

La varianza es

Var⁡(Y)=(eσ2−1)e2μ+σ2.\operatorname{Var}(Y) = \left(e^{\sigma^2}-1\right) e^{2\mu+\sigma^2}.

Para μ=0\mu=0 y σ=1\sigma=1,

Var⁡(Y)=(e−1)e≈4.67077.\operatorname{Var}(Y) = (e-1)e \approx4.67077.

C83 ya había advertido que

E[g(X)]≠g(E[X])\mathbb E[g(X)] \neq g(\mathbb E[X])

en general. Aquí,

E[eX]=e1/2≠eE[X]=1.\mathbb E[e^X] = e^{1/2} \neq e^{\mathbb E[X]} = 1.

La distribución transformada depende de la dispersión de XX además de su media.

85.6. Transformaciones no inyectivas

La fórmula con una única inversa supone monotonicidad.

Si una transformación tiene varias preimágenes, debemos sumar sus contribuciones.

Por ejemplo, para

Y=X2,Y=X^2,

un valor y>0y>0 puede provenir de

X=yX=\sqrt y

o

X=−y.X=-\sqrt y.

En términos generales, si las raíces

xix_i

satisfacen

g(xi)=yg(x_i)=y

y son regulares,

fY(y)=∑ifX(xi)∣dxidy∣.f_Y(y) = \sum_i f_X(x_i) \left| \frac{dx_i}{dy} \right|.

Este resultado aclara por qué una transformación puede concentrar probabilidad, ya que diferentes regiones del espacio original pueden plegarse sobre el mismo valor de salida.

El paralelismo con la dinámica no lineal es útil. En mapas no invertibles, varios estados previos pueden compartir una misma imagen. En probabilidad, la densidad de la imagen debe sumar la masa transportada desde todas esas ramas.

85.7. Transformación no equivale a mezcla

Supongamos dos variables aleatorias X1X_1 y X2X_2.

La combinación lineal Y=0.6X1+0.4X2Y=0.6X_1+0.4X_2 es una transformación de un vector aleatorio.

Una mezcla

X∼0.6F1+0.4F2X\sim0.6F_1+0.4F_2

significa algo distinto. Con probabilidad 0.60.6 generamos la observación desde F1F_1 y con probabilidad 0.40.4 desde F2F_2.

En la mezcla seleccionamos una componente latente, sin promediar dos realizaciones.

Esta diferencia cambia distribución, interpretación y varianza. El símbolo de suma puede ocultar mecanismos probabilísticos completamente distintos.

85.8. Definición de una mezcla finita

Sean densidades

f1(x),…,fm(x)f_1(x),\ldots,f_m(x)

y pesos

πj≥0,∑j=1mπj=1.\pi_j\geq0, \qquad \sum_{j=1}^m\pi_j=1.

La densidad de mezcla es

f(x)=∑j=1mπjfj(x).f(x) = \sum_{j=1}^m \pi_j f_j(x).

Podemos introducir una variable latente ZZ con

P(Z=j)=πj,P(Z=j)=\pi_j,

y especificar

X∣Z=j∼fj.X\mid Z=j \sim f_j.

La densidad marginal de XX se obtiene mediante la ley de probabilidad total:

fX(x)=∑jfX∣Z(x∣j)P(Z=j).f_X(x) = \sum_j f_{X\mid Z}(x\mid j)P(Z=j).

Una mezcla es, por tanto, una marginalización sobre un estado no observado.

85.9. Mezcla de dos normales

Consideremos

P(Z=1)=0.6,P(Z=2)=0.4.P(Z=1)=0.6, \qquad P(Z=2)=0.4.

Condicionalmente,

X∣Z=1∼N(−2,0.82),X\mid Z=1 \sim N(-2,0.8^2),
X∣Z=2∼N(2,1.22).X\mid Z=2 \sim N(2,1.2^2).

La densidad marginal es

f(x)=0.6 ϕ(x;−2,0.82)+0.4 ϕ(x;2,1.22),f(x) = 0.6\,\phi(x;-2,0.8^2) + 0.4\,\phi(x;2,1.2^2),

donde ϕ\phi representa una densidad normal.

Cada componente es unimodal y simétrica. La mezcla puede mostrar dos regiones de alta densidad.

Mezcla de dos normales.
Mezcla de dos normales Ampliar figura ↗

La multimodalidad apareció al combinar subpoblaciones simples con medias diferentes, sin que ninguna componente fuese complicada.

85.10. Media de una mezcla

Por la ley de la esperanza total,

E[X]=E[E[X∣Z]].\mathbb E[X] = \mathbb E[ \mathbb E[X\mid Z] ].

Si la componente jj tiene media μj\mu_j,

E[X]=∑jπjμj.\mathbb E[X] = \sum_j\pi_j\mu_j.

En nuestro ejemplo, μ=0.6(−2)+0.4(2)=−0.4.\mu = 0.6(-2)+0.4(2) = -0.4.

La media de mezcla se encuentra entre las dos medias componentes.

Esto no implica que exista una componente con media −0.4-0.4, ni que la densidad alcance allí su máximo. La media marginal resume el conjunto combinado.

85.11. Varianza dentro y entre componentes

Aplicamos la ley de la varianza total:

Var⁡(X)=E[Var⁡(X∣Z)]+Var⁡(E[X∣Z]).\operatorname{Var}(X) = \mathbb E[ \operatorname{Var}(X\mid Z) ] + \operatorname{Var}( \mathbb E[X\mid Z] ).

El primer término es la varianza promedio dentro de componentes:

Vdentro=∑jπjσj2.V_{\text{dentro}} = \sum_j\pi_j\sigma_j^2.

En nuestro ejemplo,

Vdentro=0.6(0.82)+0.4(1.22)=0.96.V_{\text{dentro}} = 0.6(0.8^2)+0.4(1.2^2) = 0.96.

El segundo término es la varianza entre las medias componentes:

Ventre=∑jπj(μj−μ)2.V_{\text{entre}} = \sum_j \pi_j(\mu_j-\mu)^2.

Aquí,

Ventre=3.84.V_{\text{entre}} = 3.84.

Por tanto,

Var⁡(X)=0.96+3.84=4.80.\operatorname{Var}(X) = 0.96+3.84 = 4.80.

La mayor parte de la dispersión marginal proviene de la heterogeneidad entre componentes antes que de la variación interna.

85.12. La misma varianza global puede ocultar arquitecturas diferentes

Construyamos una única normal

Y∼N(−0.4,4.8).Y\sim N(-0.4,4.8).

Tiene exactamente la misma media y varianza que la mezcla anterior.

Sin embargo, las densidades son muy diferentes.

Misma media y varianza, distinta estructura.
Misma media y varianza, distinta estructura Ampliar figura ↗

La probabilidad de caer cerca del centro también cambia. Para −0.5<X<0.5,-0.5<X<0.5, la mezcla asigna aproximadamente 0.0525,0.0525, mientras la normal de mismos momentos asigna cerca de 0.1776.0.1776.

Los primeros dos momentos no revelan si la variabilidad global proviene de una única población dispersa o de varias poblaciones más concentradas y separadas.

Este ejemplo extiende lo visto en C83, porque media y covarianza pueden ser correctas mientras la representación distributiva sigue omitiendo estructura.

85.13. La etiqueta latente puede inferirse probabilísticamente

Aunque ZZ no sea observado, una realización X=xX=x aporta información sobre qué componente pudo generarla.

Por Bayes,

P(Z=j∣X=x)=πjfj(x)∑kπkfk(x).P(Z=j\mid X=x) = \frac{ \pi_j f_j(x) }{ \sum_k\pi_k f_k(x) }.

Estas probabilidades reciben a menudo el nombre de responsabilidades en algoritmos de ajuste de mezclas. Salvo que las componentes no se solapen, no equivalen a etiquetas determinadas.

Un valor intermedio puede tener probabilidades apreciables bajo ambas normales. La clasificación dura

Z=arg max⁡jP(Z=j∣X=x)Z=\operatorname*{arg\,max}_jP(Z=j\mid X=x)

descarta incertidumbre que la distribución posterior sobre ZZ sí conserva.

Este es un ejemplo directo de cómo C82, sobre Bayes, entra en un modelo de heterogeneidad.

85.14. Componentes estadísticas no equivalen automáticamente a tipos naturales

Una mezcla con dos componentes puede describir adecuadamente una densidad bimodal, sin que eso demuestre que el fenómeno tenga dos clases ontológicas discretas.

Las componentes pueden ser aproximaciones matemáticas a una distribución continua de heterogeneidad. También pueden depender de qué familia paramétrica usamos. Una distribución asimétrica puede aproximarse mediante varias normales aunque no exista un mecanismo real que seleccione una de esas «subpoblaciones».

La interpretación científica de ZZ requiere evidencia adicional.

Los modelos de mezcla resultan útiles porque una combinación de componentes simples puede aproximar formas complejas. Esa flexibilidad vuelve peligroso interpretar cada componente como una entidad real sin justificación independiente.

85.15. Identificabilidad y permutación de etiquetas

Una mezcla presenta una simetría inmediata.

Si intercambiamos los nombres de las componentes,

(π1,f1),(π2,f2),(\pi_1,f_1), \qquad (\pi_2,f_2),

por

(π2,f2),(π1,f1),(\pi_2,f_2), \qquad (\pi_1,f_1),

la distribución marginal no cambia.

Este label switching significa que las etiquetas numéricas carecen de significado intrínseco.

Existen además problemas de identificabilidad más serios en algunas familias y configuraciones. Dos parametrizaciones diferentes pueden producir distribuciones muy semejantes o incluso equivalentes bajo condiciones particulares.

El hecho de que un algoritmo entregue parámetros no garantiza que los datos determinen esos parámetros con precisión.

La inferencia sobre mezclas debe separar ajuste distributivo de identificación de componentes.

85.16. De mezcla finita a parámetro aleatorio

Una mezcla no necesita tener un número finito de componentes.

Supongamos que un parámetro Λ\Lambda varía continuamente entre realizaciones.

Condicionalmente,

X∣Λ=λ∼f(x∣λ).X\mid\Lambda=\lambda \sim f(x\mid\lambda).

Si Λ\Lambda tiene densidad g(λ)g(\lambda), la distribución marginal es

fX(x)=∫f(x∣λ)g(λ) dλ.f_X(x) = \int f(x\mid\lambda) g(\lambda)\,d\lambda.

Esta es una mezcla continua.

La heterogeneidad no observada de parámetros puede modificar por completo la forma marginal incluso cuando la distribución condicional es simple.

85.17. Conteos Poisson con tasa heterogénea

C84 estudió una Poisson homogénea:

N∼Poisson⁡(λ),N\sim\operatorname{Poisson}(\lambda),

con

E[N]=λ,Var⁡(N)=λ.\mathbb E[N]=\lambda, \qquad \operatorname{Var}(N)=\lambda.

Ahora permitamos que la tasa cambie entre realizaciones:

N∣Λ=λ∼Poisson⁡(λ).N\mid\Lambda=\lambda \sim \operatorname{Poisson}(\lambda).

Condicionalmente, cada unidad sigue siendo Poisson.

Marginalmente, en cambio, debemos integrar sobre la distribución de Λ\Lambda.

Por la ley de la esperanza total,

E[N]=E[E[N∣Λ]]=E[Λ].\mathbb E[N] = \mathbb E[ \mathbb E[N\mid\Lambda] ] = \mathbb E[\Lambda].

Para la varianza,

Var⁡(N)=E[Var⁡(N∣Λ)]+Var⁡(E[N∣Λ]).\operatorname{Var}(N) = \mathbb E[ \operatorname{Var}(N\mid\Lambda) ] + \operatorname{Var}( \mathbb E[N\mid\Lambda] ).

Como una Poisson satisface

Var⁡(N∣Λ)=Λ,\operatorname{Var}(N\mid\Lambda)=\Lambda,

obtenemos

Var⁡(N)=E[Λ]+Var⁡(Λ)\boxed{ \operatorname{Var}(N) = \mathbb E[\Lambda] + \operatorname{Var}(\Lambda) }

La heterogeneidad en la tasa añade varianza.

85.18. Gamma como distribución de heterogeneidad

Tomemos

Λ∼Gamma⁡(r,β),\Lambda\sim\operatorname{Gamma}(r,\beta),

donde utilizamos parametrización por forma rr y tasa β\beta:

g(λ)=βrΓ(r)λr−1e−βλ,λ>0.g(\lambda) = \frac{\beta^r}{\Gamma(r)} \lambda^{r-1} e^{-\beta\lambda}, \qquad \lambda>0.

Sus momentos son

E[Λ]=rβ,\mathbb E[\Lambda] = \frac r\beta,
Var⁡(Λ)=rβ2.\operatorname{Var}(\Lambda) = \frac r{\beta^2}.

Elegimos

r=2.5,β=1.25.r=2.5, \qquad \beta=1.25.

Entonces

E[Λ]=2,\mathbb E[\Lambda]=2,
Var⁡(Λ)=1.6.\operatorname{Var}(\Lambda)=1.6.

Por tanto, los conteos marginales tendrán

E[N]=2\mathbb E[N]=2

y

Var⁡(N)=2+1.6=3.6.\operatorname{Var}(N)=2+1.6=3.6.

Ya sabemos, sin calcular todavía la masa completa, que no pueden seguir una Poisson homogénea de media dos.

85.19. Derivación de la mezcla Poisson–gamma

La probabilidad marginal de observar N=kN=k es

P(N=k)=∫0∞P(N=k∣λ)g(λ) dλ.P(N=k) = \int_0^\infty P(N=k\mid\lambda) g(\lambda)\,d\lambda.

Sustituimos

P(N=k∣λ)=e−λλkk!P(N=k\mid\lambda) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}

y la densidad gamma:

P(N=k)=βrΓ(r)k!∫0∞λk+r−1e−(β+1)λ dλ.P(N=k) = \frac{\beta^r}{\Gamma(r)k!} \int_0^\infty \lambda^{k+r-1} e^{-(\beta+1)\lambda} \,d\lambda.

La integral es una integral gamma:

∫0∞λa−1e−cλ dλ=Γ(a)ca.\int_0^\infty \lambda^{a-1}e^{-c\lambda}\,d\lambda = \frac{\Gamma(a)}{c^a}.

Con

a=k+r,c=β+1,a=k+r, \qquad c=\beta+1,

obtenemos

P(N=k)=Γ(k+r)Γ(r)k!(ββ+1)r(1β+1)k.P(N=k) = \frac{\Gamma(k+r)} {\Gamma(r)k!} \left( \frac{\beta}{\beta+1} \right)^r \left( \frac1{\beta+1} \right)^k.

Esta es una parametrización de la distribución binomial negativa.

85.20. Sobredispersión como consecuencia de heterogeneidad

Comparemos dos modelos con la misma media:

N1∼Poisson⁡(2),N_1\sim\operatorname{Poisson}(2),

y N2N_2 generado por la mezcla Poisson–gamma anterior.

En ambos,

E[N]=2.\mathbb E[N]=2.

Pero

Var⁡(N1)=2,\operatorname{Var}(N_1)=2,

mientras

Var⁡(N2)=3.6.\operatorname{Var}(N_2)=3.6.
Heterogeneidad de tasas y sobredispersión.
Heterogeneidad de tasas y sobredispersión Ampliar figura ↗

La mezcla tiene más masa en cero:

P(N2=0)≈0.230,P(N_2=0)\approx0.230,

frente a P(N1=0)=e−2≈0.135.P(N_1=0)=e^{-2}\approx0.135.

También tiene una cola mucho mayor. Para N≥8,N\geq8, la mezcla asigna aproximadamente 0.0152,0.0152, mientras la Poisson homogénea asigna cerca de 0.00110.0.00110.

La heterogeneidad produce simultáneamente más observaciones pequeñas y más observaciones grandes.

85.21. Sobredispersión no identifica una causa única

Observar

Var⁡(N)>E[N]\operatorname{Var}(N)>\mathbb E[N]

puede ser incompatible con una Poisson homogénea simple, pero no identifica automáticamente una mezcla gamma.

La sobredispersión puede provenir de heterogeneidad de tasas, dependencia temporal, agrupamiento de eventos, inflación de ceros, errores de medición o mecanismos distintos.

La mezcla Poisson–gamma da una explicación generativa que produce binomial negativa, entre otras posibles para una varianza elevada. Esta es la misma regla epistemológica utilizada desde los módulos anteriores, según la cual reproducir una estadística restringe los mecanismos candidatos y rara vez identifica uno sin información adicional.

85.22. Heterogeneidad observada y no observada

Si la variable que explica la heterogeneidad está medida, podemos condicionar en ella.

Por ejemplo, si cada unidad pertenece a un grupo ZZ conocido,

X∣Z=j∼FjX\mid Z=j \sim F_j

puede analizarse por estratos.

Si ZZ no se observa, la distribución marginal mezcla las componentes y parte de la estructura queda oculta.

La diferencia alcanza a qué preguntas pueden responderse, más allá del aparato estadístico.

Una varianza marginal grande puede reducirse mucho al condicionar en un factor explicativo. En el ejemplo normal,

Vdentro=0.96V_{\text{dentro}}=0.96

mientras la varianza total era 4.80.4.80.

Conocer el grupo latente convertiría gran parte de la variación aparentemente individual en diferencia entre grupos.

85.23. Marginalizar puede crear una distribución que ninguna unidad sigue

Conviene detenerse aquí, porque el punto afecta a cómo se informan los resultados agregados.

En la mezcla de normales, ninguna unidad condicional sigue N(−0.4,4.8).N(-0.4,4.8).

La distribución global tampoco es normal.

Sin embargo, si resumiéramos únicamente media y varianza, podríamos describir el agregado mediante esos parámetros y olvidar que las realizaciones proceden de dos regímenes diferentes.

De forma análoga, en la mezcla Poisson–gamma cada unidad condicional satisface

Var⁡(N∣Λ)=E[N∣Λ],\operatorname{Var}(N\mid\Lambda) = \mathbb E[N\mid\Lambda],

pero la población marginal satisface

Var⁡(N)>E[N].\operatorname{Var}(N) > \mathbb E[N].

Una propiedad que vale dentro de cada unidad condicional puede dejar de valer después de marginalizar sobre heterogeneidad.

85.24. Mezcla no equivale a contaminación

La palabra mezcla puede sugerir que una distribución principal fue «ensuciada» por otra, lectura que el modelo no exige.

En un modelo de mezcla, todas las componentes forman parte de la distribución generadora.

La contaminación es un caso particular donde puede existir una distribución principal y una pequeña proporción de observaciones generadas por otro proceso, por ejemplo (1−ε)F+εG.(1-\varepsilon)F + \varepsilon G.

Esta estructura es útil en estadística robusta, pero no agota el concepto de mezcla.

En una población genuinamente heterogénea, ninguna componente tiene por qué ser considerada error.

85.25. Una transformación puede crear apariencia de heterogeneidad

La asimetría o una cola larga no exige mezcla.

La transformación Y=eXY=e^X convierte una única normal unimodal en una lognormal muy asimétrica.

Si observáramos solo YY, podríamos sentir la tentación de explicar la cola mediante subpoblaciones. En este caso sería innecesario, porque una sola variable normal transformada produce la forma completa.

Por tanto,

forma no normal\text{forma no normal}

no implica

mezcla de poblaciones.\text{mezcla de poblaciones}.

Antes de introducir estados latentes conviene considerar si una transformación natural de escala explica la geometría distributiva.

85.26. Una mezcla puede parecer unimodal

El caso contrario también ocurre.

Si las medias componentes están suficientemente cerca o las varianzas son grandes, una mezcla de dos normales puede mostrar un único máximo visible.

La ausencia de bimodalidad no demuestra homogeneidad, porque dos subpoblaciones superpuestas pueden producir una densidad suave y aparentemente simple.

Esto limita el razonamiento basado únicamente en histogramas. La estructura latente puede existir sin producir valles evidentes entre componentes.

La posibilidad matemática tampoco demuestra que existan grupos ocultos. Solo elimina la inferencia ingenua

un solo pico⟹una sola poblacioˊn.\text{un solo pico} \Longrightarrow \text{una sola población}.

85.27. Transformar antes o después de mezclar puede dar resultados distintos

Supongamos una mezcla de XX y una transformación no lineal gg.

Si

X∣Z=j∼Fj,X\mid Z=j\sim F_j,

entonces

Y=g(X)Y=g(X)

produce, condicionalmente,

Y∣Z=j∼g#Fj,Y\mid Z=j\sim g_\#F_j,

donde g#Fjg_\#F_j representa la medida imagen de la componente.

La distribución marginal de YY es la mezcla de las componentes transformadas:

PY=∑jπj g#Pj.P_Y = \sum_j\pi_j\,g_\#P_j.

Esto es distinto de aplicar gg a una cantidad resumen como la media de mezcla.

En general,

E[g(X)]≠g(E[X]).\mathbb E[g(X)] \neq g(\mathbb E[X]).

Los órdenes «promediar» y «transformar» no conmutan para funciones no lineales.

Esta observación reaparecerá en problemas multiescala, donde agregar primero y transformar después puede no equivaler a transformar localmente y luego agregar.

85.28. Mezcla, condicionamiento y Bayes forman una misma arquitectura

Los capítulos 82 y 85 pueden reunirse en un esquema.

Partimos de P(Z=j)=πj.P(Z=j)=\pi_j.

El modelo de observación es

f(x∣Z=j)=fj(x).f(x\mid Z=j)=f_j(x).

Marginalizando,

f(x)=∑jπjfj(x).f(x) = \sum_j\pi_jf_j(x).

Después de observar xx, Bayes invierte la dirección:

P(Z=j∣x)=πjfj(x)f(x).P(Z=j\mid x) = \frac{\pi_jf_j(x)}{f(x)}.

Así, mezclar significa pasar del estado latente a la distribución observable, mientras inferir la componente significa condicionar en la observación y aplicar Bayes. Son dos direcciones dentro del mismo modelo conjunto.

85.29. Ajustar mezclas es más difícil que escribirlas

La ecuación

f(x)=∑jπjfj(x)f(x) = \sum_j\pi_jf_j(x)

es sencilla.

Estimar sus parámetros desde datos puede ser difícil.

Las etiquetas son intercambiables, las componentes pueden solaparse y el número de componentes puede no estar determinado de forma clara. En algunas mezclas normales, además, la verosimilitud puede presentar degeneraciones si una componente colapsa sobre una observación con varianza tendiendo a cero, salvo que se impongan restricciones adecuadas.

El algoritmo EM de Dempster, Laird y Rubin proporciona una estrategia general para problemas con datos latentes o incompletos y se utiliza ampliamente en mezclas. No desarrollaremos su derivación aquí porque C85 se centra en la estructura probabilística antes que en los algoritmos de estimación.

El hecho de que exista un método computacional de ajuste no elimina los problemas de representación e identificabilidad.

85.30. Protocolo conceptual para modelar heterogeneidad

Antes de utilizar una mezcla conviene preguntar qué tipo de heterogeneidad queremos representar.

Primero debe definirse la unidad de observación. ¿Cada dato corresponde a una unidad distinta, a un momento temporal o a un evento?

Después se identifica qué parámetro podría variar. Puede cambiar la media, la varianza, una tasa de ocurrencia o incluso la familia completa.

A continuación se decide si la heterogeneidad es observada mediante covariables o si debe tratarse como latente.

Finalmente se pregunta qué predicciones adicionales produce la mezcla, entre ellas multimodalidad, sobredispersión, más ceros, colas distintas o dependencia entre observaciones de una misma unidad.

La heterogeneidad no debería introducirse únicamente porque un modelo homogéneo «ajusta mal». Debe especificarse qué estructura ausente se está añadiendo.

85.31. Heterogeneidad compartida crea dependencia marginal

La tasa latente Λ\Lambda puede afectar a más de una observación de la misma unidad.

Supongamos dos conteos

N1,N2N_1,N_2

que, condicionados en Λ\Lambda, son independientes:

N1∣Λ∼Poisson⁡(Λ),N_1\mid\Lambda \sim \operatorname{Poisson}(\Lambda),
N2∣Λ∼Poisson⁡(Λ),N_2\mid\Lambda \sim \operatorname{Poisson}(\Lambda),

y

N1⊥N2∣Λ.N_1\perp N_2\mid\Lambda.

Dentro de una unidad con tasa conocida, conocer N1N_1 no añade información sobre N2N_2 más allá de Λ\Lambda.

Sin embargo, si Λ\Lambda no se observa, ambas mediciones comparten la misma fuente de heterogeneidad. Las unidades con tasa alta tienden a producir valores altos en ambos conteos; las de tasa baja, valores bajos.

La covarianza marginal puede derivarse mediante la ley de la covarianza total:

Cov⁡(N1,N2)=E[Cov⁡(N1,N2∣Λ)]+Cov⁡(E[N1∣Λ],E[N2∣Λ]).\operatorname{Cov}(N_1,N_2) = \mathbb E[ \operatorname{Cov}(N_1,N_2\mid\Lambda) ] + \operatorname{Cov}( \mathbb E[N_1\mid\Lambda], \mathbb E[N_2\mid\Lambda] ).

El primer término es cero por independencia condicional.

Además,

E[N1∣Λ]=E[N2∣Λ]=Λ.\mathbb E[N_1\mid\Lambda] = \mathbb E[N_2\mid\Lambda] = \Lambda.

Por tanto,

Cov⁡(N1,N2)=Var⁡(Λ).\operatorname{Cov}(N_1,N_2) = \operatorname{Var}(\Lambda).

En nuestro ejemplo,

Cov⁡(N1,N2)=1.6.\operatorname{Cov}(N_1,N_2)=1.6.

Como cada conteo marginal tiene varianza 3.63.6,

Corr⁡(N1,N2)=1.63.6≈0.444.\operatorname{Corr}(N_1,N_2) = \frac{1.6}{3.6} \approx0.444.

El paquete reproduce esta correlación mediante simulación jerárquica.

La dependencia marginal emerge al ocultar la tasa común, sin haber sido añadida directamente entre N1N_1 y N2N_2.

85.32. Independencia condicional y dependencia marginal no se contradicen

La expresión

N1⊥N2∣ΛN_1\perp N_2\mid\Lambda

y el resultado

Cov⁡(N1,N2)>0\operatorname{Cov}(N_1,N_2)>0

pueden parecer incompatibles solo si confundimos niveles de descripción.

Condicionar en Λ\Lambda compara realizaciones dentro de una tasa fija. Marginalizar mezcla unidades con tasas diferentes.

En la distribución condicional, una unidad con

Λ=0.5\Lambda=0.5

se compara con otras realizaciones bajo la misma tasa. En la distribución marginal, esa unidad convive con otras que quizá tengan

Λ=5.\Lambda=5.

La variación entre tasas genera una asociación común.

Este fenómeno es una aplicación probabilística del principio trabajado repetidamente en el proyecto, según el cual una propiedad puede depender del nivel al que se realiza la descripción.

La correlación marginal es una propiedad real de la distribución observable, de modo que llamarla «falsa» sería inexacto. Tampoco debemos concluir que exista una interacción directa entre los dos conteos.

La explicación del patrón está en la variable compartida.

Esto ofrece un criterio práctico. Si varias mediciones de una misma unidad son más parecidas entre sí que mediciones de unidades diferentes, una posible explicación es heterogeneidad persistente entre unidades. Esa posibilidad debe compararse con mecanismos alternativos, como interacción temporal directa.

85.33. Inflación de ceros es otra arquitectura de mezcla

La mezcla Poisson–gamma produce más ceros que una Poisson homogénea de igual media. Sin embargo, un exceso de ceros también puede construirse mediante un mecanismo distinto.

En un modelo Poisson cero-inflado, introducimos un estado latente ZZ.

Con probabilidad ω,\omega, la observación es un cero estructural: N=0.N=0.

Con probabilidad

1−ω,1-\omega,

generamos

N∼Poisson⁡(λ).N\sim\operatorname{Poisson}(\lambda).

Entonces

P(N=0)=ω+(1−ω)e−λ.P(N=0) = \omega + (1-\omega)e^{-\lambda}.

Para k>0k>0,

P(N=k)=(1−ω)e−λλkk!.P(N=k) = (1-\omega) e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}.

La media es

E[N]=(1−ω)λ,\mathbb E[N] = (1-\omega)\lambda,

y la varianza

Var⁡(N)=(1−ω)λ[1+ωλ].\operatorname{Var}(N) = (1-\omega)\lambda \left[ 1+\omega\lambda \right].

Con

ω=0.3,λ=2,\omega=0.3, \qquad \lambda=2,

el paquete obtiene

E[N]=1.4,\mathbb E[N]=1.4,
Var⁡(N)=2.24.\operatorname{Var}(N)=2.24.

El modelo es sobredisperso, pero el mecanismo no es una tasa gamma continua. Existe una masa latente que produce ceros por una vía separada.

Así, observar muchos ceros y varianza elevada no permite distinguir por sí solo entre heterogeneidad continua, cero-inflación, dependencia u otras explicaciones.

85.34. La distinción científica es condicional frente a marginal

En un modelo heterogéneo conviene declarar siempre qué distribución se está describiendo.

La distribución

P(X∣Z=j)P(X\mid Z=j)

responde a una pregunta condicional, la de cómo varían las observaciones dentro de un estado especificado.

La distribución

P(X)=∑jP(X∣Z=j)P(Z=j)P(X) = \sum_j P(X\mid Z=j)P(Z=j)

responde a una pregunta marginal, la de qué observamos cuando el estado no se conoce o se ignora.

Ambas son correctas, pero pueden tener propiedades distintas.

Una distribución condicional puede ser normal mientras la marginal es multimodal, o un conteo condicional puede ser Poisson mientras el marginal es binomial negativo. Dos mediciones pueden además ser independientes condicionalmente y correlacionadas marginalmente.

Por eso no existe una única respuesta a «¿cuál es la distribución del sistema?» sin especificar qué variables se condicionan, cuáles se integran y cuál es la unidad sobre la que se formula la pregunta.

Esta distinción prepara varias ideas posteriores del currículo. Los modelos jerárquicos, los estados latentes y la agregación estadística dependerán de separar niveles de variación en vez de colapsarlos prematuramente en una sola distribución global.

85.35. Los pesos de mezcla son probabilidades, no cuotas exactas en cada muestra

Si

P(Z=1)=0.6,P(Z=2)=0.4,P(Z=1)=0.6, \qquad P(Z=2)=0.4,

el modelo no afirma que toda muestra finita contenga exactamente un 60 % de observaciones de la primera componente.

Para nn realizaciones independientes, el número de observaciones con

Z=1Z=1

es una variable binomial:

M∼Binomial⁡(n,0.6).M\sim\operatorname{Binomial}(n,0.6).

Su esperanza es

E[M]=0.6n,\mathbb E[M]=0.6n,

pero una muestra concreta fluctúa alrededor de ese valor.

Esto separa el parámetro de mezcla de la composición empírica observada. En muestras pequeñas, la proporción realizada puede alejarse apreciablemente de π1\pi_1 sin que el modelo haya cambiado.

La diferencia también afecta la interpretación de subgrupos raros. Un componente con peso π=0.01\pi=0.01 puede no aparecer en una muestra pequeña. Su ausencia observada no demuestra peso poblacional cero.

De forma inversa, unas pocas observaciones extremas pueden hacer parecer mayor un componente pequeño de lo que realmente es.

Por tanto, los pesos πj\pi_j pertenecen a la distribución generadora, mientras las frecuencias de etiquetas en una muestra son estadísticas aleatorias.

Esta separación es paralela a la que C83 estableció entre momentos poblacionales y momentos muestrales. También prepara C86, porque justificar que las frecuencias empíricas se estabilizan alrededor de sus probabilidades exigirá leyes de grandes números y no una igualdad exacta en cada conjunto de datos.

85.36. Verificación computacional

El paquete reproducible ejecuta controles analíticos y numéricos para las tres operaciones centrales.

Para

X∼N(0,1),Y=eX,X\sim N(0,1), \qquad Y=e^X,

integra la densidad lognormal derivada mediante el jacobiano y comprueba que su masa total sea uno. Verifica por integración

E[Y]=e1/2\mathbb E[Y]=e^{1/2}

y

Var⁡(Y)=(e−1)e.\operatorname{Var}(Y)=(e-1)e.

Una simulación de 250 000250\,000 realizaciones reproduce media, varianza y mediana dentro de tolerancias predefinidas.

En la mezcla normal confirma

μ=−0.4,\mu=-0.4,
Vdentro=0.96,V_{\text{dentro}}=0.96,
Ventre=3.84,V_{\text{entre}}=3.84,

y

Vtotal=4.80.V_{\text{total}}=4.80.

La misma varianza se obtiene mediante el segundo momento marginal y mediante la ley de la varianza total. La simulación reproduce los valores analíticos.

En la mezcla Poisson–gamma verifica

E[Λ]=2,Var⁡(Λ)=1.6,\mathbb E[\Lambda]=2, \qquad \operatorname{Var}(\Lambda)=1.6,

y por tanto

E[N]=2,Var⁡(N)=3.6.\mathbb E[N]=2, \qquad \operatorname{Var}(N)=3.6.

La masa derivada analíticamente coincide con la implementación de binomial negativa de SciPy. La simulación jerárquica reproduce la media y la sobredispersión.

Se ejecutaron 41 comprobaciones automáticas y las 41 resultaron satisfactorias.

85.37. Qué queda establecido

Una transformación modifica una variable mediante una regla determinista y transporta su medida de probabilidad. El jacobiano describe cómo la transformación cambia densidad.

Una mezcla introduce una variable latente y marginaliza sobre componentes. Sus momentos contienen variación dentro y entre subpoblaciones.

La heterogeneidad de parámetros puede producir distribuciones marginales cualitativamente diferentes de las distribuciones condicionales. En particular, una tasa Poisson variable produce sobredispersión y una mezcla gamma genera una binomial negativa.

Ninguna forma distributiva identifica por sí sola cuál de estos mecanismos actúa. La asimetría puede provenir de una transformación y la multimodalidad de una mezcla. La sobredispersión puede provenir de heterogeneidad o de otras estructuras.

La tarea del modelamiento consiste en hacer explícita la arquitectura que genera la distribución.

C86 estudiará las leyes de grandes números y el teorema central del límite. Allí cambiaremos de pregunta. En vez de combinar poblaciones distintas, analizaremos qué ocurre cuando acumulamos muchas realizaciones y bajo qué condiciones aparecen estabilidad de promedios y aproximaciones gaussianas.

Referencias

Recursos reproducibles

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