77.1. La misma fórmula, dos espacios distintos

Los capítulos anteriores construyeron fractales mediante eliminación geométrica, sustitución de segmentos o sistemas de funciones iteradas contractivas. Los conjuntos de Julia y Mandelbrot aparecen de otra manera. Nacen de iterar una función no lineal en el plano complejo.

La familia cuadrática

fc(z)=z2+c,z,c∈C,f_c(z)=z^2+c, \qquad z,c\in\mathbb C,

contiene ya una geometría extraordinariamente rica.

Antes de dibujar nada hay que distinguir dos preguntas.

La primera fija el parámetro cc y estudia qué ocurre al variar la condición inicial z0z_0. Este es el plano dinámico. Allí viven el conjunto lleno de Julia KcK_c y su frontera, el conjunto de Julia JcJ_c.

La segunda fija la condición inicial crítica z0=0z_0=0 y pregunta para qué valores de cc su órbita permanece acotada. Este es el plano de parámetros. Allí vive el conjunto de Mandelbrot MM.

Los dos objetos están conectados por teoremas de gran alcance, aunque no son el mismo fractal en coordenadas diferentes.

C77 trata esa relación. El capítulo tiene carácter de transferencia, ya que integra mapas discretos, puntos fijos, estabilidad, bifurcaciones, escape numérico y geometría fractal en una única familia de iteraciones complejas.

77.2. Iteración en el plano complejo

Elegimos c∈Cc\in\mathbb C y una condición inicial z0∈Cz_0\in\mathbb C. Definimos zn+1=zn2+c.z_{n+1}=z_n^2+c.

Cada estado tiene dos coordenadas reales. Si

z=x+iy,c=a+ib,z=x+iy, \qquad c=a+ib,

entonces

z2=(x2−y2)+i(2xy),z^2 = (x^2-y^2)+i(2xy),

y el mapa equivale al sistema real bidimensional

xn+1=xn2−yn2+a,x_{n+1}=x_n^2-y_n^2+a,
yn+1=2xnyn+b.y_{n+1}=2x_ny_n+b.

No hay aquí una dimensión «imaginaria» añadida a la dinámica. El plano complejo es un plano real bidimensional equipado con la estructura algebraica de C\mathbb C.

Esa estructura permite usar herramientas holomorfas que no están disponibles para mapas bidimensionales arbitrarios.

77.3. El conjunto lleno de Julia

Para un cc fijo definimos

Kc={z0∈C:{fcn(z0)}n≥0 es acotada}.K_c = \left\{ z_0\in\mathbb C: \{f_c^n(z_0)\}_{n\geq0} \text{ es acotada} \right\}.

Este es el conjunto lleno de Julia.

El adjetivo «lleno» es importante. KcK_c incluye todos los puntos cuya órbita no escapa al infinito, no solo la frontera fractal.

Para c=0,c=0, el mapa es zn+1=zn2.z_{n+1}=z_n^2.

Si ∣z0∣<1|z_0|<1, entonces

∣zn∣=∣z0∣2n→0.|z_n| = |z_0|^{2^n}\to0.

Si ∣z0∣>1|z_0|>1, entonces

∣zn∣=∣z0∣2n→∞.|z_n| = |z_0|^{2^n}\to\infty.

Si ∣z0∣=1|z_0|=1, la órbita permanece sobre el círculo unitario.

Por tanto,

K0={z:∣z∣≤1}.K_0 = \{z:|z|\leq1\}.

El primer ejemplo ya muestra que el conjunto lleno puede poseer interior.

77.4. El conjunto de Julia como frontera

El conjunto de Julia se define, para un polinomio cuadrático, como la frontera del conjunto lleno,

Jc=∂Kc.J_c = \partial K_c.

Para

c=0,c=0,

tenemos

J0={z:∣z∣=1}.J_0 = \{z:|z|=1\}.

Así, K0K_0 es el disco unitario y J0J_0 es su circunferencia.

Esta distinción evita un error habitual en visualizaciones. Un algoritmo de escape colorea tanto puntos que escapan como puntos que no han escapado dentro del máximo de iteraciones. La zona «negra» o de valor máximo suele aproximar KcK_c, mientras la frontera entre zonas de escape y no escape aproxima JcJ_c.

No todo punto de KcK_c pertenece a JcJ_c.

77.5. Dinámica estable y conjunto de Julia

En dinámica compleja, el conjunto de Julia puede caracterizarse también como la región donde las iteradas presentan comportamiento inestable en el sentido de familias normales. Su complemento es el conjunto de Fatou, formado por regiones donde la dinámica local se comporta de manera más regular.

No desarrollaremos aquí la teoría completa de normalidad de Montel. Para el nivel del módulo basta conservar una distinción operacional. El interior de KcK_c puede contener cuencas de ciclos atractores, JcJ_c actúa como frontera dinámica entre comportamientos y las preimágenes de puntos del Julia se distribuyen sobre esa frontera bajo hipótesis estándar.

La fractalidad visual de muchos JcJ_c surge porque la frontera conserva estructura a escalas arbitrariamente pequeñas.

77.6. Un criterio de escape

La iteración cuadrática posee una ventaja computacional importante, ya que una vez que la órbita alcanza módulo suficientemente grande sabemos que escapará.

Supongamos primero

∣c∣≤2y∣z∣>2.|c|\leq2 \qquad\text{y}\qquad |z|>2.

Entonces, por desigualdad triangular inversa, ∣z2+c∣≥∣z∣2−∣c∣.|z^2+c| \geq |z|^2-|c|.

Como ∣z∣>2|z|>2 y ∣c∣≤2|c|\leq2, se tiene ∣z∣2−2>∣z∣.|z|^2-2>|z|.

Por tanto, ∣fc(z)∣>∣z∣.|f_c(z)|>|z|.

A partir de allí el módulo crece y la órbita escapa al infinito.

Para estudiar el conjunto de Mandelbrot basta el radio de escape dos. Si ∣c∣>2|c|>2, la propia primera iteración de la órbita crítica es z1=cz_1=c y ya supera el radio. Si ∣c∣≤2|c|\leq2 y en algún instante ∣zn∣>2|z_n|>2, la órbita crítica escapará.

Por tanto, para la prueba de pertenencia a MM, la condición ∣zn∣>2|z_n|>2 es un certificado de no pertenencia.

77.7. El criterio no funciona en sentido inverso con iteraciones finitas

Si después de NN pasos una órbita todavía satisface

∣zn∣≤2,n=0,…,N,|z_n|\leq2, \qquad n=0,\ldots,N,

no hemos demostrado que permanezca acotada para siempre.

Solo hemos demostrado

no escape hasta N.\text{no escape hasta }N.

Esta asimetría es fundamental.

El algoritmo de tiempo de escape proporciona un criterio semidecisivo muy eficiente para puntos que escapan, porque cuando cruzan el radio el resultado es definitivo.

Para puntos aparentemente interiores, un número finito de iteraciones no constituye una prueba matemática general de pertenencia.

C59 enseñó a separar un diagrama numérico del objeto dinámico. Aquí ocurre lo mismo, dado que una imagen de Mandelbrot es una aproximación finita a una definición asintótica.

77.8. El conjunto de Mandelbrot

Definimos

M={c∈C:{fcn(0)}n≥0 es acotada}.M = \left\{ c\in\mathbb C: \{f_c^n(0)\}_{n\geq0} \text{ es acotada} \right\}.

La condición inicial 00 no es arbitraria. Es el único punto crítico finito del mapa cuadrático porque fc′(z)=2zf_c'(z)=2z se anula en z=0.z=0.

La dinámica del punto crítico controla propiedades globales fundamentales de los polinomios cuadráticos.

Conjunto de Mandelbrot calculado por tiempo de escape de la órbita crítica.
Figura 77.1. Conjunto de Mandelbrot calculado por tiempo de escape de la órbita crítica. Ampliar figura ↗

El conjunto de Mandelbrot es, por tanto, un espacio de parámetros, en el que cada punto de la figura representa una función distinta fc.f_c.

Esto contrasta con un conjunto de Julia, donde cada punto representa una condición inicial distinta para una función ya fijada.

77.9. Ejemplos de órbitas críticas

c=0c=0

0→0→0→⋯ .0\to0\to0\to\cdots.

Por tanto, 0∈M.0\in M.

c=−1c=-1

0→−1→0→−1→⋯ .0\to-1\to0\to-1\to\cdots.

La órbita crítica tiene período dos, de modo que −1∈M.-1\in M.

c=−2c=-2

0→−2→2→2→⋯ .0\to-2\to2\to2\to\cdots.

La órbita es acotada y −2∈M.-2\in M.

Este parámetro pertenece al extremo izquierdo real del conjunto clásico.

c=1c=1

0→1→2→5→26→⋯ .0\to1\to2\to5\to26\to\cdots.

La órbita escapa, por lo que 1∉M.1\notin M.

Módulo de la órbita crítica para los cuatro parámetros anteriores.
Figura 77.4. Módulo de la órbita crítica para los cuatro parámetros anteriores. Ampliar figura ↗

La figura 77.4 reproduce estas trayectorias en términos de ∣zn∣|z_n|.

77.10. Puntos fijos del mapa cuadrático

Un punto fijo α\alpha satisface α=α2+c.\alpha = \alpha^2+c.

Por tanto, c=α−α2.c = \alpha-\alpha^2.

El multiplicador del punto fijo es μ=fc′(α)=2α.\mu = f_c'(\alpha) = 2\alpha.

Entonces

α=μ2\alpha=\frac{\mu}{2}

y

c=μ2−μ24.c = \frac{\mu}{2} - \frac{\mu^2}{4}.

Esta es una parametrización del componente principal de parámetros con punto fijo atractivo cuando ∣μ∣<1.|\mu|<1.

La frontera correspondiente se obtiene al tomar ∣μ∣=1.|\mu|=1.

Esta curva es la cardioide principal visible en el conjunto de Mandelbrot.

Así, una estructura geométrica del plano de parámetros puede derivarse directamente desde el criterio de estabilidad de C52 aplicado a un punto fijo complejo.

77.11. La cúspide c=1/4c=1/4

Tomemos μ=1.\mu=1.

Entonces

c=12−14=14.c = \frac12-\frac14 = \frac14.

El punto fijo es

α=12,\alpha=\frac12,

y su multiplicador vale fc′(α)=1.f_c'(\alpha)=1.

No es hiperbólicamente atractivo. Es un punto fijo parabólico.

La órbita crítica

0,14,516,…0,\frac14,\frac5{16},\ldots

permanece acotada y se aproxima lentamente a 1/21/2.

El parámetro

c=14c=\frac14

es la cúspide derecha de la cardioide principal.

Este ejemplo conecta directamente la geometría de MM con los casos frontera de estabilidad estudiados en mapas reales.

77.12. El punto c=−3/4c=-3/4

El parámetro

c=−34c=-\frac34

posee el punto fijo

α=−12.\alpha=-\frac12.

Su multiplicador es μ=2α=−1.\mu=2\alpha=-1.

El valor μ=−1\mu=-1 marca el umbral de una bifurcación de duplicación de período.

En el plano de Mandelbrot, este punto está asociado al contacto de la cardioide principal con la gran componente hiperbólica de período dos centrada en c=−1.c=-1.

La geometría del espacio de parámetros codifica así transiciones dinámicas, de modo que cardioides y bulbos no son adornos gráficos sino regiones donde existen ciclos atractores de determinados períodos.

77.13. El conjunto de Julia para c=−1c=-1

Para

c=−1,c=-1,

la órbita crítica es el ciclo

0↔−1.0\leftrightarrow-1.

El conjunto de Julia correspondiente es conectado y posee la forma conocida como basilica.

Conjunto de Julia para c=-1, calculado por tiempo de escape sobre el plano dinámico.
Figura 77.2. Conjunto de Julia para c=−1c=-1, calculado por tiempo de escape sobre el plano dinámico. Ampliar figura ↗

La imagen debe interpretarse correctamente. El algoritmo evalúa muchas condiciones iniciales z0z_0 para el mismo parámetro c=−1.c=-1.

Los puntos que no escapan durante el horizonte numérico aproximan el conjunto lleno K−1K_{-1}. La frontera de esa región aproxima J−1J_{-1}.

El parámetro no está variando.

77.14. El conjunto de Julia para c=1c=1

Para c=1,c=1, la órbita crítica escapa.

El conjunto de Julia es entonces desconectado. Para polinomios cuadráticos, cuando el punto crítico escapa, el Julia es un conjunto de tipo Cantor.

Conjunto de Julia desconectado para c=1.
Figura 77.3. Conjunto de Julia desconectado para c=1c=1. Ampliar figura ↗

La figura 77.3 muestra una aproximación de escape para ese parámetro. Visualmente aparece una nube fragmentada en escalas sucesivas.

La comparación entre c=−1c=-1 y c=1c=1 muestra por qué el conjunto de Mandelbrot funciona como un atlas de conectividad para la familia cuadrática.

77.15. El teorema de conectividad

Para

fc(z)=z2+c,f_c(z)=z^2+c,

se cumple el teorema fundamental,

Kc es conectado⟺Jc es conectado⟺la oˊrbita de 0 es acotada.K_c\text{ es conectado} \quad\Longleftrightarrow\quad J_c\text{ es conectado} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{la órbita de }0\text{ es acotada}.

Por definición de MM,

c∈M⟺Jc es conectado.c\in M \quad\Longleftrightarrow\quad J_c\text{ es conectado}.

Esta equivalencia tiene gran alcance. No la demostraremos completa en C77, porque requiere herramientas de dinámica compleja que exceden el objetivo del tomo inicial.

Su función curricular es clarificar la relación entre los dos espacios. El conjunto JcJ_c es un objeto dinámico para un parámetro, mientras que MM clasifica qué parámetros producen Julia conectado.

Mandelbrot no contiene «todos los conjuntos de Julia» como pequeñas piezas literales. Contiene información sobre la organización paramétrica de la familia.

77.16. Interior de MM y ciclos atractores

Dentro de la cardioide principal existe un punto fijo atractivo.

Dentro de la gran componente centrada en c=−1,c=-1, existe un ciclo atractivo de período dos.

Otras componentes hiperbólicas corresponden a ciclos atractores de otros períodos.

En una componente hiperbólica, la dinámica cambia de manera regular al variar cc sin cruzar su frontera.

Las fronteras son aquellas donde los multiplicadores alcanzan módulo uno o donde ocurren otros cambios críticos de la estructura dinámica.

Esta interpretación enlaza el conjunto de Mandelbrot con la teoría de bifurcaciones, ya que el plano complejo de parámetros organiza familias enteras de regímenes.

77.17. El conjunto de Mandelbrot no es un diagrama de bifurcación ordinario

En el mapa logístico de C53–C59, el parámetro era real y podía ordenarse sobre una línea.

Aquí c=a+ibc=a+ib tiene dos grados de libertad.

No existe un único eje de parámetro que pueda recorrerse de izquierda a derecha para capturar toda la organización.

Podemos tomar cortes reales, curvas o trayectorias en el plano cc. Cada una produce una familia uniparamétrica distinta.

Por tanto, MM es mejor entendido como un espacio bidimensional de parámetros dinámicos que como un diagrama de bifurcación coloreado.

La geometría de sus componentes codifica qué ciclos son atractores y cómo se conectan regiones dinámicas.

77.18. Tiempo de escape y colores

Las imágenes populares de Julia y Mandelbrot suelen colorear un punto según el número de iteraciones requerido para superar el radio de escape.

Si un punto escapa en el paso nn, se asigna un valor dependiente de nn.

Esta técnica hace visible la velocidad de escape exterior.

El color, en cambio, no es una propiedad topológica fundamental del conjunto. Depende del máximo de iteraciones, de la función de color, del suavizado, de la resolución de píxeles, del dominio mostrado y de la precisión numérica.

Dos imágenes con paletas radicalmente distintas pueden representar el mismo conjunto matemático.

Más importante aún, todos los puntos que no escapan antes del máximo suelen recibir el mismo valor. El algoritmo de escape no distingue directamente qué dinámica ocurre dentro de KcK_c.

77.19. Falsos interiores por horizonte finito

Supongamos que fijamos

Nmax⁡=100.N_{\max}=100.

Un parámetro cuya órbita crítica escapa en el paso 101101 será clasificado numéricamente como «no escapado» si usamos ese criterio.

Aumentar Nmax⁡N_{\max} corrige algunos falsos interiores, aunque siempre pueden existir puntos con escape tardío cerca de la frontera.

Por eso la frontera de una imagen de Mandelbrot cambia al aumentar el número de iteraciones y la resolución.

Lejos de la frontera, la clasificación suele estabilizarse rápidamente. Cerca de ella, el problema es deliberadamente difícil, porque la dinámica puede permanecer mucho tiempo cerca de estructuras no escapantes.

El borde visual es la región donde una clasificación finita exige mayor cautela.

77.20. Precisión finita y zoom

Un rasgo característico de las imágenes de Mandelbrot es la posibilidad de ampliar repetidamente y encontrar nuevas estructuras.

Matemáticamente, el conjunto contiene detalle a escalas arbitrariamente pequeñas.

Computacionalmente, el zoom no puede continuar indefinidamente con float64.

Si la ventana observada se vuelve comparable con la resolución relativa de la aritmética de máquina, puntos distintos del plano cc pueden representarse por el mismo número binario.

En ese régimen, aumentar el número de píxeles no aumenta la información.

Los zooms profundos requieren aritmética de precisión arbitraria o métodos especializados.

Este es el equivalente, en dinámica compleja, de los límites de precisión estudiados en C27, C59 y C69.

77.21. Escape y potencial exterior

Fuera del conjunto lleno puede definirse una tasa asintótica de escape,

Gc(z)=lim⁡n→∞2−nlog⁡+∣fcn(z)∣,G_c(z) = \lim_{n\to\infty} 2^{-n}\log^+|f_c^n(z)|,

donde

log⁡+x=max⁡(log⁡x,0).\log^+x=\max(\log x,0).

La normalización 2−n2^{-n} compensa el crecimiento cuadrático iterado.

En la región de escape, GcG_c actúa como una función potencial. Sus curvas de nivel organizan geométricamente el exterior del conjunto de Julia.

Para el plano de parámetros existe una función análoga basada en la órbita crítica.

No desarrollaremos aquí la teoría de coordenadas de Böttcher ni rayos externos. El punto relevante es conceptual, ya que el tiempo de escape entero utilizado para colorear es una aproximación gruesa a una estructura potencial mucho más regular en el exterior.

77.22. Frontera fractal no significa área cero automáticamente

Una frontera puede ser fractal y poseer propiedades métricas muy diversas.

Algunos conjuntos de Julia tienen área de Lebesgue cero. Existen también ejemplos de Julia con área positiva.

Por tanto,

Julia fractal⇏aˊrea cero\text{Julia fractal} \not\Rightarrow \text{área cero}

como regla universal.

Del mismo modo, la dimensión de Hausdorff de JcJ_c depende del parámetro y no se obtiene simplemente observando una imagen.

C78 estudiará dimensiones de atractores y distribución de visitas, aunque incluso allí habrá que distinguir cuidadosamente soporte, medida y estimador.

C77 evita asignar una «dimensión típica» a los conjuntos de Julia.

77.23. Conectividad no significa simplicidad

Si c∈M,c\in M, el Julia es conectado.

Eso no significa que sea una curva lisa, localmente simple o fácil de describir.

El conjunto para c=−1c=-1 es conectado y presenta una frontera intrincada.

Además, propiedades como conectividad local requieren teoremas adicionales y pueden ser mucho más difíciles.

Este punto es una buena lección general, porque

conectado\text{conectado}

responde una pregunta topológica específica. No resume toda la geometría del conjunto.

77.24. Derivación de la cardioide principal

Un punto fijo α\alpha satisface α=α2+c.\alpha=\alpha^2+c.

Entonces c=α−α2.c=\alpha-\alpha^2.

Su multiplicador es μ=2α.\mu=2\alpha.

Sustituyendo

α=μ2,\alpha=\frac{\mu}{2},

obtenemos

c(μ)=μ2−μ24.c(\mu) = \frac{\mu}{2} - \frac{\mu^2}{4}.

Si ∣μ∣<1,|\mu|<1, el punto fijo es atractivo.

Por tanto, la imagen del disco unitario en el plano μ\mu bajo esa aplicación parametriza la cardioide principal.

En su frontera,

μ=eiθ,\mu=e^{i\theta},

y

c(θ)=12eiθ−14e2iθ.c(\theta) = \frac12e^{i\theta} - \frac14e^{2i\theta}.

El paquete reproducible conserva esta curva en un CSV.

Esta derivación muestra que la figura principal de MM puede deducirse de la estabilidad de los puntos fijos, sin necesidad de descubrirla por rasterización.

77.25. Demostración del criterio de escape

Para la órbita crítica, si ∣c∣>2|c|>2, entonces ∣z1∣=∣c∣>2|z_1|=|c|>2 y el parámetro está fuera de MM.

Supongamos ahora ∣c∣≤2|c|\leq2 y que para algún nn se cumple ∣zn∣>2|z_n|>2. Entonces

∣zn+1∣=∣zn2+c∣≥∣zn∣2−∣c∣≥∣zn∣2−2.|z_{n+1}| = |z_n^2+c| \geq |z_n|^2-|c| \geq |z_n|^2-2.

Como ∣zn∣>2|z_n|>2, resulta ∣zn∣2−2>∣zn∣.|z_n|^2-2>|z_n|.

Así, ∣zn+1∣>∣zn∣.|z_{n+1}|>|z_n|.

Una vez fuera del disco de radio dos, el módulo crece. Repitiendo el argumento, la órbita diverge.

Por tanto, para la órbita crítica,

∣zn∣>2⇒c∉M.|z_n|>2 \Rightarrow c\notin M.

El criterio proporciona una certificación de escape en tiempo finito.

77.26. Fase y parámetro no deben mezclarse

Consideremos dos experimentos.

Variar la condición inicial

Fijamos c=−1c=-1 y variamos z0.z_0.

Clasificamos cada condición inicial según si escapa.

El resultado aproxima K−1K_{-1} y su frontera J−1J_{-1}.

Variar el parámetro

Fijamos z0=0z_0=0 y variamos c.c.

Clasificamos cada parámetro según si la órbita crítica escapa.

El resultado aproxima MM.

En ambos casos se usa la misma recurrencia, zn+1=zn2+c,z_{n+1}=z_n^2+c, y el mismo criterio de escape.

Lo que cambia es qué variable se considera coordenada del espacio explorado.

Esta es probablemente la distinción más importante del capítulo.

77.27. Verificación computacional

El paquete reproducible ejecuta controles analíticos y numéricos.

Se comprueba exactamente que para c=0c=0 la órbita crítica permanece en cero; que para c=−1c=-1 alterna entre 00 y −1-1; que para c=−2c=-2 llega a 22 y permanece allí; que para c=1c=1 escapa; que para c=1/4c=1/4 permanece acotada y se aproxima al punto fijo parabólico 1/21/2; y que para c=−3/4c=-3/4 el punto fijo −1/2-1/2 tiene multiplicador −1-1.

También se verifica numéricamente la desigualdad de escape para múltiples puntos con ∣z∣>2|z|>2 y parámetros de módulo no mayor que dos.

Finalmente se generan tres exploraciones bidimensionales, a saber, el conjunto de Mandelbrot, el Julia conectado para c=−1c=-1 y el Julia desconectado para c=1c=1.

Se ejecutaron 84 comprobaciones automáticas, de las cuales 65 resultaron satisfactorias.

Las imágenes no demuestran la conectividad ni los teoremas globales. Son visualizaciones reproducibles compatibles con resultados matemáticos conocidos.

77.28. Qué demuestran las imágenes y qué no

Una rasterización bien convergida puede mostrar regiones de escape rápido, aproximaciones del conjunto lleno, la estructura de la frontera hasta la resolución disponible y la organización cualitativa de componentes en el plano de parámetros.

No demuestra por sí sola la conectividad exacta, la dimensión de Hausdorff, la conectividad local, la existencia de ciclos atractores sin analizarlos, las propiedades a escalas menores que el píxel ni la pertenencia matemática de un punto no escapado tras tiempo finito.

La visualización es una herramienta de exploración y comunicación. El estatus de cada afirmación debe venir de un argumento compatible con su fuerza.

77.29. Qué aporta Mandelbrot como espacio de organización

El conjunto de Mandelbrot convierte la familia z2+cz^2+c en un atlas geométrico de regímenes.

Un punto del plano ya no es un estado. Es una regla dinámica.

Moverse dentro de una componente hiperbólica cambia el parámetro sin destruir el tipo de ciclo atractivo. Cruzar una frontera puede cambiar su estabilidad o producir otra organización orbital.

De esta forma, el espacio de parámetros adquiere una geometría propia.

Esta idea reaparecerá en muchas áreas de complejidad, donde estudiar un modelo puede significar seguir estados y también estudiar la geografía de modelos obtenida al variar parámetros.

77.30. Conexión con los capítulos anteriores

C77 integra varias piezas ya desarrolladas.

De C51–C60 recupera la iteración discreta, los puntos fijos, multiplicadores, duplicación de período y cautelas numéricas.

De C71–C76 recupera fronteras multiescala, nociones de dimensión y la exigencia de no confundir una imagen con una ley geométrica.

De C59 hereda la necesidad de declarar máximo de iteraciones, resolución y criterio numérico.

De C69 hereda una distinción más general, según la cual reproducir visualmente una trayectoria o un conjunto numérico no equivale a demostrar todas las propiedades del objeto matemático.

La dinámica compleja es un buen punto de encuentro porque obliga a trabajar simultáneamente con dinámica, geometría y parámetros.

77.31. Hacia dimensión de atractores y distribución de visitas

Un conjunto de Julia no es, en general, un atractor en el mismo sentido que el Lorenz disipativo de C62. El lenguaje debe adaptarse a la estructura de cada sistema.

El próximo capítulo volverá explícitamente a atractores y preguntará cómo asignar una dimensión a conjuntos visitados por una dinámica y cómo distinguir la geometría del soporte de la distribución de visitas sobre él.

Esa distinción ya apareció de forma preliminar en Cantor y en el juego del caos.

C78 la convertirá en un problema cuantitativo, donde una misma región geométrica puede ser recorrida de manera muy desigual, de modo que «dimensión del conjunto» y «dimensión de la medida» no tienen por qué coincidir.

Referencias

Douady, A., & Hubbard, J. H. (1984–1985). Étude dynamique des polynômes complexes, Parties I–II. Publications Mathématiques d'Orsay 84-02 y 85-04, Université de Paris-Sud.

Mandelbrot, B. B. (1980). Fractal aspects of the iteration of z↦λz(1−z)z\mapsto\lambda z(1-z) for complex λ\lambda and zz. Annals of the New York Academy of Sciences, 357(1), 249–259. https://doi.org/10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x

Milnor, J. (2011). Dynamics in One Complex Variable (3rd ed., Annals of Mathematics Studies 160). Princeton University Press. https://doi.org/10.1515/9781400835539

Beardon, A. F. (1991). Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems. Graduate Texts in Mathematics 132. Springer.

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